\section[Cote 136 : le lemme binomial des ombres]{Cote 136 : le lemme binomial des ombres\protect\verifie{Folder136}}\label{sec:136}

La cote 136, \emph{Complexe de De Rham à puissance divisée [conférence de 1976 à l'IHÉS] : notes manuscrites (s.d.)}, que l'inventaire date \q{[à partir de 1975-1976]}, est une liasse de notes autour d'une conférence : le complexe de De Rham à puissances divisées d'un ensemble simplicial, sa cohomologie, ses \q{ombres}, la version duale et les automorphismes. L'algèbre des ombres est $S = k\{T\}$, l'algèbre des polynômes à puissances divisées sur un anneau commutatif $k$, de base les $T^{(i)}$, avec $T^{(i)} T^{(j)} = c_{i,j}\, T^{(i+j)}$, où $c_{i,j} = \binom{i+j}{i}$. Pour un $k$-module $M$ et $N \geq 0$, l'ombre $\omega_N(M) = M \otimes_k S^{+(N)}$, où $S^{+(N)} = \sum_{i \geq N} k\, T^{(i)}$, est un $S$-module gradué. Les pages~19 à~22 démontrent par le critère de Lucas un lemme sur les coefficients binomiaux, le théorème~1 (\lot{136}{2}{22}). La page~22 en tire que $\omega_N$ est pleinement fidèle : un morphisme $\omega_N(M) \to \omega_N(M')$ est une famille $u_i : M \to M'$, $i \geq N$, telle que $c_{i,j}(u_{i+j} - u_i) = 0$, et le théorème~1 dans le groupe $\mathrm{Hom}(M, M')$ la rend constante. Les pages~26 à~31 étendent le théorème au degré $i$, sous la forme qu'en donne la lecture : l'homomorphisme $M \otimes_k S \to \varphi_N \tau_N(M \otimes_k S)$ est un isomorphisme, $\varphi_N$ adjoint à droite de la troncature, et cela revient à un énoncé sur des familles d'éléments d'un groupe abélien (\lot{136}{2}{26}). Dans la démonstration du théorème~1, la phrase qui vérifie les hypothèses du lemme~2 finit sur un mot illisible. Les noms de Lucas et de Kummer sont de la lecture.

\begin{theoreme}[Grothendieck, page 22, théorème~1\piste{136-shadow-full-faithfulness}]\label{thm:136-1}
Soient $E$ un groupe abélien, $N \in \mathbf N$ et $(x_i)_{i \in \mathbf N}$ une famille d'éléments de $E$ telle que $\binom{j}{i}(x_j - x_i) = 0$ pour $j > i \geq N$. Alors $x_i = x_N$ pour tout $i \geq N$.
\end{theoreme}

\begin{theoreme}[D'après les pages 26 à 31, la forme en degré $i$, sous une forme plus générale\piste{136-shadow-full-faithfulness}]\label{thm:136-i}
Soient $i, N \in \mathbf N$, $M$ un groupe abélien et $(\xi_k)_{k \geq N}$ une famille d'éléments de $M$ telle que $c_{l,k}\, \xi_k = c_{l,k-i}\, \xi_{k+l}$ pour tous $k \geq N$ et $l \geq 0$. Il existe un unique $\xi \in M$ tel que $\xi_k = \binom{k}{i} \xi$ pour tout $k \geq N$.
\end{theoreme}

La lecture suppose $i \leq N$, pour que $c_{l,k-i}$ ait un sens ; on lit ici $k - i$ comme une soustraction tronquée à~$0$, et l'énoncé vaut pour tout~$i$. Pour $i = 0$, la relation s'écrit $c_{l,k}(\xi_{k+l} - \xi_k) = 0$, et le théorème~\ref{thm:136-i} donne le théorème~\ref{thm:136-1}, puisque $\binom{k}{0} = 1$. On démontre donc le second. La démonstration n'est pas celle de la page : elle ne localise pas et ne passe pas par le décalage des chiffres $p$-adiques du lemme~2.

\begin{lemme}\label{lem:136-retenue}
Soient $p$ premier, $r \geq 0$ et $0 \leq b \leq p^r - 1$. Alors $\binom{p^r - 1}{b} \equiv (-1)^b \pmod p$ ; en particulier $p$ ne divise pas $\binom{p^r - 1}{b}$.
\end{lemme}

\general{ChoosePrimePowSubOne}

C'est le \q{lemme commun} de la page~31 : quand $\mu + \nu = p^r - 1$, aucune retenue n'est possible et $c_{\mu,\nu} \not\equiv 0 \pmod p$.

\begin{lemme}\label{lem:136-identite}
Pour tous $k, l, i \in \mathbf N$, $\binom{k+l}{l} \binom{k}{i} = \binom{k+l}{i} \binom{k+l-i}{l}$, la soustraction étant tronquée.
\end{lemme}

\begin{proof}
Si $i \leq k$, les deux membres valent $(k+l)!/(l!\, i!\, (k-i)!)$. Si $i > k$, le premier membre est nul, et le second aussi : pour $l = 0$, $\binom{k}{i} = 0$ ; pour $l > 0$, $k + l - i < l$.
\end{proof}

\begin{lemme}\label{lem:136-ordre}
Soit $z$ un élément d'un groupe abélien tel que, pour tout nombre premier $p$, un entier $c$ non divisible par $p$ vérifie $cz = 0$. Alors $z = 0$.
\end{lemme}

\begin{proof}
Soit $d$ l'ordre de $z$, éventuellement nul. Si $d \neq 1$, soit $p$ le plus petit facteur premier de $d$ ($p = 2$ si $d = 0$). L'entier $c$ associé à $p$ vérifie $cz = 0$, donc $d \mid c$, et $p \mid c$, contradiction. Donc $d = 1$ et $z = 0$.
\end{proof}

\begin{lemme}\label{lem:136-croise}
Sous les hypothèses du théorème~\ref{thm:136-i}, $\binom{k}{i} \xi_{k'} = \binom{k'}{i} \xi_k$ pour tous $k, k' \geq N$.
\end{lemme}

\begin{proof}
Soit $z = \binom{k}{i} \xi_{k'} - \binom{k'}{i} \xi_k$, et soit $p$ premier. Choisissons $r$ tel que $K = p^r - 1 \geq k + k'$. La relation pour $(k, K - k)$ et pour $(k', K - k')$ s'écrit $u\, \xi_k = a\, \xi_K$ et $u'\, \xi_{k'} = a'\, \xi_K$, avec $u = \binom{K}{K-k}$, $a = \binom{K - i}{K - k}$, $u' = \binom{K}{K-k'}$, $a' = \binom{K-i}{K-k'}$. Le lemme~\ref{lem:136-identite} donne $u \binom{k}{i} = \binom{K}{i}\, a$ et $u' \binom{k'}{i} = \binom{K}{i}\, a'$. Alors
\[ u u' z = \tbinom{k}{i} u \cdot u' \xi_{k'} - \tbinom{k'}{i} u' \cdot u \xi_k = \tbinom{K}{i}\, a a'\, \xi_K - \tbinom{K}{i}\, a' a\, \xi_K = 0, \]
et $p$ ne divise pas $u u'$ par le lemme~\ref{lem:136-retenue}. Le lemme~\ref{lem:136-ordre} conclut.
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration du théorème~\ref{thm:136-i}]
Les $\binom{k}{i}$, $k \geq N$, engendrent l'idéal unité de $\mathbf Z$. En effet, cet idéal est principal, de générateur $g \geq 0$ ; si $g \neq 1$, soit $p$ un facteur premier de $g$ ($p = 2$ si $g = 0$) et $r$ tel que $p^r - 1 \geq N + i$. Alors $g$ divise $\binom{p^r - 1}{i}$, que $p$ ne divise pas par le lemme~\ref{lem:136-retenue}, contradiction. Il existe donc des $k_1, \ldots, k_n \geq N$ et des entiers $m_1, \ldots, m_n$ tels que $\sum_\alpha m_\alpha \binom{k_\alpha}{i} = 1$. Posons $\xi = \sum_\alpha m_\alpha\, \xi_{k_\alpha}$. Pour $k \geq N$, le lemme~\ref{lem:136-croise} donne
\[ \tbinom{k}{i} \xi = \sum_\alpha m_\alpha \tbinom{k}{i} \xi_{k_\alpha} = \sum_\alpha m_\alpha \tbinom{k_\alpha}{i} \xi_k = \xi_k . \]
Si $\eta$ vérifie aussi $\xi_k = \binom{k}{i} \eta$ pour tout $k \geq N$, alors $\eta = \sum_\alpha m_\alpha \binom{k_\alpha}{i} \eta = \sum_\alpha m_\alpha \xi_{k_\alpha} = \xi$.
\end{proof}

\begin{remarque}
Les deux énoncés tiennent tels que la lecture les donne. La combinaison de Bézout qui définit $\xi$ et en donne l'unicité est celle de la page~27 ; le reste diffère. La page se ramène à un $\mathbf Z_{(p)}$-module, retranche la solution évidente et procède en deux lemmes sur les unités parmi les $c_{i,j}$. Ici, un seul indice $K = p^r - 1$ au-dessus de $k$ et $k'$ relie directement $\xi_k$ et $\xi_{k'}$, et le lemme~\ref{lem:136-ordre} remplace la localisation. Le théorème~1 de la page~22 se ramène lui aussi au lemme~2, $\mathbf Z_{(p)}$-local et pour un ensemble fini d'indices ; il est obtenu ici comme le cas $i = 0$. La pleine fidélité de $\omega_N$ en est l'instance dans le groupe des homomorphismes $M \to M'$, que le fichier énonce sur les familles d'homomorphismes, sans les modules gradués. La piste demande si le lemme ou la pleine fidélité figurent dans la littérature sur les modules sur les algèbres à puissances divisées ; sa partie modulaire n'est démontrée ici que sur les coefficients.
\end{remarque}

Ne sont pas démontrés ici : le critère de Lucas et le lemme~2 sous leur forme $p$-adique (pages~19 à~22) ; la pleine fidélité de $\omega_N$ et l'isomorphisme $M \otimes_k S \to \varphi_N \tau_N(M \otimes_k S)$ comme énoncés sur les $S$-modules gradués ; le corollaire $\operatorname{Ext}^n(\tau_{N-i}(S)[-i], M \otimes_k S) = 0$ et la pleine fidélité dans la catégorie dérivée (pages~262 à~272) ; la cohomologie des formes à puissances divisées et le schéma en groupes des automorphismes, dont les pistes figurent à la fin de la partie.
\section[Cote 106 : catégories à cofibrations, factorisation de Brown et critère $(\star\star)$]{Cote 106 : catégories à cofibrations, factorisation de Brown et critère $(\star\star)$\protect\verifie{Folder106}}\label{sec:106}

La cote 106, \emph{[Champs (stacks) 3] : notes manuscrites (s.d.)}, seize pages que l'inventaire date \q{[à partir de 1982]}, est faite de huit feuillets de bloc entre lesquels sont intercalées des feuilles de listing ; certaines portent les dates d'impression des 24 et 25~août 1982. Elle s'ouvre sur \q{Soit $(\mathcal{C}, W, \mathrm{cof})$ une catégorie satisfaisant à C1 : C3 de Baues}, construit le remplacement cofibrant et invoque le \q{weak lifting lemma} (\lot{106}{1}{1}). La page~9 factorise une équivalence faible entre objets cofibrants et note en marge \q{On utilise $y \in \mathcal{C}_{\mathrm{cof}}$ ici} (\lot{106}{1}{9}). La page~11 écrit : \q{Mais je doute qu'il ne suffise d'inverser les équiv.\ faibles \emph{cofibrantes}, pour que les équiv.\ faibles deviennent inversibles !} (\lot{106}{1}{11}).

\begin{definition}
Une \emph{catégorie à cofibrations} est une catégorie $\mathcal C$ à objet initial $\emptyset$, munie de deux classes de flèches, les équivalences faibles $W$ et les cofibrations $\mathrm{cof}$, qui vérifient les axiomes C1 à C3 des catégories à cofibrations de Baues \cite{baues1989}, tels que la lecture les rappelle : C1, les isomorphismes sont dans $W$ et dans $\mathrm{cof}$, les composés de cofibrations sont des cofibrations, et $W$ satisfait au deux-sur-trois ; C2, pour une cofibration $c : b \to a$ et une flèche $u : b \to y$, la somme amalgamée $a \vee_b y$ existe, la flèche $y \to a \vee_b y$ est une cofibration, et une équivalence faible si $c$ en est une, et la flèche $a \to a \vee_b y$ est une équivalence faible si $u$ en est une ; C3, toute flèche se factorise en une cofibration suivie d'une équivalence faible. Un objet $x$ est \emph{cofibrant} si $\emptyset \to x$ est une cofibration. On note $W_0 = W \cap \mathrm{cof}$.
\end{definition}

\begin{enonce}[Remplacement cofibrant et relèvement faible, page 1]
Pour tout objet $x$, il existe $\alpha_x : \widetilde x \to x$ dans $W$ avec $\widetilde x$ cofibrant. Soient $f : x \to y$, et $\alpha_x : \widetilde x \to x$, $\alpha_y : \widetilde y \to y$ dans $W$ avec $\widetilde x$ et $\widetilde y$ cofibrants. Il existe $i : \widetilde y \to \widetilde y'$ dans $\mathrm{cof} \cap W$, $\alpha'_y : \widetilde y' \to y$ dans $W$ avec $\alpha_y = \alpha'_y\, i$, et $\widetilde f : \widetilde x \to \widetilde y'$ avec $\alpha'_y \widetilde f = f \alpha_x$.
\end{enonce}

\begin{enonce}[Factorisation, page 9]
Soient $x, y$ cofibrants et $f : x \to y$ dans $W$. En factorisant $(f, 1_y) : x \sqcup y \to y$ en une cofibration $x \sqcup y \to \bar x$ suivie d'une équivalence faible $\alpha : \bar x \to y$, et en notant $i$ et $g$ les composés de $x \to x \sqcup y$ et $y \to x \sqcup y$ avec $x \sqcup y \to \bar x$, on a $\alpha i = f$, $\alpha g = 1_y$ et $i, g \in \mathrm{cof} \cap W$.
\end{enonce}

\[
\begin{tikzcd}
x \arrow[r] \arrow[rd, "i"'] & x \sqcup y \arrow[d, "\mathrm{cof}"] & y \arrow[l] \arrow[ld, "g"] \\
& \bar x \arrow[d, "\alpha\, \in\, W"] & \\
& y &
\end{tikzcd}
\qquad \alpha i = f, \quad \alpha g = 1_y.
\]

\begin{enonce}[Le doute levé, page 11]
Si tous les objets de $\mathcal C$ sont cofibrants, le foncteur $W_0^{-1}\mathcal C \to W^{-1}\mathcal C$ est un isomorphisme de catégories.
\end{enonce}

\begin{lemme}\label{lem:106-cof}
Si $x$ est cofibrant et $i : x \to z$ une cofibration, $z$ est cofibrant.
\end{lemme}

\begin{proof}
Par initialité, $\emptyset \to z$ est le composé de $\emptyset \to x$ et de $i$, qui est une cofibration par C1.
\end{proof}

\begin{lemme}\label{lem:106-somme}
Soient $p : a \to y$ et $q : b \to y$, avec $b$ cofibrant. La somme $a \sqcup b$ existe ; factorisons $(p, q) : a \sqcup b \to y$ par C3 en une cofibration $c : a \sqcup b \to z$ suivie de $w : z \to y$ dans $W$, et notons $j_a$, $j_b$ les composés de $c$ avec les injections de $a$ et de $b$. Alors $w j_a = p$, $w j_b = q$, $j_a$ est une cofibration, et $j_b$ en est une si $a$ est cofibrant.
\end{lemme}

\begin{proof}
La somme $a \sqcup b$ est la somme amalgamée de $\emptyset \to b$ et de $\emptyset \to a$ ; comme $\emptyset \to b$ est une cofibration, elle existe par C2, et l'injection $a \to a \sqcup b$ est une cofibration. Donc $j_a$ en est une par C1. Les égalités $w j_a = p$ et $w j_b = q$ résultent de $wc = (p, q)$. Si $a$ est cofibrant, le même carré, lu dans l'autre sens, fait de $b \to a \sqcup b$ une cofibration, et $j_b$ en est une.
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration du remplacement cofibrant et du relèvement faible]
Par C3, $\emptyset \to x$ se factorise en une cofibration $\emptyset \to \widetilde x$ suivie de $\alpha_x : \widetilde x \to x$ dans $W$ ; par initialité, la cofibration est la flèche $\emptyset \to \widetilde x$, et $\widetilde x$ est cofibrant.

