\section[Cote 152 : le dictionnaire des graphes circularisés et des contours]{Cote 152 : le dictionnaire des graphes circularisés et des contours\protect\verifie{Folder152}}\label{sec:152}

La cote 152, \emph{Catégorie des types de mots [dont arbres plans] : notes manuscrites (s.d.)}, douze pages que l'inventaire date \q{[à partir de 1982]}, décrit un arbre plan de trois manières et montre qu'elles sont équivalentes. Les pages~4 à~12, sous sa pagination $1, 1', 2, 2', 3, 3'$, forment un texte suivi. On découpe la surface le long d'un graphe circularisé et l'on obtient un \emph{contour}, réunion de polygones, un par face. Les pages~7 et~9 écrivent le dictionnaire entre les deux données, trois fois, et les trois formes ne s'accordent pas. La page~7 encadre des formules où seule la rotation intervient. La page~9 pose en tête \q{$\sigma_\Gamma = \sigma_C$, $\rho_\Gamma = \rho_C$}, puis dresse un tableau dont les deux dernières lignes associent $\rho_\Gamma \sigma_\Gamma$ à $\rho_C$ et $\rho_\Gamma$ à $\rho_C \sigma_C$. Elle encadre enfin un critère pour qu'un graphe soit un arbre, dont les deux derniers mots ne se lisent pas (\lot{152}{1}{9}). La lecture retient la convention du tableau.

\begin{definition}
Soit $D$ un ensemble, celui des arcs (arêtes orientées, ou demi-arêtes). Un \emph{graphe circularisé sans sommet isolé} sur $D$ est la donnée d'une involution sans point fixe $\sigma_\Gamma$ de $D$ (le renversement des arcs) et d'une permutation $\rho_\Gamma$ de $D$ (l'arc suivant autour de l'origine) ; ses sommets sont les orbites de $\rho_\Gamma$. Un \emph{contour} sur $D$ est la donnée d'une permutation $\rho_C$ de $D$ (l'arête suivante sur le contour orienté) et d'une involution sans point fixe $\sigma_C$ de $D$ (le recollement) ; ses polygones, ou faces, sont les cycles de $\rho_C$. Le graphe est \emph{connexe} si deux arcs quelconques sont reliés par une suite de pas $x \mapsto \rho_\Gamma x$ et $x \mapsto \sigma_\Gamma x$, parcourus dans un sens ou dans l'autre. Comme la lecture, on identifie l'ensemble $A(C)$ des arêtes du contour à celui des arcs par l'application \q{arête droite}.
\end{definition}

\begin{enonce}[Équivalence, pages 7 et 9, sur les objets]
Sur un même ensemble $D$, les applications
\[
  (\sigma_\Gamma, \rho_\Gamma) \longmapsto (\rho_C, \sigma_C) = (\rho_\Gamma \sigma_\Gamma,\ \sigma_\Gamma),
  \qquad
  (\rho_C, \sigma_C) \longmapsto (\sigma_\Gamma, \rho_\Gamma) = (\sigma_C,\ \rho_C \sigma_C)
\]
sont des bijections réciproques entre graphes circularisés sans sommet isolé et contours munis d'une involution de recollement sans point fixe. Les trois formules $\sigma_C = \sigma_\Gamma$, $\rho_C = \rho_\Gamma \sigma_\Gamma$, $\rho_\Gamma = \rho_C \sigma_C$ valent ensemble, et les orbites de $\rho_C \sigma_C$ sont les sommets du graphe.
\end{enonce}

\begin{enonce}[Connexité, dans la démonstration du critère de la page 9]
Si $D$ est fini et que $\rho_C$ n'a qu'un cycle, le graphe est connexe.
\end{enonce}

\begin{remarque}
La tête de la page~9, $\rho_\Gamma = \rho_C$, est incompatible avec le tableau dès que $D$ n'est pas vide : jointe à $\rho_C = \rho_\Gamma \sigma_\Gamma$, elle forcerait $\sigma_\Gamma = \mathrm{id}$.
\end{remarque}

\begin{proof}[Démonstration de l'équivalence]
Tout repose sur $\sigma^2 = \mathrm{id}$ pour une involution. Partant de $(\sigma_\Gamma, \rho_\Gamma)$, on obtient le contour $(\rho_\Gamma \sigma_\Gamma, \sigma_\Gamma)$, dont l'involution est sans point fixe puisque c'est $\sigma_\Gamma$, puis le graphe $(\sigma_\Gamma, \rho_\Gamma \sigma_\Gamma \sigma_\Gamma) = (\sigma_\Gamma, \rho_\Gamma)$. Partant de $(\rho_C, \sigma_C)$, on obtient le graphe $(\sigma_C, \rho_C \sigma_C)$, puis le contour $(\rho_C \sigma_C \sigma_C, \sigma_C) = (\rho_C, \sigma_C)$. Les deux premières formules sont les définitions, et la troisième en résulte : $\rho_C \sigma_C = \rho_\Gamma \sigma_\Gamma \sigma_\Gamma = \rho_\Gamma$. Les permutations $\rho_C \sigma_C$ et $\rho_\Gamma$ étant égales, elles ont les mêmes orbites, qui sont les sommets.
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration de la connexité]
Soient $a, b \in D$. Comme $\rho_C$ n'a qu'un cycle et que $D$ est fini, il existe un entier $k \geq 0$ tel que $b = \rho_C^{\,k}(a)$. Raisonnons par récurrence sur $k$. Pour $k = 0$, $b = a$. Si $\rho_C^{\,k}(a)$ est relié à $a$, alors $\rho_C^{\,k+1}(a) = \rho_\Gamma\bigl(\sigma_\Gamma(\rho_C^{\,k}(a))\bigr)$ l'est aussi, par un pas $\sigma_\Gamma$ suivi d'un pas $\rho_\Gamma$.
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration de la remarque]
Si $\rho_\Gamma = \rho_\Gamma \sigma_\Gamma$, la composition à gauche par $\rho_\Gamma^{-1}$ donne $\sigma_\Gamma = \mathrm{id}$, et tout arc serait un point fixe de $\sigma_\Gamma$, ce qui est exclu dès qu'il y a un arc.
\end{proof}

La figure~\ref{fig:152-arbre} suit le dictionnaire sur l'arbre plan à trois arêtes issues d'un même sommet. Les six arcs sont numérotés de sorte que $1$, $2$, $3$ partent du centre et que $\sigma_\Gamma$ échange $1$ et $4$, $2$ et $5$, $3$ et $6$ ; la rotation est $\rho_\Gamma = (1\,2\,3)$, qui fixe $4$, $5$, $6$. Alors $\rho_C = \rho_\Gamma\sigma_\Gamma$ envoie $1$ sur $\rho_\Gamma(4) = 4$, $4$ sur $\rho_\Gamma(1) = 2$, et ainsi de suite : $\rho_C = (1\,4\,2\,5\,3\,6)$ n'a qu'un cycle, le contour est un hexagone, et l'énoncé de connexité s'applique. Les sommets se lisent aux coins de l'hexagone : entre le côté $x$ et le côté $\rho_C x$ se trouve l'orbite de $\rho_\Gamma$ qui contient $\rho_C x$.

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{tikzpicture}[x=1cm, y=1cm, >=stealth, every node/.style={font=\small}]
\begin{scope}
\foreach \ang/\o/\r in {90/1/4, 210/2/5, 330/3/6} {
  \begin{scope}[rotate=\ang]
  \draw[black!35, line width=2.4pt] (0,0) -- (2,0);
  \draw[->, shorten >=5pt, shorten <=5pt] (0,-0.17) -- (2,-0.17);
  \draw[<-, shorten >=5pt, shorten <=5pt] (0,0.17) -- (2,0.17);
  \fill (2,0) circle (1.8pt);
  \end{scope}
  \node at ([shift={(\ang-90:0.36)}]\ang:1.05) {$\o$};
  \node at ([shift={(\ang+90:0.36)}]\ang:1.05) {$\r$};
}
\fill (0,0) circle (1.8pt);
\draw[->, black!60] (105:0.5) arc[start angle=105, end angle=195, radius=0.5];
\node[black!60] at (150:0.8) {\footnotesize $\rho_\Gamma$};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=6.3cm, yshift=0.15cm]
\foreach \k in {0,...,5} \coordinate (h\k) at ({90-60*\k}:1.8);
\fill[black!8] (h0)--(h1)--(h2)--(h3)--(h4)--(h5)--cycle;
\foreach \a/\b in {0/1, 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/0} \draw[->, shorten >=2pt, shorten <=2pt] (h\a) -- (h\b);
\foreach \k/\l in {0/1, 1/4, 2/2, 3/5, 4/3, 5/6} \node at ({60-60*\k}:1.33) {$\l$};
\foreach \k in {0,...,5} \fill (h\k) circle (1.5pt);
\foreach \k/\v in {0/{1,2,3}, 1/{4}, 2/{1,2,3}, 3/{5}, 4/{1,2,3}, 5/{6}} \node[black!70] at ({90-60*\k}:2.28) {\footnotesize $\{\v\}$};
\node[black!60] at (0,0) {\footnotesize $\rho_C$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\caption{À gauche, un arbre plan à trois arêtes et ses six arcs : $\sigma_\Gamma$ échange les deux arcs d'une même arête, $\rho_\Gamma = (1\,2\,3)$ tourne autour du centre. À droite, le contour obtenu en découpant le plan le long de l'arbre : un seul polygone, dont les côtés se succèdent selon $\rho_C = \rho_\Gamma\sigma_\Gamma = (1\,4\,2\,5\,3\,6)$, et que $\sigma_C = \sigma_\Gamma$ recolle en identifiant les côtés $1$ et $4$, $2$ et $5$, $3$ et $6$. Les coins portent les sommets, orbites de $\rho_C\sigma_C = \rho_\Gamma$ : le centre trois fois, chaque feuille une fois.}
\label{fig:152-arbre}
\end{figure}

\begin{remarque}
L'équivalence est le dictionnaire classique des cartes combinatoires, où les faces sont les cycles du produit de la rotation et de l'involution. Il remonte aux systèmes de rotation d'Edmonds (1960) ; sa forme par une paire de permutations est celle de Jacques (1968) \cite{jacques1968} et de Cori (1975) \cite{cori1975}.
\end{remarque}

\begin{remarque}
L'équivalence est établie sur les objets, les deux données vivant sur le même ensemble ; les morphismes ne sont examinés ni ici ni sur la page.
\end{remarque}

Ne sont pas démontrés ici : les plongements dans une surface orientée et les circularisations (page~4) ; le critère encadré des arbres (page~9) ; la fonctorialité ; les pages~2, 3 et~10 à~12.
\section[Cote 88 : l'ordre $2\nu$ et la trichotomie des cartes standard]{Cote 88 : l'ordre $2\nu$ et la trichotomie des cartes standard\protect\verifie{Folder88}}\label{sec:88}

La cote 88, \emph{Cartes standards : notes manuscrites (s.d.)}, quinze pages sans date, appartient au groupe \q{Géométrie et topologie combinatoire} que l'inventaire date \q{1976-[vers 1986]}. Elle contient deux textes. Le premier, sous le titre de chemise \q{Cartes associées aux syst.\ de Racines}, remplace un système de racines par son groupe de Weyl, le torseur de ses bases et ses réflexions simples. Il fait opérer des involutions $\sigma_0, \dots, \sigma_{\ell-1}$ sur les drapeaux du complexe qu'il en tire, et calcule à la page~8 l'ordre du dernier produit : \q{ordre de $\pi = \sigma_{\ell-2}\,\sigma_{\ell-1} = 2\nu$}, $\nu$ étant \q{le ppcm des $n_{ij}$} (\lot{88}{1}{8}). Le second, intitulé de sa main \q{Théorème (à prouver)}, énonce en sept articles la théorie des cartes régulières de type $(p, q)$. Son article~(6), à la page~14, les répartit en sphériques, euclidiennes et hyperboliques par des listes de couples (\lot{88}{1}{14}). Deux énoncés de la lecture sont démontrés ici : la proposition de la page~8, et l'arithmétique qui trie les cas de l'article~(6).

\begin{definition}
Soient $W$ un groupe, $R$ un ensemble non vide sur lequel $W$ opère librement et transitivement, $I$ un ensemble fini de cardinal $\ell \geq 2$, et $\varphi : R \times I \to W$ une application telle que
\[
  \text{a)}\ \ \varphi(wr, i) = w\,\varphi(r, i)\,w^{-1}, \qquad \varphi(r, i)^2 = 1 \qquad (w \in W,\ r \in R,\ i \in I).
\]
Soit $\mathrm{Rep}'(I)$ l'ensemble des bijections $u : [1, \ell] \to I$, et $\tau$ la transposition de $\ell - 1$ et $\ell$. On définit sur $R \times \mathrm{Rep}'(I)$
\[
  \sigma_{\ell-2}(r, u) = (r,\ u \circ \tau), \qquad
  \sigma_{\ell-1}(r, u) = \bigl(\varphi(r, u(\ell))\, r,\ u\bigr).
\]
Pour $g \in W$, on note $\operatorname{ord}(g)$ le générateur positif ou nul du sous-groupe $\{k \in \mathbf Z \mid g^k = 1\}$, qui est nul si $g$ est d'ordre infini, et de même pour une permutation. On pose $n_{ij} = \operatorname{ord}\bigl(\varphi(r, i)\varphi(r, j)\bigr)$ et $\nu = \operatorname{ppcm}\{n_{ij} \mid i \neq j\}$, un ppcm dont un terme est nul étant nul.
\end{definition}

\noindent Dans la lecture, $W$ est le groupe de Weyl, $R$ l'ensemble des bases, $\varphi(r, i)$ la réflexion simple d'indice $i$ relative à la base $r$ ; seules sont retenues ici, des quatre conditions a) à d) que la lecture énonce, la condition a) et la moitié $\varphi(r,i)^2 = 1$ de c).

\begin{enonce}[Proposition, page 8]
L'ordre de $\sigma_{\ell-2}\sigma_{\ell-1}$ sur $R \times \mathrm{Rep}'(I)$ est $2\nu$, où $\nu$ est le plus petit commun multiple des $n_{ij}$, $i \neq j$.
\end{enonce}

\begin{enonce}[Article (6), page 14 : l'arithmétique]
Soient $p, q \geq 1$ des entiers, le type $(p, q)$ étant atteint au sens de l'article~(2) : on exclut $(1, q)$ pour $q \neq 2$ et $(p, 1)$ pour $p \neq 2$. Alors
\begin{enumerate}
\item $\frac1p + \frac1q > \frac12$ si et seulement si $p = 2$, ou $q = 2$, ou $(p, q)$ est l'un de $(3,3)$, $(3,4)$, $(4,3)$, $(3,5)$, $(5,3)$ ;
\item $\frac1p + \frac1q = \frac12$ si et seulement si $(p, q)$ est l'un de $(4,4)$, $(3,6)$, $(6,3)$ ;
\item pour $p, q \geq 3$, $\frac1p + \frac1q < \frac12$ si et seulement si $p + q \geq 9$ et $(p, q) \neq (3,6), (6,3)$.
\end{enumerate}
\end{enonce}

On pose $\pi = \sigma_{\ell-1}\sigma_{\ell-2}$, le produit avec lequel calcule la page~6, et, pour $(r, u)$ donné, $a = \varphi(r, u(\ell-1))$ et $b = \varphi(r, u(\ell))$.

\begin{lemme}\label{lem:88-invol}
$\sigma_{\ell-2}$ et $\sigma_{\ell-1}$ sont des involutions ; par suite $\sigma_{\ell-2}\sigma_{\ell-1} = \pi^{-1}$.
\end{lemme}

\begin{proof}
Pour $\sigma_{\ell-2}$, c'est $\tau^2 = \mathrm{id}$. Pour $\sigma_{\ell-1}$, posons $s = \varphi(r, i)$ avec $i = u(\ell)$ ; par a), $\varphi(sr, i) = s\,s\,s^{-1} = s$, de sorte que $\sigma_{\ell-1}^2(r, u) = (s^2 r, u) = (r, u)$. Alors $\sigma_{\ell-2}\sigma_{\ell-1} = \sigma_{\ell-2}^{-1}\sigma_{\ell-1}^{-1} = (\sigma_{\ell-1}\sigma_{\ell-2})^{-1}$.
\end{proof}

\begin{lemme}\label{lem:88-carre}
On a $\pi(r, u) = \bigl(a\, r,\ u \circ \tau\bigr)$ ; pour tout $g \in W$, $\pi^2(g r, u) = (g\,ab\,r, u)$ ; et, pour tout entier $m \geq 0$, $\pi^{2m}(r, u) = \bigl((ab)^m r,\ u\bigr)$ et la seconde composante de $\pi^{2m+1}(r, u)$ est différente de $u$.
\end{lemme}

\begin{proof}
Comme $(u \circ \tau)(\ell) = u(\ell - 1)$, $\pi(r, u) = \sigma_{\ell-1}(r, u \circ \tau) = (a r, u \circ \tau)$. Pour $g \in W$, a) donne $\varphi(gr, u(\ell-1)) = g a g^{-1}$, d'où $\pi(gr, u) = (g a r, u \circ \tau)$ ; puis, $(u \circ \tau)(\ell - 1) = u(\ell)$ et $(u \circ \tau) \circ \tau = u$, et a) donne $\varphi(gar, u(\ell)) = (ga)\,b\,(ga)^{-1}$, d'où $\pi(gar, u \circ \tau) = (g a b r, u)$. La formule pour $\pi^{2m}$ s'en déduit par récurrence, en appliquant la précédente à $g = (ab)^m$. Enfin $\pi^{2m+1}(r, u) = \pi\bigl((ab)^m r, u\bigr)$ a pour seconde composante $u \circ \tau$, et $(u \circ \tau)(\ell) = u(\ell - 1) \neq u(\ell)$ puisque $u$ est injective.
\end{proof}

\begin{lemme}\label{lem:88-fixe}
Pour tout entier $k \geq 0$, $\pi^k(r, u) = (r, u)$ si et seulement si $2\, n_{u(\ell-1),\, u(\ell)}$ divise $k$.
\end{lemme}

\begin{proof}
Si $k = 2m$ est pair, $\pi^k(r, u) = ((ab)^m r, u)$ par le lemme~\ref{lem:88-carre} ; l'action étant libre, c'est $(r, u)$ si et seulement si $(ab)^m = 1$, c'est-à-dire si et seulement si $\operatorname{ord}(ab)$ divise $m$, soit $2\operatorname{ord}(ab)$ divise $k$. Si $k$ est impair, $\pi^k(r, u) \neq (r, u)$ par le même lemme, et $2\operatorname{ord}(ab)$ ne divise pas $k$. Enfin $ab = \varphi(r, u(\ell-1))\varphi(r, u(\ell))$ est d'ordre $n_{u(\ell-1), u(\ell)}$ par le lemme suivant, qui assure que cet ordre ne dépend pas de $r$.
\end{proof}

\begin{lemme}\label{lem:88-indep}
L'ordre de $\varphi(r, i)\varphi(r, j)$ ne dépend pas de $r \in R$. Et pour $i \neq j$ dans $I$, il existe $u \in \mathrm{Rep}'(I)$ avec $u(\ell - 1) = i$ et $u(\ell) = j$.
\end{lemme}

\begin{proof}
Soient $r, r' \in R$ ; par transitivité, $r' = wr$ pour un $w \in W$, et par a), $\varphi(r', i)\varphi(r', j) = w\,\varphi(r, i)\varphi(r, j)\,w^{-1}$, qui est conjugué de $\varphi(r, i)\varphi(r, j)$ et a donc le même ordre. Pour la seconde assertion, partons d'une bijection $e : [1, \ell] \to I$, qui existe puisque $I$ a $\ell$ éléments. On la compose à gauche par la transposition de $e(\ell - 1)$ et de $i$, pour obtenir $u_1$ avec $u_1(\ell - 1) = i$, puis par la transposition de $u_1(\ell)$ et de $j$. Comme $u_1(\ell) \neq i$ et $j \neq i$, cette seconde transposition fixe $i$, et la bijection obtenue envoie $\ell - 1$ sur $i$ et $\ell$ sur $j$.
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration de la proposition]
Par le lemme~\ref{lem:88-invol}, $\sigma_{\ell-2}\sigma_{\ell-1}$ a le même ordre que $\pi$. Montrons que $\pi^k = \mathrm{id}$ si et seulement si $2n_{ij}$ divise $k$ pour tous $i \neq j$. Si $\pi^k = \mathrm{id}$ et $i \neq j$, prenons $u$ comme au lemme~\ref{lem:88-indep} et un $r$ quelconque de $R$, qui n'est pas vide : le lemme~\ref{lem:88-fixe} en $(r, u)$ donne $2n_{ij} \mid k$. Réciproquement, pour tout $(r, u)$, les indices $u(\ell - 1)$ et $u(\ell)$ sont distincts, et le lemme~\ref{lem:88-fixe} donne $\pi^k(r, u) = (r, u)$. Or $2n_{ij} \mid k$ pour tous $i \neq j$ équivaut à $2\nu \mid k$ : si c'est le cas pour tous, $k$ est pair, puisqu'il existe au moins un couple $i \neq j$, et $k/2$ est un multiple commun des $n_{ij}$, donc de $\nu$ ; la réciproque vient de ce que chaque $n_{ij}$ divise $\nu$. Ainsi $\{k \mid \pi^k = \mathrm{id}\} = 2\nu\,\mathbf Z$, et l'ordre de $\pi$ est $2\nu$.
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration de l'arithmétique de (6)]
Pour $p, q \geq 1$, $\frac1p + \frac1q > \frac12$, $= \frac12$, $< \frac12$ équivalent respectivement à $pq < 2(p + q)$, $pq = 2(p + q)$, $pq > 2(p + q)$, c'est-à-dire à $(p-2)(q-2) < 4$, $= 4$, $> 4$. Si $p \geq 7$, $pq < 2(p+q)$ entraîne $q \leq 2$, et symétriquement ; hors de ces cas, il reste un nombre fini de couples avec $p, q \leq 6$, qu'on examine un à un. Pour~(1), $p = 2$ ou $q = 2$ donnent $0 < 4$ ; $p = 1$ n'est permis qu'avec $q = 2$, et $q = 1$ qu'avec $p = 2$ ; pour $p, q \geq 3$, $(p-2)(q-2) \in \{1, 2, 3\}$ laisse exactement $(3,3)$, $(3,4)$, $(4,3)$, $(3,5)$, $(5,3)$. Pour~(2), $p$ ou $q$ égal à $1$ ou $2$ est exclu, puisque $(p-2)(q-2)$ vaut alors $0$, ou $2 - q$ ou $2 - p$, qui est au plus $1$ ; pour $p, q \geq 3$, $(p-2)(q-2) = 4$ donne $(3,6)$, $(4,4)$, $(6,3)$. Pour~(3), les couples $p, q \geq 3$ qui ne vérifient pas $(p-2)(q-2) > 4$ sont les huit couples obtenus en~(1) et~(2). Six d'entre eux, les cinq de~(1) et $(4,4)$, sont exactement les couples $p, q \geq 3$ de somme au plus~$8$ ; les deux autres, $(3,6)$ et $(6,3)$, sont de somme~$9$. Un couple $p, q \geq 3$ vérifie donc $(p-2)(q-2) > 4$ si et seulement si $p + q \geq 9$ et $(p, q) \neq (3,6), (6,3)$.
\end{proof}

La figure~\ref{fig:88-types} place les types $(p, q)$ autour de l'hyperbole $(p - 2)(q - 2) = 4$, qui porte les trois types euclidiens et sépare les sphériques, en dessous, des hyperboliques, au-dessus. La droite $p + q = 9$ du point~(3) passe par $(3, 6)$ et $(6, 3)$, sur l'hyperbole, et laisse en dessous les six autres couples $p, q \geq 3$ qui ne sont pas hyperboliques.

