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Grothendieck Montpellier. Énoncés des lectures modernisées démontrés.

Primarily AI-generated textHuman understanding: some partsmath.HO — History and Overviewmath.AC — Commutative Algebramath.AG — Algebraic Geometrymath.AT — Algebraic Topologymath.CO — Combinatoricsmath.CT — Category Theorymath.GN — General Topologymath.GR — Group Theorycs.LO — Logic in Computer Science

Contributed by Michel Hua ↗

Version 1 / Nov 05, 2026 / CC BY 4.0

Abstract

Working notes of Alexandre Grothendieck, put online by the University of Montpellier, have been transcribed and restated in current notation with a language model; the restatements may contain errors. This appendix proves statements taken from these restatements in seventy-five folders, in commutative algebra, algebraic geometry, plane affine geometry, general and tame topology, category and group theory, homotopical algebra, order theory, algebra and finite combinatorics. Each proof follows a proof checked in the Lean 4 proof assistant with its library mathlib. For each statement the text gives the context of the leaf, the proof, the hypotheses that are superfluous or necessary, and the corrections made to the restatement or to the page. It ends with the list of statements the sections report without a Lean check.

Provenance statement

Drafted with Claude (Claude Code, Anthropic; Opus 5.5 and Sonnet 5.5) from the project’s registers: the transcriptions and modernised readings of the Montpellier folders (also made with language models) and the Lean 4 files linked below. The proofs are checked by Lean; the readings they start from are not verified against the facsimile except for the spot checks listed in the article. The author reviewed part of the text, not all of it.

Tools used

Lean
LeanVersion 4
Anthropic
Claude OpusVersion 5.5

References

  1. J. Adámek et J. Rosický, Locally Presentable and Accessible Categories , London Mathematical Society Lecture Note Series 189, Cambridge University Press, 1994 ; doi:10.1017/CBO9780511600579.DOI
  2. Y. André, « Sur la conjecture des pp-courbures de Grothendieck--Katz et un problème de Dwork », dans Geometric aspects of Dwork theory , vol. I, Walter de Gruyter, Berlin, 2004, 55--112 ; doi:10.1515/9783110198133.1.55.DOI
  3. B. Antieau et L. Meier, « The Brauer group of the moduli stack of elliptic curves », Algebra & Number Theory 14 (2020), 2295--2333 ; doi:10.2140/ant.2020.14.2295 ; arXiv:1608.00851.arXivDOI
  4. D. Ara, « On homotopy types modelized by strict ∞\infty-groupoids », Theory and Applications of Categories 28 (2013), 552--576 ; doi:10.70930/tac/50iqmupv.DOI
  5. A. Arsie et A. Vistoli, « Stacks of cyclic covers of projective spaces », Compositio Mathematica 140 (2004), 647--666 ; doi:10.1112/S0010437X03000253.DOI
  6. M. Demazure et A. Grothendieck (dir.), Schémas en groupes (SGA 3), tome I , Lecture Notes in Mathematics 151, Springer, Berlin, 1970 ; doi:10.1007/BFb0058993.DOI
  7. M. Artin, A. Grothendieck et J.-L. Verdier, Théorie des topos et cohomologie étale des schémas (SGA 4) , tome 1, Lecture Notes in Mathematics 269, Springer, Berlin, 1972 ; doi:10.1007/BFb0081551.DOI
  8. M. Artin, A. Grothendieck et J.-L. Verdier, avec la collaboration de P. Deligne et B. Saint-Donat, Théorie des topos et cohomologie étale des schémas (SGA 4) , tome 3, exposés IX à XIX, Lecture Notes in Mathematics 305, Springer, Berlin, 1973 ; doi:10.1007/BFb0070714.DOI
  9. J. Ax, « The elementary theory of finite fields », Annals of Mathematics 88 (1968), 239--271 ; doi:10.2307/1970573.DOI
  10. R. Baer, « Abelian groups that are direct summands of every containing abelian group », Bulletin of the American Mathematical Society 46 (1940), 800--806 ; doi:10.1090/S0002-9904-1940-07306-9.DOI
Show all 166 referencesShow fewer references
  1. H. Bass, « KK-theory and stable algebra », Publications mathématiques de l'IHÉS 22 (1964), 5--60 ; doi:10.1007/BF02684689.DOI
  2. H. J. Baues, Algebraic Homotopy , Cambridge Studies in Advanced Mathematics 15, Cambridge University Press, 1989 ; doi:10.1017/CBO9780511662522.DOI
  3. A. Beauville, « Finite subgroups of PGL2(K)\mathrm{PGL}_2(K) », dans Vector Bundles and Complex Geometry , Contemporary Mathematics 522, American Mathematical Society, Providence, 2010, 23--29 ; doi:10.1090/conm/522/10289.DOI
  4. G. V. Belyi, « On Galois extensions of a maximal cyclotomic field », Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Seriya Matematicheskaya 43 (1979), 267--276.
