\section[Cote 156-1 : le modèle-segment est un biordre]{Cote 156-1 : le modèle-segment est un biordre\protect\verifie{Folder156_1}}\label{sec:156-1}

La cote 156-1, \emph{[Chapitre] I. Vers une géométrie des formes (topologiques) : notes manuscrites (05/06/1986)}, vingt-six pages datées du 5 au 7~juin 1986, propose une axiomatique combinatoire des formes de dimension~$1$. Elle se donne un ensemble $\mathcal L$ de \emph{lieux}, un ensemble $S$ de \emph{segments}, et pour chaque segment $I$ l'ensemble $\widetilde I \subset \mathcal L$ de ses lieux et la paire $\partial I \subset \widetilde I$ de ses extrémités. La troisième mouture, à partir de la page~5, pose les axiomes F1 à F5 (\lot{156-1}{1}{5}, \lot{156-1}{1}{7}). La page~10 appelle \emph{modèle-segment} un modèle où $\mathcal L$ est lui-même un segment, et la page~11 y définit, à partir d'une extrémité $x_0$, la relation $x \preccurlyeq y$ par $x \in [x_0, y]$, et affirme que c'est un ordre (\lot{156-1}{1}{11}). On lit à la page~12 : \q{Cette relation d'ordre a un plus petit élément, $x_0$, et un plus grand élément, $x_1$. Elle permet de reconstituer la structure de modèle de 1-forme}. Les segments y sont les $[x,y]$, $x<y$, et l'ordre est \q{infiniment divisible} et \q{localement filtrante décroissante} ; la clause \q{filtrante croissante} est ajoutée entre les lignes et lue en partie. Une ligne qui porte plusieurs mots illisibles esquisse la réciproque (\lot{156-1}{1}{12}). La page~13 conclut qu'\q{une structure de modèle de segment équivaut à une structure de \emph{biordre}} (\lot{156-1}{1}{13}). Aucune des deux directions n'est démontrée sur la page.

\noindent\emph{Conventions.} On écrit les axiomes comme la lecture les énonce, en notant $I_{x,z}$ le sous-segment de $I$ d'extrémités $x, z$ donné par F1 : un segment $J$ avec $\widetilde J \subset \widetilde I$ et $\partial J = \{x,z\}$. On pose $I^\circ = \widetilde I \setminus \partial I$, et un lieu est \emph{régulier} s'il est intérieur à un segment.
\begin{itemize}
\item[F1] Si $x \in \partial I$ et $z \in \widetilde I \setminus \{x\}$, il existe un unique $I_{x,z}$.
\item[F2] $I^\circ \neq \emptyset$ ; si $\partial I = \{x,y\}$ et $z \in I^\circ$, alors $\widetilde I_{x,z} \cap \widetilde I_{y,z} = \{z\}$, et tout segment $J$ avec $\widetilde J \subset \widetilde I$ et $z \in \partial J$ vérifie $\widetilde J \subset \widetilde I_{x,z}$ ou $\widetilde J \subset \widetilde I_{y,z}$.
\item[F3] Si $x \in \partial I \cap \partial J$, il existe $u \in \widetilde I \setminus \{x\}$ et $v \in \widetilde J \setminus \{x\}$ avec $I_{x,u} = J_{x,v}$ ou $\widetilde I_{x,u} \cap \widetilde J_{x,v} = \{x\}$ (la forme de la marge).
\item[F$'$3] Si $x \in \partial I$ et $u, v \in I^\circ$, il existe $w \in I^\circ$ avec $\widetilde I_{x,w} \subset \widetilde I_{x,u} \cap \widetilde I_{x,v}$ (la reconstruction de la lecture, d'après la note du bas de la page~6).
\item[F4] Si $z$ est régulier, $\widetilde I' \cap \widetilde I'' = \{z\}$, $\partial I' = \{x,z\}$ et $\partial I'' = \{y,z\}$, il existe un unique $I$ avec $\widetilde I \supset \widetilde I' \cup \widetilde I''$ et $\partial I = \{x,y\}$.
\item[F5] Un lieu régulier est d'ordre~$2$ : il existe deux segments issus de lui qui ne définissent pas la même branche, et tout segment issu de lui définit la même branche que l'un d'eux.
\end{itemize}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm]
\draw[line width=1pt] (0,0) -- (7,0);
\foreach \x/\n in {0/x,3.2/z,7/y} { \fill (\x,0) circle (2pt); \node[below] at (\x,-0.1) {$\n$}; }
\draw[decorate, decoration={brace, amplitude=6pt}] (0,0.25) -- (3.15,0.25) node[midway, above=7pt] {$I_{x,z}$};
\draw[decorate, decoration={brace, amplitude=6pt}] (3.25,0.25) -- (7,0.25) node[midway, above=7pt] {$I_{y,z}$};
\draw[decorate, decoration={brace, amplitude=6pt, mirror}] (0,-0.65) -- (7,-0.65) node[midway, below=7pt] {$I$, $\partial I = \{x, y\}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
{\small F2 : pour $z$ intérieur à $I$, les sous-segments $I_{x,z}$ et $I_{y,z}$ ne se rencontrent qu'en $z$. F4 est le sens inverse : deux segments qui ne se rencontrent qu'en un lieu régulier $z$ se recollent en un unique segment d'extrémités $x, y$.\par}
\medskip
Dans un modèle-segment, $\mathcal L = \widetilde I_0$ avec $\partial I_0 = \{x_0, x_1\}$, on pose $a \leq b$ si $a = b$ ou s'il existe un segment $J$ avec $\partial J = \{x_0, b\}$ et $a \in \widetilde J$ ; par l'unicité dans F1, un tel $J$ est $I_{0\,x_0,b}$, et l'on note $[x_0,b] = \widetilde J$. Un ensemble ordonné est \emph{localement filtrant décroissant} si $x < y_1$ et $x < y_2$ entraînent l'existence de $y$ avec $x < y \leq y_1, y_2$, \emph{localement filtrant croissant} dans l'énoncé dual.