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{tikzpicture}[x=0.62cm, y=0.62cm, >=stealth, every node/.style={font=\small}]
\draw[->, black!55] (0.4,0.4) -- (8.9,0.4) node[right] {$p$};
\draw[->, black!55] (0.4,0.4) -- (0.4,8.9) node[above] {$q$};
\foreach \k in {1,...,8} { \node[below, black!70] at (\k,0.4) {\footnotesize $\k$}; \node[left, black!70] at (0.4,\k) {\footnotesize $\k$}; }
\draw[black!45, densely dashed] (0.9,8.1) -- (8.1,0.9) node[right, black!60] {\footnotesize $p + q = 9$};
\draw[black!70] plot[domain=2.62:8.45, samples=80, smooth] (\x, {2 + 4/(\x - 2)});
\node[black!70, anchor=west] at (8.55,2.62) {\footnotesize $(p - 2)(q - 2) = 4$};
\foreach \p/\q in {1/2, 2/1, 2/2, 2/3, 2/4, 2/5, 2/6, 2/7, 2/8, 3/2, 3/3, 3/4, 3/5, 4/2, 4/3, 5/2, 5/3, 6/2, 7/2, 8/2} \fill (\p,\q) circle (3pt);
\foreach \p/\q in {3/6, 4/4, 6/3} \fill[frise] (\p,\q) circle (3.4pt);
\foreach \p/\q in {3/7, 3/8, 4/5, 4/6, 4/7, 4/8, 5/4, 5/5, 5/6, 5/7, 5/8, 6/4, 6/5, 6/6, 6/7, 6/8, 7/3, 7/4, 7/5, 7/6, 7/7, 7/8, 8/3, 8/4, 8/5, 8/6, 8/7, 8/8} \draw[fill=white] (\p,\q) circle (2.6pt);
\begin{scope}[xshift=10.2cm, yshift=3.1cm]
\fill (0,1.2) circle (3pt); \node[anchor=west] at (0.4,1.2) {sphérique, $\frac1p + \frac1q > \frac12$};
\fill[frise] (0,0) circle (3.4pt); \node[anchor=west] at (0.4,0) {euclidien, $\frac1p + \frac1q = \frac12$};
\draw[fill=white] (0,-1.2) circle (2.6pt); \node[anchor=west] at (0.4,-1.2) {hyperbolique, $\frac1p + \frac1q < \frac12$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\caption{Les types $(p, q)$ atteints, $p, q \leq 8$. Les sphériques sont les $(2, q)$, les $(p, 2)$ et les cinq types platoniciens $(3, 3)$, $(3, 4)$, $(4, 3)$, $(3, 5)$, $(5, 3)$ ; les euclidiens, sur l'hyperbole, sont $(4, 4)$, $(3, 6)$, $(6, 3)$. Parmi les $p, q \geq 3$, les hyperboliques sont les couples de somme au moins~$9$, hors de $(3, 6)$ et $(6, 3)$. Les types $(1, q)$, $q \neq 2$, et $(p, 1)$, $p \neq 2$, sont exclus.}
\label{fig:88-types}
\end{figure}

\begin{remarque}
La proposition demande seulement un groupe $W$ opérant librement et transitivement sur $R$ et une application $\varphi$ vérifiant a) et $\varphi(r, i)^2 = 1$. Que $W$ soit un groupe de Weyl, la condition b), la présentation c) et le graphe de Coxeter d) n'interviennent pas.
\end{remarque}

\begin{remarque}
La finitude de $W$ n'intervient pas : avec la convention adoptée pour l'ordre, la formule $2\nu$ vaut encore quand un $n_{ij}$ est infini.
\end{remarque}

\begin{remarque}
La page~14 écrit la condition $(c_2)$ \q{$p + q \geqslant 10$ ou $(p,q) \neq (3,6), (6,3)$} ; la forme juste, que la lecture rétablit et qui est démontrée en~(3), est $p + q \geq 9$ \emph{et} $(p, q) \neq (3,6), (6,3)$.
\end{remarque}

\begin{remarque}
La répartition des types $(p, q)$ en sphériques, euclidiens et hyperboliques selon le signe de $\frac1p + \frac1q - \frac12$ figure au chapitre~8 de Coxeter et Moser (1957) \cite{coxetermoser1957}. La réalisation de toute carte de type $(p, q)$ comme quotient de la carte universelle par un sous-groupe du groupe triangulaire, régulière si et seulement si le sous-groupe est distingué, est due à Jones et Singerman (1978) \cite{jonessingerman1978}.
\end{remarque}

\begin{remarque}
Dans la lecture, la présentation de Coxeter du groupe cartographique, $\widehat\Gamma = \langle \sigma_0, \sigma_1, \sigma_2 \mid \sigma_i^2,\ (\sigma_0\sigma_2)^2 \rangle$, est une définition reprise de l'\emph{Esquisse d'un programme}. Elle n'appelle pas de démonstration.
\end{remarque}

Ne sont pas démontrés ici : l'application $\mathrm{Aut}(\Sigma) \to \mathrm{Aut}(\Phi(\Sigma))$ (pages~3 et~4) ; les autres relations entre les $\sigma_i$ ; la triangulation de la sphère ; les articles (1) à~(5) et~(7) ; le contenu géométrique de~(6).
\section[Cote 73 : les aires des oreilles d'un polygone plan]{Cote 73 : les aires des oreilles d'un polygone plan\protect\verifie{Folder73}}\label{sec:73}

La cote 73, \emph{Polygones : notes manuscrites (s.d.), lettre (s.d.)}, vingt-huit pages que l'inventaire date \q{[à partir de 1976]}, étudie l'application qui envoie un polygone plan, donné par ses côtés $u_i = s_{i+1} - s_i$, sur les aires algébriques doublées de ses \q{oreilles}, les triangles $s_{i-1}s_is_{i+1}$ : $\mu_i = u_{i-1} \wedge u_i$. La page~5, consacrée au quadrilatère fermé, établit $\mu_0 + \mu_2 = \mu_1 + \mu_3$, écrit \q{$\mathbf{M}_4 \to \mathbf{P}^2_{\mathbf{Z}}$ mono}, puis \q{épi ?}, donne les formules inverses et conclut \q{$\mathbf{M}_4 \simeq \mathbf{P}^2_{\mathbf{Z}}$} ; elle encadre $u_2 = 0 \Leftrightarrow \mu_2 = \mu_3 = 0$ (\lot{73}{1}{5}). La page~6 parle de \q{l'enveloppe projective de $A$}, l'ensemble des arêtes (\lot{73}{1}{6}). Les pages~14 et~15 écrivent la relation des multiplicateurs de Lagrange et encadrent la formule close $\lambda_i u_{i-1}u_i = -\lambda_0 u_{-1}u_{1i} + \lambda_1 u_1 u_{0i}$ (\lot{73}{1}{15}). La page~18 pose $\lambda_0 = 0$ et dessine un ennéagone étoilé (\lot{73}{1}{18}). Le bas de la page~28 énonce, pour le \q{cas spécial II}, un critère : \q{a) $\sum u_i = 0$ ; b) $u_{i-1}, u_i \parallel u_1, u_{0i}$}, précédé d'un \q{il faut et il suffit} lu avec doute, et ajoute que les $i$ tels que $\lambda_i = 0$ sont ceux pour lesquels $s_i = s_0$ (\lot{73}{2}{28}).

\noindent\emph{Conventions.} $k$ est un corps et $V = k^2$, muni de la forme volume $a \wedge b = a_0b_1 - a_1b_0$. Une application affine agit sur les côtés par sa partie linéaire, une matrice $M$ d'ordre~$2$. Pour un quadrilatère, les indices sont pris modulo~$4$ ; il est fermé quand $u_0 + u_1 + u_2 + u_3 = 0$, et aligné quand tous les $u_i \wedge u_j$ sont nuls. Pour un $n$-gone, $n \geq 3$, les côtés sont indexés par $\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$ et $u_{0i} = u_0 + \cdots + u_{i-1} = s_i - s_0$. Comme la lecture, on lit la juxtaposition $u\,v$ de la page comme le produit $u \cdot v$ dans le carré symétrique $\operatorname{Sym}^2 V$, identifié à $k^3$ par $a \cdot b = (a_0b_0,\ a_0b_1 + a_1b_0,\ a_1b_1)$ : ce sont les coefficients de la forme quadratique $(a_0X + a_1Y)(b_0X + b_1Y)$. L'espace $N(u_*)$ des multiplicateurs est celui des $(\lambda_i) \in k^{\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}}$ tels que
\[ (\ast) \qquad \lambda_i u_{i-1} - \lambda_{i+1}(u_i + u_{i+1}) + \lambda_{i+2} u_{i+2} = 0 \qquad \text{pour tout } i. \]

L'oreille en $s_i$ est le triangle $s_{i-1}s_is_{i+1}$, d'aire algébrique doublée $\mu_i = u_{i-1} \wedge u_i$. Pour un quadrilatère convexe parcouru dans le sens direct, les oreilles en $s_0$ et $s_2$ se partagent le quadrilatère le long de la diagonale $s_1s_3$, celles en $s_1$ et $s_3$ le long de $s_0s_2$ : $\mu_0 + \mu_2$ et $\mu_1 + \mu_3$ valent l'un et l'autre le double de son aire. Dans ce cas, la relation du théorème ci-dessous se lit sur la figure.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=1cm, y=1cm, every node/.style={font=\small}, >=stealth]
\begin{scope}
\coordinate (s0) at (0,0); \coordinate (s1) at (3,-0.3); \coordinate (s2) at (3.6,2); \coordinate (s3) at (0.6,2.4);
\fill[black!12] (s3)--(s0)--(s1)--cycle; \fill[black!28] (s1)--(s2)--(s3)--cycle;
\draw[densely dashed] (s1)--(s3);
\draw[->] (s0)--(s1) node[midway, below] {$u_0$}; \draw[->] (s1)--(s2) node[midway, right] {$u_1$};
\draw[->] (s2)--(s3) node[midway, above] {$u_2$}; \draw[->] (s3)--(s0) node[midway, left] {$u_3$};
\node[below left] at (s0) {$s_0$}; \node[below right] at (s1) {$s_1$}; \node[above right] at (s2) {$s_2$}; \node[above left] at (s3) {$s_3$};
\node at (1.2,0.75) {$\mu_0$}; \node at (2.5,1.45) {$\mu_2$};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=6cm]
\coordinate (s0) at (0,0); \coordinate (s1) at (3,-0.3); \coordinate (s2) at (3.6,2); \coordinate (s3) at (0.6,2.4);
\fill[black!12] (s0)--(s1)--(s2)--cycle; \fill[black!28] (s2)--(s3)--(s0)--cycle;
\draw[densely dashed] (s0)--(s2);
\draw[->] (s0)--(s1) node[midway, below] {$u_0$}; \draw[->] (s1)--(s2) node[midway, right] {$u_1$};
\draw[->] (s2)--(s3) node[midway, above] {$u_2$}; \draw[->] (s3)--(s0) node[midway, left] {$u_3$};
\node[below left] at (s0) {$s_0$}; \node[below right] at (s1) {$s_1$}; \node[above right] at (s2) {$s_2$}; \node[above left] at (s3) {$s_3$};
\node at (2.4,0.5) {$\mu_1$}; \node at (1.3,1.6) {$\mu_3$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{theoreme}[D'après les pages 5 et 6, forme complétée par l'édition, les quadrilatères forment un plan projectif\piste{73-quadrilateral-projective-frame}]\label{thm:73-quadrilatere}
Soient $u = (u_0, u_1, u_2, u_3)$ et $u'$ deux quadrilatères fermés de $V$.
\begin{enumerate}
\item On a $u_0 \wedge u_2 = \mu_0 - \mu_1 = \mu_3 - \mu_2$ et $u_1 \wedge u_3 = \mu_1 - \mu_2 = \mu_0 - \mu_3$ ; donc $\mu_0 + \mu_2 = \mu_1 + \mu_3$, et $u$ est aligné si et seulement si tous les $\mu_i$ sont nuls. Ces identités valent sur tout anneau commutatif.
\item Une matrice $M$ multiplie tous les $\mu_i$ par $\det M$. Si $u$ n'est pas aligné, les $\mu_i(u')$ sont proportionnels aux $\mu_i(u)$, de rapport non nul, si et seulement s'il existe $M$ inversible avec $u'_i = Mu_i$ pour tout $i$ ; on peut prendre $\det M$ égal au rapport.
\item Tout $(m_0, m_1, m_2, m_3) \neq 0$ tel que $m_0 + m_2 = m_1 + m_3$ est le vecteur $(\mu_i)$ d'un quadrilatère fermé.
\item Si $u$ n'est pas aligné, $u_i = 0$ équivaut à $\mu_i = \mu_{i+1} = 0$, et alors $(\mu_j) = \mu_{i+2}\, p_i$ avec $\mu_{i+2} \neq 0$, où $p_0 = (0,0,1,1)$, $p_1 = (1,0,0,1)$, $p_2 = (1,1,0,0)$, $p_3 = (0,1,1,0)$.
\item La seule relation linéaire entre les $p_i$ est $p_0 - p_1 + p_2 - p_3 = 0$ : trois quelconques d'entre eux sont indépendants, et les quatre forment un repère projectif du plan $\Pi = \{m_0 + m_2 = m_1 + m_3\}$. L'application linéaire $e_i \mapsto (-1)^i p_i$ induit un isomorphisme $k^4 / k\cdot(1,1,1,1) \simeq \Pi$.
\end{enumerate}
Ainsi les quadrilatères fermés non alignés, à transformation affine près, sont en bijection avec les points du plan projectif $\mathbf{P}(\Pi) \simeq \mathbf{P}\bigl(k^A / k\cdot(1,1,1,1)\bigr)$, et la droite de l'arête $i$ y est le quadrilatère où cette arête est réduite à un point.
\end{theoreme}

\begin{proof}
1. On remplace $u_3$ par $-(u_0 + u_1 + u_2)$ et l'on développe : les quatre identités sont polynomiales en les coordonnées. Elles expriment les six produits $u_i \wedge u_j$ par les $\mu_i$, qui sont les produits de côtés consécutifs ; si les $\mu_i$ sont nuls, tous les $u_i \wedge u_j$ le sont.

2. $Ma \wedge Mb = \det M\,(a \wedge b)$. Pour la réciproque, supposons d'abord $\mu_1(u) \neq 0$ : $u_0, u_1$ est une base de $V$. La formule de Cramer $(a \wedge b)\,x = (x \wedge b)\,a + (a \wedge x)\,b$, appliquée à $u_0, u_1, u_2$, donne avec la première identité la carte de la page~5 :
\[ \mu_1 u_2 = -\mu_2 u_0 + (\mu_3 - \mu_2) u_1 . \]
Soit $M$ l'endomorphisme qui envoie $u_0, u_1$ sur $u'_0, u'_1$. Si $\mu(u') = c\,\mu(u)$ avec $c \neq 0$, la carte de $u'$, divisée par $c$, s'écrit $\mu_1 u'_2 = -\mu_2 Mu_0 + (\mu_3 - \mu_2)Mu_1 = \mu_1 Mu_2$, d'où $u'_2 = Mu_2$, puis $u'_3 = Mu_3$ par fermeture. Enfin $\det M \cdot \mu_1 = \mu_1(u') = c\,\mu_1$ donne $\det M = c$. Si c'est un autre $\mu_i$ qui est non nul, on se ramène à ce cas par permutation circulaire des indices, qui préserve la fermeture et décale les $\mu_i$.

3. Si $m_1 \neq 0$, le quadrilatère $u_0 = (m_1, 0)$, $u_1 = (0, 1)$, $u_2 = (-m_2, (m_3 - m_2)/m_1)$, $u_3 = -(u_0 + u_1 + u_2)$ a $\mu_1 = m_1$, $\mu_2 = m_2$, $\mu_3 = m_3$, et $\mu_0 = m_1 + m_3 - m_2 = m_0$ par la relation. Sinon on décale les indices.

4. Si $u_i = 0$, les deux oreilles qui contiennent $u_i$ sont plates, et la relation du point~1 donne $\mu_{i+2} = \mu_{i+3}$ ou son analogue, d'où $(\mu_j) = \mu_{i+2}\,p_i$ ; si $\mu_{i+2}$ était nul, tous les $\mu_j$ le seraient. Réciproquement, ramenons-nous par décalage à $i = 1$, et supposons $\mu_1 = \mu_2 = 0$ et $u_1 \neq 0$. La formule de Cramer pour $u_0, u_1, u_2$ se réduit à $(u_0 \wedge u_2)\,u_1 = 0$, donc $u_0 \wedge u_2 = 0$, et le point~1 donne $\mu_0 = \mu_1 = 0$ et $\mu_3 = \mu_2 = 0$ : le quadrilatère est aligné.

5. $\sum c_ip_i = (c_1 + c_2,\ c_2 + c_3,\ c_0 + c_3,\ c_0 + c_1)$, qui est nul si et seulement si $c$ est multiple de $(1, -1, 1, -1)$ ; un tel $c$ avec une composante nulle est nul. L'application $c \mapsto \sum (-1)^ic_ip_i = (c_2 - c_1,\ c_2 - c_3,\ c_0 - c_3,\ c_0 - c_1)$ a pour noyau les vecteurs constants, et pour image $\Pi$ : un point $m$ de $\Pi$ est l'image de $(m_2,\ m_2 - m_3,\ m_2 - m_3 + m_0,\ m_2 - m_3 + m_0 - m_1)$.
\end{proof}

\begin{remarque}
La deuxième ligne du tableau de la page~5, $u_1 \wedge u_3 = \mu_0 - \mu_2$, que la lecture reprend, est fausse : le quadrilatère $u = (e_1, e_2, e_2, -e_1 - 2e_2)$ a $u_1 \wedge u_3 = 1$ et $\mu_0 - \mu_2 = 2$. La valeur juste, $\mu_1 - \mu_2 = \mu_0 - \mu_3$, est celle que la quatrième ligne de la même page donne pour $u_3 \wedge u_1$ ; à la troisième ligne, la première valeur donnée pour $u_2 \wedge u_0$, $\mu_1 - \mu_3$, est fausse aussi (il faut $\mu_2 - \mu_3$), la seconde, $\mu_1 - \mu_0$, est juste. Le reste de la lecture n'en dépend pas : la relation $\mu_0 + \mu_2 = \mu_1 + \mu_3$ ne vient que de $u_0 \wedge u_2$. L'identification canonique du point~5 demande un signe : l'application $e_i \mapsto p_i$ a pour noyau $k\cdot(1,-1,1,-1)$, et c'est $e_i \mapsto (-1)^ip_i$ qui a pour noyau $k\cdot(1,1,1,1)$ ; les droites, donc les points du plan projectif, sont les mêmes. La réponse à la question \q{épi ?} de la page~5 (point~3), le repère projectif et l'identification canonique du point~5 sont de la lecture ; la page~6 ne nomme que trois des quatre points. Le fichier démontre l'énoncé sur un corps, les identités sur tout anneau commutatif ; l'isomorphisme de schémas sur $\operatorname{Spec}\mathbf{Z}$ que suggère l'indice de $\mathbf{P}^2_{\mathbf{Z}}$ n'est pas formalisé.
\end{remarque}

\begin{lemme}[paire de directions]\label{lem:73-paire}
Soient $a, b, c, d$ des vecteurs non nuls de $V$. Le produit $c \cdot d$ est multiple de $a \cdot b$ dans $\operatorname{Sym}^2 V$ si et seulement si $\{[a], [b]\} = \{[c], [d]\}$ comme paires de droites, c'est-à-dire si $a \wedge c = b \wedge d = 0$ ou $a \wedge d = b \wedge c = 0$.
\end{lemme}

\begin{proof}
Si $c \cdot d = t\,a \cdot b$, alors $t \neq 0$, car un produit de vecteurs non nuls n'est pas nul. Évaluons les formes quadratiques en $x = (y_1, -y_0)$, orthogonal à $y$ : $a \cdot b$ y vaut $(a \wedge y)(b \wedge y)$. Pour $y = a, b, c, d$ on obtient
\[ (a \wedge c)(a \wedge d) = 0, \quad (b \wedge c)(b \wedge d) = 0, \quad (a \wedge c)(b \wedge c) = 0, \quad (a \wedge d)(b \wedge d) = 0 . \]
Si $a \wedge c \neq 0$, la première et la troisième donnent $a \wedge d = b \wedge c = 0$. Si $a \wedge c = 0$ et $b \wedge d \neq 0$, la deuxième et la quatrième donnent encore $b \wedge c = a \wedge d = 0$. Réciproquement, $a \wedge c = 0$ avec $a \neq 0$ donne $c = \alpha a$, et de même pour les autres paires ; alors $c \cdot d = \alpha\beta\, a \cdot b$.
\end{proof}

\begin{theoreme}[D'après les pages 15, 18 et 28, critère du cas spécial II, forme de l'édition\piste{73-zero-multiplier-criterion}]\label{thm:73-critere}
Soient $n \geq 3$ et $u_* = (u_i)_{i \in \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}}$ une suite de vecteurs non nuls de $V$. Il existe $\lambda \in N(u_*)$ avec $\lambda_0 = 0$ et $\lambda_1 = 1$ si et seulement si
\begin{enumerate}
\item[a)] $\sum u_i = 0$, et
\item[b)] pour $2 \leq i \leq n - 1$, ou bien $s_i = s_0$, c'est-à-dire $u_{0i} = 0$, ou bien la paire de directions de $\{u_{i-1}, u_i\}$ est celle de $\{u_1, u_{0i}\}$.
\end{enumerate}
Un tel $\lambda$ est alors unique, il vérifie $\lambda_i\, u_{i-1} \cdot u_i = u_1 \cdot u_{0i}$ pour tout $i \geq 1$, et $\lambda_i = 0$ si et seulement si $s_i = s_0$. Enfin un multiplicateur qui a deux composantes consécutives nulles est nul ; cela permet de normaliser $\lambda_1 = 1$ dès que $\lambda_0 = 0$.
\end{theoreme}

\begin{proof}
Posons $L_i = \lambda_i u_{i-1} - \lambda_{i+1} u_{i+1}$. La relation $(\ast)$ en $i$ est $L_i - L_{i+1} = 0$ : $(\ast)$ pour tout $i$ dit que $L_i$ ne dépend pas de $i$, et, avec $\lambda_0 = 0$, $\lambda_1 = 1$, que $L_i = L_0 = -u_1$ pour tout $i$. Notons $(S_i)$ l'identité $\lambda_i\, u_{i-1} \cdot u_i = u_1 \cdot u_{0i}$, pour $i \geq 1$ entier, les indices de $u$ et $\lambda$ étant lus modulo~$n$. $(S_1)$ est $u_0 \cdot u_1 = u_1 \cdot u_0$. Si $(S_i)$ a lieu et que $L_i = -u_1$, c'est-à-dire $\lambda_{i+1} u_{i+1} = \lambda_i u_{i-1} + u_1$, on multiplie par $u_i$ :
\[ \lambda_{i+1}\, u_i \cdot u_{i+1} = \lambda_i\, u_{i-1} \cdot u_i + u_1 \cdot u_i = u_1 \cdot (u_{0i} + u_i) = u_1 \cdot u_{0,i+1}, \]
qui est $(S_{i+1})$. Réciproquement, $(S_i)$ et $(S_{i+1})$ donnent $u_i \cdot (\lambda_i u_{i-1} - \lambda_{i+1} u_{i+1} + u_1) = 0$, d'où $L_i = -u_1$ puisque $u_i \neq 0$ et qu'un produit de deux vecteurs n'est nul que si l'un l'est. Ainsi $(\ast)$ équivaut à $(S_i)$ pour tout $i \geq 1$.

Si $\lambda$ existe, $(S_n)$ s'écrit $0 = \lambda_0\, u_{n-1} \cdot u_0 = u_1 \cdot \sum_j u_j$, d'où a) ; et pour $2 \leq i \leq n - 1$ avec $u_{0i} \neq 0$, $(S_i)$ dit que $u_1 \cdot u_{0i}$ est multiple de $u_{i-1} \cdot u_i$, d'où b) par le lemme~\ref{lem:73-paire}. Réciproquement, sous a) et b), le lemme donne pour chaque $2 \leq i \leq n - 1$ un scalaire $\lambda_i$ avec $\lambda_i\, u_{i-1} \cdot u_i = u_1 \cdot u_{0i}$ ($\lambda_i = 0$ si $u_{0i} = 0$) ; avec $\lambda_0 = 0$ et $\lambda_1 = 1$, les identités $(S_1), \ldots, (S_n)$ ont lieu, $(S_n)$ par a). Comme $u_{0,i+n} = \sum_j u_j + u_{0i} = u_{0i}$, $(S_{i+n})$ équivaut à $(S_i)$, et toutes ont lieu : $\lambda \in N(u_*)$.