Pour le relèvement, appliquons le lemme~\ref{lem:106-somme} à $a = \widetilde y$, $b = \widetilde x$, $p = \alpha_y$ et $q = f \alpha_x$ ; c'est la factorisation de $(\alpha_y, f\alpha_x) : \widetilde y \vee \widetilde x \to y$ que propose la lecture. Posons $\widetilde y' = z$, $i = j_a$, $\alpha'_y = w$ et $\widetilde f = j_b$. Alors $i$ est une cofibration, parce que $\widetilde x$ est cofibrant ; $\alpha'_y \in W$ ; $\alpha'_y\, i = \alpha_y$ et $\alpha'_y \widetilde f = f\alpha_x$. Comme $\alpha'_y$ et $\alpha'_y\, i = \alpha_y$ sont dans $W$, $i$ y est par deux-sur-trois. Enfin $\widetilde y'$ est cofibrant par le lemme~\ref{lem:106-cof}, puisque $\widetilde y$ l'est.
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration de la factorisation]
Appliquons le lemme~\ref{lem:106-somme} à $a = x$, $b = y$, $p = f$ et $q = 1_y$, et posons $\bar x = z$, $\alpha = w$, $i = j_a$, $g = j_b$. Alors $\alpha i = f$ et $\alpha g = 1_y$ ; $i$ est une cofibration parce que $y$ est cofibrant, et $g$ en est une parce que $x$ l'est. Comme $\alpha$ et $\alpha g = 1_y$, isomorphisme, sont dans $W$, $g \in W$ par deux-sur-trois ; comme $\alpha$ et $\alpha i = f$ sont dans $W$, $i \in W$.
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration de l'énoncé de la page 11]
Montrons d'abord que tout foncteur $F : \mathcal C \to \mathcal D$ qui rend inversibles les flèches de $W_0$ rend inversibles celles de $W$. Soit $f : x \to y$ dans $W$ ; $x$ et $y$ sont cofibrants, et la factorisation de la page~9 donne $f = \alpha i$ et $\alpha g = 1_y$ avec $i, g \in W_0$. Alors $F(g)$ est inversible et $F(\alpha) F(g) = 1$, donc $F(\alpha) = F(g)^{-1}$ est inversible, et $F(f) = F(\alpha) F(i)$ aussi.

Soient $Q_0 : \mathcal C \to W_0^{-1}\mathcal C$ et $Q : \mathcal C \to W^{-1}\mathcal C$ les foncteurs de localisation. Comme $W_0 \subseteq W$, $Q$ rend inversibles les flèches de $W_0$, et la propriété universelle de $Q_0$ donne un unique $\bar F : W_0^{-1}\mathcal C \to W^{-1}\mathcal C$ tel que $\bar F Q_0 = Q$. Par ce qui précède, $Q_0$ rend inversibles les flèches de $W$, d'où un unique $\bar G : W^{-1}\mathcal C \to W_0^{-1}\mathcal C$ tel que $\bar G Q = Q_0$. Alors $\bar G \bar F Q_0 = Q_0$ et $\bar F \bar G Q = Q$, et l'unicité dans les deux propriétés universelles donne $\bar G \bar F = \mathrm{id}$ et $\bar F \bar G = \mathrm{id}$.
\end{proof}

\begin{remarque}
Dans le relèvement faible, l'hypothèse $\alpha_x \in W$ ne sert pas. L'hypothèse $\widetilde y$ cofibrant sert seulement à rendre $\widetilde y'$ cofibrant ; la lecture s'en sert sans le dire quand elle place $[i]^{-1}[\widetilde f]$ dans $W_{\mathrm{cof}}^{-1}\mathcal C_{\mathrm{cof}}$.
\end{remarque}

\begin{remarque}
Dans la factorisation, $f \in W$ sert seulement à mettre $i$ dans $W$. Pour toute $f$ entre objets cofibrants, on obtient encore $i \in \mathrm{cof}$, $g \in \mathrm{cof} \cap W$ et $\alpha \in W$. C'est le lemme de factorisation de K.~S.~Brown, publié en 1973 \cite{brown1973}.
\end{remarque}

\begin{remarque}
Pour ces trois énoncés, seules servent, dans C2, l'existence des sommes amalgamées le long d'une cofibration et la stabilité des cofibrations par changement de base. Les deux clauses de C2 sur les équivalences faibles, et la clause de C1 qui fait des isomorphismes des cofibrations, ne servent pas.
\end{remarque}

\begin{remarque}
Lorsque tous les objets sont cofibrants, cadre où se place la page depuis la réduction de la page~5, le doute de la page~11 n'est pas fondé. L'argument est celui de la lecture, et tous ses éléments sont sur la page~9.
\end{remarque}

La page~11 rectifie la définition des diagrammes : la condition de cofibration passe de la flèche de retour à la flèche d'aller (\lot{106}{1}{11}). Les pages~13 à~15 comparent deux factorisations d'une même flèche et posent la condition~$(\star\star)$ sur deux sections d'une équivalence faible. Elles concluent : \q{Cette condition est (nec.\ et) suffis.\ pour que $\widetilde{\mathcal{C}} \to W^{-1}\mathcal{C}$ soit \emph{fidèle} (donc un iso)} (\lot{106}{1}{15}). La suffisance n'est pas écrite.

\begin{definition}
Soient $x, y$ deux objets. On note $\mathrm{Ch}'_0(x, y)$ la catégorie des diagrammes $x \xrightarrow{f} \widetilde y \xleftarrow{i} y$ avec $f \in \mathrm{cof}$ et $i \in W$, une flèche $(f, i) \to (f', i')$ étant une $u : \widetilde y \to \widetilde y'$ telle que $uf = f'$ et $ui = i'$ ; deux diagrammes sont dans la même \emph{composante connexe} s'ils sont reliés par la relation d'équivalence qu'engendre l'existence d'une telle flèche. Pour $(f, i) \in \mathrm{Ch}'_0(x, y)$ et $(g, j) \in \mathrm{Ch}'_0(y, z)$, soit $P$ la somme amalgamée de $\widetilde y \xleftarrow{i} y \xrightarrow{g} \widetilde z$, qui existe par C2 puisque $g$ est une cofibration, et soient $g' : \widetilde y \to P$, $k : \widetilde z \to P$ ses flèches ; on pose $(g, j) \circ (f, i) = (g' f, k j)$. La catégorie $\widetilde{\mathcal C}'$ a pour objets ceux de $\mathcal C$ et pour flèches $x \to y$ les composantes connexes de $\mathrm{Ch}'_0(x, y)$, l'unité de $x$ étant la composante de $(1_x, 1_x)$. Le foncteur $q' : \widetilde{\mathcal C}' \to W^{-1}\mathcal C$ est l'identité sur les objets et envoie la composante de $(f, i)$ sur $[i]^{-1}[f]$. La condition $(\star\star)$ est la suivante : pour toute $f : x \to y$ dans $W$ et deux sections $i, i'$ de $f$ ($f i = f i' = 1_y$), les diagrammes $(1_x, i)$ et $(1_x, i')$ sont dans la même composante connexe de $\mathrm{Ch}'_0(x, y)$.
\end{definition}

\begin{encadre}
\begin{theoreme}[D'après les pages 11 à 15, le critère $(\star\star)$, forme complétée par l'édition\piste{106-section-criterion-span-faithfulness}]
Supposons tous les objets de $\mathcal C$ cofibrants. Alors $\widetilde{\mathcal C}'$ est une catégorie et $q'$ un foncteur, et $q'$ est fidèle si et seulement si $(\star\star)$ est vérifiée. Plus précisément : si $q'$ est fidèle, $(\star\star)$ est vérifiée ; et $q'$ est fidèle et plein, et c'est un isomorphisme de catégories, sans autre hypothèse. En particulier, $(\star\star)$ est toujours vérifiée.
\end{theoreme}
\end{encadre}

\begin{lemme}\label{lem:106-cat}
La composition de $\widetilde{\mathcal C}'$ est bien définie sur les composantes, associative, et admet les composantes des $(1_x, 1_x)$ pour unités ; $q'$ est bien défini et c'est un foncteur.
\end{lemme}

\begin{proof}
La flèche $k$ est une équivalence faible par C2, comme somme amalgamée de l'équivalence faible $i$ le long de la cofibration $g$, donc $kj \in W$ ; $g'$ est une cofibration par C2, donc $g' f$ en est une. Si $u : (f, i) \to (f_1, i_1)$, la flèche $P \to P_1$ induite par $u$ sur $\widetilde y$ et l'identité sur $\widetilde z$ est une flèche entre les deux composés ; de même si $v : (g, j) \to (g_1, j_1)$, avec $v$ sur $\widetilde z$ et l'identité sur $\widetilde y$. La composition passe donc aux composantes. Pour trois diagrammes, la propriété universelle des sommes amalgamées donne une flèche du sommet de $((h, l) \circ (g, j)) \circ (f, i)$ vers celui de $(h, l) \circ ((g, j) \circ (f, i))$ compatible aux deux diagrammes, d'où l'associativité. Pour les unités, $(1_y, 1_y) \circ (f, i)$ a pour sommet la somme amalgamée de $i$ et de $1_y$, et la flèche $\widetilde y \to P$ relie $(f, i)$ à ce composé ; de même à gauche. Si $u : (f, i) \to (f', i')$, alors $u \in W$ par deux-sur-trois et $[i']^{-1}[f'] = [ui]^{-1}[uf] = [i]^{-1}[f]$. Enfin, le carré $g' i = k g$ donne, dans la localisation, $[k]^{-1}[g'] = [g][i]^{-1}$, d'où $q'((g, j) \circ (f, i)) = [kj]^{-1}[g' f] = [j]^{-1}[k]^{-1}[g'][f] = [j]^{-1}[g][i]^{-1}[f]$.
\end{proof}

\begin{lemme}\label{lem:106-composante}
Soit $F : x \to z$, et soient $x \sqcup z \xrightarrow{c} \bar z \xrightarrow{\alpha} z$ une factorisation de $(F, 1_z)$ par C3, $c$ cofibration, $\alpha \in W$, et $(F_0, g)$ le diagramme $x \to \bar z \leftarrow z$ que forment les composés de $c$ avec les injections. Si $(f, i) \in \mathrm{Ch}'_0(x, z)$ admet $\psi : \widetilde z \to z$ avec $\psi i = 1_z$ et $\psi f = F$, alors $(f, i)$ et $(F_0, g)$ sont dans la même composante.
\end{lemme}

\begin{proof}
Le diagramme $(F_0, g)$ est dans $\mathrm{Ch}'_0(x, z)$ : $F_0$ est une cofibration (lemme~\ref{lem:106-somme}, $z$ étant cofibrant), et $g \in W$ par deux-sur-trois, puisque $\alpha g = 1_z$. Soit $h = (f, i) : x \sqcup z \to \widetilde z$, et soit $Q$ la somme amalgamée de $c$ et de $h$, qui existe puisque $c$ est une cofibration ; la flèche $\widetilde z \to Q$ est une cofibration. Les flèches $\alpha$ et $\psi$ coïncident sur $x \sqcup z$ après $c$ et $h$ (sur $x$, $\alpha F_0 = F = \psi f$ ; sur $z$, $\alpha g = 1_z = \psi i$) et induisent $\theta : Q \to z$. Factorisons $\theta$ par C3 en une cofibration $\kappa : Q \to R$ suivie de $\beta : R \to z$ dans $W$. Le diagramme $(f_R, i_R)$ obtenu en composant $(f, i)$ avec $\widetilde z \to Q \xrightarrow{\kappa} R$ est dans $\mathrm{Ch}'_0(x, z)$ : $f_R$ est un composé de cofibrations, et $\beta i_R = \psi i = 1_z$ met $i_R$ dans $W$ par deux-sur-trois. La flèche $\widetilde z \to R$ va de $(f, i)$ à $(f_R, i_R)$ ; la flèche $\bar z \to Q \to R$ va de $(F_0, g)$ à $(f_R, i_R)$, puisque le carré de la somme amalgamée identifie les composés de $c$ et de $h$.
\end{proof}

\begin{lemme}\label{lem:106-phi}
Choisissons pour toute $F$ une factorisation comme au lemme~\ref{lem:106-composante}, et notons $\varphi(F)$ la composante de $(F_0, g)$, qui n'en dépend pas. Alors $\varphi : \mathcal C \to \widetilde{\mathcal C}'$ est un foncteur, $\varphi(f)$ est la composante de $(f, 1)$ pour toute cofibration $f$, $\varphi$ rend inversibles les flèches de $W$, et pour $w : y \to \widetilde y$ dans $W$ la composante de $(1_{\widetilde y}, w)$ est l'inverse de $\varphi(w)$.
\end{lemme}

\begin{proof}
Tout repose sur le lemme~\ref{lem:106-composante}. Avec $\psi = 1_x$, $\varphi(1_x)$ est l'unité, et avec $\psi = 1$, $\varphi(f)$ est la composante de $(f, 1)$ si $f$ est une cofibration. Pour $f : x \to y$ et $h : y \to z$, de diagrammes $(F_0, g)$, $\alpha$ et $(H_0, g')$, $\alpha'$, le composé de $(F_0, g)$ et de $(H_0, g')$ a pour sommet la somme amalgamée de $g$ et de $H_0$, et $\psi = (\alpha', h\alpha)$ y est bien défini ($\alpha' H_0 = h = h \alpha g$) et vérifie les deux conditions pour $hf$ : d'où $\varphi(hf) = \varphi(h)\varphi(f)$. Pour $w : y \to \widetilde y$ dans $W$, de diagramme $(W_0, g)$ et $\alpha$, le composé $\varphi(w) \circ (1_{\widetilde y}, w)$, c'est-à-dire $(W_0, g) \circ (1_{\widetilde y}, w)$, de sommet la somme amalgamée de $w$ et de $W_0$, admet $\psi = (1_{\widetilde y}, \alpha)$ pour $F = 1_{\widetilde y}$ : la composante de $(1_{\widetilde y}, w)$ est un inverse à droite de $\varphi(w)$. Si de plus $w \in \mathrm{cof}$, $\varphi(w)$ est la composante de $(w, 1)$, et le composé $(1_{\widetilde y}, w) \circ (w, 1)$ est $(k w, k' w)$, de sommet la somme amalgamée de $1_{\widetilde y}$ et de $1_{\widetilde y}$, où $k = k'$ ; la flèche $k w$ le relie à $(1_y, 1_y)$. Donc $\varphi$ rend inversibles les flèches de $W_0$, et par l'argument de la page~11 (démonstration de l'énoncé de la page~11) celles de $W$ ; l'inverse à droite est alors l'inverse.
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration du critère]
\emph{Nécessité.} Soient $f : x \to y$ dans $W$ et $i, i'$ deux sections de $f$. De $f i = 1_y$ on tire $[i]^{-1} = [f]$, donc $q'(1_x, i) = [i]^{-1} = [f] = [i']^{-1} = q'(1_x, i')$ ; si $q'$ est fidèle, $(1_x, i)$ et $(1_x, i')$ sont dans la même composante. C'est l'argument de la lecture.