\begin{encadre}
\begin{theoreme}[Grothendieck, pages 10 à 13, \emph{le modèle-segment est un biordre}\piste{156-1-segment-biorder}]
Soit un modèle satisfaisant F1, F2, F$'$3 et F4, dont l'ensemble des lieux est un segment $I_0$, $\partial I_0 = \{x_0, x_1\}$. La relation $\leq$ est un ordre sur $\mathcal L$, de plus petit élément $x_0$ et de plus grand élément $x_1$, distincts ; il est dense, localement filtrant décroissant et localement filtrant croissant ; les segments sont exactement les intervalles $[a,b] = \{z \mid a \leq z \leq b\}$, $a < b$, avec $\partial = \{a,b\}$, chacun porté par un seul segment. L'ordre défini à partir de $x_1$ est l'ordre opposé.

Réciproquement, soit $\mathcal L$ un ensemble ordonné ayant un plus petit et un plus grand élément distincts, dense et localement filtrant dans les deux sens. Les intervalles $[a,b]$, $a<b$, avec $\partial [a,b] = \{a,b\}$, satisfont F1 à F5 et F$'$3, $\mathcal L$ est un segment, et l'ordre relu à partir du plus petit élément est l'ordre donné.
\end{theoreme}
\end{encadre}

\begin{proof}[Démonstration du sens direct]
\emph{Deux unicités.} Un segment $J$ avec $\partial J = \{x_0, b\}$ est unique : c'est F1 dans $I_0$, puisque $\widetilde J \subset \mathcal L = \widetilde I_0$. Pour la même raison, deux segments qui ont une extrémité dans $\{x_0, x_1\}$ et les mêmes extrémités sont égaux. Si $u, v \notin \{x_0, x_1\}$ et $\partial J = \partial K = \{u,v\}$, alors $u \in I_0^\circ$ ; F2 dans $I_0$ en $u$ place $\widetilde J$, et de même $\widetilde K$, dans $[x_0, u]$ ou dans $\widetilde I_{0\,x_1,u}$. S'ils tombent dans des sous-segments différents, $v$ est dans leur intersection, qui est $\{u\}$, ce qui est exclu ; s'ils tombent dans le même, F1 dans ce sous-segment, en son extrémité $u$, donne $J = K$. Ainsi \emph{un segment est déterminé par ses extrémités} (le corollaire~3~a de la page~5).

\emph{C'est un ordre.} Si $b \in [x_0, c]$, $b \neq x_0$, F1 dans le segment $[x_0,c]$ fournit un sous-segment d'extrémités $x_0, b$, qui est $[x_0,b]$ ; donc $[x_0, b] \subset [x_0, c]$, d'où la transitivité. Pour l'antisymétrie, soient $a \neq b$ avec $a \in [x_0,b]$ et $b \in [x_0,a]$ ; alors $a \neq x_0$ (aucun segment n'a $\{x_0\}$ pour bord), $[x_0,a] = [x_0,b]$ par ce qui précède, et $a$ est intérieur à $[x_0,b]$. F2 dans $[x_0,b]$ en $a$ dit que $[x_0,a]$ et le sous-segment d'extrémités $b, a$ ne se rencontrent qu'en $a$ ; or $b$ est dans les deux. On a $x_0 \leq a$ puisque $x_0 \in [x_0,a]$, et $a \leq x_1$ puisque $[x_0,x_1] = \mathcal L$ ; $x_0 \neq x_1$ parce que $\partial I_0$ a deux éléments.

\emph{Recollement.} Soient $a$ un lieu régulier, $[x_0,a]$, et $Q$ un segment d'extrémités $a, z$ tel que $[x_0, a] \cap \widetilde Q = \{a\}$. F4 fournit un segment $G$ d'extrémités $x_0, z$ contenant $[x_0,a]$ ; donc $a \in [x_0, z]$, c'est-à-dire $a \leq z$.

\emph{Les extrémités d'un segment sont comparables.} Soit $\partial J = \{u,v\}$. Si l'une est $x_0$ ou $x_1$, c'est clair. Sinon $u \in I_0^\circ$ et F2 place $\widetilde J$ dans $[x_0,u]$, d'où $v \leq u$, ou dans $P = \widetilde I_{0\,x_1,u}$. Dans le second cas, le sous-segment $Q$ de $P$ d'extrémités $u, v$ ne rencontre $[x_0,u]$ qu'en $u$, puisque $[x_0,u] \cap P = \{u\}$, et le recollement donne $u \leq v$.