Pour $i \geq 1$, $(S_i)$ donne $\lambda_i = 0$ si et seulement si $u_1 \cdot u_{0i} = 0$, si et seulement si $u_{0i} = 0$, et détermine $\lambda_i$ puisque $u_{i-1} \cdot u_i \neq 0$ ; tout indice modulo~$n$ est de la forme $i \geq 1$, d'où l'unicité. Enfin, si $\lambda_i = \lambda_{i+1} = 0$, $(\ast)$ en $i$ se réduit à $\lambda_{i+2} u_{i+2} = 0$, donc $\lambda_{i+2} = 0$, et de proche en proche $\lambda = 0$.
\end{proof}

\begin{remarque}
Le critère tient tel que la lecture l'énonce : le \q{il faut et il suffit} lu avec doute à la page~28 est juste. La démonstration, celle de la lecture, est de l'édition ; elle n'utilise aucune hypothèse sur le corps : l'hypothèse \q{$k$ infini} du théorème de la page~28 ne sert qu'à l'exhaustivité des quatre cas, qui n'est pas en jeu ici. La formule $\lambda_i\, u_{i-1} \cdot u_i = u_1 \cdot u_{0i}$ vaut pour tout $i \geq 1$ et pas seulement pour $2 \leq i \leq n - 1$ ; c'est le cas $\lambda_0 = 0$, $\lambda_1 = 1$ de la formule close encadrée de la page~15. La paire de directions est la reformulation, par la lecture, du \q{$u_{i-1}, u_i \parallel u_1, u_{0i}$} de la page ; le lemme~\ref{lem:73-paire} montre qu'elle équivaut à la proportionnalité dans $\operatorname{Sym}^2 V$.
\end{remarque}

\begin{theoreme}[D'après les pages 23 à 27, Proposition, forme corrigée par l'édition\piste{73-ear-area-multiplier-classification}]\label{thm:73-hyperspecial}
Soient $k$ un corps et $u_* = (u_i)_{i \in \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}}$ une suite de vecteurs non nuls de $V$. Alors $\lambda \mapsto (\lambda_i, \lambda_{i+1})$ est injective sur $N(u_*)$, donc $\dim N(u_*) \leqslant 2$. Si de plus les $u_i$ ne sont pas tous sur une même droite, $\dim N(u_*) = 2$ si et seulement si $3 \mid n$, $u_{i+3} = u_i$ pour tout $i$ et $u_0 + u_1 + u_2 = 0$ : le polygone est un triangle parcouru $n/3$ fois. $N(u_*)$ est alors le plan des $\lambda$ de période~$3$ tels que $\lambda_0 + \lambda_1 + \lambda_2 = 0$, et il contient un élément sans composante nulle dès que $k$ a au moins trois éléments.
\end{theoreme}

Lean : \texttt{finrank\_multSpace\_le\_two}, \texttt{finrank\_multSpace\_eq\_two\_iff}, \texttt{isMult\_periodic}, \texttt{exists\_mult\_ne\_zero}. La démonstration est celle de la lecture ; l'implication (a)~$\Rightarrow$~(b) ne se sert que de la surjectivité de $\lambda \mapsto (\lambda_{i+1}, \lambda_{i+2})$ quand la dimension vaut~$2$, et le passage de (b) à (c) propage l'indépendance de deux côtés consécutifs.

\begin{theoreme}[Grothendieck, page 28, la dichotomie, sous une hypothèse plus faible\piste{73-ear-area-multiplier-classification}]\label{thm:73-dichotomie}
Soient $u_*$ comme ci-dessus et $k$ un corps ayant plus de $n$ éléments. Ou bien $N(u_*)$ contient un $\lambda$ sans composante nulle, ou bien $N(u_*)$ est contenu dans un hyperplan de coordonnées $H_i = \{\lambda_i = 0\}$, et alors $\dim N(u_*) \leqslant 1$. Un $N(u_*)$ de dimension~$2$ n'est contenu dans aucun~$H_i$.
\end{theoreme}

\begin{proof}
Si aucun $H_i$ ne contient $N(u_*)$, les $N(u_*) \cap H_i$ sont $n$ sous-espaces stricts de $N(u_*)$, et un espace vectoriel sur un corps de plus de $n$ éléments n'est pas réunion de $n$ sous-espaces stricts (mathlib, \texttt{Submodule.\allowbreak{}iUnion\_ssubset\_of\_forall\_ne\_top\_of\_card\_lt}) : un élément de $N(u_*)$ évite tous les $H_i$. Si $N(u_*) \subset H_i$, l'application $\lambda \mapsto \lambda_{i+1}$ est injective sur $N(u_*)$, puisque deux composantes consécutives nulles annulent un multiplicateur. Enfin, en dimension~$2$, $\lambda \mapsto (\lambda_i, \lambda_{i+1})$ est surjective et atteint $(1, 0)$.
\end{proof}

\begin{remarque}
La page suppose $k$ infini ; il suffit que $k$ ait plus de $n$ éléments, et l'hypothèse ne sert qu'à la dichotomie. L'hypothèse de non-alignement, que la lecture ajoute, est nécessaire (le segment $(e, -e, e, -e)$), et la condition $3 \mid n$, biffée sur la page, est conséquence des autres : si $3 \nmid n$, $u_{i+3} = u_i$ rend la suite constante (Lean : \texttt{triangle\_of\_collinear}, \texttt{dichotomy}, \texttt{finrank\_le\_one\_of\_le\_hyperplane}).
\end{remarque}

\begin{theoreme}[D'après les pages 14 et 28, $N(u_*)$ est l'espace des multiplicateurs de Lagrange, forme de l'édition\piste{73-ear-area-multiplier-classification}]\label{thm:73-lagrange}
Soient $k$ un corps, $n \geqslant 1$ et $\varphi : V^{\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}} \to k^{\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}}$, $\varphi(u)_i = u_{i-1} \wedge u_i$, l'application \q{aires des oreilles}. Elle est quadratique : $\varphi(u + v) = \varphi(u) + d\varphi_u(v) + \varphi(v)$, avec $d\varphi_u(v)_i = v_{i-1} \wedge u_i + u_{i-1} \wedge v_i$, et sur un corps valué complet, $\mathbf{R}$ par exemple, $d\varphi_u$ est sa différentielle stricte en $u$. Pour $\lambda \in k^{\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}}$, les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item $\lambda \in N(u_*)$ ;
\item il existe $w \in V$ tel que $\sum_i \lambda_i\, d\varphi_{u_*}(v)_i = w \wedge \sum_i v_i$ pour tout $v$ : c'est l'égalité $\sum \lambda_i\, df_i = \mu \sum dx_i + \nu \sum dy_i$ de la page~14 ;
\item $\sum_i \lambda_i\, d\varphi_{u_*}(v)_i = 0$ pour toute déformation fermée, $\sum_i v_i = 0$.
\end{enumerate}
En particulier $N(u_*) = 0$ si et seulement si $d\varphi_{u_*}$ envoie les déformations fermées sur $k^{\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}}$ : le cas général~(a) de la page~28 est celui où $\varphi$, restreinte aux polygones de $\sum u_i$ fixé, est une submersion en $u_*$.
\end{theoreme}

\begin{proof}
L'identité quadratique se développe ; elle fait de $d\varphi_u$ la partie linéaire de $\varphi$ en $u$, et la différentielle stricte vient de ce que $\varphi(u) = B(u, u)$ pour une application bilinéaire $B$, continue en dimension finie. Une sommation par parties donne $\sum_i \lambda_i\, d\varphi_u(v)_i = \sum_i L_i \wedge v_i$, où $L_i = \lambda_i u_{i-1} - \lambda_{i+1} u_{i+1}$ est la forme de Lagrange du théorème~\ref{thm:73-critere}. Si $\lambda \in N(u_*)$, $L_i$ ne dépend pas de $i$, et la somme vaut $L_0 \wedge \sum_i v_i$ : c'est 2, et 2 entraîne 3. Réciproquement, la déformation $v = e$ en $i$, $-e$ en $i + 1$, nulle ailleurs, est fermée, et 3 donne $(L_i - L_{i+1}) \wedge e = 0$ pour tout $e \in V$, d'où $L_i = L_{i+1}$ : c'est $(\ast)$. Enfin, $N(u_*)$ est, par 3, l'orthogonal pour $\sum_i \lambda_i m_i$ de l'image $W$ des déformations fermées ; si $W \neq k^{\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}}$, une forme linéaire non nulle nulle sur $W$ (mathlib, \texttt{Submodule.\allowbreak{}exists\_dual\_map\_eq\_bot\_of\_lt\_top}) est un $\lambda \neq 0$ de $N(u_*)$ ; si $W$ est tout l'espace, $\lambda$ est orthogonal à chaque vecteur de base, donc nul.
\end{proof}

Lean : \texttt{earArea\_add}, \texttt{hasStrictFDerivAt\_earArea}, \texttt{isMult\_iff\_lagrange}, \texttt{isMult\_iff\_closed}, \texttt{multSpace\_eq\_bot\_iff}. Aucune page ne fait le lien entre le $N(u_*)$ de la page~28 et les multiplicateurs de la page~14 ; il est de la lecture, et l'énoncé, qui ne suppose pas le polygone fermé, de l'édition.

\begin{theoreme}[Grothendieck, page 28, le théorème des quatre cas, sous une hypothèse plus faible\piste{73-zero-multiplier-criterion}]\label{thm:73-quatre-cas}
Soient $k$ un corps ayant plus de $n$ éléments et $u_*$ une suite de $n$ vecteurs non nuls de $V$. On est dans un et un seul des cas suivants :
\begin{enumerate}
\item[(a)] \emph{cas général} : $N(u_*) = 0$ ;
\item[(b$_1$)] \emph{cas spécial I} : $N(u_*)$ contient un $\lambda$ sans composante nulle, et $\dim N(u_*) = 1$ ;
\item[(b$_2$)] \emph{cas hyperspécial} : $N(u_*)$ contient un $\lambda$ sans composante nulle, et $\dim N(u_*) = 2$ ;
\item[(c)] \emph{cas spécial II} : $N(u_*) \neq 0$ et $N(u_*) \subset H_i$ pour un $i$ ; alors $\dim N(u_*) = 1$, et $N(u_*)$ est la droite engendrée par l'unique multiplicateur tel que $\lambda_i = 0$ et $\lambda_{i+1} = 1$, auquel s'applique, pour $i = 0$, le critère du théorème~\ref{thm:73-critere}.
\end{enumerate}
\end{theoreme}

\begin{proof}
Par la dichotomie (théorème~\ref{thm:73-dichotomie}), ou bien un $\lambda \in N(u_*)$ n'a aucune composante nulle, ou bien $N(u_*)$ est dans un $H_i$. Dans le premier cas $\lambda \neq 0$, et $1 \leqslant \dim N(u_*) \leqslant 2$ : c'est (b$_1$) ou (b$_2$). Dans le second, ou bien $N(u_*) = 0$, c'est (a), ou bien $1 \leqslant \dim N(u_*) \leqslant 1$, c'est (c). Les cas s'excluent : (a) interdit un $\lambda$ sans zéro et nie $N(u_*) \neq 0$, (b$_1$) et (b$_2$) diffèrent par la dimension, et un $\lambda \in N(u_*)$ sans composante nulle n'est dans aucun $H_i$. En (c), un $\lambda \neq 0$ de $N(u_*)$ a $\lambda_i = 0$, donc $\lambda_{i+1} \neq 0$ (deux composantes consécutives nulles annulent tout) ; on le normalise, et il engendre la droite $N(u_*)$.
\end{proof}

Lean : \texttt{four\_cases}, \texttt{four\_cases\_exclusive}, \texttt{special\_two\_span}. La page suppose $k$ infini ; plus de $n$ éléments suffit, et cette hypothèse ne sert qu'à l'exhaustivité. Le cas hyperspécial est décrit par le théorème~\ref{thm:73-hyperspecial} quand les $u_i$ ne sont pas alignés.

\begin{theoreme}[D'après la page 18, l'ennéagone étoilé, forme de l'édition\piste{73-zero-multiplier-criterion}]\label{thm:73-enneagone}
Soient $k$ un corps, $\beta_1, \beta_2, \beta_3 \in k \setminus \{0, 1\}$ et $y_4, y_6, y_8 \in k$ avec $y_4 \neq \beta_1$, $y_6 \neq \beta_2 y_4$, $y_8 \neq \beta_3 y_6$, et l'ennéagone de sommets
\[ \begin{gathered} s_0 = (0,0),\ s_1 = (1,0),\ s_2 = (1,1),\ s_3 = (\beta_1, \beta_1),\ s_4 = (\beta_1, y_4),\\ s_5 = (\beta_2\beta_1, \beta_2 y_4),\ s_6 = (\beta_2\beta_1, y_6),\ s_7 = (\beta_3\beta_2\beta_1, \beta_3 y_6),\ s_8 = (\beta_3\beta_2\beta_1, y_8). \end{gathered} \]
Alors $N(u_*)$ est une droite, engendrée par un multiplicateur $\lambda$ tel que $\lambda_0 = 0$ et $\lambda_i \neq 0$ pour $i \neq 0$.
\end{theoreme}

\begin{proof}
Les côtés sont non nuls. Le polygone est fermé ; pour $i$ pair, $u_{i-1}$ est vertical comme $u_1$ et $u_i$ est porté par la droite $s_0s_i$ ; pour $i$ impair, $u_i$ est vertical et $s_i$ est sur la droite $s_0s_{i-1}$, qui porte $u_{i-1}$. Le critère du théorème~\ref{thm:73-critere} donne un $\lambda \in N(u_*)$ avec $\lambda_0 = 0$ et $\lambda_1 = 1$, et $\lambda_i \neq 0$ pour $1 \leqslant i \leqslant 8$ puisque $s_i \neq s_0$ : l'abscisse de $s_i$, pour $i \geqslant 3$, est un produit de $\beta_j$ non nuls. Comme $u_0 \wedge u_1 = 1$ et que $u_4 \neq u_1$ (l'abscisse de $u_4$ est $(\beta_2 - 1)\beta_1 \neq 0$), le polygone n'est pas un triangle parcouru trois fois, et $\dim N(u_*) \neq 2$ par le théorème~\ref{thm:73-hyperspecial} ; donc $\dim N(u_*) = 1$.
\end{proof}

Lean : \texttt{nonagon}, \texttt{nonagon\_multSpace}. La lecture le vérifiait numériquement \q{pour des valeurs génériques des paramètres} ; il vaut pour toutes les valeurs qu'autorise la page, sur tout corps. On est dans le cas spécial~II, en $i = 0$.

Ne sont pas démontrés ici : l'équation du second degré du pentagone (page~19) et la formule de Gauss ; le foncteur $\mathrm{Polg}_n$ de la page~1 ; l'énoncé du plan projectif sur $\operatorname{Spec}\mathbf{Z}$.
\section[Cote 74 : complexes cubiques généralisés, la réduction à un carré latin et à ses revêtements doubles]{Cote 74 : complexes cubiques généralisés, la réduction à un carré latin et à ses revêtements doubles\protect\verifie{Folder74}}\label{sec:74}

La cote 74, \emph{Complexes cubiques : notes manuscrites (s.d.)}, cent trente-cinq pages que l'inventaire date \q{[à partir de 1976]}, tourne autour du graphe des vingt-sept droites d'une surface cubique. La liasse qui commence page~92 porte le titre \q{Complexes cubiques généralisés (complexes \emph{triadiques} ou \emph{trilatères} ?)}. Elle pose deux axiomes sur un graphe $S$ : toute arête est contenue dans un unique triangle (axiome~1), et tout sommet hors d'un triangle est lié à un sommet de ce triangle (axiome~2). Elle fixe un triangle $t_0 = \{a, b, c\}$ et décompose le graphe autour de lui (\lot{74}{5}{92}). Les pages~93 à~96 établissent les propositions~1 à~4 et la \q{Scholie} : le graphe se résume à trois ensembles $\widetilde E_\alpha$ munis d'involutions sans point fixe et à une partie $\widetilde T$ de leur produit, soumise aux conditions~(*) et~(**). Une troisième condition, notée~(***), est écrite en travers de la marge gauche, encadrée, tournée de 90°, et rattachée par une accolade à~(*) et~(**). La transcription en lit le début, \q{si $(s_\alpha)_{\alpha\in t_0}\in\prod\widetilde{E}_\alpha$ et $(t_\alpha)_{\alpha\in t_0}\in\widetilde{T}$ tels que $s_\beta=\varphi_\beta(t_\alpha)$ \ldots{} $\forall\,\alpha,\beta$, $\alpha\neq\beta$}, et la fin est illisible (\lot{74}{5}{96}). La page~97 affirme que des données vérifiant~(*) donnent un graphe qui vérifie l'axiome~1 et l'axiome~2 pour $t_0$ (\lot{74}{5}{97}). Les pages~98 à~100 traitent l'axiome~2 pour les autres triangles : proposition~5 pour les triangles verticaux, axiome~3 (les $\widetilde E_\alpha$ sont non vides), proposition~6, barrée mais lisible, pour les triangles supérieurs (\lot{74}{5}{100}). La page~101 reprend la liste des données, avec en~($\gamma$) \q{l'axiome (Ka) plus haut}, et passe aux quotients $\Gamma = \widetilde\Gamma/\sigma$, $E_\alpha = \widetilde E_\alpha/\sigma_\alpha$ (\lot{74}{6}{101}). La page~102 énonce l'axiome $\beta_\Gamma$, \q{$\Gamma\to E_\alpha\times E_\beta$ est \emph{bijectif}}, et partage la classification en deux questions, I) les systèmes de trois quotients vérifiant $\beta_\Gamma$, II) leurs revêtements d'ordre~2, puis ceux qui satisfont (Ka) (\lot{74}{6}{102}, \lot{74}{6}{103}). La page~116 étudie, sur la relation $xyz = 1$ d'un groupe $G$, les applications $\varphi_a$ et conclut que tout élément est d'ordre~2 (\lot{74}{6}{116}).

\noindent\emph{Conventions.} Un graphe est sans boucle ni arête multiple ; un triangle est un ensemble de trois sommets deux à deux liés. On indexe $t_0$ par $\{0, 1, 2\}$, $t_0 = \{t_0(\alpha)\}$. Pour $\alpha \in t_0$, $\widetilde E_\alpha$ est l'ensemble des sommets hors de $t_0$ liés à $t_0(\alpha)$. Un triangle supérieur est un triplet $x = (x_\alpha)$ avec $x_\alpha \in \widetilde E_\alpha$ et les $x_\alpha$ deux à deux liés ; leur ensemble est $\widetilde\Gamma$ (le $\widetilde T$ de la page~96). Pour des données abstraites $(\widetilde E_\alpha, \sigma_\alpha, \widetilde T)$, deux points $s \in \widetilde E_\alpha$ et $u \in \widetilde E_\beta$, $\alpha \neq \beta$, sont \emph{liés} s'il existe $\tau \in \widetilde T$ avec $\tau_\alpha = s$ et $\tau_\beta = u$. Le graphe des données a pour sommets $t_0 \amalg \coprod_\alpha \widetilde E_\alpha$ et pour arêtes celles de 2°)~$\alpha$) à~$\delta$) de la page~96 : deux sommets de $t_0$, $t_0(\alpha)$ et les points de $\widetilde E_\alpha$, $s$ et $\sigma_\alpha s$, deux points liés. Les conditions sur les données sont :
\begin{itemize}
\item[(*)] deux éléments de $\widetilde T$ qui ont deux coordonnées communes sont égaux ;
\item[($\beta_{\widetilde\Gamma}$)] pour $\alpha \neq \beta$, $s \in \widetilde E_\alpha$ et $u \in \widetilde E_\beta$, un et un seul des deux points $s$, $\sigma_\alpha s$ est lié à $u$ (c'est la forme de la page~101, qui contient~(**)) ;
\item[(Ka)] pour $\{\alpha, \beta, \gamma\} = t_0$ et $\tau, \rho_1, \rho_2 \in \widetilde T$ tels que $\tau_\alpha = (\rho_1)_\alpha$, $\tau_\beta = (\rho_2)_\beta$ et $(\rho_1)_\gamma = (\rho_2)_\gamma$, on a $\tau = \rho_1$.
\end{itemize}
La condition (Ka) ainsi écrite est une restitution. Elle porte sur une famille $(s_\alpha)$ et trois triplets de $\widetilde T$, chacun contenant deux des $s_\alpha$, comme le début lisible de la marge. On note (Ka$'$) la forme qui garde la phrase de la marge et la complète par la conclusion $(s_\alpha) \in \widetilde T$ : si $(s_\alpha) \in \prod \widetilde E_\alpha$ et $(t_\alpha) \in \widetilde T^{t_0}$ vérifient $(t_\alpha)_\beta = s_\beta$ pour $\alpha \neq \beta$, alors $(s_\alpha) \in \widetilde T$.

\begin{enonce}[Pages 92 à 99, autour d'un triangle\piste{74-gq2t-latin-square-reduction}]
Soit $S$ un graphe vérifiant les axiomes~1 et~2, et $t_0$ un triangle de $S$.
\begin{enumerate}
\item (Page~92, (1)) Tout sommet hors de $t_0$ est lié à un et un seul sommet de $t_0$ ; les $\widetilde E_\alpha$ sont disjoints et recouvrent $S \smallsetminus t_0$.
\item (Prop.~1) Pour $s \in \widetilde E_\alpha$, le troisième sommet $\sigma_\alpha s$ du triangle de l'arête $\{t_0(\alpha), s\}$ est dans $\widetilde E_\alpha$, et c'est le seul point lié à la fois à $t_0(\alpha)$ et à $s$. L'application $\sigma_\alpha$ est une involution sans point fixe de $\widetilde E_\alpha$.
\item (Prop.~2 et~5) Pour $\beta \neq \alpha$ et $u \in \widetilde E_\beta$, $u$ est lié à un et un seul des points $s$, $\sigma_\alpha s$.
\item (Prop.~3 et~4) Si $s \in \widetilde E_\alpha$ et $u \in \widetilde E_\beta$, $\alpha \neq \beta$, sont liés, le troisième sommet du triangle de l'arête $\{s, u\}$ est dans $\widetilde E_\gamma$, $\gamma$ le troisième indice ; il existe donc un triangle supérieur $x$ avec $x_\alpha = s$, $x_\beta = u$, et il est unique.
\item (Page~98, corollaires) Si $s$ et $u$ sont liés, $\sigma_\alpha s$ et $\sigma_\beta u$ le sont ; $\widetilde\Gamma$ est stable par $\sigma = \prod_\alpha \sigma_\alpha$, qui y est sans point fixe.
\end{enumerate}
\end{enonce}

\begin{enonce}[Pages 99, 101 et 102, le carré latin et les revêtements doubles\piste{74-gq2t-latin-square-reduction}]
Sous les mêmes hypothèses, soient $E_\alpha = \widetilde E_\alpha/\sigma_\alpha$, $\Gamma = \widetilde\Gamma/\sigma$ et $\varphi_\alpha : \Gamma \to E_\alpha$ l'application induite par $x \mapsto x_\alpha$.
\begin{enumerate}
\item (Axiome $\beta_\Gamma$) Pour $\alpha \neq \beta$, l'application $(\varphi_\alpha, \varphi_\beta) : \Gamma \to E_\alpha \times E_\beta$ est bijective : $\Gamma$ est un carré latin sur les trois $E_\alpha$.
\item (Page~101) Pour tout $\alpha$, l'application $x \mapsto (\bar x, x_\alpha)$ est une bijection de $\widetilde\Gamma$ sur le produit fibré $\Gamma \times_{E_\alpha} \widetilde E_\alpha$ : $\widetilde\Gamma$ est l'image inverse du revêtement double $\widetilde E_\alpha \to E_\alpha$ par $\varphi_\alpha$.
\item (Page~102) Les composés $\psi_{\beta\alpha} : \Gamma \times_{E_\alpha} \widetilde E_\alpha \to \Gamma \times_{E_\beta} \widetilde E_\beta$ de ces bijections sont des isomorphismes au-dessus de $\Gamma$, et forment un système transitif : $\psi_{\gamma\beta} \circ \psi_{\beta\alpha} = \psi_{\gamma\alpha}$, $\psi_{\alpha\alpha} = \mathrm{id}$.
\item (Pages~99 et~104) $|\widetilde E_\alpha| = 2\,|E_\alpha|$, $|\widetilde\Gamma| = 2\,|\Gamma|$, et $|\Gamma| = |E_\alpha|\,|E_\beta|$ pour $\alpha \neq \beta$. Si $\widetilde E_\alpha$ est non vide, $E_\beta$ et $E_\gamma$ sont en bijection.
\end{enumerate}
\end{enonce}