\emph{$q'$ est un isomorphisme.} Pour toute $F$, le diagramme $(F_0, g)$ admet $\alpha$, avec $\alpha g = 1_z$, d'où $q'\varphi(F) = [g]^{-1}[F_0] = [\alpha][F_0] = [F]$ : $q' \varphi = Q$. Par le lemme~\ref{lem:106-phi} et la propriété universelle de $Q$, il existe un unique $\bar\varphi : W^{-1}\mathcal C \to \widetilde{\mathcal C}'$ avec $\bar\varphi Q = \varphi$. Alors $q' \bar\varphi Q = q'\varphi = Q$, donc $q' \bar\varphi = \mathrm{id}$ par unicité. D'autre part, la composante de $(f, i)$ est le composé $(1_{\widetilde y}, i) \circ (f, 1)$ (le sommet du composé est la somme amalgamée de $1_{\widetilde y}$ et de $1_{\widetilde y}$), c'est-à-dire $\varphi(i)^{-1}\varphi(f)$ par le lemme~\ref{lem:106-phi} ; donc $\bar\varphi q'(f, i) = \bar\varphi([i])^{-1}\bar\varphi([f]) = \varphi(i)^{-1}\varphi(f)$ est la composante de $(f, i)$, et $\bar\varphi q' = \mathrm{id}$. Ainsi $q'$ est un isomorphisme de catégories, d'inverse $\bar\varphi$ : il est fidèle et plein, et $(\star\star)$ suit de la nécessité.
\end{proof}

\begin{remarque}
L'énoncé de la piste tient tel qu'il est écrit, et ses deux membres sont vrais : sous C1--C3, tous les objets étant cofibrants, $q'$ est un isomorphisme et $(\star\star)$ est toujours vérifiée. La page énonce le critère ; l'isomorphisme sans autre hypothèse est de l'édition. Les pages~13 à~15 factorisent $f$ seule, puis lui choisissent une section, et doivent alors comparer deux sections. La démonstration ci-dessus suit un autre chemin : elle factorise $(F, 1_z)$ hors de $x \sqcup z$, comme la page~9 ; la section fait alors partie de la cofibration, et toute comparaison passe par le lemme~\ref{lem:106-composante}. La preuve ne dit rien de la littérature, où une description des flèches de $W^{-1}\mathcal C$ par composantes de diagrammes de ce type peut figurer, et la question de la piste reste ouverte.
\end{remarque}

\begin{remarque}
La composition de $\widetilde{\mathcal C}'$ utilise la clause de C2 que la lecture signale : la somme amalgamée d'une équivalence faible le long d'une cofibration est une équivalence faible. L'autre clause de C2 sur les équivalences faibles ne sert nulle part. La clause de C1 qui fait des isomorphismes des cofibrations sert ici, car l'unité $(1_x, 1_x)$ et les diagrammes $(1_x, i)$ de $(\star\star)$ demandent $1_x \in \mathrm{cof}$. L'hypothèse que tous les objets sont cofibrants sert deux fois : pour que les injections de $x \sqcup z$ soient des cofibrations, et pour que $\varphi$ rende inversibles toutes les flèches de $W$.
\end{remarque}

Ne sont pas démontrés ici : l'équivalence $W_{\mathrm{cof}}^{-1}\mathcal C_{\mathrm{cof}} \simeq W^{-1}\mathcal C$ et la proposition de la page~5 ; $\mathrm{Ch}_0$, $\widetilde{\mathcal C}$ et la plénitude de $q$ (pages~5 à~9) ; la construction de la page~13 et la comparaison des factorisations (pages~13 à~15).
\section[Cote 114 : les localisateurs fondamentaux et la proposition 4]{Cote 114 : les localisateurs fondamentaux et la proposition 4\protect\verifie{Folder114}}\label{sec:114}

La cote 114, \emph{Asphéricité : notes manuscrites (s.d.)}, cinq pages que l'inventaire date \q{[1983]}, contient quatre feuillets manuscrits et une page dactylographiée de \emph{À la poursuite des champs}, numérotée~350. La page~2 pose la question \q{$0$-connexité totale $\Rightarrow$ asphéricité totale ?} (\lot{114}{1}{2}). La page~350 y répond par la proposition~4, précédée de l'aveu \q{After a minute's thought, I feel very silly}. La démonstration qui suit tient en trois lignes ; ses signes d'implication sont laissés en blanc, et elle s'interrompt sur \q{namely} (\lot{114}{1}{3}). La page énonce la proposition pour \q{$W$ a basic localizer satisfying Loc 4)} et appelle $W_0$ \q{the coarsest basic localizer satisfying Loc 4)}.

\begin{definition}
On fixe un univers ; une petite catégorie est une catégorie dont les objets et les flèches forment des ensembles de cet univers, et $e$ désigne la catégorie ponctuelle. Pour des foncteurs $v : A \to B$ et $w : B \to C$ et un objet $c$ de $C$, on note $A_{/c}$ la catégorie des couples $(a, \gamma : wv(a) \to c)$, $B_{/c}$ celle des couples $(b, \beta : w(b) \to c)$, et $v_{/c} : A_{/c} \to B_{/c}$ le foncteur $(a, \gamma) \mapsto (v(a), \gamma)$. Un \emph{localisateur fondamental} est une classe $W$ de foncteurs entre petites catégories qui vérifie :
\begin{enumerate}
\item[LA] $W$ est faiblement saturée : elle contient les identités, vérifie le deux-sur-trois, et si $i : A \to B$ et $r : B \to A$ vérifient $ri = 1_A$ et $ir \in W$, alors $r \in W$ ;
\item[LB] si $A$ a un objet final, $A \to e$ est dans $W$ ;
\item[LC] si, pour $v : A \to B$ et $w : B \to C$, tous les $v_{/c}$ sont dans $W$, alors $v \in W$.
\end{enumerate}
Ce sont les axiomes usuels ; la lecture n'en donne qu'une description, \q{faiblement saturée}, \q{les foncteurs $A \to e$ pour toute $A$ ayant un objet final}, \q{une condition du type « théorème A » de Quillen}, qu'ils précisent. Une petite catégorie $A$ est \emph{$W$-asphérique} si $A \to e$ est dans $W$, et \emph{totalement $W$-asphérique} si de plus, pour tous objets $a, b$ de $A$, la catégorie $A_{/a \times b}$ des éléments du préfaisceau $a \times b$, formée des couples $(c, (p, q))$ avec $p : c \to a$, $q : c \to b$, est $W$-asphérique. Un préfaisceau $X$ est \emph{$0$-connexe} si $A_{/X}$ est non vide et connexe. On note $\pi_0(A)$ l'ensemble des composantes connexes de $A$, $W_0$ la classe des foncteurs $u$ tels que $\pi_0(u)$ soit bijective, et $W_\infty$ la classe des foncteurs qui appartiennent à tout localisateur fondamental.
\end{definition}

\begin{enonce}[Proposition 4, page 3]
Soient $A$ une petite catégorie, $W$ un localisateur fondamental, $W_\infty$ le localisateur fondamental le plus fin. Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item[(i)] $A$ est totalement $W_\infty$-asphérique ;
\item[(ii)] $A$ est totalement $W$-asphérique ;
\item[(iii)] $A$ est non vide et, pour tous objets $a, b$ de $A$, le produit $a \times b$ est $0$-connexe dans $\hat A$.
\end{enumerate}
La démonstration repose sur l'encadrement $W_\infty \subseteq W \subseteq W_0$, où $W_0$ est le localisateur fondamental le plus grossier, celui pour lequel un foncteur est une équivalence dès qu'il induit une bijection sur les composantes connexes.
\end{enonce}

\begin{lemme}\label{lem:114-W0}
La classe $W_0$ est un localisateur fondamental.
\end{lemme}

\begin{proof}
Comme $\pi_0$ est un foncteur, LA se ramène à des énoncés sur les bijections. Les identités sont bijectives, et si deux des applications $\pi_0(u)$, $\pi_0(u')$, $\pi_0(u'u)$ sont bijectives, la troisième l'est. Si $ri = 1_A$ et $\pi_0(i)\pi_0(r)$ est bijective, $\pi_0(r)$ est injective par la seconde relation et surjective par la première. Pour LB, une catégorie à objet final est non vide et connexe, et $\pi_0(A) \to \pi_0(e)$ est une bijection entre deux ensembles à un élément.

Pour LC, supposons tous les $\pi_0(v_{/c})$ bijectifs. Pour $b \in B$, choisissons, par surjectivité de $\pi_0(v_{/w(b)})$, un objet $(a_b, \gamma_b)$ de $A_{/w(b)}$ dont l'image est dans la composante de $(b, 1_{w(b)})$, et posons $s(b) = [a_b] \in \pi_0(A)$. D'abord, $s(v(a)) = [a]$ pour tout $a \in A$ : dans $A_{/wv(a)}$, les objets $(a_{v(a)}, \gamma_{v(a)})$ et $(a, 1)$ ont leurs images dans la composante de $(v(a), 1)$ ; par injectivité, ils sont dans la même composante, et l'oubli $(a', \gamma) \mapsto a'$ envoie un zigzag de $A_{/wv(a)}$ sur un zigzag de $A$. Ensuite, $s(b) = s(b')$ pour toute flèche $\beta : b \to b'$. La composition avec $w(\beta)$ définit des foncteurs $A_{/w(b)} \to A_{/w(b')}$ et $B_{/w(b)} \to B_{/w(b')}$ compatibles à $v_{/\cdot}$ ; l'image de $(a_b, w(\beta)\gamma_b)$ par $v_{/w(b')}$ est donc dans la composante de $(b, w(\beta))$, que la flèche $\beta : (b, w(\beta)) \to (b', 1)$ relie à celle de $(b', 1)$, où se trouve aussi l'image de $(a_{b'}, \gamma_{b'})$. Par injectivité, $(a_b, w(\beta)\gamma_b)$ et $(a_{b'}, \gamma_{b'})$ sont dans la même composante de $A_{/w(b')}$, d'où $[a_b] = [a_{b'}]$. Par suite $s$ est constante sur les zigzags de $B$ et induit $\bar s : \pi_0(B) \to \pi_0(A)$ avec $\bar s \circ \pi_0(v) = \mathrm{id}$ : $\pi_0(v)$ est injective. Elle est surjective, car l'oubli envoie le zigzag de $B_{/w(b)}$ qui relie $(v(a_b), \gamma_b)$ à $(b, 1)$ sur un zigzag de $v(a_b)$ à $b$ dans $B$.
\end{proof}

\begin{lemme}\label{lem:114-asph}
Une petite catégorie est $W_0$-asphérique si et seulement si elle est non vide et connexe. Elle est totalement $W_0$-asphérique si et seulement si elle vérifie~(iii).
\end{lemme}

\begin{proof}
L'application $\pi_0(A) \to \pi_0(e)$ va dans un ensemble à un élément ; elle est bijective si et seulement si $\pi_0(A)$ a exactement un élément, c'est-à-dire si $A$ est non vide et connexe. Pour la seconde assertion, être totalement $W_0$-asphérique, c'est donc être non vide et connexe, avec chaque $A_{/a \times b}$ non vide et connexe, et cela entraîne~(iii). Réciproquement, sous~(iii), $A$ est non vide, et pour $a, b \in A$ un objet $(c, (p, q))$ de $A_{/a \times b}$ donne le zigzag $a \xleftarrow{p} c \xrightarrow{q} b$ ; $A$ est donc connexe. C'est le \q{(iii) implies that $A$ is $0$-connected} de la page.
\end{proof}

\begin{lemme}\label{lem:114-min}
La classe $W_\infty$ est un localisateur fondamental, contenu dans tout localisateur fondamental.
\end{lemme}

\begin{proof}
La seconde assertion est la définition. Chacun des axiomes LA à LC dit que certains foncteurs sont dans $W$ dès que d'autres y sont ; si ces derniers sont dans $W_\infty$, ils sont dans chaque localisateur fondamental $W$, les premiers aussi, et donc dans $W_\infty$.
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration de (i) $\Rightarrow$ (ii), et de (ii) $\Rightarrow$ (iii) si $W \subseteq W_0$]
L'asphéricité totale croît avec le localisateur : si $W \subseteq W'$, une catégorie totalement $W$-asphérique est totalement $W'$-asphérique, les foncteurs vers $e$ en jeu étant dans $W$, donc dans $W'$. Comme $W_\infty$ est contenu dans $W$ (lemme~\ref{lem:114-min}), (i) entraîne~(ii). Si $W \subseteq W_0$, (ii) entraîne que $A$ est totalement $W_0$-asphérique, c'est-à-dire~(iii) par le lemme~\ref{lem:114-asph}.
\end{proof}

\begin{proof}[Deux localisateurs fondamentaux non contenus dans $W_0$]
La classe de tous les foncteurs vérifie trivialement LA à LC. Soit $W_{-1}$ la classe des foncteurs $u : A \to B$ tels que $A$ soit vide si et seulement si $B$ l'est. Elle contient les identités, et le deux-sur-trois vaut, l'équivalence « $A$ vide $\iff$ $B$ vide » étant transitive. Si $ri = 1_A$, $A$ et $B$ sont vides ensemble, par $i$ et par $r$. Une catégorie à objet final n'est pas vide. Pour LC, si $A$ n'est pas vide, $B$ ne l'est pas ; si $b \in B$, $B_{/w(b)}$ contient $(b, 1)$, donc $A_{/w(b)}$ n'est pas vide, et $A$ non plus. Le foncteur de la catégorie discrète à deux objets vers $e$ est dans ces deux classes et n'est pas dans $W_0$.

Pour $W = W_{-1}$, soit $A = B(\mathbb Z/2)$ la catégorie à un objet $\ast$ dont le monoïde d'endomorphismes est le groupe $G = \mathbb Z/2$. Elle est non vide, et $A_{/\ast \times \ast}$ contient $(\ast, (1, 1))$ : $A$ est totalement $W_{-1}$-asphérique. Mais les objets de $A_{/\ast \times \ast}$ sont les couples $(p, q) \in G \times G$, et une flèche $g : (p', q') \to (p, q)$ vérifie $(p', q') = (pg, qg)$, de sorte que $p^{-1}q$ est constant sur chaque composante ; $(1, 1)$ et $(1, \sigma)$, où $\sigma$ est l'élément non neutre, sont dans des composantes distinctes. Donc~(iii) est en défaut, et~(i) aussi : par les lemmes~\ref{lem:114-W0} et~\ref{lem:114-min}, $W_\infty \subseteq W_0$, et (i) entraînerait~(iii) par ce qui précède. Pour la classe de tous les foncteurs, la catégorie vide est totalement asphérique et ne vérifie pas~(iii).
\end{proof}

\begin{remarque}
L'inclusion $W \subseteq W_0$ est fausse pour les localisateurs fondamentaux définis par LA à LC seuls, et avec elle les implications (ii) $\Rightarrow$ (iii) et (ii) $\Rightarrow$ (i). Cisinski (2006, 9.3.1 et 9.3.2) \cite{cisinski2006} montre qu'un localisateur fondamental est contenu dans $W_0$ si et seulement s'il n'est pas grossier. La page impose la condition \q{satisfying Loc 4)}, sans laquelle l'énoncé ne tient pas. Loc~4) est définie ailleurs dans \emph{À la poursuite des champs}, hors de cette chemise, et l'on n'a pas vérifié si elle exclut les deux contre-exemples.
\end{remarque}

\begin{remarque}
La lecture identifie $W_0$ à la classe des foncteurs bijectifs sur $\pi_0$, que décrit Maltsiniotis (2005, 1.1.29 à 1.1.32) \cite{maltsiniotis2005}. Cette classe est un localisateur fondamental (lemme~\ref{lem:114-W0}) ; qu'elle soit le plus grossier de ceux qui vérifient Loc~4) n'est pas établi ici.
\end{remarque}

\begin{remarque}
L'implication (iii) $\Rightarrow$ (i), que la page affirme, a été réfutée plus tard dans la littérature par la catégorie des cubes (Maltsiniotis 2005 \cite{maltsiniotis2005}, Cisinski 2006 \cite{cisinski2006}).
\end{remarque}

Ne sont pas démontrés ici : la description de $W_\infty$ comme classe des équivalences faibles usuelles (Cisinski) ; l'implication (iii)~$\Rightarrow$~(i), réfutée dans la littérature ; le fait que $W_0$ soit le plus grossier sous Loc~4) ; le début de la page~3 ; les pages~1 et~2 ; le NB et la dominance (page~4) ; les contre-exemples et la question des pages~4 et~5.
\section[Cote 118 : produits stables sans asphéricité]{Cote 118 : produits stables sans asphéricité\protect\verifie{Folder118}}\label{sec:118}

La cote 118, \emph{Cohomology properties of maps in (Cat)}, quarante pages que l'inventaire date \q{[à partir de 1983]}, énonce page~32, avec un point d'interrogation, un lemme de conditions équivalentes pour une petite catégorie $A$. Les pages~33 et~34 établissent que (i) \q{$A$ totalement asphérique} équivaut à (ii) \q{$\mathcal W_A$ stable par produits finis} jointe à l'asphéricité de $A$. La page~35 demande si une catégorie connexe qui satisfait (ii) est asphérique, et répond \q{Non} : pour $A$ un groupoïde, $\mathcal W_A$ est formé des seuls isomorphismes, donc stable par produits finis (\lot{118}{2}{35}). La connexité, l'hypothèse $G \neq 1$ et la raison donnée pour \q{formé des seuls iso} sont de la lecture.