\emph{Un segment d'extrémités $a < b$ est l'intervalle $[a,b]$.} Si $a = x_0$, c'est la définition. Sinon, soit $K$ ce segment ; il est le sous-segment de $[x_0,b]$ d'extrémités $b, a$, par l'unicité. Le lieu $a$ est intérieur à $[x_0,b]$, et régulier (il est intérieur à $I_0$, car $a \neq x_1$). F2 dans $[x_0,b]$ en $a$ donne $[x_0,a] \cap \widetilde K = \{a\}$, et place tout sous-segment de $[x_0,b]$ issu de $a$ dans $[x_0,a]$ ou dans $\widetilde K$. Si $z \in \widetilde K$, $z \neq a$, le sous-segment de $K$ d'extrémités $a, z$ ne rencontre $[x_0, a]$ qu'en $a$, et le recollement donne $a \leq z$ ; et $z \leq b$ puisque $\widetilde K \subset [x_0,b]$. Inversement, soit $a < z < b$ ; alors $[x_0,z] \subset [x_0,b]$ contient $a$, et le sous-segment de $[x_0,z]$ d'extrémités $z, a$ est un sous-segment de $[x_0,b]$ issu de $a$. S'il était dans $[x_0,a]$, on aurait $z \leq a$, donc $z = a$ ; il est donc dans $\widetilde K$, et $z \in \widetilde K$. Un tel segment existe toujours : F1 dans $[x_0,b]$ en $b$ fournit le sous-segment d'extrémités $b, a$. Avec l'unicité, chaque intervalle $[a,b]$, $a<b$, est porté par un seul segment, et tout segment est un tel intervalle.

\emph{Densité, filtrations.} Si $a < b$, F2 donne un lieu intérieur au segment $[a,b]$, strictement entre $a$ et $b$. Si $a < y_1$ et $a < y_2$, et si aucun des deux n'est $x_1$ (sinon l'autre convient), $y_1$ et $y_2$ sont intérieurs au segment $[a,x_1]$ ; F$'$3 en son extrémité $a$ fournit $w$ intérieur avec $[a,w] \subset [a,y_1] \cap [a,y_2]$, donc $a < w \leq y_1, y_2$. Dualement, F$'$3 appliqué au segment $[x_0,a]$ en son extrémité $a$ donne la filtration croissante.

\emph{Biordre.} Pour l'ordre défini à partir de $x_1$, $a \leq_{1} b$ signifie $a = b$, ou $a$ dans le segment d'extrémités $x_1, b$, qui est l'intervalle $[b, x_1]$ de l'ordre défini à partir de $x_0$ : c'est $b \leq a$.
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration de la réciproque]
Un segment est un couple $a < b$, de lieux $[a,b]$ et de bord $\{a,b\}$ ; il est déterminé par son bord, la condition $a<b$ fixant l'ordre de la paire. F1 : le sous-segment de $[a,b]$ issu de $a$ d'autre extrémité $z$ est $[a,z]$, celui issu de $b$ est $[z,b]$. F2 : $]a,b[$ est non vide par densité ; si $a < z < b$, $[a,z] \cap [z,b] = \{z\}$, et un intervalle contenu dans $[a,b]$ qui a $z$ pour extrémité est $[z,c] \subset [z,b]$ ou $[c,z] \subset [a,z]$. F3 : si deux segments partent de $x$ vers le haut, $[x,b]$ et $[x,d]$, la filtration décroissante donne $y$ avec $x < y \leq b, d$, et $[x,y]$ est un début commun ; vers le bas, de même par la filtration croissante ; si l'un monte et l'autre descend, $[x,b] \cap [c,x] = \{x\}$. F$'$3 : si $x$ est l'extrémité inférieure de $[x,b]$ et $u, v \in\, ]x,b[$, la filtration décroissante donne $w$ avec $x < w \leq u, v$, d'où $[x,w] \subset [x,u] \cap [x,v]$ ; dualement en l'extrémité supérieure. F4 : si $[x,z]$ et $[y,z]$ sont tous deux sous $z$, la filtration croissante donne $w$ avec $x, y \leq w < z$, qui est dans l'intersection, exclu ; de même s'ils sont tous deux au-dessus ; sinon $x < z < y$ (ou l'inverse) et $[x,y]$ est l'unique segment d'extrémités $x,y$, qui contient $[x,z] \cup [z,y]$. F5 : si $a < x < b$, les segments $[a,x]$ et $[x,b]$ n'ont aucun point intérieur commun, donc ne définissent pas la même branche ; un segment $[x,d]$ définit la même branche que $[x,b]$ : la filtration donne $y$ avec $x < y \leq d, b$, la densité $z$ avec $x < z < y$, et $[x,z]$ est le sous-segment commun ; dualement pour $[c,x]$ et $[a,x]$. Enfin $[\bot,\top] = \mathcal L$, et $a \in [\bot,b]$ équivaut à $a \leq b$.
\end{proof}