\begin{encadre}
\begin{theoreme}[Pages 96--100 corrigées par l'édition, Scholie et réciproque\piste{74-gq2t-latin-square-reduction}]
\begin{enumerate}
\item (Scholie) Le graphe $S$ est isomorphe au graphe de ses données $(\widetilde E_\alpha, \sigma_\alpha, \widetilde\Gamma)$, et ces données vérifient~(*), $\beta_{\widetilde\Gamma}$ et~(Ka).
\item (Réciproque) Pour des données vérifiant $\beta_{\widetilde\Gamma}$ et~(Ka), le graphe des données vérifie les axiomes~1 et~2, et $t_0$ en est un triangle. Ses triangles supérieurs sont les éléments de $\widetilde T$ : trois points deux à deux liés hors de $t_0$ sont les trois coordonnées d'un $\tau \in \widetilde T$.
\item Pour des données vérifiant~(*) et $\beta_{\widetilde\Gamma}$, le graphe vérifie l'axiome~1 si et seulement si~(Ka) est vraie.
\item (Ka) entraîne~(*), et (Ka) équivaut à la conjonction de~(*) et de~(Ka$'$).
\end{enumerate}
\end{theoreme}
\end{encadre}

\begin{enonce}[Pages 101 à 103, problèmes I et II\piste{74-gq2t-latin-square-reduction}]
Soient $\Gamma$ un ensemble, $\varphi_\alpha : \Gamma \to E_\alpha$ ($\alpha \in t_0$) trois applications vérifiant $\beta_\Gamma$, $p_\alpha : \widetilde E_\alpha \to E_\alpha$ trois revêtements doubles, c'est-à-dire des applications dont les fibres sont les orbites d'une involution sans point fixe $\sigma_\alpha$, et $\widetilde\Gamma$ un ensemble muni de $\pi : \widetilde\Gamma \to \Gamma$ et de $\psi_\alpha : \widetilde\Gamma \to \widetilde E_\alpha$ tels que $p_\alpha \psi_\alpha = \varphi_\alpha \pi$ et que $(\pi, \psi_\alpha) : \widetilde\Gamma \to \Gamma \times_{E_\alpha} \widetilde E_\alpha$ soit bijective pour tout $\alpha$. Alors les données $(\widetilde E_\alpha, \sigma_\alpha, \widetilde T)$, $\widetilde T$ l'image de $(\psi_\alpha)_\alpha$, vérifient~(*) et $\beta_{\widetilde\Gamma}$. Si elles vérifient~(Ka), leur graphe vérifie les axiomes~1 et~2 ; il vérifie l'axiome~1 si et seulement si elles vérifient~(Ka). Un graphe muni d'un triangle $t_0$ fournit de telles données par l'énoncé précédent.
\end{enonce}

\begin{contrexemple*}[Pages 96 et 97, contre-exemple de l'édition : la condition (Ka) est nécessaire]
Soient $E_\alpha = \mathbb Z/2$, $\widetilde E_\alpha = \mathbb Z/2 \times \mathbb Z/2$, $\sigma_\alpha(u, e) = (u, e + 1)$, et $\widetilde T$ l'ensemble des triplets $((u, e), (v, e), (u + v, e))$. Ce sont les données du carré latin d'ordre~2, table de $\mathbb Z/2$, avec trois revêtements triviaux. Elles vérifient~(*) et $\beta_{\widetilde\Gamma}$, et ne vérifient pas~(Ka). Leur graphe ne vérifie pas l'axiome~1 : l'arête qui joint $(0,0) \in \widetilde E_a$ à $(0,0) \in \widetilde E_b$ est contenue dans deux triangles, fermés par $(0,0)$ et par $(1,0) \in \widetilde E_c$.
\end{contrexemple*}

\begin{enonce}[Page 116\piste{74-gq2t-latin-square-reduction}]
Soit $G$ un groupe. Les applications $\varphi_a : (x, y, z) \mapsto (x, a^{-1}z^{-1}, a^{-1}y^{-1})$ préservent la relation $xyz = 1$ pour tout $a \in G$ si et seulement si $g^2 = 1$ pour tout $g \in G$. Le groupe $G$ est alors commutatif.
\end{enonce}

\begin{proof}[Démonstration des pages 92 à 99]
(1) Soit $s$ hors de $t_0$. L'axiome~2 pour $t_0$ donne un sommet de $t_0$ lié à $s$. S'il y en avait deux, $t_0(\alpha)$ et $t_0(\beta)$, l'arête $\{t_0(\alpha), t_0(\beta)\}$ serait contenue dans le triangle $t_0$ et dans le triangle qu'elle forme avec $s$ ; l'axiome~1 donnerait $s = t_0(\gamma)$, contre l'hypothèse.

(2) Soit $s \in \widetilde E_\alpha$ et $z$ le troisième sommet du triangle de $\{t_0(\alpha), s\}$. Si $z$ était un sommet $t_0(\beta)$ de $t_0$, on aurait $\beta \neq \alpha$ et $s$ serait lié à $t_0(\alpha)$ et à $t_0(\beta)$, contrairement à~(1) ; donc $z \in \widetilde E_\alpha$. Tout point lié à $t_0(\alpha)$ et à $s$ est égal à $z$ par l'axiome~1. Le point $s$ est lié à $t_0(\alpha)$ et à $\sigma_\alpha s$, donc $\sigma_\alpha \sigma_\alpha s = s$, et $\sigma_\alpha s \neq s$ puisque $s$ et $\sigma_\alpha s$ sont liés.

(3) Si $u$ était lié à $s$ et à $\sigma_\alpha s$, l'arête $\{s, \sigma_\alpha s\}$ serait contenue dans le triangle qu'elle forme avec $t_0(\alpha)$ et dans celui qu'elle forme avec $u$, d'où $u = t_0(\alpha)$, absurde (proposition~2 ; l'hypothèse $\beta \neq \alpha$ n'y sert pas). L'axiome~2 pour le triangle vertical $\{t_0(\alpha), s, \sigma_\alpha s\}$ lie $u$ à l'un de ses trois sommets ; ce n'est pas $t_0(\alpha)$ par~(1), puisque $u$ est lié à $t_0(\beta)$ ; c'est donc $s$ ou $\sigma_\alpha s$ (proposition~5).

(4) Soit $z$ le troisième sommet du triangle de $\{s, u\}$. Si $z$ était un sommet $t_0(\delta)$, (1) donnerait $\delta = \alpha$ et $\delta = \beta$. Par~(1), $z$ est dans un $\widetilde E_\delta$. Si $\delta = \alpha$, $z$ est lié à $t_0(\alpha)$ et à $s$, donc $z = \sigma_\alpha s$ par~(2), et $u$ est lié à $s$ et à $\sigma_\alpha s$, contrairement à~(3) ; de même $\delta \neq \beta$. Donc $\delta = \gamma$, et $(s, u, z)$, rangé selon les indices, est un triangle supérieur. Deux triangles supérieurs $x$, $y$ avec $x_\alpha = y_\alpha$ et $x_\beta = y_\beta$ ont $x_\gamma$ et $y_\gamma$ liés à $x_\alpha$ et à $x_\beta$, donc égaux par l'axiome~1.

(5) Si $s$ et $u$ sont liés, $\sigma_\beta u$ n'est pas lié à $s$ par~(3) appliqué au triangle vertical de $u$ ; il est donc lié à $\sigma_\alpha s$ par~(3) appliqué au triangle vertical de $s$. Les coordonnées de $\sigma x$ sont donc deux à deux liées, et $\sigma x \neq x$ puisque $\sigma_\alpha$ est sans point fixe.
\end{proof}

La décomposition autour de $t_0$, dont les sommets sont marqués $\alpha = 0, 1, 2$ : à chaque sommet $t_0(\alpha)$, un triangle vertical, formé de $t_0(\alpha)$, d'un point $x_\alpha$ de $\widetilde E_\alpha$ et de $\sigma_\alpha x_\alpha$ ; en tirets, un triangle supérieur $x = (x_0, x_1, x_2)$ ; son image $\sigma x$ relie de même les trois points $\sigma_\alpha x_\alpha$ (point~5). Chacun des points $x_\beta$, $\beta \neq \alpha$, est lié à un seul des deux points $x_\alpha$, $\sigma_\alpha x_\alpha$ (point~3).
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=1cm, y=1cm, every node/.style={font=\small}]
\tikzset{pt/.style={circle, fill, inner sep=1.4pt}}
\foreach \a/\ang in {0/90,1/210,2/330} {
  \node[pt] (t\a) at (\ang:1.0) {};
  \node[pt] (x\a) at (\ang-10:2.8) {};
  \node[pt] (y\a) at (\ang+10:2.8) {};
  \draw (t\a)--(x\a)--(y\a)--(t\a);
}
\draw (t0)--(t1)--(t2)--(t0);
\draw[densely dashed] (x0)--(x1)--(x2)--(x0);
\foreach \a/\ang in {0/90,1/210,2/330} { \node[font=\scriptsize] at (\ang:0.5) {$\a$}; }
\node[right] at (x0) {$x_0$}; \node[left] at (y0) {$\sigma_0 x_0$};
\node[left] at (x1) {$x_1$}; \node[below left] at (y1) {$\sigma_1 x_1$};
\node[below right] at (x2) {$x_2$}; \node[right] at (y2) {$\sigma_2 x_2$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{lemme}\label{lem:74-revetement}
Soit $X$ un ensemble muni d'une involution sans point fixe $f$. Le choix d'un représentant dans chaque orbite donne une bijection $X \simeq X/f \times \{0, 1\}$ ; en particulier $|X| = 2\,|X/f|$.
\end{lemme}

\begin{proof}
Soit $r(q)$ le représentant de l'orbite $q$. On envoie $x$ sur $(\bar x, 0)$ si $x = r(\bar x)$ et sur $(\bar x, 1)$ sinon, et $(q, 0)$ sur $r(q)$, $(q, 1)$ sur $f(r(q))$. Comme l'orbite de $x$ est $\{r(\bar x), f(r(\bar x))\}$ et que $f$ est sans point fixe, ces deux applications sont réciproques.
\end{proof}

\begin{lemme}\label{lem:74-ligne}
Soient $f : \Gamma \to A$, $g : \Gamma \to B$, $h : \Gamma \to D$ telles que $(f, g)$ et $(f, h)$ soient bijectives. Pour tout $a \in A$, l'application $b \mapsto h\bigl((f, g)^{-1}(a, b)\bigr)$ est une bijection de $B$ sur $D$.
\end{lemme}

\begin{proof}
Si deux valeurs $b_1$, $b_2$ ont même image, les éléments $(f, g)^{-1}(a, b_i)$ ont même $f$ et même $h$ ; ils sont égaux par l'injectivité de $(f, h)$, d'où $b_1 = b_2$. Pour $d \in D$, soit $x = (f, h)^{-1}(a, d)$ ; alors $(f, g)^{-1}(a, g(x)) = x$, et $b = g(x)$ a pour image $d$.
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration des pages 99, 101 et 102]
Les applications $\varphi_\alpha$ sont bien définies, car $(\sigma x)_\alpha = \sigma_\alpha(x_\alpha)$ a même classe que $x_\alpha$.

(1) \emph{Injectivité.} Montrons d'abord que deux triangles supérieurs $x$, $y$ avec $y_\alpha = x_\alpha$ et $y_\beta \in \{x_\beta, \sigma_\beta x_\beta\}$ sont égaux. Si $y_\beta = \sigma_\beta x_\beta$, le point $x_\alpha = y_\alpha$ serait lié à $x_\beta$ et à $\sigma_\beta x_\beta$, contrairement à la proposition~2 ; donc $y_\beta = x_\beta$, et $y = x$ par l'unicité de~(4). Soient alors $x$, $y$ de mêmes images dans $E_\alpha$ et $E_\beta$. Si $y_\alpha = x_\alpha$, on conclut. Si $y_\alpha = \sigma_\alpha x_\alpha$, on remplace $y$ par $\sigma y$, qui a même classe : $(\sigma y)_\alpha = x_\alpha$ et $(\sigma y)_\beta$ est dans l'orbite de $x_\beta$, donc $\sigma y = x$. \emph{Surjectivité.} Soient $s \in \widetilde E_\alpha$ et $u \in \widetilde E_\beta$. Par la proposition~5, $u$ est lié à $s$ ou à $\sigma_\alpha s$, et~(4) donne un triangle supérieur dont les coordonnées d'indices $\alpha$ et $\beta$ sont ce point et $u$ ; sa classe a pour images les classes de $s$ et de $u$.

(2) Si $\bar x = \bar y$ et $x_\alpha = y_\alpha$, alors $y = x$ ou $y = \sigma x$, et le second cas donnerait $\sigma_\alpha x_\alpha = x_\alpha$. Si $(g, s)$ est dans le produit fibré, avec $g = \bar x$, la classe de $x_\alpha$ est celle de $s$, donc $s = x_\alpha$ ou $s = (\sigma x)_\alpha$ ; dans les deux cas $(g, s)$ est l'image d'un triangle supérieur.

(3) Par construction, $\psi_{\beta\alpha}$ envoie l'image de $x$ dans le premier produit fibré sur l'image de $x$ dans le second ; les deux ont pour première composante $\bar x$, et les relations de transitivité se lisent sur cette description.

(4) Les deux premières égalités sont le lemme~\ref{lem:74-revetement} pour $\sigma_\alpha$ et pour $\sigma$, la troisième est~(1). Pour la dernière, on applique le lemme~\ref{lem:74-ligne} à $f = \varphi_\alpha$, $g = \varphi_\beta$, $h = \varphi_\gamma$ et à la classe d'un point de $\widetilde E_\alpha$.
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration de la Scholie et de sa réciproque]
(1) L'application qui envoie $\alpha \in t_0$ sur $t_0(\alpha)$ et $s \in \widetilde E_\alpha$ sur $s$ est bijective par~(1) des pages~92 à~99. Elle respecte les arêtes : deux sommets de $t_0$ sont liés ; $t_0(\alpha)$ est lié à $s \in \widetilde E_\beta$ si et seulement si $\beta = \alpha$, par~(1) ; deux points d'un même $\widetilde E_\alpha$ sont liés si et seulement si l'un est l'image de l'autre par $\sigma_\alpha$, par~(2) ; deux points de $\widetilde E_\alpha$ et de $\widetilde E_\beta$, $\alpha \neq \beta$, sont liés dans $S$ si et seulement s'ils sont deux coordonnées d'un triangle supérieur, par~(4). Les conditions~(*) et $\beta_{\widetilde\Gamma}$ sont~(4) et~(3). Pour~(Ka), soient $x$, $y$, $z$ trois triangles supérieurs avec $x_\alpha = y_\alpha$, $x_\beta = z_\beta$, $y_\gamma = z_\gamma$. Le point $y_\gamma$ est lié à $y_\alpha = x_\alpha$, et, comme $z_\gamma$, à $z_\beta = x_\beta$. L'axiome~1 pour l'arête $\{x_\alpha, x_\beta\}$ donne $x_\gamma = y_\gamma$, et~(*) donne $x = y$.

(2) \emph{Axiome~1.} On examine les arêtes une à une. L'arête $\{t_0(\alpha), t_0(\beta)\}$ a pour seul troisième sommet $t_0(\gamma)$ : un point de $\widetilde E_\delta$ n'est lié qu'au sommet $t_0(\delta)$. L'arête $\{t_0(\alpha), s\}$ a pour seul troisième sommet $\sigma_\alpha s$ : un sommet lié à $t_0(\alpha)$ et à $s$ est dans $\widetilde E_\alpha$, et le seul point de $\widetilde E_\alpha$ lié à $s$ est $\sigma_\alpha s$. L'arête $\{s, \sigma_\alpha s\}$ a pour seul troisième sommet $t_0(\alpha)$ : un point $r$ lié à $s$ et à $\sigma_\alpha s$ qui ne serait pas dans $t_0$ ne pourrait être dans $\widetilde E_\alpha$, où il serait égal à $\sigma_\alpha s$ et à $s$, ni dans un autre $\widetilde E_\beta$, où $\beta_{\widetilde\Gamma}$ l'interdit. Enfin, soient $s \in \widetilde E_\alpha$ et $u \in \widetilde E_\beta$ liés par $\tau \in \widetilde T$. Le point $\tau_\gamma$ est lié à $s$ et à $u$. Soit $r$ un autre sommet lié à $s$ et à $u$. Il n'est pas dans $t_0$, car il serait lié à $t_0(\alpha)$ et à $t_0(\beta)$. S'il était dans $\widetilde E_\alpha$, il serait égal à $\sigma_\alpha s$, et $u$ serait lié à $s$ et à $\sigma_\alpha s$, contre $\beta_{\widetilde\Gamma}$ ; de même il n'est pas dans $\widetilde E_\beta$. Il est donc dans $\widetilde E_\gamma$, lié à $s$ par un $\rho_1 \in \widetilde T$ et à $u$ par un $\rho_2 \in \widetilde T$. Alors $\tau_\alpha = (\rho_1)_\alpha = s$, $\tau_\beta = (\rho_2)_\beta = u$ et $(\rho_1)_\gamma = (\rho_2)_\gamma = r$, et~(Ka) donne $\tau = \rho_1$, d'où $r = \tau_\gamma$.

Ce dernier argument montre aussi que trois points deux à deux liés hors de $t_0$ sont les coordonnées d'un même $\tau$ : deux d'entre eux ne sont pas dans une même orbite, car un point lié à $s$ et à $\sigma_\alpha s$ est dans $t_0$, et le troisième est le troisième sommet de l'arête des deux premiers.

\emph{Axiome~2.} Un triangle du graphe est de l'un des trois types suivants : $t_0$ ; un triangle vertical $\{t_0(\alpha), s, \sigma_\alpha s\}$ ; un triangle supérieur $\{\tau_\alpha\}$, $\tau \in \widetilde T$. Un triangle qui contient deux sommets de $t_0$ et un point de $\widetilde E_\alpha$ demanderait que ce point soit dans deux $\widetilde E$ ; un triangle formé de $t_0(\alpha)$ et de deux points est vertical, puisque ces points sont dans $\widetilde E_\alpha$ ; un triangle formé de trois points est supérieur par ce qui précède. Pour $t_0$, tout point de $\widetilde E_\alpha$ est lié à $t_0(\alpha)$. Pour un triangle vertical, un sommet de $t_0$ autre que $t_0(\alpha)$ est lié à $t_0(\alpha)$, ainsi qu'un point de $\widetilde E_\alpha$ ; un point $w \in \widetilde E_\beta$, $\beta \neq \alpha$, est lié à $s$ ou à $\sigma_\alpha s$ par $\beta_{\widetilde\Gamma}$. Pour un triangle supérieur $\tau$, un sommet $t_0(\delta)$ est lié à $\tau_\delta$. Soit $w \in \widetilde E_\delta$. Si $w = \sigma_\delta \tau_\delta$, il est lié à $\tau_\delta$. Sinon, notons $\beta$, $\gamma$ les deux autres indices, et supposons $w$ lié ni à $\tau_\beta$ ni à $\tau_\gamma$. Par $\beta_{\widetilde\Gamma}$, $\sigma_\delta w$ est lié à $\tau_\beta$ par un $\rho_1$ et à $\tau_\gamma$ par un $\rho_2$. La condition~(Ka) pour les indices $(\beta, \gamma, \delta)$ et les triplets $\tau$, $\rho_1$, $\rho_2$ donne $\tau = \rho_1$, d'où $\tau_\delta = \sigma_\delta w$ et $w = \sigma_\delta \tau_\delta$, contre l'hypothèse. C'est l'argument de la proposition~6.

(3) Le sens réciproque est~(2). Supposons l'axiome~1, et soient $\tau$, $\rho_1$, $\rho_2$ comme dans~(Ka). Les points $\tau_\gamma$ et $(\rho_1)_\gamma$ sont liés à $\tau_\alpha$ (par $\tau$ et par $\rho_1$) et à $\tau_\beta$ (par $\tau$ et par $\rho_2$). L'axiome~1 pour l'arête $\{\tau_\alpha, \tau_\beta\}$ donne $\tau_\gamma = (\rho_1)_\gamma$, et~(*) pour les indices $\alpha$, $\gamma$ donne $\tau = \rho_1$.

(4) Si $\tau$ et $\rho$ ont mêmes coordonnées d'indices $\alpha$ et $\beta$, (Ka) pour les indices $(\alpha, \gamma, \beta)$ et les triplets $\tau$, $\rho$, $\tau$ donne $\tau = \rho$. (Ka) entraîne (Ka$'$) : pour $(s_\alpha)$ et $(t_\alpha)$ comme dans (Ka$'$), (Ka) appliquée à $t_c$, $t_b$, $t_a$ donne $t_c = t_b$, et $(s_\alpha)$ a les coordonnées de $t_c$. Inversement, sous~(*) et (Ka$'$), soient $\tau$, $\rho_1$, $\rho_2$ comme dans (Ka). La famille $s$ égale à $\tau$ hors de $\gamma$ et à $(\rho_1)_\gamma$ en $\gamma$, avec $t_\gamma = \tau$, $t_\beta = \rho_1$, $t_\alpha = \rho_2$, vérifie les hypothèses de (Ka$'$) ; donc $s \in \widetilde T$, puis $s = \tau$ par~(*), d'où $\tau_\gamma = (\rho_1)_\gamma$ et $\tau = \rho_1$ par~(*).
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration des problèmes I et II]
\emph{(*).} Si $\psi_\alpha(x) = \psi_\alpha(y)$ et $\psi_\beta(x) = \psi_\beta(y)$, alors $\varphi_\alpha \pi(x) = p_\alpha \psi_\alpha(x) = \varphi_\alpha \pi(y)$, et de même pour $\beta$ ; $\beta_\Gamma$ donne $\pi(x) = \pi(y)$, et l'injectivité de $(\pi, \psi_\alpha)$ donne $x = y$.

\emph{$\beta_{\widetilde\Gamma}$.} Soient $s \in \widetilde E_\alpha$ et $u \in \widetilde E_\beta$. Deux éléments $x$, $y$ de $\widetilde\Gamma$ avec $\psi_\beta(x) = \psi_\beta(y) = u$ et $p_\alpha\psi_\alpha(x) = p_\alpha\psi_\alpha(y) = p_\alpha(s)$ ont la même image dans $E_\alpha \times E_\beta$, donc la même image dans $\Gamma$ par $\beta_\Gamma$, et sont égaux par l'injectivité de $(\pi, \psi_\beta)$. Si $s$ et $\sigma_\alpha s$ étaient tous deux liés à $u$, par $x$ et par $y$, on aurait donc $x = y$ et $s = \sigma_\alpha s$. Pour l'existence, soit $g \in \Gamma$ d'image $(p_\alpha(s), p_\beta(u))$, et $x$ au-dessus de $g$ avec $\psi_\beta(x) = u$ ; alors $p_\alpha \psi_\alpha(x) = \varphi_\alpha(g) = p_\alpha(s)$, donc $\psi_\alpha(x) \in \{s, \sigma_\alpha s\}$.