\noindent\emph{Conventions.} Pour $A = BG$, les préfaisceaux sur $A$ sont les $G$-ensembles, et $A_{/X}$ est le groupoïde d'action $X /\!/ G$. Le modèle est tronqué en degré~$1$ : un foncteur entre groupoïdes est une équivalence faible s'il induit une bijection sur les composantes connexes et des isomorphismes sur les groupes d'automorphismes, et un groupoïde est asphérique s'il est connexe à groupes d'automorphismes triviaux. Ces caractérisations, classiques, servent de définitions et ne sont pas démontrées. Ainsi $f : X \to Y$ est dans $\mathcal W_A$ si $f$ induit une bijection sur les orbites et si $\mathrm{Stab}(f(x)) = \mathrm{Stab}(x)$ pour tout $x$.

\begin{contrexemple}[Grothendieck, page 35, la réponse \q{Non}\pisteresolue{118-groupoid-products-not-totally-aspherical}]
Soit $G$ un groupe non trivial et $A = BG$. Alors $\mathcal W_A$ est formé des bijections équivariantes, donc stable par produits de toute famille, finie ou non. Pourtant $A = A_{/e}$ n'est pas asphérique, ni le produit $a \times a$ du représentable $a$ par lui-même.
\end{contrexemple}

\begin{proof}
Si $f \in \mathcal W_A$ et $f(x) = f(x')$, la bijectivité sur les orbites donne $h$ avec $hx = x'$ ; alors $h \in \mathrm{Stab}(f(x)) = \mathrm{Stab}(x)$ et $x' = x$. Tout $y$ s'écrit $g f(x) = f(gx)$ : $f$ est bijective. La réciproque est immédiate, et un produit de bijections est une bijection. Le groupe d'automorphismes de l'unique objet de $A_{/e}$ est $G \neq 1$. Enfin $a$ est le $G$-ensemble $G$, et dans $G \times G$ les points $(1, 1)$ et $(1, g)$, $g \neq 1$, ne sont pas dans la même orbite : $A_{/a \times a}$ n'est pas connexe.
\end{proof}

\begin{remarque}
L'énoncé tient, y compris pour les produits infinis, que la page laisse en suspens dans le cas général. Il touche la proposition~4.3.2 de~\cite{cisinski2006}, qui range la condition (g) parmi des conditions équivalentes. Pour $A = BG$, la condition (g), stabilité des $\mathcal W$-équivalences de préfaisceaux par produits finis, est satisfaite, et la condition (a), asphéricité des $a \times b$, ne l'est pas : dans le modèle tronqué (\texttt{answer\_page\_35}), la première n'entraîne donc pas la seconde. Interrogé sur MathOverflow, l'auteur a précisé que l'implication (g)~$\Rightarrow$~(c) demande une hypothèse supplémentaire, par exemple que $A$ soit déjà une catégorie test, et que le reste de l'ouvrage n'en dépend pas~\cite{cisinskimo2026}. La page de 1983 porte déjà cette réserve : (ii) ne donne (i) que jointe à l'asphéricité de $A$.
\end{remarque}

\noindent\emph{L'écart entre (g) et (c), formalisé.} La condition (c) de la proposition~4.3.2 demande que, pour tous préfaisceaux $X$ et $Y$ sur $A$, le foncteur canonique $A_{/X \times Y} \to A_{/X} \times A_{/Y}$ soit une équivalence faible. Pour $A = BG$, il s'écrit $(X \times Y)/\!/G \to X/\!/G \times Y/\!/G$ : sur les objets $(x, y) \mapsto (x, y)$, sur les flèches $g \mapsto (g, g)$. Le but est le groupoïde d'action de $G \times G$ sur $X \times Y$, où les deux coordonnées bougent indépendamment ; la source ne les laisse bouger qu'ensemble. Pour comparer deux groupoïdes d'action de groupes différents, le modèle tronqué s'étend sans changement : un foncteur donné par un morphisme $\varphi : G \to H$ et une application $f$ avec $f(gx) = \varphi(g) f(x)$ est une équivalence faible s'il induit une bijection sur les orbites et, pour tout $x$, une bijection $\mathrm{Stab}(x) \to \mathrm{Stab}(f(x))$ par $\varphi$. Au-dessus de l'identité de $G$, on retrouve la définition précédente.

\begin{contrexemple}[l'écart entre (g) et (c), énoncé de l'édition]
Soit $G$ un groupe non trivial et $A = BG$. La condition (g) est satisfaite, et la condition (c) ne l'est pas : (g) n'entraîne pas (c). Dans le modèle, (c) vaut si et seulement si $G = 1$.
\end{contrexemple}

\begin{proof}
La condition (g) est la stabilité par produits établie plus haut. Pour (c), prenons $X = Y = a$, le $G$-ensemble régulier $G$. Dans $a/\!/G \times a/\!/G$, on passe de $(1, 1)$ à n'importe quel $(g, h)$ par la flèche $(g, h)$ : le but est connexe, et même équivalent au point, puisque l'action de $G \times G$ sur $G \times G$ est libre et transitive. Dans $(G \times G)/\!/G$, en revanche, $k$ envoie $(g, h)$ sur $(kg, kh)$ et conserve $g^{-1}h$ : il y a une composante par élément de $G$, et chacune est un point puisque l'action reste libre. Pour $a \neq 1$, les objets $(1, 1)$ et $(1, a)$ sont dans une même composante du but et dans deux composantes de la source ; le foncteur n'est pas bijectif sur les composantes. Avec $X = Y = e$, l'échec se lit sur les automorphismes : le foncteur $BG \to BG \times BG$ est la diagonale $G \to G \times G$, qui n'atteint pas $(1, a)$. Enfin, si $G = 1$, les orbites sont des points et les stabilisateurs triviaux, et le foncteur canonique est l'identité.
\end{proof}

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{tikzpicture}[x=1.35cm, y=0.95cm, >=stealth, every node/.style={font=\scriptsize}, obj/.style={inner sep=1.5pt}, hl/.style={text=piste, draw=piste, rounded corners=2pt, inner sep=1.5pt}]
% source : (G x G)//G, une composante par valeur de g^{-1}h
\foreach \r/\c/\A/\B/\C/\s in {0/1/{(1,1)}/{(a,a)}/{(a^2,a^2)}/hl, 1/a/{(1,a)}/{(a,a^2)}/{(a^2,1)}/hl, 2/a^2/{(1,a^2)}/{(a,1)}/{(a^2,a)}/obj} {
  \draw[black!45, rounded corners=6pt] (-0.5,-\r*1.25-0.42) rectangle (2.5,-\r*1.25+0.42);
  \node[\s] (u0) at (0,-\r*1.25) {$\A$};
  \node[obj] (u1) at (1,-\r*1.25) {$\B$};
  \node[obj] (u2) at (2,-\r*1.25) {$\C$};
  \draw[black!35] (u0) -- (u1) -- (u2);
  \draw[black!35] (u0.north) to[bend left=20] (u2.north);
  \node[black!60, anchor=east] at (-0.55,-\r*1.25) {$g^{-1}h = \c$};
}
\node[font=\small, align=center] at (1,1.05) {$(G \times G)/\!/G = A_{/a \times a}$\\[-1pt]{\scriptsize trois composantes, chacune un point}};
% but : G//G x G//G, une seule composante
\begin{scope}[xshift=6.6cm]
\draw[black!45, rounded corners=8pt] (-0.5,-2.92) rectangle (2.5,0.42);
\foreach \i/\g in {0/1, 1/a, 2/a^2} \foreach \j/\h in {0/1, 1/a, 2/a^2} {
  \pgfmathtruncatemacro{\hlq}{(\i == 0) && (\j < 2)}
  \ifnum\hlq=1 \node[hl] at (\j,-\i*1.25) {$(\g,\h)$}; \else \node[obj] at (\j,-\i*1.25) {$(\g,\h)$}; \fi
}
\node[font=\small, align=center] at (1,1.05) {$G/\!/G \times G/\!/G = A_{/a} \times A_{/a}$\\[-1pt]{\scriptsize une composante, équivalente au point}};
\end{scope}
\draw[->, thick] (2.6,-1.25) -- node[above] {$k \mapsto (k, k)$} (4.3,-1.25);
\end{tikzpicture}
\caption{Le foncteur canonique de la condition (c) pour $A = BG$, $G = \{1, a, a^2\}$ cyclique d'ordre~$3$, et $X = Y$ le $G$-ensemble régulier. À gauche, $k$ envoie $(g, h)$ sur $(kg, kh)$ et conserve $g^{-1}h$ : les neuf objets se répartissent en trois composantes, et deux objets d'une même composante sont reliés par une seule flèche. À droite, $G \times G$ agit librement et transitivement : la flèche $(1, a)$ relie $(1, 1)$ à $(1, a)$, encadrés, qui sont à gauche dans deux composantes distinctes. Le foncteur, bijectif sur les objets, n'est pas bijectif sur les composantes.}
\label{fig:118-composantes}
\end{figure}

Le découpage de $A_{/a \times a}$ en $|G|$ morceaux, face au point $A_{/a} \times A_{/a}$ (figure~\ref{fig:118-composantes}), sépare les deux conditions : la stabilité de $\mathcal W$ par produits finis dans $\mathsf{Cat}$ donne (c) $\Rightarrow$ (g), et le sens réciproque demande l'hypothèse supplémentaire évoquée plus haut. Lean démontre, dans le modèle tronqué, que (g) est satisfaite et (c) non pour tout $G \neq 1$ (\texttt{g\_not\_imp\_c}, avec les deux témoins \texttt{not\_isWeqOver\_regular} et \texttt{not\_isWeqOver\_point}), et que (c) équivaut à $G = 1$ (\texttt{condition\_c\_iff\_subsingleton}). L'implication (c) $\Rightarrow$ (g), qui vaut en général, n'y est vraie que parce que (g) l'est toujours (\texttt{condition\_g\_of\_c}) : elle n'est pas démontrée en général, pas plus que les autres conditions de la proposition~4.3.2 pour une catégorie $A$ quelconque.

\noindent\emph{Les sommes, page~35.} Pour montrer que (iv) est strictement plus faible que (i), la page avance que (iv) est \q{visiblement} stable par sommes de catégories, alors que (i) ne l'est pas, une somme n'étant pas connexe (\lot{118}{2}{35}). La seconde lecture a trouvé l'argument faux, et Lean le vérifie cette fois sans modèle tronqué, dans les catégories de mathlib. Soit $A = A_1 \amalg A_2$, avec $a$ dans $A_1$ et $b$ dans $A_2$. Le préfaisceau $a \times b$ associe à un objet $c$ l'ensemble des couples de flèches $c \to a$, $c \to b$ ; or aucun objet de la somme n'a de flèche vers les deux morceaux à la fois. Donc $a \times b$ est le préfaisceau vide, et $A_{/a \times b}$ est la catégorie vide. Une catégorie asphérique a un nerf contractile, elle est donc non vide et connexe, et la catégorie vide ne l'est pas. Lean n'emploie que cette conséquence, la connexité : l'échec vaut ainsi pour toute définition de l'asphéricité qui l'entraîne, celle du modèle tronqué comprise.

\begin{contrexemple}[correction de la seconde lecture, page~35]
La condition \q{$A_{/a \times b}$ est non vide et connexe pour tous $a$, $b$}, conséquence de (iv), est satisfaite par la catégorie ponctuelle et ne l'est pas par la somme de deux catégories ponctuelles ; elle échoue pour toute somme de deux catégories non vides. Elle force en outre une catégorie non vide à être connexe.
\end{contrexemple}

\begin{proof}
Pour le point, $e \times e = e$ et $A_{/e}$ est le point. Pour une somme, on vient de voir que $A_{/a \times b}$ est vide. Enfin, si $A$ satisfait la condition, $A_{/a \times b}$ a un objet, c'est-à-dire un objet $c$ muni de flèches $c \to a$ et $c \to b$ : le zigzag $a \leftarrow c \to b$ relie $a$ à $b$, et $A$ est connexe.
\end{proof}

La somme de deux points ne sépare donc pas (i) de (iv). Pour $A$ non vide, (iv) donne déjà la connexité de $A$, et la dernière phrase de la proposition~4.3.2 de Cisinski~\cite{cisinski2006} en tire l'asphéricité de $A$, donc (i) ; les deux conditions ne diffèrent que pour $A$ vide. Lean démontre les trois énoncés (\texttt{connectedProducts\_not\_stable\_under\_sums}, \texttt{not\_connectedProducts\_sum}, \texttt{isConnected\_of\_connectedProducts}) ; le passage de la connexité de $A$ à son asphéricité n'est pas formalisé.

Ne sont pas démontrés ici : l'identification des équivalences faibles de groupoïdes à celles du modèle tronqué, les équivalences (i) $\Leftrightarrow$ (ii) $+$ \q{$A$ asphérique} et (iv) $\Leftrightarrow$ asphéricité des $a \times b$ des pages~33 et~34, et le corollaire~2 de la page~31.
\section[Cote 158 : monoïdes finis, monoïdes à élément minimal, catégories finies]{Cote 158 : monoïdes finis, monoïdes à élément minimal, catégories finies\protect\verifie{Folder158}}\label{sec:158}

La cote 158, \emph{[Autour des Dérivateurs] : notes manuscrites (s.d.)}, quatre-vingt-cinq pages que l'inventaire date \q{[vers 1990-1991]}, étudie une seule question : une petite catégorie $X$ est-elle cofiltrante dès que tout objet $0$-connexe du topos des préfaisceaux sur $X$ est $1$-connexe ? Les pages~44 à~53, sous sa pagination~1 à~8, traitent le cas fini, en commençant par celui d'un monoïde, c'est-à-dire d'une catégorie à un objet. La proposition~1 est énoncée page~44 et démontrée jusqu'au haut de la page~46, qui conclut \q{cqfd} (\lot{158}{3}{44}). Sous l'énoncé, un premier paragraphe, barré de deux longues diagonales, commence par \q{L'unicité de $p$ est claire}. La démonstration reprend ensuite par la pseudo-cofiltrance et réalise $M$ comme monoïde d'endomorphismes d'un ensemble $E$, le mot \q{fini} devant $E$ étant biffé. Elle écrit : \q{comme $E_0$ est fini, on en conclut que $u(E_0) = E_0$} (\lot{158}{3}{45}).

\begin{definition}
Un monoïde $M$ est \emph{pseudo-cofiltrant} si, pour tous $u, v \in M$, il existe $u', v' \in M$ tels que $uu' = vv'$ ; il est \emph{cofiltrant} s'il est pseudo-cofiltrant et si, pour tous $u, v \in M$, il existe $w \in M$ tel que $uw = vw$. Le \emph{groupe enveloppant} de $M$ est \emph{trivial} si tout morphisme de monoïdes de $M$ dans un groupe est trivial. La première définition est celle que la lecture tire de la page~55, où le manuscrit en donne l'équivalent ; la dernière est la propriété universelle du groupe enveloppant.
\end{definition}

\begin{encadre}
\begin{theoreme}[Grothendieck, Proposition 1, pages 44 à 46\piste{158-finite-monoid-right-zero}]
Soit $M$ un monoïde fini dont le groupe enveloppant est trivial et qui est pseudo-cofiltrant. Alors il existe $p \in M$ tel que $up = p$ pour tout $u \in M$ (en particulier $p^2 = p$), et $M$ est cofiltrant.
\end{theoreme}
\end{encadre}

\begin{lemme}\label{lem:158-etape1}
Dans un monoïde fini pseudo-cofiltrant $M$, il existe $p$ tel que, pour tout $u \in M$, on ait $p = uv$ pour un $v \in M$ : $p$ appartient à tous les idéaux à droite principaux $uM$.
\end{lemme}

\general{MonoidRightZero}

\begin{proof}[Démonstration de la proposition 1]
Soit $p$ donné par le lemme~\ref{lem:158-etape1}, et $E_0 = pM$ l'ensemble des $py$, $y \in M$. C'est l'image de $p$ dans la représentation régulière gauche de $M$, où $u$ opère sur $M$ par $x \mapsto ux$, et $E_0$ est fini puisque $M$ l'est.

\emph{Chaque $u$ envoie $E_0$ sur lui-même.} Soit $u \in M$. D'abord $E_0 \subseteq uE_0$ : le lemme appliqué à l'élément $up$ donne $v$ tel que $p = upv$, et pour $y \in M$, $py = upvy = u\bigl(p(vy)\bigr)$ est dans $uE_0$. D'autre part $uE_0$, image de $E_0$ par une application, a au plus autant d'éléments que $E_0$ ; comme $E_0$ est une partie de l'ensemble fini $uE_0$ et a au moins autant d'éléments que lui, $uE_0 = E_0$. L'application $x \mapsto ux$ est ainsi une surjection de l'ensemble fini $E_0$ sur lui-même, donc une bijection.

Les deux premiers pas se lisent sur le carré suivant : $E_0 = pM$ est stable par la multiplication à gauche par $u$, qui y induit une bijection.
\[
\begin{tikzcd}[column sep=large]
E_0 = pM \arrow[r, "x \mapsto ux", "\sim"'] \arrow[d, hook] & E_0 \arrow[d, hook] \\
M \arrow[r, "x \mapsto ux"'] & M
\end{tikzcd}
\]

\emph{Le morphisme vers un groupe.} Notons $\varphi(u)$ la permutation $x \mapsto ux$ de $E_0$. On a $\varphi(1) = \mathrm{id}$ et, par associativité, $\varphi(uu') = \varphi(u) \circ \varphi(u')$ : $\varphi$ est un morphisme de monoïdes de $M$ dans le groupe des permutations de $E_0$. Le groupe enveloppant de $M$ étant trivial, $\varphi(u) = \mathrm{id}$ pour tout $u$. En l'appliquant à l'élément $p = p \cdot 1$ de $E_0$, on obtient $up = p$ pour tout $u \in M$.