  5. R. Bhatia, Matrix Analysis , Graduate Texts in Mathematics 169, Springer, New York, 1997 ; doi:10.1007/978-1-4612-0653-8.DOI
  6. F. Bien et A. Borel, « Sous-groupes épimorphiques de groupes linéaires algébriques I », Comptes rendus de l'Académie des sciences, Paris, série I 315 (1992), 649--653.
  7. J. Bokowski et P. Pokora, « On the Sylvester--Gallai and the orchard problem for pseudoline arrangements », Periodica Mathematica Hungarica 77 (2018), 164--174 ; doi:10.1007/s10998-017-0224-x ; arXiv:1607.05864.arXivDOI
  8. F. Borceux, Handbook of Categorical Algebra 1. Basic Category Theory , Encyclopedia of Mathematics and its Applications 50, Cambridge University Press, 1994 ; doi:10.1017/CBO9780511525858.DOI
  9. A. Borel, « Injective endomorphisms of algebraic varieties », Archiv der Mathematik 20 (1969), 531--537 ; doi:10.1007/BF01899460.DOI
  10. J. Borger et B. Wieland, « Plethystic algebra », Advances in Mathematics 194 (2005), 246--283 ; doi:10.1016/j.aim.2004.06.006.DOI
  11. J.-B. Bost, « Algebraic leaves of algebraic foliations over number fields », Publications mathématiques de l'IHÉS 93 (2001), 161--221 ; doi:10.1007/s10240-001-8191-3.DOI
  12. J.-B. Bost et F. Charles, « Some remarks concerning the Grothendieck period conjecture », Journal für die reine und angewandte Mathematik 714 (2016), 175--208 ; doi:10.1515/crelle-2014-0025 ; arXiv:1307.1045.arXivDOI
  13. L. Breen, « Un théorème d'annulation pour certains Exti\mathrm{Ext}^i de faisceaux abéliens », Annales scientifiques de l'École normale supérieure (4) 8 (1975), 339--352 ; doi:10.24033/asens.1291.DOI
  14. M. Brion, « On algebraic semigroups and monoids », dans M. Can, Z. Li, B. Steinberg et Q. Wang (éd.), Algebraic Monoids, Group Embeddings, and Algebraic Combinatorics , Fields Institute Communications 71, Springer, New York, 2014, 1--54 ; doi:10.1007/978-1-4939-0938-4_1 ; arXiv:1208.0675.arXivDOI
  15. K. S. Brown, « Abstract homotopy theory and generalized sheaf cohomology », Transactions of the American Mathematical Society 186 (1973), 419--458 ; doi:10.1090/S0002-9947-1973-0341469-9.DOI
  16. C. Cadman, « Using stacks to impose tangency conditions on curves », American Journal of Mathematics 129 (2007), 405--427 ; doi:10.1353/ajm.2007.0007 ; arXiv:math/0312349.arXivDOI
  17. P.-J. Cahen et J.-L. Chabert, Integer-Valued Polynomials , Mathematical Surveys and Monographs 48, American Mathematical Society, Providence, 1997.
  18. H. Cartan et S. Eilenberg, Homological Algebra , Princeton Mathematical Series 19, Princeton University Press, Princeton, 1956.
  19. S. U. Chase, « Direct products of modules », Transactions of the American Mathematical Society 97 (1960), 457--473 ; doi:10.1090/S0002-9947-1960-0120260-3.DOI
  20. D. V. Chudnovsky et G. V. Chudnovsky, « Applications of Padé approximations to the Grothendieck conjecture on linear differential equations », dans Number Theory (New York, 1983--84) , Lecture Notes in Mathematics 1135, Springer, 1985, 52--100 ; doi:10.1007/BFb0074601.DOI
  21. G. V. Chudnovsky, « Algebraic independence of values of exponential and elliptic functions », dans Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Helsinki, 1978) , vol. 1, Academia Scientiarum Fennica, Helsinki, 1980, 339--350.