La suite résulte de la réciproque de la Scholie. Pour un graphe, les données de l'énoncé sont $\Gamma$, les $E_\alpha$, les classes $\widetilde E_\alpha \to E_\alpha$, $\widetilde\Gamma$, $x \mapsto \bar x$ et $x \mapsto x_\alpha$ ; les hypothèses sont~(1) et~(2) de l'énoncé des pages~99, 101 et~102.
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration de la nécessité de (Ka)]
Les conditions~(*) et $\beta_{\widetilde\Gamma}$ portent sur un nombre fini de cas et sont vérifiées par énumération. Les triplets $\tau = ((0,0), (0,0), (0,0))$, $\rho_1 = ((0,0), (1,0), (1,0))$ et $\rho_2 = ((1,0), (0,0), (1,0))$ de $\widetilde T$ vérifient $\tau_a = (\rho_1)_a$, $\tau_b = (\rho_2)_b$ et $(\rho_1)_c = (\rho_2)_c$, et $\tau \neq \rho_1$. La condition~(Ka) est donc fausse, et l'axiome~1 aussi par~(3) de la Scholie.
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration de la page 116]
Si les $\varphi_a$ préservent la relation, on l'applique à $(1, 1, 1)$ et à $a = g^{-1}$ : il vient $g \cdot g = 1$. Inversement, si $g^2 = 1$ pour tout $g$, alors $g^{-1} = g$, et $gk = (gk)^{-1} = k^{-1}g^{-1} = kg$ : le groupe est commutatif. Pour $xyz = 1$, on a $x \cdot a^{-1}z^{-1} \cdot a^{-1}y^{-1} = x \cdot az \cdot ay = a^2 \cdot xyz = 1$.
\end{proof}

\begin{remarque}
La direction directe n'emploie l'axiome~2 que pour $t_0$ et pour les triangles verticaux. Elle n'emploie pas l'axiome~3 de la page~100 ; celui-ci ne sert qu'aux dénombrements. Les cas exclus par l'axiome~3, un triangle seul ou une étoile de triangles en un sommet, ont $\widetilde\Gamma = \varnothing$, et leur $\Gamma$ vide vérifie $\beta_\Gamma$ puisque deux des $E_\alpha$ au moins sont vides. La page~101, qui demande $\widetilde\Gamma \neq \varnothing$, les écarte.
\end{remarque}

\begin{remarque}
Le contre-exemple de la nécessité de (Ka) vérifie~(*), (**) et $\beta_{\widetilde\Gamma}$, et son graphe ne vérifie pas l'axiome~1. L'énoncé de la page~97, qui tire l'axiome~1 de~(*) seule, demande donc la condition de la marge, que l'accolade rattache à~(*) et~(**). Sous~(*), l'axiome~1 du graphe des données équivaut à (Ka), et cette équivalence permet de restituer la condition. La conclusion de la marge est illisible : les formes (Ka) et (Ka$'$) sont les deux lectures, équivalentes sous~(*), qui rendent la Scholie juste. La condition~(*) n'est pas utilisée pour la réciproque ; elle découle de~(Ka). Les points~3 et~4 de l'énoncé encadré sont de l'édition.
\end{remarque}

\begin{remarque}
Pour l'axiome~2 aux triangles supérieurs, la page~100 (proposition~6) invoque la proposition~2, qui vient de l'axiome~1 dans un graphe donné. Dans la réciproque, la démonstration utilise (Ka) à cet endroit.
\end{remarque}

\begin{remarque}
L'énoncé de la page~116 suppose dès le départ que le carré latin est la table d'un groupe. La lecture écrit qu'il explique pourquoi le carré latin du problème~I \q{doit être la table d'un $\mathbb F_2$-espace vectoriel}. L'énoncé démontré ici est plus étroit : si $\Gamma$ est la table de $xyz = 1$ dans un groupe et si les $\varphi_a$ la préservent, le groupe est un $2$-groupe abélien élémentaire. La page applique la relation à $y = z = 1$ ; la démonstration prend $x = y = z = 1$ ; les deux choix reviennent au même puisque $x$ est déterminé par $y$ et $z$.
\end{remarque}

\begin{remarque}
Le groupe des autotopies de la table de Klein est d'ordre~$96$. Soit $V = (\mathbb Z/2)^2$. Trois permutations $f$, $g$, $h$ de $V$ vérifient $f(x) + g(y) = h(x + y)$ pour tous $x$, $y$ si et seulement s'il existe un automorphisme $\varphi$ de $V$ et $c_f, c_g \in V$ tels que $f = \varphi + c_f$, $g = \varphi + c_g$ et $h = \varphi + c_f + c_g$. En effet, $y = 0$ et $x = 0$ donnent $h(z) = f(z) + g(0) = f(0) + g(z)$ : les normalisées $f + f(0)$, $g + g(0)$ et $h + f(0) + g(0)$ coïncident, et l'égalité de départ dit que cette application commune est additive. L'énoncé vaut pour tout groupe commutatif, avec $f - f(0)$. Comme $V$ a six automorphismes, les autotopies sont au nombre de $6 \cdot 4 \cdot 4 = 96$ ; une énumération des $24^3$ triplets de permutations le confirme. Ce nombre redonne l'ordre $1152 = 32 \cdot 36$ que la cote~69 trouve pour le stabilisateur d'un triangle dans le graphe des vingt-sept droites : $96$ autotopies, deux relèvements chacune et les $6$ permutations du triangle donnent $1152 = |W(F_4)|$. Cette décomposition et le nom $W(F_4)$ sont de l'édition ; le relèvement n'est pas formalisé.
\end{remarque}

Ne sont pas démontrés ici : la classification des graphes vérifiant les axiomes~1 à~3 et leur identification aux quadrangles généralisés d'ordre $(2, c)$, la description des carrés latins du problème~I et la classification des revêtements doubles du problème~II, leur lien avec les extensions centrales des pages~32 à~39, l'affirmation de la lecture que le carré latin est en général la table d'un $\mathbb F_2$-espace vectoriel, et les nombres de la page~104 pour $|S|$, $|A|$ et $|T|$. L'identification des $\widetilde E_\alpha$ du graphe des données aux ensembles de départ, qui achèverait l'équivalence dans le sens réciproque, n'est démontrée que pour les triangles supérieurs. La fin de la marge (Ka) reste à lire sur le fac-similé.
\section[Cote 76 : l'ordre des sommets ; drapeaux de type H, le lemme de surjectivité]{Cote 76 : l'ordre des sommets ; drapeaux de type $H$, le lemme de surjectivité\protect\verifie{Folder76}}\label{sec:76}

La cote 76, \emph{n-cartes cellulaires : notes manuscrites (s.d.)}, soixante-deux pages que l'inventaire date \q{[vers 1977]}, cherche une description combinatoire des complexes cellulaires et des cartes de dimension~$n$. Les pages~20 à~24 relient les ensembles semi-simpliciaux aux ensembles ordonnés munis d'un ordre sur les sommets ; la relation lue sur les arêtes, $x \prec y$, doit être transitive. La page~26 donne un second exemple (\q{Ex 2}) : un groupe $G$, des éléments $\sigma_0, \ldots, \sigma_n$ tels que $\sigma_i$ et $\sigma_j$ commutent pour $j \geq i + 2$, le sous-groupe $N_H$ engendré par les $\sigma_i$, $i \notin H$, un $G$-ensemble $X$ et ses \q{drapeaux de type $H$}, $D(H) = X/N_H$ (\lot{76}{2}{26}). La page~27 pose $x_i \prec y_j$ si $i < j$ et si $x_i$, $y_j$ ont un majorant commun, ramène la transitivité à la surjectivité de $D(\{i, j, k\}) \to D(\{i, j\}) \times_{D(\{j\})} D(\{j, k\})$ et énonce un lemme plus général, sous l'hypothèse \q{$H \cap H'$ \ldots{} segment final de l'ens tot.\ ordonné $H$, un segment initial de l'ens tot ordonné $H'$} (\lot{76}{2}{27}). La page~28 le démontre par la décomposition $G_{K \cup K'} \subset G_{K_0} \cdot G_{K'_0}$, et une note oblique dans la marge gauche dit n'avoir utilisé que \q{a) le dernier él.\ de $H$ est dans $H'$ ; b) $H \cap H'$ est un segment initial de $H'$} (\lot{76}{2}{28}).

\noindent\emph{Conventions.} On note $\Delta_n = \{0, \ldots, n\}$, $G_K$ le sous-groupe de $G$ engendré par les $\sigma_i$, $i \in K$, pour $K \subset \Delta_n$, et $N_H = G_{\Delta_n \smallsetminus H}$. Pour $H \subset H'$, on a $N_{H'} \subset N_H$, d'où la restriction $D(H') \to D(H)$, $N_{H'}x \mapsto N_Hx$ ; elle est transitive. Aucune autre hypothèse n'est faite sur les $\sigma_i$ : ce ne sont pas nécessairement des involutions.

\begin{lemme}\label{lem:76-produit}
Soient $K, K' \subset \Delta_n$ et $i \in \Delta_n \smallsetminus (K \cup K')$ tels que tout $j \in K \cup K'$ avec $j < i$ soit dans $K'$ et tout $j \in K \cup K'$ avec $j > i$ soit dans $K$. Alors tout élément de $G_{K \cup K'}$ s'écrit $k'k$ avec $k' \in G_{K'}$ et $k \in G_K$.
\end{lemme}

\begin{proof}
Soient $A = G_{K'_0}$ et $B = G_{K_0}$, où $K'_0 = \{j \in K \cup K' : j < i\}$ et $K_0 = \{j \in K \cup K' : j > i\}$. Par hypothèse $A \subset G_{K'}$ et $B \subset G_K$. Un indice de $K'_0$ et un indice de $K_0$ diffèrent d'au moins~$2$, donc leurs générateurs commutent ; tout générateur de $B$ est alors dans le centralisateur de $A$, puis $B$ tout entier, et tout élément de $A$ commute à tout élément de $B$. L'ensemble $AB$ contient donc $1$, les générateurs $\sigma_j$, $j \in K \cup K'$ (qui sont dans $K'_0$ ou $K_0$ puisque $i \notin K \cup K'$), et il est stable par produit, $(ab)(a'b') = (aa')(bb')$, et par inverse, $(ab)^{-1} = a^{-1}b^{-1}$. Il contient le sous-groupe $G_{K \cup K'}$ qu'ils engendrent.
\end{proof}

\begin{theoreme}[Grothendieck, pages 27 et 28, lemme\piste{76-flag-presheaf-gset-lemma}]\label{thm:76-lemme}
Soient $G$ un groupe, $\sigma_0, \ldots, \sigma_n \in G$ tels que $\sigma_i$ et $\sigma_j$ commutent pour $j \geq i + 2$, et $X$ un $G$-ensemble. Soient $H, H' \subset \Delta_n$ tels que le plus grand élément de $H$ soit dans $H'$ et que $H \cap H'$ soit un segment initial de $H'$. Alors l'application
\[ D(H \cup H') \longrightarrow D(H) \times_{D(H \cap H')} D(H') \]
est surjective : deux drapeaux de types $H$ et $H'$ de même restriction à $H \cap H'$ sont les restrictions d'un même drapeau de type $H \cup H'$.
\end{theoreme}

\begin{proof}
Soient $a = N_Hx$ et $b = N_{H'}y$ de même image dans $D(H \cap H')$ : il existe $g \in N_{H \cap H'}$ avec $gy = x$. Posons $K = \Delta_n \smallsetminus H$ et $K' = \Delta_n \smallsetminus H'$, de sorte que $N_{H \cap H'} = G_{K \cup K'}$, et soit $i$ le plus grand élément de $H$. Il est dans $H \cap H'$, donc hors de $K \cup K'$. Un $j > i$ n'est pas dans $H$, donc est dans $K$. Un $j < i$ de $K \cup K'$ n'est pas dans $H'$ : sinon, $j \leq i$ avec $i \in H \cap H'$ et le segment initial le mettraient dans $H$, donc dans $H \cap H'$, ce qui contredit $j \in K \cup K'$. Le lemme~\ref{lem:76-produit} écrit $g^{-1} = k'k$ avec $k' \in N_{H'}$ et $k \in N_H$. Le drapeau $c$, classe de $kx$ dans $D(H \cup H')$, a pour image $N_Hkx = N_Hx = a$ dans $D(H)$, et, puisque $y = g^{-1}x = k'(kx)$, pour image $N_{H'}kx = N_{H'}y = b$ dans $D(H')$.
\end{proof}

\begin{corollaire}[page 27]\label{cor:76-transitif}
Pour $x \in D(\{i\})$ et $y \in D(\{j\})$, posons $x \prec y$ si $i < j$ et si $x$ et $y$ sont les restrictions d'un même drapeau d'un type $H \supset \{i, j\}$. Cette relation est transitive, pour tout $G$-ensemble $X$. Un majorant commun peut toujours être pris dans $D(\{i, j\})$, les sommets $i < j$ d'un même drapeau vérifient $\prec$, et $x \prec y$ n'a jamais lieu pour $x$ et $y$ de même type.
\end{corollaire}

\begin{proof}
La restriction d'un majorant de type $H$ à $\{i, j\}$ est un majorant de type $\{i, j\}$. Soient $i < j < k$, $x \prec y$ par $u \in D(\{i, j\})$ et $y \prec w$ par $v \in D(\{j, k\})$. On a $\{i, j\} \cap \{j, k\} = \{j\}$, qui est le plus grand élément de $\{i, j\}$ et un segment initial de $\{j, k\}$. Les restrictions de $u$ et $v$ à $\{j\}$ valent $y$, et le théorème~\ref{thm:76-lemme} donne $c \in D(\{i, j, k\})$ qui restreint à $u$ et à $v$, donc à $x$ et à $w$ : sa restriction à $\{i, k\}$ est un majorant commun de $x$ et $w$, et $i < k$.
\end{proof}

\begin{remarque}
Le lemme tient tel que la lecture l'énonce, sous les deux hypothèses de la note marginale, plus faibles que celles de l'énoncé de la page~27 : la non-vacuité de $H \cap H'$ découle de a), et le segment final de $H$ ne sert pas. La démonstration est celle de la page~28 ; la page écrit $G_{K \cup K'} = G_K \cdot G_{K'}$, le fichier en démontre l'inclusion sous la forme $G_{K'} \cdot G_K$, la seule dont la démonstration se sert. Comme la lecture le dit, le groupe, l'ensemble $X$ et l'action sont quelconques : la page n'utilise que la commutation des $\sigma_i$ éloignés. Le fichier formalise l'ordre des sommets sur $D_0 = \coprod_i D(\{i\})$, sa transitivité, et l'ensemble semi-simplicial qui en résulte (corollaire~\ref{cor:76-ss} ci-dessous). La piste demande si cette surjectivité, pour des $G$-ensembles quelconques, figure dans la théorie des géométries de classes de Tits ou des systèmes de chambres.
\end{remarque}

\begin{corollaire}[page 27, \q{ainsi}]\label{cor:76-ss}
Soit $D_m = \coprod_{\operatorname{card} H = m+1} D(H)$, et, pour $u \colon \Delta_k \to \Delta_m$ strictement croissante et $d \in D(H)$, $H = \{h_0 < \cdots < h_m\}$, soit $u^*d$ la restriction de $d$ au type $\{h_{u(0)} < \cdots < h_{u(k)}\}$. C'est un ensemble semi-simplicial satisfaisant (1). Son ensemble ordonné de simplexes est $D_* = \coprod_H D(H)$, avec $d \leq d'$ si et seulement si $H \subset H'$ et $d$ est la restriction de $d'$ ; il satisfait (a). Sa relation d'arête sur $D_0$ est la relation $\prec$ du corollaire~\ref{cor:76-transitif} ; elle est donc transitive, et les ordres des simplexes sont tous induits par un même ordre sur $D_0$ satisfaisant (b) et (c). Cela vaut pour tout $G$-ensemble $X$.
\end{corollaire}

\begin{proof}[Esquisse]
Les identités semi-simpliciales viennent de la transitivité des restrictions et de ce que la face de type $u(\Delta_k) \subset H$ d'une face de type $v(\Delta_m)$ est celle de type $(v \circ u)(\Delta_k)$, l'énumération croissante d'une partie étant unique. Deux faces $u^*d = v^*d$ ont même type, donc $u = v$ : c'est (1). Si $H \subset H'$, l'application croissante $u$ qui envoie le $i$-ième élément de $H$ sur son rang dans $H'$ donne pour $u^*d'$ la restriction de $d'$ à $H$, d'où la description de l'ordre ; (a) vient alors de (1) par le théorème des pages~22 à~24 ci-dessous. Une arête de type $\{i < j\}$ a pour sommets ses restrictions à $\{i\}$ et $\{j\}$, ce qui identifie la relation d'arête à $\prec$ ; le corollaire~\ref{cor:76-transitif} donne la transitivité et le théorème des pages~22 à~24 l'ordre sur $D_0$.
\end{proof}

\paragraph{L'ordre des sommets (pages 20 à 24).} Un ensemble semi-simplicial $D$ satisfait (1) si les faces d'un simplexe sont deux à deux distinctes ; $D_* = \coprod D_m$, ordonné par \q{est face de}, satisfait alors (a). Sur $D_0$, $x \prec y$ s'il existe une arête de $x$ à $y$ ; (2 bis) demande que deux arêtes composables bordent un $2$-simplexe. La proposition des pages~23 et~24 met en correspondance les ensembles semi-simpliciaux satisfaisant (1) et \q{(2)}, chiffre incertain que la lecture lit comme la transitivité (2°), et les ensembles ordonnés satisfaisant (a) munis d'un ordre sur $D_0$ satisfaisant (b) et (c) (\lot{76}{2}{22}, \lot{76}{2}{24}).

\begin{theoreme}[D'après les pages 22 à 24, avec (2°)\piste{76-semisimplicial-vertex-order}]
Soit $D$ un ensemble semi-simplicial satisfaisant (1). Alors $D_*$ satisfait (a), les ordres de ses simplexes sont compatibles, et leur relation d'arête est $\prec$ ; la relation $\prec$ est transitive si et seulement si ces ordres sont tous induits par un même ordre sur $D_0$ satisfaisant (b) et (c), et cet ordre est alors $\prec$. Sur tout ensemble ordonné satisfaisant (a), les ordres sur $D_0$ satisfaisant (b) et (c) correspondent bijectivement, par restriction et par la relation d'arête, aux familles d'ordres totaux compatibles sur les simplexes dont la relation d'arête est transitive. Enfin (2 bis) entraîne (2°), et le bord d'un triangle satisfait (1) et (2°) sans satisfaire (2 bis).
\end{theoreme}

La figure~\ref{fig:76-ordres} donne trois cas, une flèche de $x$ vers $y$ figurant une arête de $x$ à $y$, donc $x \prec y$. Dans le premier, deux triangles pleins partagent une arête, et les ordres de leurs sommets sont induits par $v_0 < v_1 < v_2 < v_3$. Dans le deuxième, trois arêtes tournent : (1) tient, mais $v_0 \prec v_1 \prec v_2$ sans $v_0 \prec v_2$, et aucun ordre sur $D_0$ n'induit les ordres des arêtes. Le troisième est le bord d'un triangle orienté sans cycle.

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{tikzpicture}[x=1cm, y=1cm, >=stealth, every node/.style={font=\small}]
\tikzset{ar/.style={->, shorten >=3pt, shorten <=3pt}}
\begin{scope}
\coordinate (v0) at (0,0); \coordinate (v1) at (1.8,0); \coordinate (v2) at (0.9,1.55); \coordinate (v3) at (2.7,1.55);
\fill[black!12] (v0)--(v1)--(v2)--cycle; \fill[black!22] (v1)--(v3)--(v2)--cycle;
\foreach \a/\b in {0/1,0/2,1/2,1/3,2/3} \draw[ar] (v\a)--(v\b);
\foreach \k in {0,...,3} \fill (v\k) circle (1.5pt);
\node[below left] at (v0) {$v_0$}; \node[below right] at (v1) {$v_1$}; \node[above left] at (v2) {$v_2$}; \node[above right] at (v3) {$v_3$};
\node at (1.35,-0.85) {(1) et (2 bis)};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=4.6cm]
\coordinate (v0) at (0,0); \coordinate (v1) at (1.8,0); \coordinate (v2) at (0.9,1.55);
\draw[ar] (v0)--(v1); \draw[ar] (v1)--(v2); \draw[ar] (v2)--(v0);
\foreach \k in {0,...,2} \fill (v\k) circle (1.5pt);
\node[below left] at (v0) {$v_0$}; \node[below right] at (v1) {$v_1$}; \node[above] at (v2) {$v_2$};
\node at (0.9,-0.85) {(1), sans (2°)};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=8.3cm]
\coordinate (v0) at (0,0); \coordinate (v1) at (1.8,0); \coordinate (v2) at (0.9,1.55);
\draw[ar] (v0)--(v1); \draw[ar] (v1)--(v2); \draw[ar] (v0)--(v2);
\foreach \k in {0,...,2} \fill (v\k) circle (1.5pt);
\node[below left] at (v0) {$v_0$}; \node[below right] at (v1) {$v_1$}; \node[above] at (v2) {$v_2$};
\node at (0.9,-0.85) {(1) et (2°), sans (2 bis)};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\caption{L'ordre des sommets. À gauche, deux $2$-simplexes (en gris) d'arête commune $v_1v_2$ : la relation d'arête est l'ordre $v_0 < v_1 < v_2 < v_3$, qui induit celui de chaque simplexe. Au milieu, trois arêtes en cycle, sans $2$-simplexe : $\prec$ n'est pas transitive. À droite, le bord du triangle : $\prec$ est l'ordre $v_0 < v_1 < v_2$, mais les arêtes composables $v_0v_1$ et $v_1v_2$ ne bordent aucun $2$-simplexe.}
\label{fig:76-ordres}
\end{figure}

{\sloppy \noindent L'énoncé tient avec (2°), comme la lecture le lit : voir \texttt{trans\_iff\_vertexOrder}, \texttt{vertexOrder\_unique}, \texttt{vertexOrderEquiv}, \texttt{isFlagGeom}, \texttt{trans\_of\_hornFill} et \texttt{triangleBoundary\_not\_hornFill} dans \href{\leanblob/Folder76.lean}{\texttt{Folder76.\allowbreak{}lean}}. Du côté des ensembles ordonnés, la correspondance n'utilise de (a) que l'existence, sous un simplexe, de l'arête qui joint deux de ses sommets. Le retour des ordres compatibles à l'ensemble semi-simplicial (pages~17 et~18) n'est pas refait ici : c'est le cas $M = \Delta_{\mathrm{inj}}$ de l'équivalence de la cote~104 (§\,\ref{sec:104}).\par}

La condition (a) pour $D_* = \coprod_H D(H)$ et l'ensemble semi-simplicial qu'elle définit, avec $D_m = \coprod_{\operatorname{card} H = m+1} X/N_H$, sont démontrés (corollaire~\ref{cor:76-ss}) : voir \texttt{flagSS}, \texttt{flagSS\_le\_iff}, \texttt{flagSS\_isFlagGeom}, \texttt{flagSS\_prec\_iff}, \texttt{flagSS\_prec\_trans} et \texttt{flagSS\_vertexOrder}. N'est pas démontré ici : le programme de la page~29.
\section[Cote 77 : le discriminant universel modulo 2 et modulo 4, la sphère, la symétrie canonique]{Cote 77 : le discriminant universel modulo $2$ et modulo $4$, la sphère, la symétrie canonique\protect\verifie{Folder77}}\label{sec:77}

La cote 77, \emph{Quadriques affines, extensions quadratiques : notes manuscrites (s.d.)}, compte cent cinquante-sept pages, que l'inventaire place après 1977. La partie IV, dont la couverture de la page~64 porte \q{discriminant des formes quadratiques}, prend la forme quadratique universelle $\sum_i Y_i x_i^2 + \sum_{i<j} Y_{ij} x_i x_j$ sur l'anneau $\mathbf Z[Y]$ et le déterminant $\Delta$ de sa forme polaire, matrice qui porte $2Y_i$ sur la diagonale et $Y_{ij}$ ailleurs. Les pages~65 à~67 développent $\Delta$ en une somme sur des graphes : sommets isolés pour les points fixes, arêtes doubles pour les transpositions, polygones pour les autres cycles. La page~68 réduit cette somme modulo~$2$ : il n'y reste que les involutions sans point fixe, et la page conclut \q{On voit donc que $\Delta \bmod 2 = 0$ si $\operatorname{card} I$ est impair} (\lot{77}{4}{68}). En rang pair $m = 2n$, elle pose $B$, somme sur les couplages parfaits de $I$ des produits des $Y_{ij}$, cherche $\varepsilon = \pm 1$ tel que $B^2 - \varepsilon\Delta \equiv 0 \pmod 4$, et \q{prévoit} $\varepsilon = (-1)^n$. Les pages~69 et~71 comparent $B^2$ et $\Delta$ modulo~$4$ par les paires de couplages, avec une fausse alarme à l'encre brune corrigée deux lignes plus bas. La page~87, barrée, contrôle les coefficients du développement en rang~$4$ (\lot{77}{5}{87}), et la page~127 prend le discriminant divisé $\delta' = \delta/2$ du rang impair comme critère de régularité (\lot{77}{7}{127}). La partie V, aux pages~117 à~125, étudie les quadriques affines \q{birégulières}, lisses et lisses à l'infini : elle les ramène à un triplet $(T, q, a)$ avec $q(a) = 1$, pose $\pi = \varphi(a, \cdot)$ et, page~123, définit la symétrie canonique $\sigma = \mathrm{id} - \pi \otimes a$ ; une note en marge affirme qu'elle est la seule réflexion qui fixe l'hyperplan à l'infini et laisse la quadrique invariante (\lot{77}{7}{123}). Le feuillet découpé de la page~124 traite l'exemple $T = M_2$, $q = \det$, $a = 1$.