\begin{remarque}
Le sens direct n'utilise ni F3 ni F5 : il suffit de F1, F2, F$'$3 et F4. F$'$3 donne les deux filtrations b) et b$'$), comme le dit l'esquisse de la lecture. F4, en un lieu régulier, fait de chaque intervalle un segment ; il intervient dès la comparabilité des extrémités d'un segment. Dans la réciproque, F4 vaut sans son hypothèse de régularité, et la densité et les deux filtrations suffisent à F1--F5 et F$'$3. Les bornes servent seulement à faire de $\mathcal L$ lui-même un segment.
\end{remarque}

\begin{remarque}
L'ordre n'est pas total en général, comme la lecture le signale. Soit, sur $\mathbb Q^2$, l'ordre du cône ouvert, $p \prec q$ si $|q_2 - p_2| < q_1 - p_1$, et soit $T$ l'ensemble des points compris, pour cet ordre, entre $(0,0)$ et $(2,0)$. C'est un ensemble ordonné borné et dense (le milieu de $p \prec q$ est strictement entre eux). Il est localement filtrant dans les deux sens : si $x \prec y_1, y_2$, le point $x + (\varepsilon, 0)$ convient pour $\varepsilon > 0$ assez petit, et dualement $x - (\varepsilon, 0)$. Les points $(1, \tfrac12)$ et $(1, -\tfrac12)$ y sont incomparables. Ses intervalles forment donc un modèle-segment dont l'ordre n'est pas total.
\end{remarque}

Ne sont pas démontrés ici : les corollaires de F1 et F2 hors du modèle-segment et la transitivité de \q{même branche} ; les corollaires~1 et~2 de F4 et l'équivalence F5~$\Leftrightarrow$~F$'$5 ; la restriction (pages~8 et~9) ; l'orientation (pages~14 à~17) ; le contre-exemple de la page~21 et F6 ; les réseaux (pages~23 et~24) ; les pages~24 à~26.
\section[Cote 156-2 : les rives d'une partie fermée]{Cote 156-2 : les rives d'une partie fermée\protect\verifie{Folder156_2}}\label{sec:156-2}

La cote 156-2, chapitre~II de \emph{Vers une géométrie des formes}, dix-huit pages des 6 et 7~juin 1986 intitulées \q{Réalisations topologiques des réseaux}, cherche à couper un espace quelconque le long d'une partie fermée sans le supposer variété ni triangulé. Pour $A$ fermé dans $X$, $j : X \smallsetminus A \hookrightarrow X$, et $\mathrm{Comp}(Z)$ l'anneau booléen des parties ouvertes et fermées de $Z$, la page~14 pose $\mathrm{Riv}(A, X) = \varinjlim_{V \supset A} \mathrm{Comp}(V \smallsetminus A)$, limite sur les voisinages de $A$, et $\widetilde A = \mathrm{Spec}(j_*\mathbf F_2)$ ; la page~15 en tire une application canonique $(*)$ $\mathrm{Riv}(A, X) \to \mathrm{Comp}(\widetilde A)$, \q{injective, et} ajouté au-dessus de \q{bijective si $X$ paracompact} (\lot{156-2}{1}{14}, \lot{156-2}{1}{15}). La lecture prend $\widetilde A \to A$ pour le spectre de Stone relatif de $(j_*\mathbf F_2)|_A$ et note que l'injectivité \q{n'utilise rien}.

On code une partie ouverte et fermée de $V \smallsetminus A$ par son indicatrice, fonction $X \to \mathbf F_2$ localement constante sur $V \smallsetminus A$ ; $\mathrm{Riv}(A, X)$ est l'anneau de leurs germes le long de $A$, la fibre $B_x$ de $j_*\mathbf F_2$ en $x$ celui de leurs germes en $x$ dans $X \smallsetminus A$. On prend pour $\widetilde A$ l'ensemble des couples $(x, \chi)$, $x \in A$, $\chi : B_x \to \mathbf F_2$ un morphisme d'anneaux (un point du spectre de $B_x$), muni de la topologie engendrée par les parties $\{(y, \chi) : y \in W,\ \chi(f_y) = 1\}$, $W$ ouvert et $f$ localement constante sur $W \smallsetminus A$ ; $(*)$ envoie $\rho$ sur $\{(x, \chi) : \chi(\rho_x) = 1\}$.

\begin{theoreme}[D'après les pages 14 et 15, injectivité\piste{156-2-rives-cut-along-closed-set}]
Pour toute partie $A$ de tout espace $X$, l'image de chaque rive par $(*)$ est ouverte et fermée dans $\widetilde A$, $(*)$ est un morphisme d'algèbres de Boole, et $(*)$ est injective. L'anneau $\mathrm{Riv}(A, X)$ est nul si et seulement si $A$ est ouvert.
\end{theoreme}