\emph{Conclusion.} Pour $u = p$, $p^2 = p$. Enfin $M$ est pseudo-cofiltrant par hypothèse, et pour $u, v \in M$, $w = p$ vérifie $uw = p = vw$ : $M$ est cofiltrant.
\end{proof}

\begin{remarque}
La finitude sert deux fois : au lemme~\ref{lem:158-etape1}, pour passer de deux idéaux $uM$ à tous, et pour changer l'inclusion $E_0 \subseteq uE_0$ en égalité. Le \q{comme $E_0$ est fini} de la page vaut parce que $E_0 = pM$ est contenu dans $M$. Il ne vaudrait pas pour un ensemble $E$ quelconque, devant lequel la page a biffé \q{fini}.
\end{remarque}

\begin{remarque}
Sans la pseudo-cofiltrance, l'énoncé est faux : le monoïde $\{1, a, b\}$ où $ax = a$ et $bx = b$ pour tout $x$ est fini, de groupe enveloppant trivial, et n'a pas d'élément $p$ tel que $ap = p = bp$. Sans la finitude, il est faux pour le monoïde $\mathrm{Ep}(E)$ des surjections d'un ensemble infini $E$, que la lecture étudie à sa section~6. (Non démontré ici.)
\end{remarque}

\begin{remarque}
L'élément $p$ n'est pas unique, et le noyau de Rees $MpM = pM$ n'est pas nécessairement réduit à un point. Soit $M = \{1, a, b\}$ avec $x \cdot 1 = x$, $x \cdot a = a$, $x \cdot b = b$ pour tout $x$ ; cette loi est associative, d'unité~$1$, pseudo-cofiltrante ($ua = va$ pour tous $u, v$), de groupe enveloppant trivial ($g(a) = g(ba) = g(b)g(a)$ force $g(b) = 1$, et de même $g(a) = 1$) ; on a $ua = a$ et $ub = b$ pour tout $u$, aucun des deux n'est un zéro bilatère ($ab = b$), et l'intersection des idéaux $MxM$ est $\{a, b\}$.
\end{remarque}

\begin{remarque}
La relation $up = p$ pour tout $u$ fait de $p$ un zéro à droite, et l'idéal à gauche $Mp = \{p\}$ est minimal. Une glose qui dirait $p$ \q{zéro à gauche} et le noyau de Rees \q{ponctuel} serait fausse. Le paragraphe barré de la page~44 affirmait l'unicité de $p$, en identifiant $pp'$ à $p'p$ ; l'exemple précédent la réfute.
\end{remarque}

\noindent\emph{Les monoïdes à élément minimal (pages 21 à 41).} Un $M$-ensemble à droite $X$ est un préfaisceau sur $B_M$ ; sa catégorie d'éléments a pour objets les éléments de $X$ et pour flèches $m : x\cdot m \to x$. Un foncteur de cette catégorie vers un groupe $G$ est un cocycle, $c(x, mn) = c(x, m)\,c(x\cdot m, n)$, et il est isomorphe au foncteur trivial si $c(x, m) = g(x)\,g(x\cdot m)^{-1}$. On dit la catégorie d'éléments \emph{simplement connexe} si tout cocycle, pour tout groupe $G$, est de cette forme ; pour une catégorie connexe, c'est $\pi_1 = 1$ (cette équivalence n'est pas formalisée). L'élément $\psi$ est \emph{minimal} si $\psi \in uM$ pour tout $u$.

\begin{theoreme}[Grothendieck, corollaire de la page 39\piste{158-minimal-monoid-cofiltered}]
Soit $M$ un monoïde ayant un élément minimal $\psi$. Si tout $M$-ensemble à droite connexe a une catégorie d'éléments simplement connexe, $M$ est cofiltrant. Réciproquement (énoncé de l'édition), pour tout monoïde cofiltrant, la catégorie d'éléments d'un $M$-ensemble connexe est simplement connexe.
\end{theoreme}

\begin{proof}
\emph{Cas où les puissances de $\psi$ sont distinctes.} C'est la proposition~2 de la page~31 avec $\varphi = \psi$, comme au corollaire de la page~33. Soit $F = M/R_\psi$, où $u \sim v$ si $\psi^p u = \psi^q v$. Pour tout $u$, $\psi^p u = \psi^q u$ entraîne $p = q$ : avec $ut = \psi$, on obtient $\psi^{p+1} = \psi^{q+1}$. Le degré relatif $d(u, v) = q - p$ est donc bien défini sur chaque classe, additif, et invariant par multiplication à droite. Avec un représentant $s(x)$ de chaque classe, $c(x, m) = d(s(x)m, s(x\cdot m))$ est un cocycle à valeurs dans $\mathbf Z$. Pour $x$ la classe de $1 = \psi$, l'endomorphisme $\psi$ a le degré $1$, alors qu'un cobord y prend la valeur $g(x) - g(x) = 0$.

\emph{Cas où $\psi^r = \psi^s$ avec $r \neq s$.} Une puissance $e = \psi^n$, $n \geq 1$, est idempotente et minimale. Les éléments minimaux forment $eM$, stable par multiplication à gauche : si $\lambda = u\lambda k$ et $\lambda = \lambda k j$, alors $u\lambda = \lambda j$. Avec $uek = e$ et $ekek_2 = e$, $x \mapsto ux$ est une bijection de $eM$, d'inverse $x \mapsto ek_2x$. On obtient ainsi un morphisme $\rho$ de $M$ dans le groupe des permutations de $eM$. Si $\rho$ est trivial, $ue = e$ pour tout $u$, et $M$ est cofiltrant ; sinon le point, dont la catégorie d'éléments est $B_M$, porte le cocycle non trivial $\rho$.

\emph{Réciproque.} Si $M$ est cofiltrant, deux éléments d'un $M$-ensemble connexe ont un descendant commun, et deux flèches parallèles ont même valeur, puisqu'elles sont égalisées plus loin. On fixe $x_0$ et, pour chaque $x$, des $a, b$ avec $x\cdot a = x_0\cdot b$, et l'on pose $g(x) = c(x, a)\,c(x_0, b)^{-1}$. Ce choix n'importe pas, et $c$ est le cobord de $g$.
\end{proof}

\begin{remarque}
L'énoncé tient tel que la page~39 le donne, sous sa forme simplement connexe, et la dichotomie du corollaire fonctionne avec $\varphi = \psi$. Les hypothèses (B) à (D) des pages~22 à~30 s'y réduisent à \q{les puissances de $\psi$ sont distinctes}, et le degré se passe du plus petit objet comme de la présentation de $\pi_1$ (proposition~1, page~19). Dans l'autre cas, la stabilité de $eM$ par multiplication à gauche est l'étape que la page~41 laisse sous ses mots illisibles. La variante \q{$H^1(X, \mathbf Q) = 0$} de la page~39 n'est pas traitée ici.
\end{remarque}

\noindent\emph{Les catégories finies (pages 50 à 53).} Le corollaire de la page~52 énonce : une catégorie finie $X$ dont tout objet $0$-connexe de $\widehat X$ est $1$-connexe est cofiltrante (\lot{158}{3}{52}). Un préfaisceau $F$ sur $X$ a pour catégorie d'éléments les couples $(z, t)$, $t \in F(z)$ ; la simple connexité s'entend comme plus haut, par les cocycles. Notons (H) l'hypothèse.

\begin{contrexemple}[énoncé de l'édition\piste{158-finite-category-cofiltered}]
La catégorie discrète à deux objets vérifie (H) et n'est pas cofiltrante.
\end{contrexemple}

\begin{proof}
Une flèche y est une identité, donc tout cocycle est trivial, pour tout préfaisceau. La catégorie n'est pas connexe.
\end{proof}

\begin{theoreme}[d'après la page 52, cas $X$ connexe]
\begin{enumerate}
\item (Pour toute petite catégorie.) Sous (H), deux éléments d'un préfaisceau connexe ont un ancêtre commun. En particulier, si $X$ est non vide et connexe, deux objets sont buts de flèches issues d'un même objet, et deux flèches $u : x \to c$, $v : y \to c$ se complètent en un carré $u u' = v v'$.
\item Une catégorie finie, non vide et connexe, qui vérifie (H) est cofiltrante.
\end{enumerate}
\end{theoreme}

Le carré du point~1 :
\[
\begin{tikzcd}
z \arrow[r, "v'"] \arrow[d, "u'"'] & y \arrow[d, "v"] \\
x \arrow[r, "u"'] & c
\end{tikzcd}
\qquad u u' = v v'.
\]

\begin{proof}
(1) Si $\xi$ et $\eta$ n'ont pas d'ancêtre commun, les sous-préfaisceaux $T_1$ et $T_2$ qu'ils engendrent sont disjoints. On recolle deux copies de $F$ le long de $T = T_1 \sqcup T_2$. Le préfaisceau obtenu est connexe, et compter $1$ pour chaque flèche d'un élément de $T_1$ vers un élément de la seconde copie hors de $T$ définit un cocycle à valeurs dans $\mathbf Z$. S'il était le cobord de $g$, la différence $h(t) = g(t, 2) - g(t, 1)$ entre les deux copies serait constante le long des flèches hors de $T$, égale à $1$ près de $T_1$ et à $0$ près de $T_2$. Un zigzag de $\xi$ à $\eta$ mène à une contradiction. On applique ce lemme au préfaisceau final pour les cônes, et à $\mathrm{Hom}(-, c)$ pour les carrés.

(2) La finitude et~(1) donnent un objet $e$ qui envoie une flèche vers tout objet. Le monoïde $M = \mathrm{End}(e)$ est fini et pseudo-cofiltrant ; le lemme~\ref{lem:158-etape1} et une puissance donnent un idempotent $p$ minimal, $p \in uM$ pour tout $u$. Posons $L(z) = \{f : e \to z \mid fp = f\}$. Pour $k : z \to z'$, $f \mapsto kf$ envoie $L(z)$ sur $L(z')$ : pour $f' \in L(z')$, le carré $ka = f'b$, une flèche $j : e \to w$ et $p = bj\theta$ donnent $f' = k(aj\theta p)$. Entre deux objets de l'ouvert $X_0$ des plus petits objets, qui ont des flèches dans les deux sens, ces surjections entre ensembles finis sont des bijections. L'ouvert $X_0$ est la catégorie d'éléments d'un sous-préfaisceau connexe du préfaisceau final. Par (H), ce système local est constant : il existe des bijections $\varphi_z : L(z) \to L(e)$ avec $\varphi_{z'}(kf) = \varphi_z(f)$. Pour $u : z \to y$, $z \in X_0$, l'application $s \mapsto u\,\varphi_z^{-1}(s)$ ne change pas le long d'une flèche, et deux tels couples $(z, u)$ se relient par un carré. Pour $f, g : x \rightrightarrows y$ et $c : e \to x$, appliquée à $(e, fc)$, $(e, gc)$ et $s = \varphi_e(p)$, elle donne $fcp = gcp$.
\end{proof}

\begin{remarque}
Tel que la page le donne, le corollaire est faux pour une catégorie non connexe ; il faut que l'objet final de $\widehat X$ soit lui-même $0$-connexe. Avec cette hypothèse, il tient, et le passage de (H) à la pseudo-cofiltrance, affirmé page~53 sans argument, vaut pour toute petite catégorie. La démonstration suit les pages~50 à~52, et l'ouvert $X_0$ y est le lieu où le système local $H_x$ de la page~51 a des transitions bijectives.
\end{remarque}

Ne sont pas démontrés ici : la présentation de $\pi_1$ par les crochets de la proposition~1 (pages~19 et~20), dont la preuve ci-dessus se passe ; la proposition~2 \q{(??)} et le corollaire \q{Faux !} ; $\mathrm{Ep}(E)$ et $\mathrm{Mon}(E)$ ; les pages~60 à~83.

\section[Cote 104 : catégories de modèles, trois exemples, épinglages, un complexe globulaire]{Cote 104 : catégories de modèles, trois exemples, épinglages, un complexe globulaire\protect\verifie{Folder104}}\label{sec:104}

La cote 104, \emph{[Champs (stacks) 1] : copies de notes manuscrites (s.d.)}, seize pages sans date, appartient au groupe \q{Autour de \emph{Pursuing stacks}}, que l'inventaire date \q{1968-1984}. Les pages~6 à~16, sous sa pagination~1 à~6, sont une rédaction suivie. Une catégorie $M$ de \q{modèles} y est remplacée par des ensembles ordonnés dont elle se reconstruit : l'ensemble $\mathbb N$ de ses classes d'isomorphisme, les ensembles $I_n$ de sous-objets, les applications type $\tau_n$. La page~6 pose les deux hypothèses (dans la seconde, \q{automorphisme} est biffé et remplacé par \q{end.}) et affirme que l'application $(*)$ ci-dessous \q{est injective par (i)(ii)} (\mbox{\lot{104}{1}{6}}). La page~7 ajoute \q{On a donc (par (ii)) $\tau_n^{-1}(n) = \{d_n\}$} (\lot{104}{1}{7}). La page~10 affirme la réciproque et donne trois exemples, avec leurs dénombrements en marge (\lot{104}{1}{10}). Parmi les feuillets d'essai qui précèdent, celui de la page~4 porte une suite $\mathbb Z[F_{n+1}] \to \mathbb Z[F_n] \xrightarrow{t_n - s_n} \mathbb Z[F_{n-1}]$ et, sous une accolade, le calcul $t_{n-1}(t_n y - s_n y) - s_{n-1}(t_n y - s_n y) = 0$ (\lot{104}{1}{4}).

\begin{definition}
Soit $M$ une catégorie telle que (i)~toute flèche de $M$ est un monomorphisme, et (ii)~tout endomorphisme d'un objet de $M$ est l'identité. Pour un objet $D$, un sous-objet de $D$ est une classe de monomorphismes de but $D$, deux monomorphismes $u, v$ étant équivalents s'ils se factorisent l'un par l'autre ; les sous-objets sont ordonnés par factorisation, et l'on note $u(D')$ le sous-objet défini par $u : D' \to D$. Pour un sous-objet $x$, on note encore $x$ un objet qui le représente. Les classes d'isomorphisme d'objets de $M$ sont préordonnées par l'existence d'une flèche.
\end{definition}

\begin{enonce}[Pages 6 et 7]
\begin{enumerate}
\item L'application $(*)$ : $\operatorname{Hom}_M(D', D) \to \widetilde D$, $u \mapsto u(D')$, est injective.
\item Si $f : D' \to D$ et $g : D \to D'$, alors $f$ est un isomorphisme d'inverse $g$ ; le préordre sur les classes est donc un ordre.
\item Si $x \leq y$ sont deux sous-objets de $D$ et s'il existe une flèche $y \to x$ (en particulier si $x$ et $y$ sont de même type), alors $x = y$. Par suite $\tau_n^{-1}(n) = \{d_n\}$, et $\tau_n$ est strictement croissante.
\end{enumerate}
\end{enonce}

\begin{enonce}[Page 10, la réciproque : un pas]
Soit $f$ une application bijective d'un ensemble dans lui-même telle que $f \circ f = f$. Alors $f = \mathrm{id}$. En particulier la loi de composition $u_{d_n} \circ u_{d_n} = u_{d_n}$ force $u_{d_n} = \mathrm{id}$.
\end{enonce}

\begin{enonce}[Page 10, les trois exemples]
\begin{enumerate}
\item La catégorie des $\Delta_n = \{0, \dots, n\}$ et des applications strictement croissantes vérifie (i) et (ii), et l'ensemble $\mathfrak P^*(\Delta_n)$ des parties non vides de $\Delta_n$ a $2^{n+1} - 1$ éléments.
\item Les faces de $[0,1]^n$, qui fixent certaines coordonnées à $0$ ou à $1$ et laissent les autres libres, sont au nombre de $\sum_{k} \binom nk 2^k = 3^n$.
\item Sur $I_n = (\Delta_{n-1} \times \{\pm 1\}) \sqcup \{d_n\}$, la relation \q{$(k, \varepsilon) \leq (k', \varepsilon')$ si et seulement si $(k, \varepsilon) = (k', \varepsilon')$ ou $k < k'$, et $d_n$ plus grand élément} est un ordre ; $I_n$ a $2n + 1$ éléments, dont exactement deux de type $k$ pour chaque $k < n$. Avec $\{\pm 1\}$ muni de l'ordre chaotique, le produit n'est qu'un préordre : $(k, +1)$ et $(k, -1)$, distincts, sont chacun inférieurs à l'autre.
\end{enumerate}
\end{enonce}

Les diagrammes de Hasse de $I_2$ et de $I_3$ (exemple~3) : deux éléments de chaque type $k < n$, chacun au-dessous des deux éléments du type suivant, et $d_n$ au-dessus de tout.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=1.3cm, y=0.95cm, every node/.style={font=\small}]
\begin{scope}
\node (a0) at (-0.6,0) {$(0,-1)$}; \node (b0) at (0.6,0) {$(0,+1)$};
\node (a1) at (-0.6,1.2) {$(1,-1)$}; \node (b1) at (0.6,1.2) {$(1,+1)$};
\node (d) at (0,2.4) {$d_2$};
\draw (a0)--(a1) (a0)--(b1) (b0)--(a1) (b0)--(b1) (a1)--(d) (b1)--(d);
\node at (0,-0.8) {$I_2$, $5$ éléments};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=4.5cm]
\node (a0) at (-0.6,0) {$(0,-1)$}; \node (b0) at (0.6,0) {$(0,+1)$};
\node (a1) at (-0.6,1.2) {$(1,-1)$}; \node (b1) at (0.6,1.2) {$(1,+1)$};
\node (a2) at (-0.6,2.4) {$(2,-1)$}; \node (b2) at (0.6,2.4) {$(2,+1)$};
\node (d) at (0,3.6) {$d_3$};
\draw (a0)--(a1) (a0)--(b1) (b0)--(a1) (b0)--(b1) (a1)--(a2) (a1)--(b2) (b1)--(a2) (b1)--(b2) (a2)--(d) (b2)--(d);
\node at (0,-0.8) {$I_3$, $7$ éléments};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enonce}[Page 4, le complexe globulaire]
Soient des applications $s_n, t_n : F_n \to F_{n-1}$ et $s_{n-1}, t_{n-1} : F_{n-1} \to F_{n-2}$ telles que $s_{n-1}s_n = s_{n-1}t_n$ et $t_{n-1}s_n = t_{n-1}t_n$. Alors les morphismes $t_n - s_n : \mathbb Z[F_n] \to \mathbb Z[F_{n-1}]$ et $t_{n-1} - s_{n-1} : \mathbb Z[F_{n-1}] \to \mathbb Z[F_{n-2}]$ induits sur les groupes abéliens libres composent en zéro.
\end{enonce}

\[
\begin{tikzcd}[column sep=large]
F_n \arrow[r, shift left, "t_n"] \arrow[r, shift right, "s_n"'] & F_{n-1} \arrow[r, shift left, "t_{n-1}"] \arrow[r, shift right, "s_{n-1}"'] & F_{n-2}
\end{tikzcd}
\qquad
\begin{gathered}
s_{n-1}s_n = s_{n-1}t_n,\\ t_{n-1}s_n = t_{n-1}t_n
\end{gathered}
\;\Longrightarrow\;
(t_{n-1} - s_{n-1})(t_n - s_n) = 0.
\]

\begin{proof}[Démonstration de l'énoncé des pages 6 et 7]
(1) Soient $u, v : D' \to D$ tels que $u(D') = v(D')$. Comme $u(D') \leq v(D')$, il existe $\theta : D' \to D'$ avec $v\theta = u$. Par (ii), $\theta = \mathrm{id}$, donc $u = v$. L'hypothèse (i) ne sert qu'à faire de $u$ et $v$ des monomorphismes, c'est-à-dire à donner un sens à $u(D')$.