\noindent\emph{Conventions.} Pour $n \geq 0$, les indéterminées sont indexées par les parties $J \subset \{1, \dots, n\}$ de cardinal $1$ ou $2$, notées $Y_i$ et $Y_{ij}$ ; on note $\mathbf Z[Y]$ l'anneau de polynômes correspondant. La matrice polaire universelle $P_n$ a pour coefficients $2Y_i$ en $(i, i)$ et $Y_{ij}$ en $(i, j)$ et $(j, i)$ pour $i \neq j$. Sur un anneau commutatif $R$, une famille $y = (y_i, y_{ij})$ d'éléments de $R$ définit la forme $\sum y_i x_i^2 + \sum_{i<j} y_{ij} x_i x_j$, de matrice polaire $P(y)$, image de $P_n$ par le morphisme $Y \mapsto y$.

\begin{enonce}[Page 68, rang impair\pisteresolue{77-odd-rank-half-discriminant}]
Si $n$ est impair, $\det P_n$ est divisible par $2$ dans $\mathbf Z[Y]$. Le quotient $\delta'_n = \det P_n / 2$ est l'unique polynôme tel que $\det P_n = 2\delta'_n$, et pour tout anneau commutatif $R$ et toute famille $y$ d'éléments de $R$, $\det P(y) = 2\,\delta'_n(y)$.
\end{enonce}

\begin{proof}
Soit $K_n$ la matrice de $\mathbf Z[Y]$ qui porte $Y_{ij}$ en $(i, j)$ pour $i < j$, $-Y_{ij}$ en $(i, j)$ pour $i > j$ et $0$ sur la diagonale. Elle est antisymétrique : ${}^tK_n = -K_n$. On a donc $\det K_n = \det {}^tK_n = \det(-K_n) = (-1)^n \det K_n = -\det K_n$, d'où $2 \det K_n = 0$ ; comme $\mathbf Z[Y]$ est intègre de caractéristique nulle, $\det K_n = 0$.

Soit $\rho : \mathbf Z[Y] \to \mathbf F_2[Y]$ la réduction des coefficients modulo~$2$. Les matrices $P_n$ et $K_n$ ont même image par $\rho$ : sur la diagonale, $\rho(2Y_i) = 0$ ; au-dessus, les coefficients sont égaux ; au-dessous, $\rho(-Y_{ij}) = \rho(Y_{ij})$ en caractéristique~$2$. Le déterminant commutant aux morphismes d'anneaux, $\rho(\det P_n) = \det \rho(P_n) = \det \rho(K_n) = \rho(\det K_n) = 0$. Le noyau de $\rho$ est formé des polynômes dont tous les coefficients sont pairs, c'est-à-dire de l'idéal engendré par~$2$ ; donc $2$ divise $\det P_n$.

L'unicité du quotient vient de ce que $2$ n'est pas diviseur de zéro dans $\mathbf Z[Y]$. Pour $R$ et $y$ donnés, le morphisme $Y \mapsto y$ envoie $P_n$ sur $P(y)$ et commute au déterminant ; il envoie $2\delta'_n$ sur $2\,\delta'_n(y)$.
\end{proof}

\begin{remarque}
Le discriminant divisé du rang impair figure chez Conrad (2014, proposition~C.1.4) \cite{conrad2014}, qui le présente comme découvert indépendamment par M.~Kneser et par Grothendieck. L'énoncé tient pour tout $n$ impair. La démonstration ne suit pas le développement en graphes de la page : elle remplace, modulo~$2$, la matrice symétrique par la matrice antisymétrique $K_n$, dont le déterminant est nul sur $\mathbf Z[Y]$ en taille impaire. Sur $\mathbf F_2[Y]$, l'argument $\det = -\det$ ne donne rien : il faut donc relever $\rho(P_n)$ en une matrice antisymétrique sur $\mathbf Z[Y]$. La seconde partie de la piste, \q{$q$ est régulière si et seulement si $\delta'(q)$ est inversible}, est la définition de la régularité que la lecture adopte (page~127). Les équivalences de la page~127 avec la lissité de $V(q)$ et l'isomorphie locale à la forme standard ne sont pas formalisées.
\end{remarque}

\begin{enonce}[Pages 68 à 71 et 87, rangs $2$ et $4$\piste{77-universal-even-rank-discriminant-mod-4}]
Soit $R$ un anneau commutatif.
\begin{enumerate}
\item (Rang $2$, $n = 1$.) Pour $a_1, a_2, b_{12} \in R$, $-\det\begin{pmatrix} 2a_1 & b_{12} \\ b_{12} & 2a_2\end{pmatrix} = B^2 - 4C$ avec $B = b_{12}$ et $C = a_1a_2$.
\item (Rang $4$, $n = 2$.) Soit $P$ la matrice polaire de la forme $\sum_{i \leq 4} a_i x_i^2 + \sum_{i<j} b_{ij} x_i x_j$ et $B = b_{12}b_{34} + b_{13}b_{24} + b_{14}b_{23}$, somme sur les trois couplages parfaits de $\{1, 2, 3, 4\}$. Alors $\det P = B^2 - 4C$ avec
\begin{multline*}
C = -4a_1a_2a_3a_4 + a_1a_2b_{34}^2 + a_1a_3b_{24}^2 + a_1a_4b_{23}^2 + a_2a_3b_{14}^2 + a_2a_4b_{13}^2 + a_3a_4b_{12}^2 \\
- a_1b_{23}b_{24}b_{34} - a_2b_{13}b_{14}b_{34} - a_3b_{12}b_{14}b_{24} - a_4b_{12}b_{13}b_{23} \\
+ b_{12}b_{13}b_{24}b_{34} + b_{12}b_{14}b_{23}b_{34} + b_{13}b_{14}b_{23}b_{24}.
\end{multline*}
\item Le signe $\varepsilon = -(-1)^n$ ne convient dans aucun des deux rangs : sur $\mathbf Z$, pour $a_1 = a_2 = 0$ et $b_{12} = 1$, $B^2 - \det P = 2$ ; pour $b_{12} = b_{34} = 1$ et les autres coefficients nuls, $B^2 + \det P = 2$. Aucun des deux n'est divisible par~$4$.
\end{enumerate}
\end{enonce}

\begin{proof}
En rang~$2$, $\det = 4a_1a_2 - b_{12}^2$. En rang~$4$, on développe $\det P$ selon la première ligne, puis chaque mineur d'ordre~$3$ par la règle de Sarrus. On obtient
\begin{multline*}
\det P = 16a_1a_2a_3a_4 - 4\,(a_1a_2b_{34}^2 + a_1a_3b_{24}^2 + a_1a_4b_{23}^2 + a_2a_3b_{14}^2 + a_2a_4b_{13}^2 + a_3a_4b_{12}^2) \\
+ 4\,(a_1b_{23}b_{24}b_{34} + a_2b_{13}b_{14}b_{34} + a_3b_{12}b_{14}b_{24} + a_4b_{12}b_{13}b_{23}) + b_{12}^2b_{34}^2 + b_{13}^2b_{24}^2 + b_{14}^2b_{23}^2 \\
- 2\,(b_{12}b_{13}b_{24}b_{34} + b_{12}b_{14}b_{23}b_{34} + b_{13}b_{14}b_{23}b_{24}).
\end{multline*}
Ce sont les coefficients de la page~87 : $2^4$ pour les quatre sommets isolés, $-2^2$ pour une arête double et deux sommets isolés, $2^2$ pour un triangle et un sommet isolé, $1$ pour deux arêtes doubles, $-2$ pour un carré. Le carré $B^2$ a pour termes carrés les $b_{12}^2b_{34}^2$, $b_{13}^2b_{24}^2$, $b_{14}^2b_{23}^2$ et pour termes croisés $2\,(b_{12}b_{13}b_{24}b_{34} + b_{12}b_{14}b_{23}b_{34} + b_{13}b_{14}b_{23}b_{24})$ ; la différence $B^2 - \det P$ est donc $4C$, terme à terme. Les deux contre-exemples se calculent sur ces formules : en rang~$2$, $B^2 - \det P = 1 - (-1)$ ; en rang~$4$, $\det P = b_{12}^2b_{34}^2 = 1$ et $B^2 + \det P = 2$.
\end{proof}

\begin{remarque}
L'identité est démontrée sur tout anneau commutatif, donc en particulier sur $\mathbf Z[Y]$, avec un $C$ écrit en entier. Elle confirme en rangs $2$ et $4$ le signe $(-1)^n$ que la page \q{prévoit}, et le choix opposé échoue dans ces deux rangs ; la lecture l'avait déjà contrôlé par machine pour $m = 2, 4, 6$. En rang~$4$, la vérification confirme les coefficients et les nombres de graphes de la page~87. Le rang pair quelconque fait l'objet de l'énoncé suivant, sans expression de $C$.
\end{remarque}

\begin{encadre}
\begin{theoreme}[Grothendieck, pages 68 à 71, rang pair quelconque\piste{77-universal-even-rank-discriminant-mod-4}]
Soient $n \geq 0$ et $B_{2n} = \sum_{M} \prod_{\{i, j\} \in M} Y_{ij}$, la somme portant sur les couplages parfaits $M$ de $\{1, \dots, 2n\}$. Alors $4$ divise $(-1)^n \det P_{2n} - B_{2n}^2$ dans $\mathbf Z[Y]$. Il existe donc $C_{2n} \in \mathbf Z[Y]$ tel que, pour tout anneau commutatif $R$ et toute famille $y$ d'éléments de $R$, $(-1)^n \det P(y) = B_{2n}(y)^2 - 4\,C_{2n}(y)$.
\end{theoreme}
\end{encadre}

\begin{proof}
Soit $U$ la matrice qui porte $Y_i$ en $(i, i)$, $Y_{ij}$ en $(i, j)$ pour $i < j$, et $0$ sous la diagonale. Alors $P_{2n} = U + {}^tU$, et la matrice antisymétrique $K_{2n}$ de l'énoncé du rang impair est $U - {}^tU = P_{2n} - 2\,{}^tU$. On écrit $P$, $K$ et $B$ pour $P_{2n}$, $K_{2n}$ et $B_{2n}$.

\emph{Premier pas : $\det K \equiv (1 - 2n) \det P \pmod 4$.} Soit $f(t) = \det(P - t\,{}^tU) \in \mathbf Z[Y][t]$, que l'on écrit $f(t) = f_0 + f_1 t + t^2 g(t)$. On a $f_0 = f(0) = \det P$ et $\det K = f(2) = \det P + 2f_1 + 4g(2)$ ; il reste à voir que $2f_1 = -2n \det P$. Le déterminant $\det P$ n'est pas nul : pour $Y_i = 1$ et $Y_{ij} = 0$ il vaut $2^{2n}$. La matrice $P$ est donc inversible sur le corps des fractions $L$ de $\mathbf Z[Y]$, et sur $L$, $f(t) = \det P \cdot \det(1 - t\,P^{-1}\,{}^tU)$, dont le coefficient de $t$ est $-\det P \cdot \operatorname{tr}(P^{-1}\,{}^tU)$. Comme $P$ est symétrique, $P^{-1}$ l'est aussi, et $\operatorname{tr}(P^{-1}\,{}^tU) = \operatorname{tr}\bigl({}^t(P^{-1}\,{}^tU)\bigr) = \operatorname{tr}(U P^{-1}) = \operatorname{tr}(P^{-1} U)$. La somme de ces deux traces est $\operatorname{tr}(P^{-1}(U + {}^tU)) = \operatorname{tr}(1) = 2n$. Donc $2f_1 = -2n \det P$ dans $L$, et dans $\mathbf Z[Y]$, qui s'injecte dans $L$.

\emph{Deuxième pas : $\det K$ est un carré dans $\mathbf Z[Y]$.} Sur un corps $k$ de caractéristique différente de~$2$, une matrice antisymétrique $A$ de taille paire a pour déterminant un carré. On raisonne par récurrence sur la taille ; la diagonale de $A$ est nulle. Si la première ligne est nulle, $\det A = 0$. Sinon, soit $c = A_{1j} \neq 0$, avec $j \neq 1$ ; la permutation qui échange $2$ et $j$, appliquée aux lignes et aux colonnes, ne change pas le déterminant et amène $c$ en position $(1, 2)$. On découpe alors $A$ en blocs $\begin{pmatrix} E & F \\ G & D \end{pmatrix}$, avec $E = \begin{pmatrix} 0 & c \\ -c & 0 \end{pmatrix}$ inversible de déterminant $c^2$ ; on a $\det A = c^2 \det S$ avec $S = D - G E^{-1} F$. Comme $G = -{}^tF$, ${}^tD = -D$ et ${}^t(E^{-1}) = -E^{-1}$, la matrice $S$ est antisymétrique, de taille deux de moins. Par récurrence $\det S = s^2$, d'où $\det A = (cs)^2$. Appliqué à l'image de $K$ sur $L$, cela donne $\det K = s^2$ avec $s \in L$. L'élément $s$ est racine du polynôme unitaire $T^2 - \det K$ de $\mathbf Z[Y][T]$ ; l'anneau $\mathbf Z[Y]$ est factoriel, donc intégralement clos, et $s$ est l'image d'un $r \in \mathbf Z[Y]$, avec $\det K = r^2$.

\emph{Troisième pas : réduction modulo~$2$.} Soit $M$ une matrice symétrique à diagonale nulle sur un anneau de caractéristique~$2$. Dans $\det M = \sum_\sigma \varepsilon(\sigma) \prod_i M_{\sigma(i) i}$, les signes valent~$1$, et $\sigma$ et $\sigma^{-1}$ donnent le même produit, par symétrie de $M$. Les termes des $\sigma$ distinctes de $\sigma^{-1}$ s'annulent donc deux à deux ; ceux des involutions qui ont un point fixe sont nuls, car la diagonale est nulle. Il reste les involutions sans point fixe, c'est-à-dire les couplages parfaits, et pour un couplage le produit est le carré du produit des $M_{ij}$ sur ses arêtes. En caractéristique~$2$ une somme de carrés est le carré de la somme, d'où $\det M = \bigl(\sum_{M'} \prod_{\{i, j\} \in M'} M_{ij}\bigr)^2$. La matrice $\rho(K)$ est symétrique, car $-1 = 1$ dans $\mathbf F_2[Y]$, à diagonale nulle, et ses coefficients au-dessus de la diagonale sont les $\rho(Y_{ij})$ ; on obtient $\rho(r)^2 = \rho(\det K) = \rho(B)^2$. En caractéristique~$2$, $\rho(r - B)^2 = \rho(r)^2 - \rho(B)^2 = 0$, et comme $\mathbf F_2[Y]$ est intègre, $\rho(r - B) = 0$. Comme dans l'énoncé du rang impair, $r = B + 2h$ avec $h \in \mathbf Z[Y]$, et $\det K = r^2 = B^2 + 4(Bh + h^2)$.

\emph{Conclusion.} Par récurrence sur $n$, $(-1)^n \equiv 1 - 2n \pmod 4$. Donc $(-1)^n \det P \equiv (1 - 2n) \det P \equiv \det K \equiv B^2 \pmod 4$. Si $(-1)^n \det P - B^2 = 4Q$, on prend $C_{2n} = -Q$ ; le morphisme $Y \mapsto y$ envoie $P_{2n}$ sur $P(y)$ et commute au déterminant.
\end{proof}

\begin{remarque}
L'énoncé tient en tout rang pair, avec le signe $(-1)^n$ que la page \q{prévoit}. La démonstration ne suit pas les pages~69 et~71, qui comparent $B^2$ et $\Delta$ par les paires de couplages : elle passe par la matrice antisymétrique $K = U - {}^tU$. Le signe $(-1)^n$ vient du terme du premier ordre, $\det K \equiv (1 - 2n) \det P \pmod 4$ ; la congruence $\det K \equiv B^2$ vient de ce que $\det K$ est le carré d'un polynôme $r$ qui se réduit sur $B$ modulo~$2$. Ce polynôme $r$ est, au signe près, le pfaffien de $K$, qui manque à mathlib ; il n'est pas construit ici, et son existence découle de la clôture intégrale de $\mathbf Z[Y]$. Le polynôme $C_{2n}$ n'est écrit qu'en rangs $2$ et~$4$.
\end{remarque}

\paragraph{La sphère comme restriction de Weil d'une conique (pages 89 à 98).} Le module spécial quadratique $E$ de rang~$3$ est la partie pure d'une algèbre de quaternions $M$, avec $q(u) = u^2$ ; la loi $[x, y] = xy - yx$ y est le crochet. Pour un $x + \mathbf i y$ isotrope, $q(x) = q(y)$ et $\varphi(x, y) = 0$, la page~95 pose $\tilde f(x + \mathbf i y) = [x, y]/2q(x)$, les pages~94 à~97 démontrent que $\tilde f$ induit un isomorphisme de $U$ sur la quadrique affine $\Sigma : q = -1$, et la page~98 encadre $\Sigma \simeq X^{S[\mathbf i]} \smallsetminus X$ (\lot{77}{5}{94}, \lot{77}{5}{98}).

\begin{encadre}
\begin{theoreme}[Grothendieck, pages 94 à 98, en coordonnées sur un corps\piste{77-affine-quadric-weil-restriction}]
Soient $K$ un corps de caractéristique différente de~$2$, $a, b \in K^\times$, $E$ la partie pure de l'algèbre de quaternions $(a, b)$, $q(u) = u^2$ et $\varphi$ sa polaire. Soient $\tilde U$ l'ensemble des couples $(x, y) \in E^2$ tels que $q(x) = q(y) \neq 0$ et $\varphi(x, y) = 0$, et $\Sigma = \{t \in E : q(t) = -1\}$.
\begin{enumerate}
\item $q([x, y]) = -4\,q(x)\,q(y) + \varphi(x, y)^2$ (formule (21\,bis)).
\item L'application $(x, y) \mapsto [x, y]/2q(x)$ envoie $\tilde U$ sur $\Sigma$, et deux couples ont la même image si et seulement s'ils se déduisent l'un de l'autre par l'action d'un $c + \mathbf i d$, $c^2 + d^2 \neq 0$.
\item Si $x + \mathbf i y$ est isotrope, non nul, et $q(x) = 0$, alors $x = c\,x_0$ et $y = d\,x_0$ avec $q(x_0) = 0$ : un point réel.
\end{enumerate}
\end{theoreme}
\end{encadre}
L'énoncé tient tel que la page l'écrit, sur un corps (Lean : \href{\leanblob/Folder77.lean}{\texttt{qf\_commutator}, \texttt{sphere\_quotient}, \texttt{hors\_de\_U}}).


Sur $\mathbf R$, avec $a = b = -1$, l'algèbre est celle des quaternions de Hamilton et l'énoncé se voit (figure~\ref{fig:77-sphere}). $E$ est l'espace euclidien des quaternions purs, $q(u) = u^2 = -\|u\|^2$, $\varphi(x, y) = -2\,x \cdot y$ et $[x, y] = 2\,x \times y$. Un couple de $\tilde U$ est un couple de vecteurs orthogonaux de même norme, son image $[x, y]/2q(x) = -x \times y/\|x\|^2$ est le vecteur unitaire normal à leur plan, et $\Sigma$ est la sphère unité. Comme $q$ est définie, le cas du point~3 ne se présente pas : la conique n'a pas de point réel.

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{tikzpicture}[x=1cm, y=1cm, >=stealth, every node/.style={font=\small}]
\def\R{2.1}
\fill[black!5] (0,0) circle (\R);
\draw[black!60] (0,0) circle (\R);
\draw[black!45, densely dashed] (\R,0) arc[start angle=0, end angle=180, x radius=\R, y radius=0.35*\R];
\draw[black!45] (-\R,0) arc[start angle=180, end angle=360, x radius=\R, y radius=0.35*\R];
\node[black!55] at (-1.55,-0.95) {$t^\perp$};
\draw[black!45, dotted, thick] (0,0) ellipse[x radius=1.3, y radius=0.455];
\draw[->, thick] (0,0) -- (1.066,-0.26) node[right=1pt] {$x$};
\draw[->, thick] (0,0) -- (-0.746,-0.373) node[below left=-1pt] {$y$};
\draw[->, thick] (0,0) -- (0,0.94*\R) node[above right=-1pt] {$t$};
\fill (0,0.94*\R) circle (1.6pt);
\fill (0,0) circle (1.2pt);
\node[anchor=west] at (1.15,1.55) {$\Sigma : q = -1$};
\draw[->, black!70] (105:1.5 and 0.56) arc[start angle=105, end angle=165, x radius=1.5, y radius=0.56];
\node[black!70, anchor=south east] at (-0.75,0.62) {\footnotesize $c + \mathbf i d$};
\end{tikzpicture}
\caption{La sphère comme quotient des couples isotropes, sur $\mathbf R$ et pour les quaternions de Hamilton. Le couple $(x, y)$, orthogonal et de même norme, a pour image le point $t = [x, y]/2q(x)$ de la sphère unité $\Sigma$, normal au plan $t^\perp$ de $x$ et $y$, avec $(y, x, t)$ direct. Les couples de même image, dont l'un est $(x, -tx)$ pour chaque $x \in t^\perp$ non nul, se déduisent de $(x, y)$ par les $c + \mathbf i d$, qui les font tourner et les dilatent dans $t^\perp$ ; le cercle pointillé en figure les extrémités, à norme fixée.}
\label{fig:77-sphere}
\end{figure}

\begin{remarque}
L'inverse est explicite et ne demande aucune localisation étale : pour $t \in \Sigma$ et tout $x$ orthogonal à $t$ avec $q(x) \neq 0$, $\tilde f(x - \mathbf i\,tx) = t$, et tout $(x, y) \in \tilde U$ d'image $t$ vérifie $y = -tx$. L'injectivité modulo l'action vient de ce que $t$, $x$ et $tx$ forment une base orthogonale de $E$. La version schématique et la version tordue des pages~102 à~116 ne sont pas formalisées.
\end{remarque}

\begin{enonce}[Pages 117 à 124, la symétrie canonique\piste{77-biregular-affine-quadric-symmetry}]
Soient $R$ un anneau commutatif, $T$ un $R$-module, $q$ une forme quadratique sur $T$, $\varphi(x, y) = q(x + y) - q(x) - q(y)$ sa forme polaire, $a \in T$ avec $q(a) = 1$, $\pi = \varphi(a, \cdot)$, $V = \ker \pi$, $E = \pi^{-1}(1)$ et $\sigma(x) = x - \pi(x)\,a$.
\begin{enumerate}
\item On a $\pi(a) = 2$, $q \circ \sigma = q$ et $\sigma^2 = \mathrm{id}$, et $\sigma$ fixe $V$ point par point.
\item Supposons $\varphi$ non dégénérée, au sens où $\varphi(y, \cdot) = 0$ entraîne $y = 0$, et $\pi$ surjective. Une application linéaire $u : T \to T$ qui fixe $V$ point par point et vérifie $q \circ u = q$ est de la forme $u(x) = x - e\,\pi(x)\,a$ avec $e \in R$ idempotent. Réciproquement, pour tout idempotent $e$, cette application préserve $q$ et fixe $V$. Si $0$ et $1$ sont les seuls idempotents de $R$, alors $u = \mathrm{id}$ ou $u = \sigma$.
\item Si $2$ est inversible dans $R$, alors $\pi(a/2) = 1$, et pour $x \in E$, $-\sigma(x) \in E$ et $-\sigma(x) - a/2 = -(x - a/2)$. Sur $E$, la transformation projective définie par $\sigma$ est la symétrie de centre $a/2$.
\item Si $2 = 0$ dans $R$, alors $\pi(a) = 0$, donc $a \in V$, $\pi \circ \sigma = \pi$, et $\sigma(x) = x - a$ pour $x \in E$ : $\sigma = \mathrm{id} - \pi \otimes a$ est une transvection.
\item (Page~124.) Pour $T = M_2(R)$, $q = \det$ et $a = 1$, $\varphi(x, 1) = \det(x + 1) - \det x - 1 = \operatorname{tr} x$.
\end{enumerate}
\end{enonce}

\begin{proof}
On a $\varphi(a, a) = 2q(a) = 2$. Pour $t \in R$, $q(x + ta) = q(x) + t\,\varphi(a, x) + t^2 q(a)$ ; avec $t = -\pi(x)$, $q(\sigma x) = q(x) - \pi(x)^2 + \pi(x)^2 = q(x)$. Ensuite $\pi(\sigma x) = \pi(x) - 2\pi(x) = -\pi(x)$, d'où $\sigma(\sigma x) = \sigma x + \pi(x)\,a = x$. Si $\pi(v) = 0$, $\sigma v = v$.