\noindent L'énoncé tient, sans hypothèse : voir les théorèmes \texttt{toComp\_injective}, \texttt{toComp\_mul}, \texttt{toComp\_one}, \texttt{toSpecSet\_compl} et \texttt{riv\_one\_eq\_zero\_iff} dans \href{\leanblob/Folder156_2.lean}{\texttt{Folder156\_2.\allowbreak{}lean}}. La fermeture de $A$ ne sert pas. Deux germes distincts en $x$ sont séparés par un point du spectre de $B_x$, obtenu ici comme évaluation le long d'un ultrafiltre plus fin que le filtre des voisinages de $x$ dans $X \smallsetminus A$. La dernière assertion est la correction \q{$A$ non ouvert} que la lecture apporte au \q{$A \neq \emptyset$} de la remarque sur les bi-rives. Ne sont pas démontrés : la bijectivité pour $X$ paracompact, l'identification $\mathrm{Comp}(\widetilde A) \simeq \Gamma(A, (j_*\mathbf F_2)|_A)$, le cas régulièrement immergé et l'espace découpé $\overline X$ des pages~16 et~17.
\section[Cote 156-3 : l'intermédiarité se lit sur les découpages]{Cote 156-3 : l'intermédiarité se lit sur les découpages\protect\verifie{Folder156_3}}\label{sec:156-3}

La cote 156-3, chapitre~III de \emph{Vers une géométrie des formes}, quarante pages datées des 8 et 9~juin 1986, intitulée de sa main \q{Réseaux via découpages}, propose une troisième axiomatique des réseaux. Elle se donne des lieux, les paires de lieux en position relative modérée, et pour chaque partie finie modérée $T$ le découpage de son complémentaire modéré $C(T)$ en composantes. La page~8 définit le \emph{tronçon ordonné} : un ensemble ordonné où, pour tout $a$, $\mathcal L_{>a}$ est filtrant décroissant et $\mathcal L_{<a}$ filtrant croissant (a, a$'$), qui est filtrant croissant et décroissant (b), divisible (c) et de cardinal $> 1$ (d). Les 0-sphères y sont les paires comparables $\varepsilon = \{a,b\}$, $a < b$, et les composantes de $C(\varepsilon)$ sont $\mathcal L_{<a}$, $]a,b[$ et $\mathcal L_{>b}$ (\lot{156-3}{1}{8}). Les pages~11 à~13 montrent que l'intermédiarité stricte $\mathcal R$ et la comparabilité déterminent l'ordre à l'opposé près (\lot{156-3}{1}{11}, \lot{156-3}{1}{13}). Le problème est posé page~14 : \q{la connaissance de $\mathrm{Drap}_2(\mathcal{L})$, et [\dots] de la décomp.\ de $C(\varepsilon)$ [\dots] en composantes connexes, implique la connaissance de la relation $\mathcal{R}(a,b,c)$} (\lot{156-3}{1}{14}). La page~15 calcule les trois composantes attachées à $a<b<c$, $X_{\{a,b\}} = \mathcal L_{>b}$, $X_{\{b,c\}} = \mathcal L_{<b}$, $X_{\{c,a\}} = \,]a,c[$. Elle trouve la première intersection vide et les deux autres non vides, \q{divisibilité !}, et conclut \q{On gagne !} (\lot{156-3}{1}{15}).

\noindent\emph{Conventions.} Pour $a, b, c$ on note $\mathcal R(a,b,c)$ si $a < b < c$ ou $c < b < a$, et $\overline{\mathcal R}(a,b,c)$ si $a \leq b \leq c$ ou $c \leq b \leq a$. Pour $a \neq b$ comparables, $C(\{a,b\})$ est l'ensemble des éléments distincts de $a$ et $b$ et comparables aux deux ; deux de ses éléments sont dans le même \emph{morceau} s'ils sont tous deux au-dessous de $a$ et $b$, tous deux strictement entre eux, ou tous deux au-dessus : la relation ne dépend que de la paire. On note $X_{\{a,b\}}(t)$ le morceau de $C(\{a,b\})$ qui contient $t$. La donnée de la page~14 est celle de la comparabilité et, pour chaque paire comparable, de la partition de $C(\varepsilon)$ en morceaux, sans étiquette ; une bijection $e$ entre deux ensembles ordonnés \emph{respecte les découpages} si elle respecte la comparabilité et si, pour toute paire comparable $\{a,b\}$ et tous $s, t \in C(\{a,b\})$, $s$ et $t$ sont dans le même morceau de $C(\{a,b\})$ si et seulement si $e(s)$ et $e(t)$ sont dans le même morceau de $C(\{e(a), e(b)\})$.

\begin{enonce}[Page 15]
Soient $a < b < c$ dans un ensemble ordonné. Alors $X_{\{a,b\}}(c) = \mathcal L_{>b}$, $X_{\{b,c\}}(a) = \mathcal L_{<b}$ et $X_{\{c,a\}}(b) = \,]a,c[$. Si l'ordre est dense et si $p, q, r$ sont deux à deux distincts et comparables, $\mathcal R(p,q,r)$ a lieu si et seulement si $X_{\{p,q\}}(r) \cap X_{\{q,r\}}(p) = \emptyset$.
\end{enonce}