  22. D.-C. Cisinski, Les préfaisceaux comme modèles des types d'homotopie , Astérisque 308, Société mathématique de France, 2006 ; doi:10.24033/ast.715.DOI
  23. D.-C. Cisinski, réponse à la question 516223, MathOverflow , 21 octobre 2026, https://mathoverflow.net/questions/516223.link
  24. D. Clausen et A. Mathew, « Hyperdescent and étale K-theory », Inventiones mathematicae 225 (2021), 981--1076 ; doi:10.1007/s00222-021-01043-3 ; arXiv:1905.06611.arXivDOI
  25. B. Conrad, « Reductive group schemes », dans Autour des schémas en groupes I , Panoramas et Synthèses 42--43, Société mathématique de France, 2014, 93--444.
  26. R. Cori, Un code pour les graphes planaires et ses applications , Astérisque 27, Société mathématique de France, 1975.
  27. B. Courcelle, « Betweenness of partial orders », RAIRO -- Theoretical Informatics and Applications 54 (2020), article 7 ; doi:10.1051/ita/2020007 ; arXiv:2004.09777.arXivDOI
  28. H. S. M. Coxeter et W. O. J. Moser, Generators and Relations for Discrete Groups , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 14, Springer, Berlin, 1957.
  29. L. de Moura et S. Ullrich, « The Lean 4 theorem prover and programming language », dans Automated Deduction -- CADE 28 , Lecture Notes in Computer Science 12699, Springer, 2021, 625--635 ; doi:10.1007/978-3-030-79876-5_37.DOI
  30. P. Deligne, « Théorie de Hodge III », Publications mathématiques de l'IHÉS 44 (1974), 5--77 ; doi:10.1007/BF02685881.DOI
  31. P. Deligne, « Le groupe fondamental de la droite projective moins trois points », dans Galois Groups over Q\mathbf Q , Mathematical Sciences Research Institute Publications 16, Springer, New York, 1989, 79--297 ; doi:10.1007/978-1-4613-9649-9_3.DOI
  32. C. Deninger et J. Murre, « Motivic decomposition of abelian schemes and the Fourier transform », Journal für die reine und angewandte Mathematik 422 (1991), 201--219 ; doi:10.1515/crll.1991.422.201.DOI
  33. V. G. Drinfeld, « On quasitriangular quasi-Hopf algebras and on a group that is closely connected with Gal(Q‾/Q)\mathrm{Gal}(\overline{\mathbf Q}/\mathbf Q) », Algebra i Analiz 2 (1990), n o \,4, 149--181 ; traduction anglaise, Leningrad Mathematical Journal 2 (1991), 829--860.
  34. A. H. Durfee, « Mixed Hodge structures on punctured neighborhoods », Duke Mathematical Journal 50 (1983), 1017--1040 ; doi:10.1215/S0012-7094-83-05043-3.DOI
  35. D. Edidin, communication personnelle, courriel du 28 octobre 2026.
  36. D. Edidin et Z. Hu, « The integral Chow rings of the stacks of hyperelliptic Weierstrass points », Michigan Mathematical Journal (2025) ; doi:10.1307/mmj/20236479, arXiv:2208.00556.arXivDOI
  37. J. Elliott, « Birings and plethories of integer-valued polynomials », Actes des rencontres du CIRM 2 (2010), n o \,2, 53--58 ; version développée, arXiv:1109.3848 ; doi:10.5802/acirm.34.arXivDOI
  38. K. Fan, « Maximum properties and inequalities for the eigenvalues of completely continuous operators », Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA 37 (1951), 760--766 ; doi:10.1073/pnas.37.11.760.DOI
  39. D. Ferrand, « Sur les modules qui sont limite projective de leurs localisés », Comptes rendus de l'Académie des sciences, Paris, série A 262 (1966), 609--611.