Pour le point~2, soient $b$ tel que $\pi(b) = 1$ et $c = u(b) - b$. Pour tout $x$, $x - \pi(x) b$ est dans $V$, donc $u(x) = x + \pi(x)\,c$. Alors $q(u x) = q(x) + \pi(x) f(x)$ avec $f(x) = \pi(x) q(c) + \varphi(x, c)$, forme linéaire, et l'hypothèse donne $\pi(x) f(x) = 0$ pour tout $x$. En $x = b$, $f(b) = 0$. En $x + b$, $0 = (\pi(x) + 1)\bigl(f(x) + f(b)\bigr) = \pi(x) f(x) + f(x) = f(x)$. Donc $\varphi(c + q(c)\,a, \cdot) = f = 0$, et $c = -q(c)\,a$ par non-dégénérescence. Posons $e = q(c)$ ; alors $e = q(-e a) = e^2$, et $u(x) = x - e\,\pi(x)\,a$. Réciproquement, $q(x - e\,\pi(x)\,a) = q(x) - e\,\pi(x)^2 + e^2 \pi(x)^2 = q(x)$. Si $e = 0$, $u = \mathrm{id}$ ; si $e = 1$, $u = \sigma$.

Pour le point~3, $\pi(a/2) = \pi(a)/2 = 1$ ; si $\pi(x) = 1$, $\sigma(x) = x - a$, $\pi(-\sigma x) = -(1 - 2) = 1$ et $-\sigma(x) - a/2 = a/2 - x$. Pour le point~4, $\pi(a) = 2 = 0$, $\pi(\sigma x) = \pi(x) - \pi(x)\,\pi(a) = \pi(x)$, et $\sigma(x) = x - a$ si $\pi(x) = 1$. Pour le point~5, $\det(x + 1) = \det x + \operatorname{tr} x + 1$ pour une matrice $2 \times 2$.
\end{proof}

\begin{remarque}
La lecture adopte la normalisation $\pi = \varphi(a, \cdot)$, que la page~117 biffe. Elle donne $\pi(a) = 2$ et $\sigma^2 = \mathrm{id}$, alors que la page justifie (21) par \q{$\pi(a) = 1$}, qui donnerait $\sigma^2 = \sigma$. L'unicité utilise l'absence d'idempotent non trivial et deux hypothèses que la page tire de sa situation : $\varphi$ non dégénérée (\q{comme $\psi$ est iso}) et $\pi$ surjective, qui découle de la structure d'extension (1). La page conclut de $\lambda(\lambda + 1) = 0$ que $\lambda = -1$ hors de l'identité ; sur un anneau quelconque les solutions sont les $\lambda = -e$, $e$ idempotent. Sur $R = R_1 \times R_2$ et pour $e = (1, 0)$, le point~2 donne une isométrie qui fixe $V$ et qui vaut $\sigma$ au-dessus de la première composante et l'identité au-dessus de la seconde. La Proposition de la marge vaut donc sur une base connexe, ou fibre à fibre. L'énoncé formalisé traite l'invariance $q \circ u = q$ ; l'invariance à une unité près, $q \circ u = \lambda q$, dont la page déduit $\lambda = 1$ en rang au moins~$3$, n'est pas formalisée. Sur la page~124 la polaire de $\det$ est écrite avec le signe opposé, d'où $\pi = -\operatorname{tr}$ et la remarque \q{attention au signe !} ; avec la convention $\varphi(x, y) = q(x + y) - q(x) - q(y)$, $\pi$ est la trace et $\pi(1) = 2$.
\end{remarque}

Ne sont pas démontrés ici : une expression de $C$ en rang pair $2n \geq 6$ ; le développement de $\Delta$ en graphes des pages~65 à~67 ; les équivalences de la page~127 entre l'inversibilité de $\delta'(q)$, la lissité de $V(q)$ et l'isomorphie locale à la forme standard ; l'invariance de $q$ à une unité près et $\lambda = 1$ en rang au moins~$3$ (page~123) ; l'équivalence du Scholie (page~120) entre les $(P, Q, H)$ et les $(T, q, a)$ ; la version schématique et la version tordue de la sphère (pages~98 à~116) ; la symétrie (22) du rang impair et la structure $G \simeq G^0 \times \mathbf Z/2$ annoncée page~125 ; les parties I à~III et~V du dossier : revêtements quadratiques, extension à travers~$2$ (hors la proposition de la page~85, ci-dessous), groupes orthogonaux.

\begin{encadre}
\begin{contrexemple}[page 85, extension à travers $2$\piste{77-discriminant-extension-across-2}]
La proposition de la page~85 porte sur $A$ noethérien où $2$ est régulier, $A/2A$ intègre et normal, $\Delta \notin 2A$ ; sa condition c) demande que $A_{2\Delta}[U]/(U^2 - \Delta)$ se prolonge en une extension finie de $A_\Delta$, le mot \q{étale} étant biffé. Ainsi écrite, c) n'entraîne pas a). Pour $A = \mathbf Z$ et $\Delta = 3$, l'algèbre $\mathbf Z[1/3][\sqrt 3]$ est finie sur $\mathbf Z[1/3]$ et redonne $\mathbf Z[1/6][\sqrt 3]$ quand on inverse~$2$, mais $3$ n'est pas de la forme $b^2 - 4c$ avec $b, c \in \mathbf Z$, puisque $b^2 - 4c \equiv 0$ ou $1 \pmod 4$.
\end{contrexemple}
\end{encadre}

\begin{proof}
Posons $A_\Delta = \mathbf Z[1/3]$ et $B_\Delta = A_\Delta[U]/(U^2 - 3)$. Le polynôme $U^2 - 3$ est unitaire de degré~$2$, donc $B_\Delta$ est libre de base $1, U$ sur $A_\Delta$ : c'est une extension finie, et même quadratique. Inverser $2$ dans $B_\Delta$ revient à inverser $2$ dans les coefficients : les deux morphismes évidents, $(B_\Delta)_2 \to A_{2\Delta}[U]/(U^2 - 3)$, qui envoie $U$ sur $U$ et existe parce que $2$ y est inversible, et $A_{2\Delta}[U]/(U^2 - 3) \to (B_\Delta)_2$, qui envoie $U$ sur l'image de $U$, sont inverses l'un de l'autre, comme on le vérifie sur les coefficients et sur $U$. Enfin, si $b^2 - 4c = 3$, on réduit modulo~$4$ : $b^2 \equiv 3$, alors que les carrés modulo~$4$ sont $0$ et~$1$.
\end{proof}

Le contre-exemple est formalisé tel que la page écrit c), avec $\mathbf Z[1/6]$ réalisé comme $\mathbf Z[1/3][1/2]$ ; le lemme \texttt{quadAlg\_away} établit, sur un anneau commutatif quelconque $R$, l'isomorphisme $(R[U]/(U^2 - d))_s \simeq R_s[U]/(U^2 - d)$ (Lean : \href{\leanblob/Folder77.lean}{\texttt{extension\_across\_two\_counterexample}, \texttt{quadAlg\_away}, \texttt{sq\_sub\_four\_mul\_ne\_three}}). Ici $B_\Delta$ n'est pas étale sur $\mathbf Z[1/3]$, puisque son discriminant $12$ n'y est pas inversible : le contre-exemple ne contredit donc pas la proposition lue avec \q{finie étale}, démontrée ci-dessous, dont ce fait est d'ailleurs une conséquence (corollaire~\ref{cor:77-B3}).

\begin{theoreme}[page 85, c) $\Rightarrow$ a) avec \q{finie étale}\piste{77-discriminant-extension-across-2}]\label{thm:77-p85}
Soient $A$ un anneau commutatif où $2$ est régulier, tel que $A_0 = A/2A$ soit intègre et intégralement clos, et $\Delta \in A$ avec $\Delta \notin 2A$. S'il existe une $A_\Delta$-algèbre finie étale $B_\Delta$ et un isomorphisme de $A_\Delta$-algèbres $(B_\Delta)_2 \simeq A_{2\Delta}[U]/(U^2 - \Delta)$, alors il existe $b, c \in A$ avec $b^2 - 4c = \Delta$. De plus, deux morphismes de $A_\Delta$-algèbres $B_\Delta \to B'_\Delta$ compatibles avec de tels isomorphismes pour $B_\Delta$ et $B'_\Delta$ sont égaux.
\end{theoreme}

\begin{proof}[Esquisse]
Soit $P = 2A_\Delta$, premier puisque $\Delta \notin 2A$, et $R = (A_\Delta)_P$ : c'est un anneau local d'idéal maximal $2R$, et aussi le localisé de $A$ en $2A$. Soit $C = R \otimes_{A_\Delta} B_\Delta$, réalisé comme localisé de $B_\Delta$ ; $C$ est fini et non ramifié sur $R$, sans $2$-torsion ($B_\Delta$ est plat et $2$ régulier), non nul (puisque $A_\Delta \to B_\Delta$ est injectif, ce que donne l'isomorphisme après inversion de~$2$). Une racine de $U^2 = \Delta$ dans $(B_\Delta)_2$ fournit $v \in C$ avec $v^2 = 4^n\Delta$.

L'étape locale n'utilise pas de présentation monogène. Le quotient $C/2C$ est fini et non ramifié sur le corps $R/2R$, donc réduit ; de $v^2 \in 4C$ on tire $v \in 2C$, et, $2$ étant régulier, on descend jusqu'à $u \in C$ avec $u^2 = \Delta$. Pour un idéal maximal $Q$ de $C$ au-dessus de $2R$ (montée), $C/Q$ est une extension finie séparable de $R/2R$, de caractéristique~$2$ ; l'image de $u$ y est séparable et de carré dans $R/2R$, donc dans $R/2R$ : $\Delta \equiv c^2 \pmod{2R}$. Alors $(u - c)^2 \in 2C$, donc $u = c + 2s$ par réduction, et $\Delta - c^2 = 4(cs + s^2)$ ; écrivant $\Delta - c^2 = 2y$, on obtient $y \in 2C \cap R = 2R$, d'où $\Delta = c^2 - 4d$ dans $R$.

Retour à $A$ : on écrit $c = \alpha/\tau$ avec $\tau \notin 2A$ et l'on chasse les dénominateurs, d'où $\alpha^2 - \tau^2\Delta \in 4A$. Dans le corps des fractions de $A_0$, $(\bar\alpha/\bar\tau)^2 = \bar\Delta$ ; cet élément est entier, donc égal à un $\bar b \in A_0$, et $\alpha = b\tau + 2x$. Alors $\tau^2(b^2 - \Delta) \in 4A$, et, $2A$ étant premier et $2$ régulier, $\tau y \in 4A$ avec $\tau \notin 2A$ entraîne $y \in 4A$ : $b^2 - \Delta = 4c'$. Pour l'unicité, $B'_\Delta$ est plat, donc sans $2$-torsion, et $B'_\Delta \to (B'_\Delta)_2$ est injectif. (Lean : \href{\leanblob/Folder77.lean}{\texttt{prop85\_c\_imp\_a}, \texttt{prop85\_local}, \texttt{exists\_of\_sq\_sub}, \texttt{dvd\_four\_of\_mul}, \texttt{prop85\_iso\_unique}}.)
\end{proof}

\begin{corollaire}\label{cor:77-B3}
L'algèbre $B_\Delta = \mathbf Z[1/3][U]/(U^2 - 3)$ du contre-exemple n'est pas étale sur $\mathbf Z[1/3]$.
\end{corollaire}

\begin{proof}
Sinon le théorème~\ref{thm:77-p85}, appliqué à $A = \mathbf Z$, $\Delta = 3$ et à l'isomorphisme du contre-exemple (qui est automatiquement $\mathbf Z[1/3]$-linéaire), donnerait $3 = b^2 - 4c$ dans $\mathbf Z$. (Lean : \href{\leanblob/Folder77.lean}{\texttt{B3\_not\_etale}}.)
\end{proof}

\begin{remarque}
L'hypothèse noethérienne de la page est inutile. La démonstration de l'édition passe par une présentation monogène de $B_\Delta \otimes A_{\mathfrak p}$ et son discriminant ; celle-ci la remplace par la réduction de $C/2C$ et la séparabilité de ses corps résiduels, ce qui évite le calcul du rang. L'existence d'un isomorphisme entre deux extensions $B_\Delta$ (l'unicité de $B_\Delta$ à isomorphisme près), les implications a) $\Rightarrow$ b) $\Rightarrow$ c) et le corollaire~3 (page~63) ne sont pas formalisés.
\end{remarque}
\section[Cote 79 : graphes à homothéties, commutant et étoiles sur $(\mathbf Z/n)^2$]{Cote 79 : graphes à homothéties, commutant et étoiles sur $(\mathbf Z/n)^2$\protect\verifie{Folder79}}\label{sec:79}

La cote 79, \emph{Géométrie et topologie combinatoire}, compte deux cent quatre-vingt-quinze pages. Elle part des triangles d'un module libre $M$ de rang~$2$ sur un anneau commutatif $\Lambda$ : les sommets sont les éléments de $M^*$, vecteurs qui font partie d'une base, pris au signe près, et une arête de type $\pm e$ joint $\dot x$ et $\dot y$ quand $x \wedge y = \pm e$. Pour $\Lambda = \mathbf Z/n$ on obtient les polyèdres $P_{M, i}$, un par type $i \in \Lambda^*/\pm 1$. La page~19 relie deux sommets par $z = \lambda x + \lambda y$ quand $e = \lambda\, x \wedge y$ ; la page~20 cite comme connu que deux éléments de $M^*$ ont sur un anneau semi-local un partenaire de base commun, et en tire la distance au plus~$3$, \q{atteinte pour l'icosaèdre} (\lot{79}{1}{19}, \lot{79}{1}{20}). Pages~92 à~95, elle calcule le commutant de $\mathrm{SL}(M)$ et de $\mathrm{SL}(M)/\pm 1$ par le normalisateur du stabilisateur d'un point ; elle trouve l'exception $2\Lambda = \{0, 2\} \neq \{0\}$, un élément $\sigma$ induit par la matrice de lignes $(1, 0)$ et $(2, 1)$, un produit \q{direct (pas seulement ½direct !)}, et pour $\Lambda = \mathbf Z/4$ l'antipodie de l'octaèdre ; une formule biffée y donne $\sigma(\dot x) = (x + 2y)^{\cdot}$ (\lot{79}{5}{93}, \lot{79}{5}{94}, \lot{79}{5}{95}). Pages~136 à~140, le \q{fait mirifique} : $(\mathbf Z/n)^*/\pm 1$ opère sur les structures de polygone d'un ensemble à $n$ éléments, et l'axiome To~6 demande qu'une homothétie redessine chaque étoile en polygone étoilé (\lot{79}{7}{138}, \lot{79}{7}{139}). Pages~187 et~188, elle examine si une homothétie $\lambda$ d'un 2-polyèdre régulier tord la triangulation en une autre ; la condition (32) a$''$) demande que $\lambda^{-1}s$ soit à distance au plus~$3$ de $s$, \q{et en fait, égale à 3}, sauf pour l'identité et pour l'antipodie de l'octaèdre (distance~$2$) ; la distance~$1$ est exclue par les stabilisateurs, et la distance~$2$ donnerait deux sommets de même étoile. La phrase porte un mot illisible et deux lectures incertaines (\lot{79}{10}{188}). Les pages~242 à~247 traduisent un graphe homogène muni d'un groupe d'homothéties en données de théorie des groupes $(H, U_0, \sigma, T_H)$ et énoncent l'équivalence (88), avec en marge \q{[ ] résulte des autres} ; la réciproque, page~247, porte plusieurs mots illisibles (\lot{79}{13}{242}, \lot{79}{13}{245}, \lot{79}{13}{247}). Pages~275 à~279, elle demande si un sommet est déterminé par son étoile, répond sur un anneau semi-local par la même exception, et construit l'involution $a$, de déterminant $-1$ (\lot{79}{14}{276}, \lot{79}{14}{277}, \lot{79}{14}{278}).

\noindent\emph{Conventions.} Pour un groupe $H$, un sous-groupe $U_0$ et $\sigma \in H$, le graphe de classes a pour sommets $S = H/U_0$, pour origine $s_0 = U_0$ et $t_0 = \sigma U_0$ ; les arcs sont les $(hs_0, ht_0)$, $h \in H$. On note $U_1 = \sigma U_0 \sigma^{-1}$, stabilisateur de $t_0$. Les hypothèses $\sigma^2 \in U_0$ (l'élément $\sigma$ échange $s_0$ et $t_0$) et $U_0 \cap U_1 = 1$ disent que $H$ est simplement transitif sur les arcs. Un \emph{groupe d'homothéties} est un sous-groupe $Z$ du groupe des permutations de $S$ dont les éléments commutent à $H$, envoient chaque arc $(s, t)$ sur un arc $(\lambda s, \lambda^{-1} t)$, et vérifient la fidélité (72) : si $u \in H$ fixe $s_0$ et envoie $t_0$ sur $\lambda t_0$, alors $\lambda = 1$. Pour le rang~$2$, $R$ est un anneau commutatif quelconque, $M = R^2$, $x \wedge y = x_0y_1 - x_1y_0$, et $S_M = M^*/\pm 1$, où $x \in M^*$ s'il existe $y$ avec $x \wedge y = 1$. Le groupe $\mathrm{SL}(2, R)$ opère sur $S_M$, et $c \in R^*$ par $\dot x \mapsto (cx)^{\cdot}$. On dit que $R$ est \emph{exceptionnel} si $2s \in \{0, 2\}$ pour tout $s \in R$, c'est-à-dire $2R \subset \{0, 2\}$ ; avec $2 \neq 0$, c'est $2R = \{0, 2\} \neq \{0\}$.

\begin{enonce}[Pages 242 à 247, (88) et (89)\piste{79-homothety-groups-as-subgroups}]
Soient $H$, $U_0$, $\sigma$ comme ci-dessus, avec $\sigma^2 \in U_0$ et $U_0 \cap U_1 = 1$. Appelons \emph{tore} un sous-groupe $T \subset H$ tel que (a) $\sigma t \sigma^{-1} = t^{-1}$ pour $t \in T$, (b) $T$ normalise $U_0$, (c) l'application $U_0 \times T \times U_1 \to H$, $(u_0, t, u_1) \mapsto u_0tu_1$, est injective.
\begin{enumerate}
\item Pour un groupe d'homothéties $Z$, $T_H = \{u \in H \mid \exists \lambda \in Z,\ us_0 = \lambda s_0,\ ut_0 = \lambda^{-1}t_0\}$ est un sous-groupe, et c'est un tore.
\item Pour un tore $T$, les permutations $\lambda$ de $S$ qui commutent à $H$ et vérifient $\lambda s_0 = ts_0$ pour un $t \in T$, c'est-à-dire $hU_0 \mapsto htU_0$, forment un groupe d'homothéties $Z_T$.
\item Les applications $Z \mapsto T_H$ et $T \mapsto Z_T$ sont des bijections réciproques entre groupes d'homothéties et tores.
\item Un groupe d'homothéties est commutatif, et cela sans l'hypothèse $U_0 \cap U_1 = 1$.
\end{enumerate}
\end{enonce}

\begin{proof}
Une permutation qui commute à $H$ est déterminée par l'image de $s_0$, puisque $\lambda(hs_0) = h\lambda(s_0)$. Deux éléments de $H$ qui coïncident sur $s_0$ et sur $t_0$ sont égaux, puisque $U_0 \cap U_1 = 1$. Comme $\sigma^2$ est dans $U_0$ et dans $U_1$, $\sigma^2 = 1$.

Commutativité. Soient $\lambda, \mu \in Z$ et $u, v, w \in H$ tels que $u(s_0, t_0) = (\lambda s_0, \lambda^{-1}t_0)$, $v(s_0, t_0) = (\mu s_0, \mu^{-1}t_0)$, $w(s_0, t_0) = (\mu\lambda s_0, (\mu\lambda)^{-1}t_0)$ ; ils existent par la condition d'homothétie appliquée à l'arc $(s_0, t_0)$. L'élément $w^{-1}uv$ fixe $s_0$ et envoie $t_0$ sur $c\,t_0$, avec $c = \mu^{-1}\lambda^{-1}\mu\lambda$. La fidélité donne $c = 1$.

Point~1. Si $u$ correspond à $\lambda$ et $v$ à $\mu$, $uv$ correspond à $\mu\lambda$, grâce à la commutativité ; $u^{-1}$ correspond à $\lambda^{-1}$. Pour (a), $\sigma u \sigma^{-1}$ et $u^{-1}$ envoient tous deux $s_0$ sur $\lambda^{-1}s_0$ et $t_0$ sur $\lambda t_0$, donc sont égaux. Pour (b), si $u \in U_0$ et $t$ correspond à $\lambda$, $tut^{-1}s_0 = t\lambda^{-1}us_0 = \lambda^{-1}ts_0 = s_0$. Pour (c), soit $a t b = a' t' b'$. On pose $c' = t'^{-1}a'^{-1}at' \in U_0$, $r = t'^{-1}t \in T_H$ et $d = bb'^{-1} \in U_1$ ; alors $c'rd = 1$. Si $r$ correspond à $\lambda$, $c'^{-1} = rd$ fixe $s_0$ et envoie $t_0$ sur $rt_0 = \lambda^{-1}t_0$ ; la fidélité donne $\lambda = 1$, donc $r$ fixe $s_0$ et $t_0$ et $r = 1$. Il reste $c'd = 1$, avec $d \in U_0 \cap U_1$, d'où $d = 1$, $c' = 1$, et $(a, t, b) = (a', t', b')$.

Point~2. L'ensemble $Z_T$ est un sous-groupe : si $\lambda s_0 = ts_0$ et $\mu s_0 = t's_0$, alors $\lambda\mu s_0 = t'ts_0$ et $\lambda^{-1}s_0 = t^{-1}s_0$. De (a) on tire $\sigma t^{-1} = t\sigma$, d'où $\lambda^{-1}t_0 = \sigma\lambda^{-1}s_0 = \sigma t^{-1}s_0 = t t_0$ : l'arc $(\lambda hs_0, \lambda^{-1}ht_0)$ est l'image par $ht$ de $(s_0, t_0)$. Pour la fidélité, soit $u \in U_0$ avec $ut_0 = \lambda t_0 = \sigma t s_0$. Alors $a = t^{-1}\sigma^{-1}u\sigma \in U_0$, et $b = \sigma^{-1}u\sigma$ est dans $U_1$ puisque $\sigma^{-1}b\sigma = u$. L'égalité $(tat^{-1})\, t \cdot 1 = 1 \cdot 1 \cdot b$ et l'injectivité (c) donnent $t = 1$, donc $\lambda s_0 = s_0$ et $\lambda = 1$.