(2) Le composé $gf$ est un endomorphisme de $D'$, et $fg$ un endomorphisme de $D$ ; par (ii), ce sont des identités.

(3) Écrivons $x \leq y$ sous la forme $a_x = a_y \circ j$, où $a_x, a_y$ sont les monomorphismes de but $D$ qui représentent $x$ et $y$ et $j : x \to y$. Soit $g : y \to x$. Le composé $j \circ g$ est un endomorphisme de $y$, donc l'identité par (ii), et $a_y = a_y \circ j \circ g = a_x \circ g$ : $a_y$ se factorise par $a_x$, c'est-à-dire $y \leq x$, et $x = y$. Si $\tau_n(x) = n$, $x$ est isomorphe à $D_n$, qui représente le plus grand sous-objet $d_n$ ; on a $x \leq d_n$ et une flèche $d_n \to x$, donc $x = d_n$. Si $x < y$, il y a une flèche $x \to y$, donc $\tau_n(x) \leq \tau_n(y)$ ; l'égalité donnerait une flèche $y \to x$, donc $x = y$ ; ainsi $\tau_n(x) < \tau_n(y)$ dans l'ensemble ordonné des classes.
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration du pas de la réciproque]
Pour tout $x$, $f(f(x)) = f(x)$, et l'injectivité de $f$ donne $f(x) = x$.
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration des trois exemples]
(1) Une application strictement croissante est injective, donc simplifiable à gauche : si $fg = fh$, alors $g = h$ point par point. Une application strictement croissante de $\Delta_n$ dans lui-même est l'identité : c'est l'unique application strictement croissante de $\{0, \dots, n\}$ sur une partie à $n + 1$ éléments de $\Delta_n$, à savoir $\Delta_n$ tout entier, et l'identité en est une. Les parties de $\Delta_n$ sont au nombre de $2^{n+1}$, dont une vide.

(2) Une face est la donnée, pour chaque coordonnée, de la valeur $0$, de la valeur $1$, ou de rien : c'est une application de $\{1, \dots, n\}$ dans un ensemble à trois éléments, et il y en a $3^n$ ; la marge appelle une telle donnée une section partielle de $\Delta_{n-1} \times \{\pm 1\} \to \Delta_{n-1}$. En comptant les faces selon le nombre $k$ des coordonnées fixées, on obtient $\binom nk 2^k$ faces pour chaque $k$, et $\sum_k \binom nk 2^k = (2 + 1)^n$ par la formule du binôme ; c'est la formule de la page~5.

(3) La relation est réflexive. Elle est transitive : $d_n$ est au-dessus de tout et au-dessous de lui seul, et sur $\Delta_{n-1} \times \{\pm 1\}$ la composée de deux relations \q{égal ou de premier indice strictement plus petit} en est une. Elle est antisymétrique : si $(k, \varepsilon) \leq (k', \varepsilon')$ et $(k', \varepsilon') \leq (k, \varepsilon)$ avec des éléments distincts, on aurait $k < k'$ et $k' < k$. Le cardinal est $2n + 1$, et les éléments de type $k$ sont $(k, +1)$ et $(k, -1)$. Pour l'ordre chaotique, $(k, \varepsilon) \leq (k', \varepsilon')$ équivaut à $k \leq k'$, et $(k, +1)$, $(k, -1)$ sont chacun inférieurs à l'autre.
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration de l'énoncé de la page 4]
Le passage de $F$ à $\mathbb Z[F]$ est fonctoriel : l'application induite par un composé est le composé des applications induites. Le composé $(t_{n-1} - s_{n-1})(t_n - s_n)$ vaut donc $\mathbb Z[t_{n-1}t_n] - \mathbb Z[t_{n-1}s_n] - \mathbb Z[s_{n-1}t_n] + \mathbb Z[s_{n-1}s_n]$, et les identités globulaires annulent les termes deux à deux.
\end{proof}

\begin{remarque}
L'exemple~3 est démontré sous la forme que la lecture substitue à la page. Elle prend $\Delta_{n-1}$ au lieu de $\Delta_n$, qui donnerait $2n + 3$ éléments au lieu des $2n + 1$ de la marge. Elle prend l'ordre des cellules du disque au lieu du produit par un préordre chaotique, qui n'est pas antisymétrique.
\end{remarque}

\begin{remarque}
L'hypothèse~(i) n'intervient ni dans l'ordre sur les classes ni dans $u_{d_n} = \mathrm{id}$, que (ii) donne seule. Dans $(*)$, que la page dit injective \q{par (i)(ii)}, elle sert seulement à définir $u(D')$.
\end{remarque}

\begin{remarque}
L'exemple~1 montre que la catégorie des $\Delta_n$ et des injections croissantes n'a pas de dégénérescence. Pour les exemples, seul le calcul sur les ensembles $I_n$ est démontré. L'identification des sous-objets des catégories de cubes et de disques à ces ensembles est celle de la lecture et n'est pas démontrée ici.
\end{remarque}

\begin{enonce}[Page 6, note de la lecture : la bonne fondation]
Soit $M$ une catégorie vérifiant (ii). Pour deux objets $X, Y$, écrivons $X \prec Y$ s'il existe une flèche $X \to Y$ et aucune flèche $Y \to X$.
\begin{enumerate}
\item Toute flèche $X \to Y$ qui n'est pas un isomorphisme donne $X \prec Y$ ; si $M$ est squelettique, toute flèche qui n'est pas une identité le donne.
\item Si $M$ est squelettique et si $\prec$ est bien fondée, le rang ordinal $\deg$ pour $\prec$ est un degré que toute flèche autre qu'une identité augmente strictement, et $M$ est une catégorie directe : une structure de Reedy dont la classe descendante est formée des identités et la classe ascendante de toutes les flèches.
\item Réciproquement, s'il existe une application $\deg$ des objets dans un ensemble ordonné bien fondé que toute flèche autre qu'une identité augmente strictement, $\prec$ est bien fondée.
\item Les hypothèses (i) et (ii) ne suffisent pas : la catégorie définie par l'ensemble ordonné $\mathbb Z$ les vérifie, et $\prec$ n'y est pas bien fondée.
\end{enumerate}
\end{enonce}

\begin{proof}
(1) Si $g : Y \to X$, alors $gf$ et $fg$ sont des endomorphismes, donc des identités par (ii), et $f$ serait un isomorphisme. Si $M$ est squelettique et $f$ un isomorphisme, $X = Y$, et $f$, endomorphisme de $X$, est l'identité par (ii) ; une flèche qui n'est pas une identité n'est donc pas un isomorphisme.

(2) Dans une catégorie squelettique vérifiant (ii), $X \prec Y$ équivaut à l'existence d'une flèche $X \to Y$ autre qu'une identité : par (1) dans un sens, et dans l'autre parce que $X \prec Y$ interdit $X = Y$. On conclut par l'énoncé général rappelé à la suite de la démonstration : si cette relation est bien fondée, son rang ordinal est un degré que toute flèche autre qu'une identité augmente strictement, et il fait de la catégorie une catégorie directe.

(3) Si $X \prec Y$, une flèche $f : X \to Y$ n'est pas une identité, puisque $X = Y$ donnerait la flèche $\mathrm{id}_X$ de $Y$ vers $X$ ; donc $\deg X < \deg Y$, et $\prec$ est contenue dans l'image réciproque par $\deg$ d'un ordre bien fondé, qui est bien fondée.

(4) Entre deux objets de $\mathbb Z$ il y a au plus une flèche : (i) et (ii) sont immédiats. Pour tout $m$, $m - 1 \prec m$, et $\mathbb Z$ n'a donc pas d'élément minimal pour $\prec$.
\end{proof}
\general{SemiSimplexCategoryReedy}

\begin{remarque}
La lecture énonce qu'une catégorie vérifiant (i) et (ii) est directe au sens de Reedy \q{dès que} l'ordre de $\mathbb N$ est bien fondé. L'exemple de $\mathbb Z$ montre que cette condition est une hypothèse supplémentaire, qui ne découle pas de (i) et (ii). La structure de Reedy est celle que définit la bibliothèque mathlib. L'hypothèse (i) n'y sert pas ; elle dit seulement que la classe ascendante est formée de monomorphismes. La catégorie squelettique est celle que la page~9 appelle \q{rigide}. Sans elle, un isomorphisme entre deux objets distincts n'augmenterait aucun degré ; la bonne fondation porte donc sur l'ordre des classes d'isomorphisme.
\end{remarque}

\begin{enonce}[Page 10, exemple 1 : les identités simpliciales]
Notons $\delta_i : \Delta_n \to \Delta_{n+1}$, pour $0 \leq i \leq n + 1$, l'application strictement croissante qui évite $i$.
\begin{enumerate}
\item Pour $i \leq j$, $\delta_{j+1} \circ \delta_i = \delta_i \circ \delta_j$.
\item Toute application strictement croissante $f : \Delta_m \to \Delta_{n+1}$ avec $m \leq n$ s'écrit $\delta_i \circ g$, avec $g : \Delta_m \to \Delta_n$ strictement croissante.
\item La catégorie des $\Delta_n$ et des applications strictement croissantes est squelettique, toute flèche autre qu'une identité y augmente strictement $n$, et c'est une catégorie directe au sens de l'énoncé précédent.
\end{enumerate}
\end{enonce}

\begin{proof}
(1) Les deux membres envoient $k \in \Delta_n$ sur $k$ si $k < i$, sur $k + 1$ si $i \leq k < j$, et sur $k + 2$ si $k \geq j$ : c'est une vérification cas par cas sur les inégalités entre $i$, $j$ et $k$. C'est la première identité simpliciale, que mathlib démontre dans la catégorie simpliciale ; elle est refaite ici dans la catégorie sans dégénérescences.

(2) Comme $f$ est injective, une surjection de $\Delta_m$, qui a $m + 1 \leq n + 1$ éléments, sur $\Delta_{n+1}$, qui en a $n + 2$, est impossible : $f$ évite un $i$. Chaque $f(k)$, distinct de $i$, s'écrit $\delta_i(g(k))$ pour un unique $g(k)$, et $g$ est strictement croissante parce que $\delta_i$ l'est et reflète donc l'ordre.

(3) Une flèche $\Delta_m \to \Delta_n$ est injective, donc $m \leq n$. Si $\Delta_m \simeq \Delta_n$, on a $m \leq n$ et $n \leq m$. Si $m = n$, la flèche est un endomorphisme, donc l'identité (exemple~1 ci-dessus). Le degré $n$, à valeurs dans les entiers, vérifie donc l'hypothèse de la partie (3) de l'énoncé précédent, et la partie (2) s'applique.
\end{proof}

\begin{remarque}
Ni les identités simpliciales ni la factorisation par les faces ne sont sur la page. Elles justifient l'identification, faite par la lecture, des préfaisceaux sur cette catégorie aux ensembles semi-simpliciaux. Par (2) et une récurrence sur $n - m$, toute flèche est un composé de faces, et (1) donne, en passant aux préfaisceaux, les relations $d_i d_j = d_{j-1} d_i$ pour $i < j$. Seul le pas de la récurrence est formalisé ici. Dans cet exemple $\mathbb N = \mathbf N$, comme la page~10 le dit des \q{cas que j'ai en tête}, et la bonne fondation est celle des entiers.
\end{remarque}

\paragraph{Objets admissibles et ensembles ordonnés épinglés (pages 12 à 16).} La page~12 définit les objets admissibles de $\widehat M$ par deux conditions : $X$ est la borne supérieure de ses sous-objets isomorphes à des objets de $M$ (ses sous-objets modèles), et l'intersection de deux sous-objets modèles est la borne supérieure des sous-objets modèles qu'elle contient. La page~13 affirme que leur catégorie \q{est équivalente à} celle des ensembles ordonnés $M$-épinglés, et la page~16 qu'elle est stable par sommes et sommes amalgamées, \q{de façon évidente} (\lot{104}{1}{13}, \lot{104}{1}{16}). On suppose $M$ squelettique, comme la lecture à partir de la page~9 ; $I_D$ est alors l'ensemble des flèches de but $D$, ordonné par factorisation.

\begin{encadre}
\begin{theoreme}[Grothendieck, pages 12 à 16, ensembles ordonnés épinglés\piste{104-pinned-posets-nonsingular-presheaves}]
Soit $M$ une petite catégorie squelettique dont toutes les flèches sont des monomorphismes et dont les seuls endomorphismes sont les identités.
\begin{enumerate}
\item Un préfaisceau $X$ sur $M$ est admissible si et seulement si tout élément $x \in X(D)$, vu comme morphisme $h_D \to X$, est un monomorphisme ; la première condition de la page~12 suffit.
\item Le foncteur $X \mapsto \widetilde X$, où $\widetilde X$ est l'ensemble des couples $(D, x)$, $x \in X(D)$, ordonné par $(D', x') \leq (D, x)$ si $x' = X(a)(x)$ pour une flèche $a : D' \to D$, de type $(D, x) \mapsto D$ et épinglé par $u_{(D,x)}(a) = (D', X(a)(x))$, est une équivalence entre la catégorie des objets admissibles et celle des ensembles ordonnés $M$-épinglés ; un morphisme de $\widehat M$ est un monomorphisme si et seulement si l'application $\widetilde X \to \widetilde Y$ est injective.
\item Les sommes et les sommes amalgamées le long de monomorphismes, calculées dans $\widehat M$, d'objets admissibles sont admissibles, et $X \mapsto \widetilde X$ les envoie sur des sommes et des sommes amalgamées d'ensembles ordonnés épinglés.
\end{enumerate}
\end{theoreme}
\end{encadre}

\begin{proof}
(1) Si $X$ est réunion de sous-objets modèles, un élément $x$ appartient à un sous-objet $S \simeq h_E$ et y correspond à une flèche $g : D \to E$ ; si $X(a)(x) = X(b)(x)$, alors $a g = b g$, et $a = b$ puisque $g$ est un monomorphisme. Réciproquement, l'image de $h_D \to X$ est alors un sous-objet modèle qui contient $x$ et reste dans tout sous-préfaisceau contenant $x$ ; on obtient ainsi les deux conditions. (2) L'antisymétrie de l'ordre vient de (ii) et du caractère squelettique de $M$, et l'injectivité de $u_{(D,x)}$ de (1). En sens inverse, un ensemble ordonné épinglé $K$ donne le préfaisceau $X_K(D) = \tau_K^{-1}(D)$, sur lequel une flèche $a$ agit par $\xi \mapsto u_\xi(a)$ ; l'axiome~(2) est la fonctorialité, et $\widetilde{X_K} \simeq K$ parce que $u_\xi$ a pour image $K_{\leq \xi}$. Un morphisme épinglé $\widetilde X \to \widetilde Y$ préserve le type, donc s'écrit $(D, x) \mapsto (D, \alpha_D(x))$, et la commutation des triangles est la naturalité de $\alpha$. (3) Un élément d'une somme, ou d'une somme amalgamée le long de monomorphismes, provient d'un des termes, par un morphisme qui est un monomorphisme (les préfaisceaux forment une catégorie extensive et adhésive) ; il reste donc un monomorphisme. Une équivalence préserve les limites inductives, et la sous-catégorie pleine des objets admissibles les reflète (Lean : \texttt{admissible\_iff}, \texttt{versEpingle\_isEquivalence}, \texttt{mono\_iff\_injective\_versEpingle}, \texttt{admissible\_coproduit}, \texttt{admissible\_pushout}, \texttt{versEpingle\_coproduit}, \texttt{versEpingle\_pushout}).
\end{proof}

\begin{remarque}
L'ensemble ordonné $\widetilde X$ est la catégorie des éléments de $X$, que (ii), le caractère squelettique de $M$ et la condition de (1) rendent ordonnée ; l'équivalence est la restriction de l'équivalence classique entre préfaisceaux et catégories fibrées en ensembles. Plus que la page~16 ne le dit, tout préfaisceau muni d'un morphisme vers un objet admissible est admissible. Les parties fermées et le recollement des pages~14 et~15 font l'objet de l'énoncé suivant ; le N.B. de la page~16 n'est pas démontré.
\end{remarque}

