\section{Erreurs, pistes et énoncés restants}\label{sec:reste}

Les énoncés de chaque cote qui ne sont pas démontrés ici sont donnés à la fin de sa section. Les quatre parties sans énoncé vérifié donnent la liste des pistes de leurs cotes, huit en tout. Sept sont ouvertes et portent le losange rouge \textcolor{piste}{\ensuremath{\blacklozenge}} ; la huitième, la majoration de la dimension cohomologique de la cote~31, est publiée par M.~Artin (SGA~4, exposé~X, théorème~4.1) et porte le losange gris. Seize autres parties finissent par quatre-vingt-douze pistes que leurs sections ne traitent pas, toutes de cotes sans section ici sauf deux de la cote~10, une de la cote~37, une de la cote~77, une de la cote~118 et deux de la cote~136. Trois de ces pistes sont démontrées : le cube des générisations de la cote~154 entièrement, sous la forme précisée par l'édition, et celles des cotes~137 et~148 en partie.

Les erreurs trouvées portent surtout sur les gloses modernes des lectures. La glose de la proposition~1 de la cote~158 était fausse, et la lecture de la cote~114 omettait une hypothèse de la page. Dans la cote~156-3, une note de la lecture sur la page~11 identifie l'intermédiarité large à la stricte augmentée des extrémités ; cela ne vaut que pour des extrémités comparables, et l'ordre produit sur $\mathbb N^2$ le dément. L'anneau universel $\Phi_0 = \mathbb Z[L_0, \Lambda_0]$ de la lecture de la cote~16 n'existe pas sur $\mathbb Z$ pour $n \geqslant 2$, car $\xi_0^n$ est divisible par $n!$ ; l'obstruction disparaît sur $\mathbb Q$. Pour la cote~63, la lecture conclut que les quatre composantes du lieu $j = 0$ ont la même tangente en $p = 2$ ; elles en ont quatre, deux à deux distinctes. Dans la cote~50, la formule des traces demande une forme d'intersection symétrique, que l'axiome~(e) ne pose pas, et la positivité de Rosati que la lecture tire du corollaire de la page~6 ne suit pas des axiomes. La lecture de la cote~44 tient l'intégralité des nombres de Cartan pour une conséquence des trois axiomes de la page~4. Un contre-exemple dans $\mathbb Z^2$, de groupe de Weyl $B_2$, le dément, alors que l'indivisibilité des racines la donne ; le système simple que la fiche invoquait ne l'est qu'à coefficients rationnels.

Sur la page elle-même, un contre-exemple réfute une affirmation dans dix cotes, et une présomption dans une onzième cote. Dans la cote~16, la réciproque (3)~$\Rightarrow$~(1) que la page~9 annonce ne vaut que pour les projecteurs de la graduation : dans $M_2(R)$, le sous-anneau des matrices triangulaires inférieures contient tous les projecteurs et aucun inverse de~$L$. Dans la cote~19, ce sont la nécessité dans le théorème~1.12\,b) et la réserve « ou $I$ fini » de la page~7 (un adjoint à gauche ne commute pas en général aux produits finis). Dans la cote~63, le scindage de l'espace tangent qu'affirme la page~99, sur lequel repose l'argument, n'est pas stable sous l'involution de Hesse. Dans la cote~72, l'irréductibilité sur l'hyperplan $C$, que le c) de la page~82 tire de la seule condition $\beta_i \neq 0$, demande aussi $\rho \neq 0$, comme le disait le d) barré de la page~80 : pour $\rho = 0$, la droite de $\tilde c$ est invariante. Le théorème des arrangements cruciaux de la page~24 de la cote~80 est faux déjà pour six droites : les côtés d'un triangle et une droite par chaque sommet. La parenthèse de la page~9 de la cote~90, qui lie les conditions du lemme~1 aux fibres des composantes, est fausse sans l'hypothèse de type fini : l'algèbre des polynômes de $K[T]$ à terme constant entier la met en défaut. Dans la cote~118, la stabilité par sommes que la page~35 dit \q{visible} est fausse : la somme de deux points la met en défaut. Un exemple sur $[0, 1]$ confirme la correction que la lecture apporte à la proposition de la page~19 de la cote~150 : sans la condition $X_i \cap Y = f(\dot X_i)$, deux systèmes non isomorphes ont les mêmes données coupées. Dans la cote~158, le corollaire de la page~52 est faux pour une catégorie non connexe, et le paragraphe barré de la page~44, qui affirmait l'unicité de l'élément~$p$ de la proposition~1, l'est aussi. Le corollaire de la page~13 de la cote~160 demande les racines $(p-1)$-ièmes de $(-1)^n a_0$, et non de $a_0$. La présomption de la page~68 de la cote~156-4, que les parties saturées forment une algèbre de Boole, est démentie par un modèle à sept multistrates dont les parties saturées forment un hexagone. D'autres erreurs de la page sont de moindre portée. Dans la cote~16, le calcul confirme une erreur de la page~13 que la lecture relevait déjà, et dans la cote~78 les deux corrections que la lecture apporte au critère de fermeture : la conclusion $F_n(\alpha) = 0$ là où la page~112 écrit $= 1$, et le coefficient de Bézout de la page~113, faux pour $n = 4$. La page~3 de la cote~161-1 répète mot pour mot une de ses conditions. Dans la cote~104, la bonne fondation est une hypothèse supplémentaire, et $\mathbb Z$ vu comme catégorie montre qu'elle est nécessaire. Deux affirmations encore, dans les cotes~94 et~151, sont fausses sous une lecture et peut-être vraies sous une autre : la réciproque de la remarque~5~bis de la cote~94 tombe sous la seule finitude locale et tient sous la finitude globale, et le recollement en profondeur deux de la cote~151 échoue dans les espaces topologiques comme en homotopie, la lecture en termes de topos restant ouverte. Le fac-similé doit trancher.