Sur une chaîne $a < b < c$, chaque paire découpe le reste de la chaîne en trois morceaux : au-dessous, entre, au-dessus. Le trait épais est le morceau qui contient le troisième point.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=0.75cm]
\foreach \row/\p/\q/\lo/\hi/\lab in {0/1.5/3/3/6.3/{$X_{\{a,b\}}(c) = \mathcal L_{>b}$}, -1/3/4.5/-0.3/3/{$X_{\{b,c\}}(a) = \mathcal L_{<b}$}, -2/1.5/4.5/1.5/4.5/{$X_{\{c,a\}}(b) = \,]a,c[$}} {
  \draw[gray!60] (-0.3,\row) -- (6.3,\row);
  \draw[line width=2.2pt, blue!55] (\lo,\row) -- (\hi,\row);
  \foreach \x in {1.5,3,4.5} \fill (\x,\row) circle (1.6pt);
  \draw[fill=white] (\p,\row) circle (2.6pt);
  \draw[fill=white] (\q,\row) circle (2.6pt);
  \node[anchor=west] at (6.6,\row) {\lab};
}
\foreach \x/\n in {1.5/a,3/b,4.5/c} \node[below] at (\x,-2.15) {$\n$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
{\small Les cercles blancs sont les deux points de la paire, exclus de $C(\varepsilon)$.\par}

\begin{proof}
Si $b < t$ et $a < b$, un élément $s$ est dans le même morceau que $t$ exactement quand il est au-dessus de $a$ et de $b$ : $t$ n'est ni sous $a$ ni strictement entre $a$ et $b$. Un tel $s$ est dans $C(\{a,b\})$, d'où $X_{\{a,b\}}(c) = \mathcal L_{>b}$ ; de même $X_{\{b,c\}}(a) = \mathcal L_{<b}$, et, la relation étant symétrique en la paire, $X_{\{c,a\}}(b) = \,]a,c[$. Trois éléments deux à deux distincts et comparables forment une chaîne, et l'un des six ordres possibles a lieu. Si $q$ est au milieu, les deux morceaux sont $\mathcal L_{>q}$ et $\mathcal L_{<q}$, disjoints. Si le milieu est $p$, disons $q < p < r$, les morceaux sont $\mathcal L_{>p}$ et $]q,r[$, qui contiennent tous deux un point de $]p,r[$, non vide par densité ; les quatre autres cas sont semblables.
\end{proof}

\begin{enonce}[Pages 11 à 13]
Soient deux ensembles ordonnés filtrants croissants et décroissants, et $e$ une bijection de l'un sur l'autre qui respecte la comparabilité et l'intermédiarité stricte. Alors $e$ est un isomorphisme d'ordres ou un anti-isomorphisme. Plus précisément, si $a < b$, on a $u \leq v$ si et seulement s'il existe $x$ et $y$, avec $x = a$ ou $\mathcal R(b,a,x)$, $y = b$ ou $\mathcal R(a,b,y)$, tels que $\overline{\mathcal R}(x,u,y)$, $\overline{\mathcal R}(x,v,y)$ et $\overline{\mathcal R}(x,u,v)$. Enfin, $\overline{\mathcal R}(a,b,c)$ équivaut à : $\mathcal R(a,b,c)$, ou $b \in \{a,c\}$ avec $a$ et $c$ comparables.
\end{enonce}

\begin{proof}
La condition sur $x$ dit $x \leq a$, celle sur $y$ dit $y \geq b$. Si $u \leq v$, la filtration b) donne $x \leq u, a$ et $y \geq v, b$, et $x \leq u \leq v \leq y$ donne les trois conditions. Inversement, $x \leq a < b \leq y$ donne $x < y$ ; $\overline{\mathcal R}(x,u,y)$ ne peut alors avoir lieu que sous la forme $x \leq u \leq y$, et de même pour $v$ ; si $\overline{\mathcal R}(x,u,v)$ a lieu sous la forme $v \leq u \leq x$, alors $u = x$ et $v \leq x \leq v$, donc $u = v$ ; dans tous les cas $u \leq v$. La forme exacte de $\overline{\mathcal R}$ se vérifie cas par cas. Ainsi $\leq$ s'écrit à partir de $a$, $b$, de $\mathcal R$ et de la comparabilité seuls. Si l'ordre de départ n'a aucun couple $a < b$, c'est l'égalité, et la comparabilité respectée force l'égalité à l'arrivée. Sinon, soit $a < b$ ; $e(a)$ et $e(b)$ sont comparables et distincts. Si $e(a) < e(b)$, la description précédente, transportée par $e$, donne $u \leq v \Leftrightarrow e(u) \leq e(v)$. Si $e(b) < e(a)$, on remplace l'ordre d'arrivée par l'ordre opposé, qui a la même intermédiarité, la même comparabilité, et reste filtrant dans les deux sens.
\end{proof}

\begin{encadre}
\begin{theoreme}[D'après les pages 11 à 15, \emph{l'ordre se lit sur les découpages}, forme complétée par l'édition\piste{156-3-betweenness-from-cuts}]
Une bijection entre deux tronçons ordonnés qui respecte la comparabilité et, pour chaque paire comparable $\varepsilon$, la partition de $C(\varepsilon)$ en morceaux, est un isomorphisme d'ordres ou un anti-isomorphisme. La comparabilité seule n'y suffit pas : sur le tronçon $\mathbb Q$, la transposition de $0$ et $1$ respecte la comparabilité sans être ni croissante ni décroissante.
\end{theoreme}
\end{encadre}