\paragraph{Parties fermées, et épinglages par les éléments maximaux (pages 14 et 15).} La page~14 regarde un morphisme $f : K \to L$ d'ensembles ordonnés épinglés, surtout quand il est injectif : $f$ est alors un isomorphisme de $K$ sur son image $L' = f(K)$, partie fermée de $L$ (stable par passage aux éléments plus petits), et une partie fermée porte un unique épinglage induit pour lequel l'inclusion est admissible. La page~15 suppose que $K$ n'a qu'un nombre fini d'éléments maximaux et que tout élément est inférieur à l'un d'eux ; un épinglage est alors connu par les $u_\alpha$, $\alpha$ maximal, et une telle famille définit un épinglage si et seulement si, pour $\xi \leq \alpha, \beta$, les deux isomorphismes $I_n \simeq K_{\leq \xi}$ induits sont \q{les mêmes} (\lot{104}{1}{14}, \lot{104}{1}{15}).

\begin{encadre}
\begin{theoreme}[Grothendieck, pages 14 et 15, parties fermées et recollement\piste{104-pinned-posets-nonsingular-presheaves}]
Soit $M$ une petite catégorie squelettique dont toutes les flèches sont des monomorphismes et dont les seuls endomorphismes sont les identités, et soit $f : K \to L$ un morphisme d'ensembles ordonnés $M$-épinglés.
\begin{enumerate}
\item Pour tout $\xi \in K$, $f$ induit une bijection croissante et à réciproque croissante de $K_{\leq \xi}$ sur $L_{\leq f(\xi)}$.
\item $f$ est un monomorphisme d'ensembles ordonnés épinglés si et seulement s'il est injectif. Il est alors un isomorphisme d'ensembles ordonnés de $K$ sur $f(K)$, et $f(K)$ est une partie fermée de $L$.
\item Une partie fermée $S$ de $L$ porte un épinglage, $u^S_\xi = u^L_\xi$, pour lequel l'inclusion est un morphisme ; il est unique : tout $P$ muni d'un morphisme injectif $P \to L$ d'image $S$ lui est isomorphe, au-dessus de $L$. En particulier un morphisme injectif $f$ est un isomorphisme épinglé de $K$ sur $f(K)$ suivi de l'inclusion.
\item Soient $K$ un ensemble ordonné muni d'une application type strictement croissante, et $A \subset K$ une partie telle que tout élément soit inférieur à un élément de $A$ (par exemple les éléments maximaux, s'il y en a un nombre fini et que tout élément est sous l'un d'eux, ou si $K$ est fini). Un épinglage de $K$ est déterminé par les $u_\alpha$, $\alpha \in A$ : pour $\xi = u_\alpha(y)$, $u_\xi = u_\alpha \circ (- \circ y)$. Une famille d'isomorphismes $v_\alpha : I_{\tau(\alpha)} \simeq K_{\leq \alpha}$, $\alpha \in A$, avec $v_\alpha(d) = \alpha$ et $\tau \circ v_\alpha = \tau_{\tau(\alpha)}$, provient d'un épinglage si et seulement si, chaque fois que $v_\alpha(y) = v_\beta(y') = \xi$, les antécédents $y$ et $y'$ ont même type et $v_\alpha \circ (- \circ y) = v_\beta \circ (- \circ y')$ ; l'épinglage est alors unique.
\end{enumerate}
\end{theoreme}
\end{encadre}

\begin{proof}
(1) Par l'axiome b) et la commutation des triangles, $f(K_{\leq \xi}) = f(u^K_\xi(I_n)) = u^L_{f(\xi)}(I_n) = L_{\leq f(\xi)}$, et $f$ est injective sur $K_{\leq \xi}$ parce que $u^L_{f(\xi)}$ l'est ; si $f(a) \leq f(b)$ avec $a, b \leq \xi$, $f(a) = f(c)$ pour un $c \leq b$, et $a = c$. (2) Si $f$ est injectif, le même argument donne $f(a) \leq f(b) \Rightarrow a \leq b$, et $\eta \leq f(\xi)$ entraîne $\eta \in f(K_{\leq \xi})$. Si $f$ est un monomorphisme et $f(\xi) = f(\eta)$, $\xi$ et $\eta$ ont même type $D$ ; les deux morphismes $\widetilde{h_D} \to K$, $a \mapsto u_\xi(a)$ et $a \mapsto u_\eta(a)$, ont même composé avec $f$, donc sont égaux, et l'image de $\mathrm{id}_D$ donne $\xi = \eta$. (3) Si $\eta \leq \xi \in S$, $u^L_\xi$ prend ses valeurs dans $L_{\leq \xi} \subset S$, et les axiomes passent à $S$. Un morphisme épinglé bijectif dont la réciproque est croissante est un isomorphisme, la réciproque commutant aux épinglages par injectivité. (4) L'axiome~(2) donne $u_\xi = u_\alpha \circ (- \circ y)$, d'où l'unicité et la nécessité de la condition (le type de $y$ est $\tau(\xi)$ par~(1)). Réciproquement, on pose $u_\xi = v_\alpha \circ (- \circ y)$ pour un $\alpha \in A$ et un $y$ avec $v_\alpha(y) = \xi$ choisis ; la condition dit que le résultat ne dépend pas du choix, et les axiomes s'en déduisent, l'injectivité de $u_\xi$ et l'axiome b) parce que $y$ est un monomorphisme (Lean : \texttt{Epingle.\allowbreak{}Hom.\allowbreak{}image\_Iic}, \texttt{Epingle.\allowbreak{}Hom.\allowbreak{}injOn\_Iic}, \texttt{Epingle.\allowbreak{}Hom.\allowbreak{}le\_iff\_of\_le}, \texttt{Epingle.\allowbreak{}mono\_iff\_injective}, \texttt{Epingle.\allowbreak{}Hom.\allowbreak{}le\_iff\_of\_injective}, \texttt{Epingle.\allowbreak{}Hom.\allowbreak{}isLowerSet\_range}, \texttt{Epingle.\allowbreak{}restreint}, \texttt{Epingle.\allowbreak{}inclusion}, \texttt{Epingle.\allowbreak{}Hom.\allowbreak{}isIso\_versImage}, \texttt{Epingle.\allowbreak{}unique\_restreint}, \texttt{Epingle.\allowbreak{}u\_eq\_of\_le}, \texttt{Epingle.\allowbreak{}recollement}, \texttt{Recollement.\allowbreak{}recolle}, \texttt{Recollement.\allowbreak{}recolle\_u\_of\_mem}, \texttt{Recollement.\allowbreak{}recolle\_unique}, \texttt{exists\_le\_isMax}).
\end{proof}

\begin{remarque}
La finitude de l'ensemble des éléments maximaux ne sert pas : seul compte que tout élément soit sous l'un des $\alpha \in A$, et $A$ peut être n'importe quelle famille ayant cette propriété. La condition que les deux antécédents aient même type, implicite sur la page, découle de l'axiome~(1). Le monomorphisme du point (2) est pris dans la catégorie des ensembles ordonnés épinglés ; par l'équivalence de la page~13, ce sont aussi les monomorphismes de $\widehat M$.
\end{remarque}

Ne sont pas démontrés ici : la décomposition de toute flèche de l'exemple~1 en composé de faces, dont seul le pas est démontré ; l'isomorphisme $M \simeq M_0$ et la réciproque (pages~9 et~10) ; la sphéricité et la régularité de $|I_n^*|$ ; la page~11 ; le N.B. de la page~16 ; les conditions $(C_i)$ de la page~4 ; les sous-objets des exemples.
\bigskip
\noindent Autres pistes de l'onglet Findings pour ce thème, dans des cotes qui n'ont pas de section ici :\par

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Grothendieck, pages 42 à 45, excision pour deux cribles ouverts\piste{105-derivator-crible-excision}]\nonverifie
Soient $\mathbb D$ un dérivateur et $X$ une petite catégorie recouverte par deux cribles ouverts $U$ et $U'$. Si $U \cap U' \to U'$ est une $\mathbb D$-équivalence cohomologique, alors $U \to X$ en est une. C'est la moitié de l'axiome~W7 pour $W_{\mathbb D}$, tirée des seuls axiomes des dérivateurs.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small Les feuillets en esquissent une démonstration incomplète (page 45). L'identification de $\gamma(1,1)$ à $H^\bullet_{\mathbb D}(X, \xi)$ porte en marge \q{à vérifier (ou à mettre comme axiome sur les dérivateurs)}, et l'édition donne le pas qui manque. Mathlib n'a pas les dérivateurs. On se reportera aux notes de Grothendieck (\lot{105}{3}{42}).\par}

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Grothendieck, pages 20 et 22, rectification d'un carré relatif\piste{107-relative-square-rectification}]
Dans une catégorie de modèles, soit un carré $pg = g'i$ où $i : X \to X'$ est une cofibration et $p : Y \to Y'$ une fibration, et soient des cylindres $X \otimes J$, $X' \otimes J$ reliés par $i \otimes J$, tels que la flèche de coin $X \otimes J \sqcup_X X' \to X' \otimes J$ soit une cofibration triviale. Soit $\varphi : X' \to Y$ une diagonale. Il existe une diagonale $\overline{\varphi}$, homotope à $\varphi$, avec $\overline{\varphi} i = g$ et $p\overline{\varphi} = g'$, si et seulement s'il existe des homotopies $k : \varphi i \to g$ et $h : p\varphi \to g'$ compatibles, c'est-à-dire $p \circ k = h \circ (i \otimes J)$. Si $Y'$ est l'objet final, la compatibilité est automatique.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small \emph{Démonstration.} Suffisance : les données $\varphi$ sur $X' \otimes \{0\}$ et $k$ sur $X \otimes J$ se recollent en une flèche $X \otimes J \sqcup_X X' \to Y$ ; la compatibilité dit exactement que, composée avec $p$, elle est la restriction de $h$. Le carré ainsi formé a une cofibration triviale à gauche et la fibration $p$ à droite : il a un relèvement $L : X' \otimes J \to Y$, homotopie de $\varphi$ à $\overline{\varphi} = L \circ i_1$. Alors $\overline{\varphi} i = L \circ (i \otimes J) \circ i_1 = k \circ i_1 = g$ et $p\overline{\varphi} = h \circ i_1 = g'$. Nécessité : une homotopie $K : \varphi \to \overline{\varphi}$ donne $k = K \circ (i \otimes J)$ et $h = p \circ K$, qui sont compatibles par associativité. Si $Y'$ est final, deux flèches vers $Y'$ sont égales. Lean (\href{\leanblob/Folder107.lean}{\texttt{Folder107.\allowbreak{}lean}}) démontre la suffisance (\texttt{rectification}) sous la seule propriété de relèvement de $i \otimes J$ contre $p$, la nécessité (\texttt{compatible\_of\_rectification}), le critère (\texttt{rectification\_iff}, et \texttt{rectification\_modelCategory} dans une \texttt{ModelCategory} de Mathlib, où la propriété vient de l'axiome de relèvement) et le cas final (\texttt{rectification\_of\_isTerminal}).\par}
{\small La compatibilité est prise au sens strict de la page~22. Ne sont pas démontrés : la forme « à homotopie relative aux extrémités près » de la marge de la page~20, lecture de l'édition, qui demande des cylindres de cylindres ; l'existence, dans une catégorie de modèles quelconque, de cylindres relatifs dont la flèche de coin est une cofibration triviale (axiome SM7 dans le cas simplicial), qui est ici une hypothèse ; et le contre-exemple de l'édition (fibration des chemins sur $S^1$) montrant que la condition peut manquer. On se reportera aux notes de Grothendieck (\lot{107}{1}{20}).\par}

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Grothendieck, page 2, $\Delta^\circ$ et les catégories test\piste{108-delta-op-not-test}]\nonverifie
La catégorie $\Delta^\circ$ n'est pas une catégorie test.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small La question~6 de la liste reçoit pour réponse un \q{non} souligné, sans argument ; la page ne définit ni modélisateur ni catégorie test, et l'édition ne reconstruit pas d'argument. Mathlib n'a pas les catégories test. On se reportera aux notes de Grothendieck (\lot{108}{1}{2}).\par}

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[D'après les pages 18 à 20, forme complétée par l'édition, sommes amalgamées le long d'opfibrations ; voir aussi Cisinski~\cite{cisinski2006}\piste{118-pushout-along-cofibrations-in-cat}]\nonverifie
Soient $\mathcal W$ un localisateur fondamental et, dans $\mathbf{Cat}$, un carré cocartésien et cartésien formé de $i : Y \to X$, $g : Y \to Y'$, $f : X \to X'$ et $i' : Y' \to X'$, où $i'$ et $f$ sont des opfibrations de Grothendieck et où, au-dessus de chaque objet de $X'$, l'une des fibres de $f$ ou de $i'$ est équivalente au point. Ce carré est homotopiquement cocartésien : si $i \in \mathcal W$, alors $i' \in \mathcal W$, et si $g \in \mathcal W$, alors $f \in \mathcal W$.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small Les feuillets en esquissent une démonstration incomplète (pages 18 à 20). L'argument de cocartésianité s'interrompt, et l'hypothèse cartésienne est de la lecture. Cisinski conditionne ses énoncés voisins à des immersions, non à des opfibrations. Mathlib n'a pas les localisateurs fondamentaux. On se reportera aux notes de Grothendieck (\lot{118}{1}{18}).\par}

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Grothendieck, pages 161 à 179 et 189 à 199, schéma en groupes des automorphismes\piste{136-automorphism-group-scheme}]\nonverifie
Les homomorphismes d'anneaux simpliciaux entre algèbres de de Rham à puissances divisées $\mathcal A(S, S^+, t)_*$, sans graduation, filtration ni puissances divisées imposées, sont classés par des données $(\varphi_0, A'_1, (B'_i))$ soumises à trois conditions, la troisième étant $(2B'_i)J' = 0$. Le foncteur des automorphismes de l'algèbre complétée sur $k\{T\}$ est donc un schéma en groupes affine sur $\mathbf Z$, produit semi-direct de $\mathbf G_m$ par un groupe unipotent dont les facteurs sont tués par~$2$. Quand $2$ est inversible, tout automorphisme respecte la graduation extérieure et opère sur la cohomologie par $\mathbf G_m$ seul.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small Les feuillets en esquissent une démonstration incomplète (pages 173 à 179) : la condition~3) est affirmée sans raison, et la raison qu'en donne la lecture est la sienne. Mathlib n'a pas les algèbres simpliciales à puissances divisées. On se reportera aux notes de Grothendieck (\lot{136}{9}{161}).\par}