  40. R. Friedman et R. Laza, « The higher Du Bois and higher rational properties for isolated singularities », Journal of Algebraic Geometry 33 (2024), n o \,3, 493--520 ; doi:10.1090/jag/824 ; arXiv:2207.07566.arXivDOI
  41. W. Fulton et M. Olsson, « The Picard group of M1,1\mathcal M_{1,1} », Algebra & Number Theory 4 (2010), 87--104 ; doi:10.2140/ant.2010.4.87 ; arXiv:0704.2214.arXivDOI
  42. H. Furusho, « Pentagon and hexagon equations », Annals of Mathematics (2) 171 (2010), 545--556 ; doi:10.4007/annals.2010.171.545.DOI
  43. O. Gabber et F. Orgogozo, « Sur la pp-dimension des corps », Inventiones mathematicae 174 (2008), 47--80 ; doi:10.1007/s00222-008-0133-y ; arXiv:0706.0671.arXivDOI
  44. O. Gabber et B. Zavyalov, « Algebraization techniques and rigid-analytic Artin--Grothendieck vanishing », Annales scientifiques de l'École normale supérieure (2026) ; arXiv:2402.08741.arXiv
  45. P. Gabriel et F. Ulmer, Lokal präsentierbare Kategorien , Lecture Notes in Mathematics 221, Springer, Berlin, 1971.
  46. P. Gabriel et M. Zisman, Calculus of Fractions and Homotopy Theory , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 35, Springer, Berlin, 1967 ; doi:10.1007/978-3-642-85844-4.DOI
  47. Google DeepMind, Formal Conjectures , dépôt GitHub, fichier FormalConjectures/ Wikipedia/ ResolutionOfSingularities.lean , consulté le 17 octobre 2026, https://github.com/google-deepmind/formal-conjectures.link
  48. G. Gierz, K. H. Hofmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislove et D. S. Scott, Continuous Lattices and Domains , Encyclopedia of Mathematics and its Applications 93, Cambridge University Press, 2003 ; doi:10.1017/CBO9780511542725.DOI
  49. S. Gorchinskiy et F. Viviani, « Picard group of moduli of hyperelliptic curves », Mathematische Zeitschrift 258 (2008), 319--331 ; doi:10.1007/s00209-007-0173-9.DOI
  50. A. Grothendieck, avec la collaboration de J. Dieudonné, « Éléments de géométrie algébrique IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas (première partie) », Publications mathématiques de l'IHÉS 20 (1964), 5--259 ; doi:10.1007/BF02684747.DOI
  51. A. Grothendieck, avec la collaboration de J. Dieudonné, « Éléments de géométrie algébrique IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas (troisième partie) », Publications mathématiques de l'IHÉS 28 (1966), 5--255 ; doi:10.1007/BF02684343.DOI
  52. A. Grothendieck (dir.), Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1) , édition recomposée et annotée, augmentée de deux exposés de M. Raynaud, Documents mathématiques 3, Société mathématique de France, Paris, 2003 ; arXiv:math/0206203.arXiv
  53. A. Grothendieck et J. P. Murre, The Tame Fundamental Group of a Formal Neighbourhood of a Divisor with Normal Crossings on a Scheme , Lecture Notes in Mathematics 208, Springer, Berlin, 1971.
  54. A. Grothendieck, À la poursuite des champs , volume I, édité par G. Maltsiniotis, Documents mathématiques 20, Société mathématique de France, Paris, 2022 ; le tapuscrit de 1983 est aussi sur arXiv, https://arxiv.org/abs/2111.01000.link
  55. P. H. Hai et J. P. dos Santos, « On the structure of affine flat group schemes over discrete valuation rings, II », arXiv:1802.06377.arXiv
  56. K. H. Hofmann et J. D. Lawson, « The spectral theory of distributive continuous lattices », Transactions of the American Mathematical Society 246 (1978), 285--310 ; doi:10.1090/S0002-9947-1978-0515540-7.DOI
  57. R. Hartshorne, Ample Subvarieties of Algebraic Varieties , Lecture Notes in Mathematics 156, Springer, Berlin, 1970 ; doi:10.1007/BFb0067839.DOI
  58. H. Hasse et F. K. Schmidt, « Noch eine Begründung der Theorie der höheren Differentialquotienten in einem algebraischen Funktionenkörper einer Unbestimmten », Journal für die reine und angewandte Mathematik 177 (1937), 215--237 ; doi:10.1515/crll.1937.177.215.DOI
  59. A. Hatcher, P. Lochak et L. Schneps, « On the Teichmüller tower of mapping class groups », Journal für die reine und angewandte Mathematik 521 (2000), 1--24 ; doi:10.1515/crll.2000.028.DOI
  60. S. Henry, « Algebraic models of homotopy types and the homotopy hypothesis », prépublication, arXiv:1609.04622, 2016.arXiv
  61. S. Henry et E. Lanari, « On the homotopy hypothesis for 3-groupoids », Theory and Applications of Categories 39 (2023), 735--768 ; doi:10.70930/tac/897kfv5y.DOI
  62. Y. Ihara, « Braids, Galois groups, and some arithmetic functions », dans Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Kyoto, 1990) , vol. I, Mathematical Society of Japan, Tokyo, 1991, 99--120.