\begin{proof}
D'après l'énoncé de la page~15, appliqué dans les deux tronçons, et parce que $e$ envoie le morceau $X_{\{p,q\}}(r)$ sur le morceau $X_{\{e(p),e(q)\}}(e(r))$, la bijection $e$ respecte l'intermédiarité stricte ; on conclut par l'énoncé des pages~11 à~13. Pour $\mathbb Q$, les conditions a) à d) sont immédiates (minimum, maximum, milieu) ; tout couple y est comparable, et la transposition $\sigma$ de $0$ et $1$ vérifie $\sigma(1) = 0 < 1 = \sigma(0)$, alors que $\sigma(1) = 0 < 2 = \sigma(2)$.
\end{proof}

\begin{remarque}
La seconde phrase de l'énoncé, sur la comparabilité seule, est de l'édition. Des conditions de la page~8, seules la divisibilité c) et la filtration b) servent ; a), a$'$) et d) n'interviennent pas. La divisibilité rend non vides les deux autres intersections de la page~15. La filtration b) sert seulement dans le lemme des pages~11 à~13. Il n'est pas nécessaire de déduire $\mathrm{Drap}_2$ de $\mathcal R$, puisque la comparabilité fait partie des données de la page~14. L'énoncé vaut donc pour tout ensemble ordonné dense et filtrant dans les deux sens.
\end{remarque}

\begin{remarque}
La version large de l'intermédiarité est $\mathcal R(a,b,c)$, ou $b \in \{a,c\}$ \emph{avec $a$ et $c$ comparables}. La forme \q{$\mathcal R(a,b,c)$ ou $b \in \{a,c\}$} que la lecture substitue à la marge de la page~11 est fausse pour $a$ et $c$ incomparables. Dans $\mathbb N^2$ ordonné produit, $\overline{\mathcal R}((0,1),(0,1),(1,0))$ n'a pas lieu. Le lemme de la page~13 ne rencontre pas ce cas, puisqu'il est appliqué avec $x < y$.
\end{remarque}

\begin{remarque}
La reconstruction d'un ordre partiel, à l'opposé près, à partir de son intermédiarité stricte, objet des pages~11 à~13, est étudiée par Courcelle (2020, §~1 et théorème~7) \cite{courcelle2020}, qui cite pour l'axiomatisation J.~Lihová (2000).
\end{remarque}

Ne sont pas démontrés ici : les axiomes des réseaux par découpages (pages~1 à~5) ; les remarques de la page~16 ; les parties modérées fermées (pages~17 à~21) ; la topologie (pages~21 à~24) ; le bord et les pseudo-tronçons (pages~24 à~28) ; l'algèbre des parties modérées (pages~29 à~39).
\section[Cote 156-4 : les parties saturées ne forment pas une algèbre de Boole]{Cote 156-4 : les parties saturées ne forment pas une algèbre de Boole\protect\verifie{Folder156_4}}\label{sec:156-4}

La cote 156-4, chapitre~IV de \emph{Vers une géométrie des formes}, \q{Analysis situs (première mouture)}, est datée de sa main du 10 au 12~juin 1986. Elle part d'un espace stratifié et en dégage peu à peu une structure abstraite : un ensemble ordonné $(\mathcal M, \leq)$ de \emph{multistrates} et une relation symétrique $R$, la \emph{compatibilité}, réflexive et héritée vers le bas. Aux pages~65 à~68, deux multistrates sont \emph{disjointes} si elles sont compatibles et n'ont aucun minorant commun ; le \emph{cosupport} d'une partie $\Phi \subset \mathcal M$ est l'ensemble des multistrates disjointes de tous les éléments de $\Phi$, le \emph{support} est le cosupport du cosupport, et une partie est \emph{saturée} si elle est égale à son support (\lot{156-4}{4}{65}). La page~68 conclut : \q{Je présume qu'on a en fait une algèbre de Boole (\emph{ultra-stonienne}, à cause des Sup quelc.)} (\lot{156-4}{4}{68}).

Une relation symétrique $\perp$ sur un ensemble définit une \emph{polarité}, notion classique : à une partie $\Phi$ on associe $\Phi^\perp$, les éléments orthogonaux à tous ceux de $\Phi$, et les parties fermées sont celles qui vérifient $\Phi^{\perp\perp} = \Phi$. Pour l'orthogonalité dans un espace euclidien, les fermés sont les sous-espaces, et ils ne forment pas une algèbre de Boole. Les axiomes du dossier n'excluent pas ce phénomène.