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Page 8, forme démontrée par l'édition, la ligne de degré total $n$ sur un simplexe\piste{136-pd-de-rham-shadows}]
Soient $k$ un anneau commutatif et $m \geq 0$. Sur le $m$-simplexe, $C^{\bullet\bullet}_{[m]} \simeq k\{T\}\{Y_1, \ldots, Y_m\}[dY_1, \ldots, dY_m]$, avec $dT = 0$. En degré total $n$, la ligne $0 \to k \xrightarrow{1 \mapsto T^{(n)}} C^{n,0}_{[m]} \to C^{n-1,1}_{[m]} \to \cdots \to C^{0,n}_{[m]} \to 0$ est exacte : tout cocycle de degré extérieur $q \geq 1$ est un cobord, et les cocycles de degré extérieur $0$ sont les $c\,T^{(n)}$, $c \in k$ unique. La multiplication par $T^{(j)}$ envoie la classe $T^{(n)}$ sur $c_{j,n}\,T^{(n+j)}$. Graduée par le degré total, la cohomologie de $\Delta[m]$ est donc $k\{T\} = \tau_{\geq 0}(H^0(\Delta[m], k) \otimes_k k\{T\})$.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small \emph{Démonstration.} Une forme s'écrit $\sum f(a, \beta, I)\, T^{(a)} Y^{(\beta)} dY_I$, et $d(Y^{(\beta)} dY_I) = \sum_j Y^{(\beta - e_j)} dY_j \wedge dY_I$ ; le carré de $d$ est nul, les deux ordres d'enlever $dY_i$ et $dY_j$ différant d'un signe. On construit une homotopie contractante sans division. Pour un monôme non constant, soit $j$ la plus petite variable qu'il fait intervenir, par $Y_j^{(\beta_j)}$ avec $\beta_j \geq 1$ ou par $dY_j$. On pose $H(Y^{(\beta)} dY_I) = Y^{(\beta + e_j)} dY_{I \smallsetminus j}$ si $j \in I$, et $0$ sinon. Quand $j \in I$, seul le terme où $d$ remet $dY_j$ survit dans $dH$ ; quand $j \notin I$, $Hd$ redonne le monôme, et les autres termes de $Hd$ et de $dH$ se compensent deux à deux. On obtient $Hd + dH = 1 - P$, où $P$ projette sur les constantes $T^{(a)}$. C'est l'homotopie du produit tensoriel des complexes à une variable $Y^{(a)} \mapsto Y^{(a-1)} dY$. Les puissances divisées la rendent entière, là où l'homotopie d'Euler diviserait par le poids. $H$ et $d$ conservent le degré total. Un cocycle $f$ de degré extérieur $q \geq 1$ vérifie $Pf = 0$, donc $f = d(Hf)$. En degré extérieur $0$, $Hf = 0$, donc $f = Pf$ est un multiple de $T^{(n)}$. Enfin $T^{(j)} T^{(a)} = c_{j,a} T^{(a+j)}$ commute à $d$. Lean (\href{\leanblob/Folder136.lean}{\texttt{Folder136.\allowbreak{}lean}}), sur un ensemble fini totalement ordonné de variables quelconque, démontre $d \circ d = 0$ (\texttt{pdD\_pdD}), la formule d'homotopie (\texttt{pdH\_pdD\_add}), l'exactitude en degré extérieur $q \geq 1$ (\texttt{exact\_of\_pos}), le degré~$0$ (\texttt{cocycle\_zero}, \texttt{smul\_tPow\_eq\_zero}), la structure de $k\{T\}$-module (\texttt{pdD\_tMul}, \texttt{tMul\_tMul}, \texttt{tMul\_tPow}), et les réunit dans \texttt{pd\_row\_cohomology}.\par}
{\small Le modèle en coordonnées $(T, Y_1, \ldots, Y_m)$, avec $Y_i = X_i$ et $X_0 = T - \sum Y_i$, est l'isomorphisme que les pages 5 à 7 énoncent ; il est identifié à $\Gamma\Phi_{[m]} \otimes \Lambda^q\Psi_{[m]}$, comme module et avec sa structure simpliciale, au théorème suivant. C'est le premier pas de l'argument de la page~8, l'exactitude de chaque ligne. Le second pas, l'acyclicité des $C^{p,q}_*$ pour $p \geq 1$, n'est pas formalisé, et l'énoncé pour un ensemble simplicial quelconque reste non vérifié (ci-dessous).\par}

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Pages 5 à 7, forme démontrée par l'édition, le modèle en coordonnées et sa structure simpliciale\piste{136-pd-de-rham-shadows}]
Soit $k$ un anneau commutatif. Si $(b_i)_{i \in \sigma}$ est une base finie d'un $k$-module $M$, les produits $\prod_i b_i^{(a_i)}$, $a \in \mathbf N^{(\sigma)}$, forment une base de l'algèbre à puissances divisées $\Gamma_k(M)$. Soient $\Phi_{[m]} = k^{m+1}$, $T = (1, \ldots, 1)$ et $\Psi_{[m]} = \Phi_{[m]}/k\,T$. Les $T, Y_1, \ldots, Y_m$, où $Y_i$ est le $i$-ième vecteur de base, forment une base de $\Phi_{[m]}$, les classes $dY_1, \ldots, dY_m$ des $Y_i$ une base de $\Psi_{[m]}$, et les $T^{(a)} Y^{(\beta)} \otimes dY_I$, $|I| = q$, une base de $\Gamma(\Phi_{[m]}) \otimes \Lambda^q \Psi_{[m]}$ : ce sont les monômes du modèle en coordonnées. On a $T^{(j)} \cdot T^{(a)} Y^{(\beta)} = c_{j,a}\, T^{(a+j)} Y^{(\beta)}$. Enfin $[n] \mapsto \Gamma(\Phi_{[n]}) \otimes \Lambda^q \Psi_{[n]}$, $\theta \mapsto \Gamma(\Phi(\theta)) \otimes \Lambda^q(\Psi(\theta))$, où $\Phi(\theta)(f) = f \circ \theta$, est un $k$-module simplicial, dont les $T^{(p)}$ sont des sections.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small \emph{Démonstration.} Mathlib définit $\Gamma_k(M)$ par générateurs et relations et montre que les produits $\prod_i b_i^{(a_i)}$ l'engendrent ; reste leur indépendance, sans division. L'algèbre symétrique $\operatorname{Sym} M^\vee$ est une bigèbre cocommutative où les $\varphi \in M^\vee$ sont primitifs, de sorte que son dual $(\operatorname{Sym} M^\vee)^*$, muni de la convolution, est un anneau commutatif. Pour $x \in M$, soit $F_n(x)$ la forme linéaire qui envoie $u$ sur le coefficient de $X^n$ dans l'image de $u$ par $\varphi \mapsto \varphi(x) X$. On a $F_0(x) = 1$, $F_n(rx) = r^n F_n(x)$, $F_n(x) F_p(x) = \binom{n+p}{n} F_{n+p}(x)$, car $X \mapsto X \otimes 1 + 1 \otimes X$ envoie $X^N$ sur $\sum \binom{N}{i} X^i \otimes X^{N-i}$, et $F_n(x+y) = \sum_{i+j=n} F_i(x) F_j(y)$. La propriété universelle donne un morphisme d'algèbres $\Gamma_k(M) \to (\operatorname{Sym} M^\vee)^*$, $x^{(n)} \mapsto F_n(x)$. Par récurrence sur le support de $a$, il envoie $\prod_i b_i^{(a_i)}$ sur la forme « coefficient de $X^a$ après $\varphi \mapsto \sum_i \varphi(b_i) X_i$ », qui vaut $1$ sur $\prod_i (b_i^\vee)^{a_i}$ et $0$ sur les autres monômes en les $b_i^\vee$. Les images sont donc indépendantes, et les produits aussi. Le reste est de l'algèbre linéaire : $\Psi_{[m]} \simeq k^m$ par $f \mapsto (f(i) - f(0))_i$, de noyau $k\,T$ ; les puissances extérieures d'un module libre ont la base des $dY_I$ (Mathlib) ; la formule pour $T^{(j)}$ est $T^{(j)} T^{(a)} = c_{j,a} T^{(a+j)}$ ; $\Phi(\theta)$ fixe $T$, passe donc au quotient $\Psi$, et la fonctorialité de $\Gamma$ et de $\Lambda^q$ donne celle du produit tensoriel. Lean (\href{\leanblob/Folder136.lean}{\texttt{Folder136.\allowbreak{}lean}}) démontre l'indépendance (\texttt{dp\_prod\_linearIndependent}), la base (\texttt{dpBasis}), les bases $T, Y$ et $dY$ (\texttt{tyBasis}, \texttt{psiBasis}), la base des monômes (\texttt{pdModelBasis\_apply}), l'action de $T^{(j)}$ (\texttt{dp\_one\_mul\_dpBasis}), le module simplicial (\texttt{pdSimplicial}) et la section $T^{(p)}$ (\texttt{pdModelMap\_tPow}).\par}
{\small La démonstration n'est pas celle des pages, qui écrivent l'isomorphisme $k\{T, X_0, \ldots, X_n\}/(\sum X_i - T)_{\mathrm{pd}} \simeq k\{X_0, \ldots, X_n\}$ sans le justifier. L'identification porte sur les modules et sur l'action de $k\{T\}$. Ne sont pas formalisés : la différentielle $d(x^{(n)}) = x^{(n-1)}\,dx$ sur $\Gamma\Phi \otimes \Lambda^\bullet\Psi$ et son accord avec celle du modèle en coordonnées, la graduation par $p$ (le $\Gamma$ de Mathlib n'est pas encore gradué), le produit de $\Gamma \otimes \Lambda^\bullet$, la présentation $S\{X_0, \ldots, X_n\}[dX]/(\sum X_i - t, \sum dX_i)_{\mathrm{pd}}$ de la page~5, et l'écriture des opérateurs de faces dans les coordonnées $(T, Y)$.\par}

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Grothendieck, pages 5 à 10 et 226 à 232, ombres de la cohomologie entière ; voir aussi Kageyama 2022\piste{136-pd-de-rham-shadows}]\nonverifie
Soit $C^{p,q} = \Gamma^p\Phi \otimes \Lambda^q\Psi$ la $k\{T\}$-algèbre simpliciale des formes à puissances divisées sur le simplexe $\sum X_i = T$. Pour tout ensemble simplicial $X$, la cohomologie de ses sections sur $X$ est $H^q(X, k)$ en tout degré complémentaire $p \geq 0$ ; graduée par le degré total, $H^{\bullet,q}$ est la troncature $\tau_{\geq q}(H^q(X, k) \otimes_k k\{T\})$. La cohomologie entière n'est retrouvée que sous la forme de ces ombres.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small La page~8 affirme sans démonstration l'exactitude de chaque ligne ; la lecture la démontre à partir du complexe de Koszul à puissances divisées, et les pages 226 à 232 refont le calcul. Kageyama construit la même algèbre sans en calculer la cohomologie. L'exactitude de chaque ligne est démontrée ci-dessus, simplexe par simplexe, ce qui donne l'énoncé pour $X = \Delta[m]$. Le passage à un ensemble simplicial quelconque n'est pas démontré : il demande l'acyclicité des $C^{p,q}_*$ pour $p \geq 1$ (proposition~1 de la page~226, $\Phi_* \simeq 0$) et la cohomologie d'un ensemble simplicial à coefficients dans un module simplicial, que Mathlib n'a pas. On se reportera aux notes de Grothendieck (\lot{136}{1}{5}).\par}

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Grothendieck, pages 10 à 14 et 17, hyperrecouvrements indexés par une catégorie quelconque\piste{151-hypercovering-any-index-category}]\nonverifie
Un hyperrecouvrement d'un topos $X$ indexé par une petite catégorie quelconque $A$, et non par un objet simplicial, est caractérisé par un seul axiome : la flèche de comparaison $\varphi_!(\varprojlim_I F_i) \to \varprojlim_I \varphi_!(F_i)$ est un épimorphisme pour tout diagramme fini de $\hat A$. La version où elle est un isomorphisme équivaut à l'exactitude à gauche de $\varphi_!$, c'est-à-dire à un morphisme de topos $X \to \hat A$.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small Les quatre axiomes des pages 10 à 13 se ramènent à celui-ci par $F = \varinjlim_{A/F} \alpha$ (pages 13, 14 et 17). Mathlib a les préfaisceaux et les extensions de Kan, mais pas les hyperrecouvrements d'un topos. On se reportera aux notes de Grothendieck (\lot{151}{1}{10}).\par}

\begin{encadre}
\begin{definition*}[Pages 59, 60 et 74, forme corrigée par l'édition, tubes mixtes\piste{151-mixed-tubes}]
Pour $i \leq j \leq k$, le tube mixte $V^j_{i,k}$ s'obtient en retirant du tube de $X_i$ dans $X_k$ la réunion $R_{i,k} \cup S_{j,k}$ de deux parties complémentaires du bord de $X_k$. Ces tubes interpolent de façon monotone entre le tube épointé $V^*_{i,k}$, pour $j = i$, et le tube plein $V_{i,k}$, pour $j = k$.
\end{definition*}
\end{encadre}
{\small La page écrit $R_{j,k} \cup S_{j,k}$, qui est le bord de $X_k$ pour tout $j$ : la famille serait constante, et l'indice $i$ est de l'édition. La page~74 commence une généralisation indexée par des cribles et s'interrompt. Mathlib n'a pas les espaces stratifiés ni leurs tubes. On se reportera aux notes de Grothendieck (\lot{151}{3}{59}).\par}

\begin{encadre}
\begin{exemple*}[Grothendieck, pages 38 à 42, $\Pi_1$ trop grossier pour la sphère\piste{151-pi1-too-coarse-for-the-sphere}]\nonverifie
Sur $\mathbf P^1_{\mathbf C} \simeq S^2$, stratifié par un point, un plan et un cercle, la somme amalgamée du diagramme des tubes au niveau du groupoïde fondamental est homotopiquement triviale, alors que la sphère ne l'est pas. En montant d'un niveau, aux gerbes, on retrouve $H^2(S^2, A) \simeq A$.
\end{exemple*}
\end{encadre}
{\small Mathlib n'a pas la théorie de l'homotopie des espaces stratifiés ni les gerbes. On se reportera aux notes de Grothendieck (\lot{151}{2}{38}).\par}

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Grothendieck, pages 62 à 68, recollement par les paires de couverture\piste{151-tube-gluing-covering-pairs}]
Un espace stratifié est la limite inductive d'un diagramme indexé par les seules paires $(i, j)$ de l'ensemble ordonné des strates où $j$ couvre $i$, avec trois flèches par paire, $X_i^* \to V_{i,j} \leftarrow V^*_{i,j} \to X_j^*$ ; aucune comparaison entre strates non adjacentes n'est nécessaire.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small Les feuillets en esquissent une démonstration incomplète (pages 62 et 63) : ils établissent, sous trois hypothèses, que ces trois inclusions sont les seules entre les pièces élémentaires. Le théorème de recollement de la page~68 est sans démonstration, et le mot qui y nomme l'opération est illisible. Mathlib n'a pas les espaces stratifiés. On se reportera aux notes de Grothendieck (\lot{151}{4}{62}).\par}

\begin{encadre}
\begin{contrexemple}[Pages 62 à 68, le recollement en profondeur deux]\verifie[\leanblobmain]{Folder151}
Soit $X = \mathbf R^2 \supset X_1 = \mathbf R \times \{0\} \supset X_0 = \{0\}$, et des tubes $\overline V_{0,1} \subset X_1$, $\overline V_{1,2} \subset \mathbf R^2$ quelconques contenant leurs âmes. Les hypothèses de recensement des pages~62 et~63 sont satisfaites ; la limite inductive, dans les espaces topologiques, du diagramme des paires de couverture $0 \lessdot 1 \lessdot 2$ est $\mathbf R^2$ muni de la topologie finale des sept pièces, strictement plus fine que celle de $\mathbf R^2$ : le plan privé de l'axe vertical épointé y est ouvert, et ne l'est pas dans $\mathbf R^2$.
\end{contrexemple}
\end{encadre}
{\small \emph{Démonstration.} Les sept pièces et les six flèches du diagramme sont des inclusions, et une famille compatible d'applications continues sur les pièces se recolle en une unique application continue sur $\mathbf R^2$ muni de la topologie finale (\texttt{exists\_unique\_desc}) : c'est la limite inductive. Le point $0$ ne voit que l'axe horizontal ; son voisinage dans $\mathbf R^2$ est le tube de la paire non adjacente $0 < 2$, qui n'entre pas dans le diagramme (\texttt{colimTop\_ne}). Lue comme limite inductive homotopique, l'affirmation échoue aussi : la caractéristique d'Euler du diagramme est $14 - 17 + 2 = -1$, et non $1$ ; ce calcul est fait à la main, non en Lean. Reste la lecture \q{au topos}, que le mot barré juste avant suggère, et que le fac-similé doit trancher. Un énoncé juste doit faire intervenir les comparaisons entre strates non adjacentes, comme la catégorie des chemins de sortie, ou se borner à la profondeur un.\par}

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Pages 62 à 68, le recollement en profondeur un]\verifie[\leanblobmain]{Folder151}
Soit $X$ un espace topologique, $X_0 \subset X$ une strate fermée et $\overline V \subset X$ un tube de $X_0$ qui en est un voisinage. Alors $X$, muni des inclusions des quatre pièces $X_0^* = X_0$, $V_{0,1} = \overline V$, $V^*_{0,1} = \overline V \smallsetminus X_0$ et $X_1^* = X \smallsetminus X_0$, est la limite inductive dans les espaces topologiques du diagramme $X_0^* \to V_{0,1} \leftarrow V^*_{0,1} \to X_1^*$ ; la topologie finale des quatre pièces est celle de $X$.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small \emph{Démonstration.} Une famille compatible d'applications continues sur les pièces se recolle en une application $g$ égale à $f_0$ sur $X_0$ et à $f_3$ hors de $X_0$ ; la compatibilité le long des trois flèches montre que $g$ coïncide avec $f_i$ sur chaque pièce. Comme $\overline V$ est voisinage de chaque point de $X_0$ et $X \smallsetminus X_0$ est ouvert, ces deux pièces recouvrent $X$ par des voisinages, et la continuité de $g$ sur chacune entraîne sa continuité (\texttt{exists\_unique\_desc}). De même, un ouvert $U$ de la topologie finale s'écrit $(W' \smallsetminus X_0) \cup (W \cap \operatorname{int}\overline V)$, avec $W$, $W'$ ouverts de $X$ (\texttt{colimTop\_eq}). Le cas de plusieurs strates sans chaîne de longueur deux n'est pas formalisé.\par}