  63. J. R. Isbell, « Product spaces in locales », Proceedings of the American Mathematical Society 81 (1981), 116--118 ; doi:10.1090/S0002-9939-1981-0589150-5.DOI
  64. N. Jacobson, « Restricted Lie algebras of characteristic pp », Transactions of the American Mathematical Society 50 (1941), 15--25 ; doi:10.1090/S0002-9947-1941-0005118-0.DOI
  65. A. Jacques, « Sur le genre d'une paire de substitutions », Comptes rendus de l'Académie des sciences, Paris, série A 267 (1968), 625--627.
  66. G. A. Jones et D. Singerman, « Theory of maps on orientable surfaces », Proceedings of the London Mathematical Society (3) 37 (1978), 273--307 ; doi:10.1112/plms/s3-37.2.273.DOI
  67. M. Karoubi, « Algèbres de Clifford et K-théorie », Annales scientifiques de l'École normale supérieure (4) 1 (1968), 161--270 ; doi:10.24033/asens.1163.DOI
  68. N. M. Katz, « Nilpotent connections and the monodromy theorem: applications of a result of Turrittin », Publications mathématiques de l'IHÉS 39 (1970), 175--232 ; doi:10.1007/BF02684688.DOI
  69. N. M. Katz, « Algebraic solutions of differential equations (pp-curvature and the Hodge filtration) », Inventiones mathematicae 18 (1972), 1--118 ; doi:10.1007/BF01389714.DOI
  70. N. M. Katz et T. Oda, « On the differentiation of De Rham cohomology classes with respect to parameters », Journal of Mathematics of Kyoto University 8 (1968), 199--213 ; doi:10.1215/kjm/1250524135.DOI
  71. L. M. Kelly et R. Rottenberg, « Simple points in pseudoline arrangements », Pacific Journal of Mathematics 40 (1972), 617--622 ; doi:10.2140/pjm.1972.40.617.DOI
  72. M. Kisin, « Prime to pp fundamental groups, and tame Galois actions », Annales de l'Institut Fourier 50 (2000), 1099--1126 ; doi:10.5802/aif.1786.DOI
  73. A. Kock et I. Moerdijk, « Every étendue comes from a local equivalence relation », Journal of Pure and Applied Algebra 82 (1992), 155--174 ; doi:10.1016/0022-4049(92)90118-Y.DOI
  74. A. Kock et I. Moerdijk, « Spaces with local equivalence relations, and their monodromy », Topology and its Applications 72 (1996), 47--78 ; doi:10.1016/0166-8641(95)00101-8.DOI
  75. B. Kostant, « The principal three-dimensional subgroup and the Betti numbers of a complex simple Lie group », American Journal of Mathematics 81 (1959), 973--1032 ; doi:10.2307/2372999.DOI
  76. T. Kreutz, M. Shen et C. Vial, « De Rham--Betti classes with coefficients », prépublication, arXiv:2206.08618v3, 2026.arXiv
  77. H. Lenzing, « Endlich präsentierbare Moduln », Archiv der Mathematik 20 (1969), 262--266 ; doi:10.1007/BF01899297.DOI
  78. M. Lorenz, « K0K_0 of invariant rings and nonabelian H1H^1 », Journal of Algebra 214 (1999), 458--478 ; doi:10.1006/jabr.1998.7725 ; arXiv:math/9808032.arXivDOI
  79. É. Lucas, « Théorie des fonctions numériques simplement périodiques », American Journal of Mathematics 1 (1878), 184--240 et 289--321 ; doi:10.2307/2369308 et 10.2307/2369373.DOI
  80. E. Mackall, « Universal additive Chern classes and a GRR-type theorem », Journal of Algebra 560 (2020), 1173--1189 ; doi:10.1016/j.jalgebra.2020.06.018 ; arXiv:2006.14664.arXivDOI
  81. S. Mac Lane, Categories for the Working Mathematician , 2 e édition, Graduate Texts in Mathematics 5, Springer, New York, 1998 ; doi:10.1007/978-1-4757-4721-8.DOI
  82. G. Maltsiniotis, La théorie de l'homotopie de Grothendieck , Astérisque 301, Société mathématique de France, 2005 ; doi:10.24033/ast.689.DOI
  83. G. Maltsiniotis, « Grothendieck ∞\infty-groupoids, and still another definition of ∞\infty-categories », prépublication, arXiv:1009.2331, 2010.arXiv
  84. A. Mathew, « On K(1)-local TR », Compositio Mathematica 157 (2021), n o \,5, 1079--1119 ; doi:10.1112/S0010437X21007144 ; arXiv:2005.08744.arXivDOI
  85. M. Hua, réponse à sa question 516243, MathOverflow , octobre 2026, https://mathoverflow.net/a/516350.link
  86. Réponse à la question 516361, MathOverflow , 25 octobre 2026, https://mathoverflow.net/questions/516361.link
  87. The mathlib Community, « The Lean mathematical library », dans Proceedings of the 9th ACM SIGPLAN International Conference on Certified Programs and Proofs (CPP 2020) , ACM, 2020, 367--381 ; doi:10.1145/3372885.3373824.DOI