\begin{enonce}[Lecture, pages 66 et 67, forme générale]
Soient $(\mathcal M, \leq)$ un ensemble ordonné et $R$ une relation symétrique sur $\mathcal M$. Toute intersection de parties saturées est saturée, le cosupport d'une partie quelconque est saturé, et sur les parties saturées le cosupport est une involution qui renverse l'inclusion, avec $S \cap \mathrm{cosupp}(S) = \emptyset$ et $\mathrm{supp}(S \cup \mathrm{cosupp}(S)) = \mathcal M$. Les parties saturées forment donc un treillis complet orthocomplémenté, de borne inférieure l'intersection et de borne supérieure le support de la réunion.
\end{enonce}

\begin{proof}
Écrivons $\Phi'$ pour le cosupport. La disjonction est symétrique, puisque $R$ l'est et que la condition sur les minorants l'est aussi. Si $\Phi \subset \Psi$, alors $\Psi' \subset \Phi'$, et tout élément de $\Phi$ est disjoint de tout élément de $\Phi'$, d'où $\Phi \subset \Phi''$. En appliquant cette inclusion à $\Phi'$, puis la décroissance à $\Phi \subset \Phi''$, on obtient $\Phi''' = \Phi'$ : un cosupport est saturé. Si les $S_i$ sont saturées et $S = \bigcap S_i$, alors $S \subset S_i$ donne $S'' \subset S_i'' = S_i$ pour tout $i$, donc $S'' \subset S$, et l'inclusion inverse est toujours vraie. Aucune multistrate n'est disjointe d'elle-même, puisqu'elle est son propre minorant : $S \cap S' = \emptyset$. Enfin, pour $S$ saturée, un élément disjoint de tout $S \cup S'$ serait dans $S'$ et dans $S'' = S$, ce qui est exclu ; le cosupport de $S \cup S'$ est vide, et le cosupport du vide est $\mathcal M$.
\end{proof}

Le contre-exemple est un modèle à sept éléments : quatre multistrates minimales $a, b, c, d$ et trois multistrates $v_{ab}$, $v_{bc}$, $v_{cd}$, chacune au-dessus de la paire qu'elle indexe. La compatibilité est la relation engendrée par les paires d'éléments d'un même $\mathcal M_{\leq v}$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=1.4cm,y=1.1cm]
\foreach \n/\x in {a/0,b/1,c/2,d/3} \node (\n) at (\x,0) {$\n$};
\node (vab) at (0.5,1) {$v_{ab}$};
\node (vbc) at (1.5,1) {$v_{bc}$};
\node (vcd) at (2.5,1) {$v_{cd}$};
\draw (a) -- (vab) -- (b) -- (vbc) -- (c) -- (vcd) -- (d);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{encadre}
\begin{contrexemple}[Énoncé de l'édition, page 68]
Dans ce modèle, $\leq$ est un ordre, $R$ est réflexive, symétrique et héritée vers le bas, chaque $\mathcal M_{\leq v}$ est formé d'éléments deux à deux compatibles et $\mathcal M$ est connexe, de sorte que la condition C\,4 est vide. Les parties saturées sont exactement
\[
\emptyset, \quad \{b\}, \quad \{c\}, \quad \{a, c\}, \quad \{b, d\}, \quad \mathcal M,
\]
et le treillis qu'elles forment n'est pas distributif : $\{b, d\} \wedge (\{b\} \vee \{c\}) = \{b, d\}$, tandis que $(\{b, d\} \wedge \{b\}) \vee (\{b, d\} \wedge \{c\}) = \{b\}$.
\end{contrexemple}
\end{encadre}

\begin{proof}
Deux éléments sont compatibles quand un même $\mathcal M_{\leq v}$ les contient ; ils sont disjoints quand de plus aucun élément n'est sous les deux. Les paires disjointes sont donc $\{a, b\}$, $\{b, c\}$ et $\{c, d\}$ : les trois $v$ ont un minorant commun avec chacun de leurs voisins, et $a$, $c$ par exemple ne sont pas compatibles. Le cosupport d'une partie est alors l'ensemble des voisins communs à tous ses éléments dans le chemin $a - b - c - d$, et le calcul des cent vingt-huit parties donne la liste annoncée : par exemple $\{b\}' = \{a, c\}$ et $\{a, c\}' = \{b\}$, $\{c\}' = \{b, d\}$ et $\{b, d\}' = \{c\}$, tandis que $\{b, c\}' = \emptyset$. Le support de $\{b\} \cup \{c\}$ est donc $\mathcal M$, et $\{b, d\} \cap \mathcal M = \{b, d\}$. De l'autre côté, $\{b, d\} \cap \{b\} = \{b\}$ et $\{b, d\} \cap \{c\} = \emptyset$, et le support de $\{b\}$ est $\{b\}$. En Lean, la liste des parties saturées et les deux calculs sont vérifiés par énumération exhaustive dans le noyau.
\end{proof}

\begin{remarque}
Le treillis obtenu est un hexagone : deux chaînes $\emptyset \subset \{b\} \subset \{b, d\} \subset \mathcal M$ et $\emptyset \subset \{c\} \subset \{a, c\} \subset \mathcal M$. La lecture notait que la distributivité tombe en général pour une relation symétrique quelconque ; le modèle montre qu'elle tombe déjà sous les hypothèses que le dossier pose sur $(\mathcal M, \leq, R)$ jusqu'à la page~64. Le modèle ne code que cette structure ; les figures et les axiomes C\,1 à C\,3, qui portent sur elles, ne sont pas représentés.
\end{remarque}

Ne sont pas démontrés ici : que les axiomes de disjonction ultérieurs (C\,5 de la page~69, le \q{paquet d'axiomes de disjonction} de la page~85) rétablissent la distributivité ; le cas d'une relation $R$ toujours vraie, où les parties saturées sont les ouverts réguliers de $(\mathcal M, \leq)$ et forment une algèbre de Boole complète.