Les quarante pistes entièrement démontrées tiennent telles qu'elles sont écrites, souvent sous des hypothèses plus faibles, et les démonstrations partielles apportent aussi des précisions. La cote~67 vaut pour un anneau non commutatif, et la cote~133 n'utilise pour la page~46 que $N' \subset \mathrm{Cent}(G)$. Dans la cote~106, quand tout objet est cofibrant, le foncteur $q'$ est un isomorphisme sans condition ; le critère $(\star\star)$ est alors toujours vérifié, et les deux membres de l'équivalence sont vrais. Dans la cote~84, la réciproque du corollaire de la page~86 demande le changement de base que la page écrit : sur $\mathbb Z[X]$, avec $b_1 = X$ et $b_2 = 0$, l'application est un isomorphisme alors que l'idéal $(2, X)$ est propre. L'hypothèse \q{$2$ régulier} de la page~48 est nécessaire : sur $\mathbf F_2$, $\mathbf F_2 \times \mathbf F_2$ et $\mathbf F_4$ ont le même discriminant et le même $T_0$. L'unicité de la symétrie canonique de la cote~77 (p.~123) demande une base connexe : sur un produit $R_1 \times R_2$, une isométrie peut être $\sigma$ sur un facteur et l'identité sur l'autre. La phrase de la page~97 de la cote~74 est fausse sans la condition marginale (Ka) : un carré latin d'ordre~$2$ à revêtements triviaux satisfait les autres conditions et viole l'axiome~1. Dans la cote~79, l'énoncé sur l'étoile d'un sommet vaut sur tout anneau commutatif, sans l'hypothèse semi-locale, et la commutativité du groupe d'homothéties découle des autres conditions. Dans la cote~93, la translation par $t^2$ en caractéristique~$2$, par $t^3$ en caractéristique~$3$, change $G_0$ : le niveau $p^2$ est nécessaire, et la valeur test de la page~72 est $1/(4t^2)$, non $1/(2t)$. Sa rigidité, pour $\alpha = 0$, ne demande ni $\mathrm{Pic}(A) = 0$ ni $A$ local, et l'homographie a pour déterminant une unité : la normalisation $ad - bc = 1$ ajoutée à la page~121 est fausse ($s = 2t$ sur $\mathbf F_5$). La bijectivité des applications de Stokes de la cote~68 doit être posée en axiome, et l'axiome du demi-espace opposé ne sert qu'à l'existence. Dans la cote~70, les incidences de l'icosaèdre valent aussi en caractéristiques $2$ et $5$, et la translation de la page~91 en caractéristique~$2$ est $(\alpha', \alpha, \alpha)$, non $(\alpha', 1, 1)$. La page~23 de la cote~86 écrit $\{u, v\}$ là où le trièdre demande $\{u, v_1\}$, et l'étiquette « $\sigma_0\sigma_1$ » de la page~32 porte la valeur de $\sigma_0\sigma_2$. Dans la cote~78, le critère $u_\alpha^n = 1 \iff F_n(\alpha) = 0$ vaut sur tout anneau commutatif et pour tout $n \in \mathbb Z$, et l'existence des deux $2p$-gones en bande, seule démontrée de la seconde piste, vaut en toute caractéristique, $p = 2$ et $p = 0$ compris. Les deux torseurs réguliers de la cote~40 sont des anneaux de valuation discrète sur tout anneau de valuation discrète, sans complétude ni caractéristique, et l'anneau $A[T]/(T^n - X^2)$ n'en est un pour aucun $n \geq 2$. Dans la cote~46, l'injectivité de la forme de Sylow vaut pour une algèbre non commutative quand l'hypothèse de relèvement de la marge vaut pour l'action tordue par le second cocycle ; la page, qui ramène l'injectivité au noyau par torsion, ne le vérifie pas, et l'hypothèse non tordue suffit quand l'algèbre est commutative. La forme en degré~$i$ du lemme binomial de la cote~136 vaut sans l'hypothèse $i \leq N$, et sa démonstration se passe de localisation. La Proposition de la page~80 de la cote~19 se prolonge en une chaîne d'adjoints infinie dans les deux sens entre topos de préfaisceaux, dont aucun n'est fidèle : c'est la réponse à la Question de la page, contre une note de la lecture. Dans la cote~73, la dichotomie de la page~28 ne demande qu'un corps de plus de $n$ éléments, non un corps infini, et le cas hyperspécial demande l'hypothèse de non-alignement que la lecture ajoute. Dans la cote~76, le lemme de surjectivité des drapeaux de type~$H$ vaut sous les deux hypothèses de la note marginale de la page~28, pour tout $G$-ensemble et sans que les $\sigma_i$ soient des involutions.

Les énoncés restants demandent pour la plupart des théories classiques absentes de la bibliothèque : surfaces, dualité de Serre, complétion formelle, groupe fondamental d'une catégorie, lissité formelle, catégories $\mathrm{Ind}_\pi$, équivalences faibles des petites catégories, géométrie des sections hyperplanes. Les pistes des parties vides demandent surtout les schémas abéliens et les variétés abéliennes, la cohomologie étale et cristalline, la descente, les champs et les topos ; cinq d'entre elles sont accessibles en tout ou en partie avec la bibliothèque actuelle.