  88. J. S. Milne, Arithmetic Duality Theorems , 2 e éd., BookSurge, 2006.
  89. K. Morita, « Duality for modules and its applications to the theory of rings with minimum condition », Science Reports of the Tokyo Kyoiku Daigaku, Section A 6 (1958), 83--142.
  90. S. Mukai, « Fourier functor and its application to the moduli of bundles on an abelian variety », dans Algebraic Geometry, Sendai, 1985 , Advanced Studies in Pure Mathematics 10, North-Holland, Amsterdam, 1987, 515--550 ; doi:10.2969/aspm/01010515.DOI
  91. D. Mumford, « Picard groups of moduli problems », dans O. F. G. Schilling (éd.), Arithmetical Algebraic Geometry (Purdue, 1963), Harper & Row, New York, 1965, 33--81.
  92. M. Pernice, « The integral Chow ring of the stack of 1-pointed hyperelliptic curves », International Mathematics Research Notices 2022, n o \,15, 11539--11574 ; doi:10.1093/imrn/rnab072 ; arXiv:2005.01513.arXivDOI
  93. T. Plewe, « Localic products of spaces », Proceedings of the London Mathematical Society (3) 73 (1996), 642--678 ; doi:10.1112/plms/s3-73.3.642.DOI
  94. G. Pólya, « Über ganzwertige Polynome in algebraischen Zahlkörpern », Journal für die reine und angewandte Mathematik 149 (1919), 97--116 ; doi:10.1515/crll.1919.149.97.DOI
  95. F. Pop, « Finite tripod variants of I/OM: on Ihara's question/Oda--Matsumoto conjecture », Inventiones mathematicae 216 (2019), 745--797 ; doi:10.1007/s00222-019-00855-8.DOI
  96. N. Popescu et P. Gabriel, « Caractérisation des catégories abéliennes avec générateurs et limites inductives exactes », Comptes rendus de l'Académie des sciences, Paris 258 (1964), 4188--4190.
  97. M. S. Putcha, Linear Algebraic Monoids , London Mathematical Society Lecture Note Series 133, Cambridge University Press, 1988 ; doi:10.1017/CBO9780511600661.DOI
  98. D. Rees, « Two classical theorems of ideal theory », Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 52 (1956), 155--157 ; doi:10.1017/S0305004100031091.DOI
  99. M. Saito, « Mixed Hodge modules », Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences 26 (1990), 221--333 ; doi:10.2977/prims/1195171082.DOI
  100. C. Scheiderer, Real and Étale Cohomology , Lecture Notes in Mathematics 1588, Springer, 1994.
  101. J.-P. Serre, « Exemples de variétés projectives conjuguées non homéomorphes », Comptes rendus de l'Académie des sciences, Paris 258 (1964), 4194--4196.
  102. D. Singerman et J. Strudwick, « The Farey maps modulo NN », Acta Mathematica Universitatis Comenianae 89 (2020), 39--52 ; arXiv:1803.08851.arXiv
  103. T. A. Springer, « Regular elements of finite reflection groups », Inventiones mathematicae 25 (1974), 159--198 ; doi:10.1007/BF01390173.DOI
  104. The Stacks Project Authors, The Stacks Project , https://stacks.math.columbia.edu.link
  105. D. O. Tall et G. C. Wraith, « Representable functors and operations on rings », Proceedings of the London Mathematical Society (3) 20 (1970), 619--643 ; doi:10.1112/plms/s3-20.4.619.DOI
  106. R. W. Thomason, « The classification of triangulated subcategories », Compositio Mathematica 105 (1997), 1--27.
  107. A. Topaz, « The Galois action on geometric lattices and the mod-ℓ\ell I/OM », Inventiones mathematicae 213 (2018), 371--459 ; doi:10.1007/s00222-018-0792-2.DOI
  108. J. Voight, « Discriminants and the monoid of quadratic rings », Pacific Journal of Mathematics 283 (2016), 483--510 ; doi:10.2140/pjm.2016.283.483.DOI
  109. J. A. Cruz Morales, The notion of space in Grothendieck: from schemes to a geometry of forms , arXiv:2105.08799, 2021.arXiv
  110. Y. André, Une introduction aux motifs (motifs purs, motifs mixtes, périodes) , Panoramas et Synthèses 17, SMF, 2004.
  111. D. Arapura, Motivation for Hodge cycles, Adv.\ Math. 207 (2006), 762--781; statements numbered as in arXiv:math/0501348v3.arXiv
  112. H.-J. Baues, Homotopy Type and Homology , Oxford Mathematical Monographs, 1996.
  113. A. Beilinson, Remarks on Grothendieck's standard conjectures, in Regulators , Contemp.\ Math. 571, AMS, 2012, 25--32, arXiv:1006.1116.arXiv
  114. J. Bokowski, P. Pokora, On the Sylvester--Gallai and the orchard problem for pseudoline arrangements, Period.\ Math.\ Hungar. 77 (2018), 164--174, arXiv:1607.05864.arXiv
  115. J.-B. Bost, F. Charles, Some remarks concerning the Grothendieck period conjecture, J.\ reine angew.\ Math. 714 (2016), 175--208; statements numbered as in arXiv:1307.1045v2.arXiv
  116. L. Breen, Un théorème d'annulation pour certains $\Ext^i$ de faisceaux abéliens, Ann.\ Sci.\ ÉNS (4) 8 (1975), 339--352.
  117. L. Breen, Monoidal categories and multiextensions, Compositio Math. 117 (1999), 295--335, arXiv:math/9809104.arXiv
  118. F. Brown, Mixed Tate motives over Z\mathbb Z, Ann.\ of Math. 175 (2012), 949--976, arXiv:1102.1312.arXiv
  119. O. Caramello, De Morgan classifying toposes, Adv.\ Math. 222 (2009), 2117--2144, arXiv:0808.1519.arXiv
  120. G. V. Chudnovsky, Algebraic independence of values of exponential and elliptic functions, in Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Helsinki, 1978) , vol. 1, Acad.\ Sci.\ Fennica, 1980, 339--350.
  121. D. Clausen, A. Mathew, Hyperdescent and étale K-theory, Invent.\ Math. 225 (2021), 981--1076, arXiv:1905.06611.arXiv
  122. B. Collas, Anabelian perspectives in Galois-Teichmüller theory, arXiv:2603.02848, 2026.arXiv
  123. A. H. Durfee, Mixed Hodge structures on punctured neighborhoods, Duke Math.\ J. 50 (1983), 1017--1040.
  124. P. T. Johnstone, Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium , 2 vols, Oxford Logic Guides 43--44, Oxford, 2002.
  125. R. Friedman, R. Laza, The higher Du Bois and higher rational properties for isolated singularities, J.\ Algebraic Geom. 33 (2024), 493--520, arXiv:2207.07566.arXiv
  126. O. Gabber, F. Orgogozo, Sur la pp-dimension des corps, Invent.\ Math. 174 (2008), 47--80, arXiv:0706.0671.arXiv
  127. S. Henry, Regular polygraphs and the Simpson conjecture, preprint, 2018, arXiv:1807.02627.arXiv
  128. A. Hatcher, P. Lochak, L. Schneps, On the Teichmüller tower of mapping class groups, J.\ reine angew.\ Math. 521 (2000), 1--24.
  129. P. Deligne, Théorie de Hodge III, Publ.\ Math.\ IHÉS 44 (1974), 5--77.
  130. A. Grothendieck, Techniques de construction et théorèmes d'existence en géométrie algébrique III : préschémas quotients, Séminaire Bourbaki 6 (1960/61), exp. 212, 99--118, http://www.numdam.org/item/SB_1960-1961__6__99_0.link
  131. M. Hua, Formalising a mathematician's working notes: Lean proofs from the Grothendieck archive, preprint, 2026.
  132. L. Illusie, Revisiting deformations of truncated Barsotti--Tate groups, talk notes, Chicago, 6 March 2023, https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~luc.illusie/Illusie-Chicago-2023-1.pdf.link
  133. L. M. Kelly, R. Rottenberg, Simple points in pseudoline arrangements, Pacific J.\ Math. 40 (1972), 617--622.
  134. S. L. Kleiman, Algebraic cycles and the Weil conjectures, in Dix exposés sur la cohomologie des schémas , Adv.\ Stud.\ Pure Math. 3, North-Holland, 1968, 359--386.
  135. A. Kock, I. Moerdijk, Every étendue comes from a local equivalence relation, J.\ Pure Appl.\ Algebra 82 (1992), 155--174.
  136. A. Kock, I. Moerdijk, Spaces with local equivalence relations, and their monodromy, Topology Appl. 72 (1996), 47--78.
  137. J. Kollár, Quotients by finite equivalence relations, with an appendix by C. Raicu, in Current Developments in Algebraic Geometry , MSRI Publ. 59, Cambridge University Press, 2012, 227--256, arXiv:0812.3608.arXiv
  138. B. Kostant, The principal three-dimensional subgroup and the Betti numbers of a complex simple Lie group, Amer.\ J.\ Math. 81 (1959), 973--1032.
  139. A. Mathew, On K(1)K(1)-local TR, Compositio Math. 157 (2021), 1079--1119, arXiv:2005.08744.arXiv
  140. J. S. Milne, Arithmetic Duality Theorems , 2nd ed., BookSurge, 2006.
  141. I. Moerdijk, Foliations, groupoids and Grothendieck étendues, Rev.\ Acad.\ Cienc.\ Zaragoza (2) 48 (1993), 5--33.
  142. S. Mukai, Duality between D(X)D(X) and D(X^)D(\hat X) with its application to Picard sheaves, Nagoya Math.\ J. 81 (1981), 153--175.
  143. OpenAI, openai/math , repository of manuscripts and Lean files, https://github.com/openai/math, folder preprints , read on 17 and 26 October 2026; none of the manuscripts is peer-reviewed.link
  144. A. Philippe, Morphisme net d'anneaux, et descente, Bull.\ Sci.\ Math. (2) 97 (1973), 57--64.
  145. B. Poonen, M. Stoll, The Cassels--Tate pairing on polarized abelian varieties, Ann.\ of Math. 150 (1999), 1109--1149.
  146. F. Pop, Finite tripod variants of I/OM: on Ihara's question/Oda--Matsumoto conjecture, Invent.\ Math. 216 (2019), 745--797.
  147. K. I. Rosenthal, Sheaves and local equivalence relations, Cahiers Top.\ Géom.\ Diff. 25 (1984), 179--206.
  148. M. Saito, Mixed Hodge modules, Publ.\ RIMS 26 (1990), 221--333.
  149. C. Scheiderer, Real and Étale Cohomology , Lecture Notes in Math. 1588, Springer, 1994.
  150. M. Demazure, A. Grothendieck (eds.), Schémas en groupes (SGA 3), LNM 151, 152, 153, Springer, 1970.
  151. M. Artin, A. Grothendieck, J.-L. Verdier (eds.), Théorie des topos et cohomologie étale des schémas (SGA 4), LNM 269, 270, 305, Springer, 1972--1973.
  152. C. Simpson, Homotopy types of strict 3-groupoids, preprint, 1998, arXiv:math/9810059.arXiv
  153. T. A. Springer, Regular elements of finite reflection groups, Invent.\ Math. 25 (1974), 159--198.
  154. F. Tonini, Stacks of ramified Galois covers, PhD thesis, 2013, arXiv:1307.1116.arXiv
  155. F. Tonini, Ramified Galois covers via monoidal functors, Transform.\ Groups 22 (2017), 845--868, arXiv:1507.05309.arXiv
  156. J. Venken, Non effectivité de la descente de modules plats par un morphisme fini d'anneaux locaux artiniens, C.\ R.\ Acad.\ Sci.\ Paris Sér. A--B 272 (1971), A1553--A1554.

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  1. v1 · 401 pagesSubmitted by Michel HuaInitial depositCurrentNov 05, 2026