Point~3. Si $\lambda \in Z$, un $u$ associé à $\lambda$ par la condition d'homothétie est dans $T_H$ et $\lambda s_0 = us_0$, donc $\lambda \in Z_{T_H}$ ; réciproquement, si $\lambda \in Z_{T_H}$, $\lambda s_0 = ts_0 = \mu s_0$ pour un $\mu \in Z$, et $\lambda = \mu$. Si $t \in T$, la permutation $hU_0 \mapsto htU_0$, bien définie parce que $t$ et $t^{-1}$ normalisent $U_0$, est dans $Z_T$ et lui associe $t$, donc $t \in T_{Z_T}$ ; réciproquement, si $u$ est associé à $\lambda \in Z_T$ avec $\lambda s_0 = ts_0$, $u$ et $t$ coïncident sur $s_0$ et sur $t_0$, donc $u = t$.
\end{proof}

\begin{remarque}
Les deux sens de l'équivalence tiennent, y compris la réciproque que la page~247 vérifie sur des lignes en partie illisibles. La commutativité de $Z$, que la piste suppose et que la page met entre crochets, découle de la condition d'homothétie et de la fidélité (72), comme le dit la marge \q{[ ] résulte des autres} ; la démonstration n'utilise pas la simple transitivité. La fidélité de $H$ sur $H/U_0$, condition (77), n'intervient nulle part, ni $s_0 \neq t_0$. La condition d'homothétie est prise sous la forme corrigée par la lecture, $u(s_0, t_0) = (\lambda s_0, \lambda^{-1}t_0)$. L'isomorphisme $T_H \simeq Z$ de (81') n'est pas formalisé comme morphisme de groupes, seulement la bijection entre les deux familles.
\end{remarque}

\begin{encadre}
\begin{theoreme}[Grothendieck, pages 92 à 95, le commutant\piste{79-commutant-octahedral-exception}]
Soit $R$ un anneau commutatif.
\begin{enumerate}
\item Si $R$ est exceptionnel, l'application $\sigma(\dot x) = (x + 2y)^{\cdot}$, pour un $y$ tel que $x \wedge y = 1$, est bien définie sur $S_M$. Elle commute à $\mathrm{SL}(2, R)$ et aux scalaires, et $\sigma^2 = 1$. Si de plus $2 \neq 0$, $\sigma(v) \neq cv$ pour tout $c \in R^*$ et tout $v$ ; en particulier $\sigma$ n'a pas de point fixe.
\item Les scalaires commutent à $\mathrm{SL}(2, R)$, et $c$, $c'$ agissent de même si et seulement si $c' = \pm c$.
\item Toute application $f : S_M \to S_M$ qui commute à $\mathrm{SL}(2, R)$ est un scalaire, ou bien $R$ est exceptionnel et $f = c\,\sigma$ pour un $c \in R^*$.
\item Sur $\mathbf Z/n$, $2R = \{0, 2\} \neq \{0\}$ si et seulement si $n = 4$ ; pour $n \neq 4$ le commutant est formé des scalaires.
\item Sur $\mathbf Z/4$, si $x \wedge y = 1$, les $z \in M^*$ tels que $x \wedge z$ ne soit pas inversible sont $\pm x$ et $\pm(x + 2y)$ : $\sigma(\dot x)$ est le seul sommet autre que $\dot x$ qui ne lui soit pas adjacent, l'antipode sur l'octaèdre.
\end{enumerate}
\end{theoreme}
\end{encadre}

\begin{proof}
Si $x \wedge y = 1$, tout $z$ s'écrit $z = (z \wedge y)\,x + (x \wedge z)\,y$. Dans un anneau exceptionnel, $4 = 0$ (car $2 \cdot 2 \in \{0, 2\}$) et $2c = 2$ pour tout $c$ inversible.

Point~1. Deux partenaires de $x$ diffèrent d'un multiple $tx$ ; comme $2t \in \{0, 2\}$ et $4 = 0$, $x + 2y' = x + 2y$ ou $x + 2y' = -(x + 2y)$. Le passage de $x$ à $-x$ change $y$ en un partenaire de $-x$ et donne de même $\pm(x + 2y)$ ; $\sigma$ est donc bien définie. Si $g \in \mathrm{SL}(2, R)$, $gy$ est un partenaire de $gx$, d'où $\sigma g = g\sigma$. Comme $(x + 2y) \wedge y = 1$, $\sigma^2(\dot x) = (x + 4y)^{\cdot} = \dot x$. Pour $c \in R^*$, $c^{-1}y$ est un partenaire de $cx$ et $2c^{-1} = 2c = 2$, d'où $\sigma(c\dot x) = c\,\sigma(\dot x)$. Si $x + 2y = \pm cx$, on applique $x \wedge \cdot$ : $2 = 0$.

Point~3. Soit $v = (p, q)$ un représentant de $f(\dot e_1)$, avec $e_1 = (1, 0)$. Les matrices de lignes $(1, t)$ et $(0, 1)$ fixent $\dot e_1$, donc $(p + tq, q) = \pm(p, q)$ pour tout $t$. Pour $t = 1$ : ou bien $q = 0$, et $p$ est inversible puisque $v \in M^*$ ; ou bien $2q = 0$ et $q = -2p$. Dans ce second cas $p(s + 2r) = 1$ si $v \wedge (r, s) = 1$, donc $p$ est inversible. Pour $a \in R$ et $t = ap^{-1}$, $tq = -2a$, et la condition donne $2a = 0$ ou $2a = 2p$. Avec $a = 1$, $2p = 2$ ; donc $2a \in \{0, 2\}$ pour tout $a$, $R$ est exceptionnel, et $q = -2p = 2$. Pour $\dot x$ quelconque, soit $g$ la matrice de colonnes $x$ et $y$, avec $x \wedge y = 1$ ; alors $g\dot e_1 = \dot x$ et $f(\dot x) = g f(\dot e_1) = (px + qy)^{\cdot}$. Si $q = 0$, c'est $p\dot x$. Sinon c'est $(px + 2y)^{\cdot} = (p(x + 2y))^{\cdot} = p\,\sigma(\dot x)$, puisque $2p = 2$.

Point~4. Si $2\cdot 2 \in \{0, 2\}$ dans $\mathbf Z/n$, $n$ divise $4$ ou $2$ ; on écarte $n = 1, 2$ par $2 \neq 0$ et l'on vérifie $n = 4$ par calcul. Si $R$ n'est pas exceptionnel, le point~3 donne un scalaire ; si $2 = 0$, $\sigma$ est l'identité. Point~5. On écrit $z = ax + by$ avec $b = x \wedge z$ non inversible, donc $b \in \{0, 2\}$. Comme $z \in M^*$, $a$ est inversible, donc $a = \pm 1$, et $-x + 2y = -(x + 2y)$.
\end{proof}

\begin{remarque}
L'énoncé tient sur tout anneau commutatif, sans l'hypothèse $2 \neq 0$ : quand $2 = 0$, $R$ est exceptionnel au sens adopté ici mais $\sigma$ est l'identité, et le commutant se réduit aux scalaires. L'application $f$ n'a pas à être supposée bijective. Le produit direct de la page est confirmé : $\sigma$ commute aux scalaires, $\sigma^2 = 1$, et $\sigma \neq c$ pour tout $c$, de sorte que le commutant est $R^*/\pm 1 \times \{1, \sigma\}$. La démonstration ne passe pas par le normalisateur $N_{G'}(H')$ : elle fixe l'image de $\dot e_1$, et le calcul est le même. La formule biffée de la page~95, $\sigma(\dot x) = (x + 2y)^{\cdot}$, est celle que l'on démontre ; l'élément $\sigma$ envoie $\dot e_1$ sur la classe de $(1, 2)$, image de $e_1$ par la matrice de lignes $(1, 0)$ et $(2, 1)$.
\end{remarque}

\begin{enonce}[Pages 275 à 279, un sommet et son étoile\piste{79-vertex-determined-by-star}]
Soient $R$ un anneau commutatif, $x, y \in M$ avec $x \wedge y = 1$, et $x' \in M$.
\begin{enumerate}
\item On a l'équivalence : pour tout $z$ tel que $x \wedge z$ soit inversible, $x' \wedge z = \pm\, x \wedge z$, si et seulement si $x' = \pm x$, ou bien $R$ est exceptionnel et $x' = \pm(x + 2y)$, c'est-à-dire $\dot x' = \sigma(\dot x)$.
\item Si $R$ est exceptionnel, la matrice $A$ de lignes $(1, 2)$ et $(2, -1)$ vérifie $Ax = \pm(x + 2y)$ ; elle a pour déterminant $-1$ et $A^2 = 1$.
\end{enumerate}
\end{enonce}

\begin{proof}
On écrit $x' = \alpha x + \beta y$, avec $\alpha = x' \wedge y$ et $\beta = x \wedge x'$. Pour $s \in R$, $z = y + sx$ vérifie $x \wedge z = 1$ et $x' \wedge z = \alpha - s\beta$. L'hypothèse donne $\alpha - s\beta = \pm 1$ pour tout $s$. Avec $s = 0$, $\alpha = \pm 1$. Si $\alpha = 1$, $s = 1$ donne $\beta = 0$, d'où $x' = x$, ou $\beta = 2$ ; dans ce dernier cas, $1 - 2s = \pm 1$ donne $2s \in \{0, 2\}$ pour tout $s$, et $x' = x + 2y$. Le cas $\alpha = -1$ donne de même $x' = -x$, ou $\beta = -2$ et $x' = -(x + 2y)$. Réciproquement, $(x + 2y) \wedge z = x \wedge z - 2(z \wedge y)$ ; si $2(z \wedge y) = 0$ c'est $x \wedge z$, et si $2(z \wedge y) = 2$ c'est $x \wedge z - 2 = -x \wedge z$, puisque $2(x \wedge z) = 2$ pour $x \wedge z$ inversible.

Pour le point~2, on note $x = (p, q)$, $y = (r, s)$, avec $ps - qr = 1$. Chacun de $2p, 2q, 2r, 2s$ vaut $0$ ou $2$, et $2(ps) = (2p)s$ vaut $0$ si $2p = 0$, $2s$ si $2p = 2$. On examine les seize cas ; l'égalité $2(ps) - 2(qr) = 2$ en écarte une partie, et dans les autres on a $2q = 2r$ et $2p = 2q + 2s$, ce qui donne $Ax = x + 2y$, ou bien $2p + 2q + 2r = 0$ et $2p = 2s$, ce qui donne $Ax = -(x + 2y)$. Enfin $\det A = -1 - 4 = -1$ et $A^2 = 5 \cdot 1 = 1$.
\end{proof}

\begin{remarque}
L'hypothèse \q{semi-local} de la page n'est pas nécessaire : l'énoncé tient sur tout anneau commutatif, et la démonstration n'utilise ni les corps résiduels ni le lemme de colinéarité de la page~276. Il suffit des voisins $y + sx$ d'un seul type, ceux pour lesquels $x \wedge z = 1$. L'énoncé dit aussi que, dans le cas exceptionnel, le seul sommet autre que $\dot x$ qui ait la même étoile est $\sigma(\dot x)$ : la question que la page laisse ouverte (\q{il n'est pas vrai nécessairement \dots}) est donc tranchée dans ce cadre algébrique, où l'étoile est prise type par type. La transcription signale à la page~277 la conclusion $\alpha - \beta \in \pm(\alpha - \beta)$, qui doit se lire $\alpha + \beta \in \pm(\alpha - \beta)$ ; la démonstration ci-dessus ne passe pas par elle. L'involution $a$ de la page~278 est l'élément $\sigma$ de l'énoncé précédent, et la matrice $A$ réalise le déterminant $-1$ annoncé, sur tout anneau exceptionnel ; pour $\mathbf Z/4$ c'est la matrice que la lecture vérifie. Le lemme combinatoire de la page~275 (deux sommets distincts de même étoile forment un double cône) n'est pas formalisé.
\end{remarque}

\begin{enonce}[Pages 19 et 20, distance au plus $3$\piste{79-semilocal-diameter-three}]
Soit $R$ un anneau commutatif qui n'a qu'un nombre fini d'idéaux maximaux.
\begin{enumerate}
\item Si $a_0d + b_0d' = 1$, il existe $a \in R$ tel que $ad + d'$ soit inversible.
\item Pour tout $e \in R^*$ et tous $x, y \in M^*$, il existe $z_1, z_2 \in M^*$ avec $x \wedge z_1 = z_1 \wedge z_2 = z_2 \wedge y = e$ : deux sommets de $SP_M$ sont à distance au plus~$3$.
\end{enumerate}
Cela vaut en particulier pour un anneau local, un corps, et $\mathbf Z/n$ pour $n \geq 1$.
\end{enonce}

Le point~2 donne un chemin de trois arêtes de type $e$ entre deux sommets quelconques :
\[
\begin{tikzcd}[column sep=large]
\dot x \arrow[r, dash, "e"] & \dot z_1 \arrow[r, dash, "e"] & \dot z_2 \arrow[r, dash, "e"] & \dot y
\end{tikzcd}
\qquad x \wedge z_1 = z_1 \wedge z_2 = z_2 \wedge y = e.
\]

\begin{proof}
Point~1. L'égalité $a_0d + b_0d' = 1$ dit que $d'$ et $d$ sont étrangers ; par le rang stable~$1$ des anneaux semi-locaux, énoncé général rappelé à la suite de la démonstration, $d' + ad$ est inversible pour un $a \in R$.

Point~2. Soient $w$ et $y'$ avec $x \wedge w = 1$ et $y \wedge y' = 1$. L'identité $(x \wedge y)(w \wedge y') - (x \wedge y')(w \wedge y) = (x \wedge w)(y \wedge y')$ donne $(w \wedge y')\,d - (x \wedge y')\,d' = 1$ pour $d = x \wedge y$ et $d' = w \wedge y$. Par le point~1, $u = ad + d'$ est inversible pour un $a$. Le vecteur $z = ax + w$ vérifie $x \wedge z = 1$ et $z \wedge y = u$. On pose $z_1 = ez$, d'où $x \wedge z_1 = e$ et $z_1 \wedge y = eu$, puis, suivant la page~19, $z_2 = u^{-1}(z_1 + y)$ : $z_1 \wedge z_2 = u^{-1}eu = e$ et $z_2 \wedge y = e$. Les vecteurs $z_1$ et $z_2$ sont dans $M^*$, puisque $z_1 \wedge y$ et $z_2 \wedge y$ sont inversibles. Un anneau local n'a qu'un idéal maximal ; un anneau fini n'a qu'un nombre fini d'idéaux.
\end{proof}
\general{SemilocalStableRange}

\begin{remarque}
L'énoncé tient sur tout anneau semi-local, au sens où l'ensemble des idéaux maximaux est fini. Pour $\Lambda = \mathbf Z/n$ et $n \geq 5$, le diamètre~$3$ du graphe est le théorème~11 de Singerman et Strudwick, mis en ligne en 2018 et publié en 2020 \cite{singermanstrudwick2020} (numérotation de la version arXiv). La page cite comme connu (\q{on sait que}) le rang stable~$1$ des anneaux semi-locaux, dû à Bass (1964, §~4 et lemme~6.4) \cite{bass1964} ; le fichier général le démontre par le théorème chinois. La démonstration ne construit pas un partenaire commun dans chaque corps résiduel comme le propose la lecture : elle cherche ce partenaire sur la droite $ax + w$, où $x \wedge z = 1$ est automatique. La borne est atteinte sur $\mathbf Z/n$ dès que $(\mathbf Z/n)^*$ contient un $\mu \neq \pm 1$, c'est-à-dire pour $n \notin \{1, 2, 3, 4, 6\}$, en particulier pour l'icosaèdre ($n = 5$) : c'est le point~4 de l'énoncé de la page~188 ci-dessous. Le cas $n = 6$, que couvre le théorème de Singerman et Strudwick pour $n \geq 5$, n'est pas formalisé. Le cas $\Lambda = \mathbf Z$, qui n'est pas semi-local, n'est pas traité.
\end{remarque}

\begin{enonce}[Pages 96 à 101 et 136 à 140, la torsion dans le modèle\piste{79-star-polygon-twist}]
Soient $R$ un anneau commutatif, $e, \mu \in R^*$ et $x, y \in M$ avec $x \wedge y = e$.
\begin{enumerate}
\item (Torsion d'une extrémité.) $x \wedge \mu y = \pm \mu e$ si et seulement si $x \wedge y = \pm e$ : les arêtes $\{\dot x, \mu\dot y\}$, pour $\{\dot x, \dot y\}$ arête de type $\pm e$, sont les arêtes de type $\pm\mu e$. De même $\mu x \wedge z = \pm\mu e$ si et seulement si $x \wedge z = \pm e$ : l'étoile de $\dot x$ dans $P_{M, \pm e}$ est, comme partie de $S_M$, l'étoile de $\mu\dot x$ dans $P_{M, \pm\mu e}$.
\item (L'étoile est une droite.) Si $x \wedge z = e$, alors $z = y + kx$ avec $k = z \wedge e^{-1}y$.
\item (Formule (178), page~67, \lot{79}{4}{67}.) Si $x \wedge z = \pm e$ et $z \wedge y = \pm e$, alors $z = ax + by$ avec $a, b \in \{1, -1\}$.
\item (Le polygone étoilé.) Pour $k, k' \in R$, $(y + kx) \wedge (y + k'x) = (k - k')\,e$ ; ces deux points sont joints par une arête de type $\pm\mu e$ si et seulement si $k - k' = \pm\mu$.
\item (L'indice.) $\mu(y + kx) = \mu y + (\mu k)x$, et $x \wedge \mu y = \mu\,(x \wedge y)$.
\end{enumerate}
\end{enonce}

\begin{proof}
Les points~1 et~5 viennent de la bilinéarité : $x \wedge \mu y = \mu\, x \wedge y$, et l'on simplifie par $\mu$ inversible. Pour le point~2, $(x, e^{-1}y)$ est une base de déterminant~$1$ et $z = (z \wedge e^{-1}y)\,x + (x \wedge z)\,e^{-1}y$. Le point~3 se lit sur la même décomposition : les coefficients sont $e^{-1}(z \wedge y)$ et $(x \wedge z)e^{-1}$, égaux à $\pm 1$. Pour le point~4, $(y + kx) \wedge (y + k'x) = k'(y \wedge x) + k(x \wedge y) = (k - k')e$, et $(k - k')e = \pm\mu e$ équivaut à $k - k' = \pm\mu$.
\end{proof}

\begin{remarque}
Ces identités vérifient le calcul de la lecture dans le modèle, et non l'énoncé abstrait de la piste. Sur l'étoile de $\dot x$, indexée par $k \mapsto (y + kx)^{\cdot}$, le polyèdre $P_{M, \pm e}$ induit le polygone $k \sim k \pm 1$ et $P_{M, \pm\mu e}$ le polygone $k \sim k \pm \mu$, sa puissance $\mu$-ième. La multiplication par $\mu$ envoie l'indice $k$ sur $\mu k$ : l'exposant est $\mu$ lui-même, sans la puissance illisible des formules (65) et (66), comme la lecture l'avait calculé. Les identités tiennent sur tout anneau commutatif, et pas seulement sur $\mathbf Z/n$. L'action de $(\mathbf Z/n)^*/\pm 1$ sur les structures de polygone, l'axiome To~6 dans le cadre abstrait et l'injection $Z \hookrightarrow Z'_n$ font l'objet de l'énoncé des pages~136 à~140 plus bas ; la comparaison avec les opérateurs de Wilson n'est pas formalisée.
\end{remarque}

\begin{encadre}
\begin{theoreme}[Page 188, forme de l'édition, distance à l'image\pisteresolue{79-homothety-distance-three}]
\begin{enumerate}
\item (Cadre abstrait.) Soient $H$, $U_0$, $\sigma$ comme ci-dessus, avec $\sigma^2 \in U_0$, et $\lambda \neq 1$ une permutation de $S = H/U_0$ qui commute à $H$. Alors $\lambda$ n'a pas de point fixe ; si $\lambda s$ est voisin de $s$, c'est le seul voisin de $s$ ; si $s$ et $\lambda s$ ont un voisin commun, ils ont les mêmes voisins. En particulier, si $s$ a au moins deux voisins et si aucun autre sommet n'a les voisins de $s$, alors $\lambda s$ n'est ni $s$, ni un voisin de $s$, ni à distance~$2$ de $s$ ; s'il est à distance au plus~$3$, il est à distance~$3$.
\item (Modèle, sur un anneau commutatif $R$ non nul.) Soient $e \in R^*$ et, sur $S_M$, le graphe des arêtes de type $\pm e$ : $\dot x$ et $\dot z$ sont adjacents si $x \wedge z = \pm e$. Soit $f \neq \mathrm{id}$ une application de $S_M$ dans lui-même qui commute à $\mathrm{SL}(2, R)$. Pour tout sommet $v$, $f(v) \neq v$, $f(v)$ n'est pas adjacent à $v$, et $v$ et $f(v)$ ont un voisin commun si et seulement si $R$ est exceptionnel et $f = \sigma$. Pour $f = \sigma$, un voisin commun de $\dot x$ et $\sigma(\dot x)$ est $(ey)^{\cdot}$, si $x \wedge y = 1$.
\item Si de plus $R$ n'a qu'un nombre fini d'idéaux maximaux et si $f \neq \sigma$, chaque sommet $v$ est à distance~$3$ de $f(v)$.
\item Sur $\mathbf Z/n$, $n \geq 2$, pour $\mu \in (\mathbf Z/n)^*$ avec $\mu \neq \pm 1$ et tout type $\pm e$, chaque sommet $\dot x$ est à distance~$3$ de $\mu\dot x$.
\end{enumerate}
\end{theoreme}
\end{encadre}

\begin{proof}
Point~1. Une permutation qui commute à $H$ et fixe un sommet $hs_0$ fixe $s_0$, donc est l'identité. Les arcs sont permutés par $H$, et $\sigma^2 \in U_0$ rend le graphe non orienté : $h\sigma$ envoie $(s_0, t_0)$ sur $(ht_0, hs_0)$. Si $(s, t)$ et $(s, t')$ sont des arcs, images de $(s_0, t_0)$ par $k$ et $k'$, alors $g = k'k^{-1}$ fixe $s$ et envoie $t$ sur $t'$ : le stabilisateur de $s$ est transitif sur les voisins de $s$. Il fixe aussi $\lambda s$, puisque $\lambda(gs) = g\lambda s$. Si $\lambda s$ est voisin de $s$ et $t'$ un autre voisin, on prend $g$ fixant $s$ avec $g\lambda s = t'$, d'où $t' = \lambda s$. Si $t$ est voisin de $s$ et de $\lambda s$, et $t'$ voisin de $s$, on prend $g$ fixant $s$ avec $gt = t'$ ; l'arête $\{t, \lambda s\}$ a pour image $\{t', \lambda s\}$. Dans l'autre sens, si $t'$ est voisin de $\lambda s$, on prend $g$ fixant $\lambda s$ avec $gt = t'$ ; alors $\lambda(gs) = \lambda s$, donc $gs = s$ par injectivité de $\lambda$, et l'arête $\{s, t\}$ a pour image $\{s, t'\}$. Les deux hypothèses du point~1 excluent alors les distances $0$, $1$ et~$2$.

Point~2. Par l'énoncé du commutant, $f$ est un scalaire $c$, ou bien $R$ est exceptionnel et $f = c\sigma$. Si $f = c$, $f \neq \mathrm{id}$ donne $c \neq \pm 1$. Si $cx = \pm x$, on applique $\cdot \wedge y$ : $c = \pm 1$, exclu. On a $x \wedge cx = 0 \neq \pm e$, puisque $R$ est non nul. Si $x \wedge z = \varepsilon_1 e$ et $z \wedge cx = \varepsilon_2 e$, avec $\varepsilon_i = \pm 1$, alors $-c\varepsilon_1 e = \varepsilon_2 e$, et $c = \pm 1$ en simplifiant par $e$. Si $f = c\sigma$ et $2 = 0$, $\sigma$ est l'identité et l'on est dans le cas précédent. Supposons $2 \neq 0$, de sorte que $f(\dot x) = (c(x + 2y))^{\cdot}$ avec $2c = 2$. Si $c(x + 2y) = \pm x$, on applique $x \wedge \cdot$ : $2 = 0$, exclu. On a $x \wedge c(x + 2y) = 2c = 2$ ; si $2 = \pm e$, $2$ est inversible, et $2 \cdot 2^{-1} \in \{0, 2\}$ donne $1 = 0$ ou $1 = 2$, impossible dans un anneau non nul. Soit enfin $z$ voisin de $\dot x$ et de $f(\dot x)$, avec $x \wedge z = \varepsilon_1 e$ et $b = z \wedge y$. Alors $z \wedge c(x + 2y) = c(-\varepsilon_1 e + 2b)$, avec $2b \in \{0, 2\}$ et $2 = 2e$ ; comme $4 = 0$, $-\varepsilon_1 e + 2b = \pm e$ dans tous les cas, et l'égalité $c(\pm e) = \varepsilon_2 e$ donne $c = \pm 1$, donc $f = \sigma$. Réciproquement, $x \wedge ey = e$ et $ey \wedge (x + 2y) = -e$.

Points~3 et~4. Sur un anneau semi-local, deux sommets quelconques sont joints par un chemin de longueur~$3$ formé d'arêtes de type $e$ (énoncé des pages~19 et~20). Sur $\mathbf Z/n$, $n \geq 2$, l'anneau est fini et non nul, et l'on applique le point~2 aux scalaires.
\end{proof}

\begin{remarque}
La partie abstraite de la piste est démontrée dans le cadre du graphe de classes, sous la forme : pas de point fixe, pas de voisin, et un voisin commun force l'égalité des étoiles. Elle n'utilise que la transitivité de $H$ sur les arcs et la commutation de $\lambda$ à $H$ ; ni la simple transitivité, ni la condition d'homothétie, ni la structure de surface n'interviennent. L'exclusion de la distance~$1$, que la page attribue aux stabilisateurs (lecture incertaine), demande que $s$ ait au moins deux voisins. Le passage de \q{même étoile} à \q{octaèdre} est le lemme du double cône de la page~275 ; le point~1 le remplace par l'hypothèse qu'aucun autre sommet n'a l'étoile de $s$, et l'encadré suivant le démontre, ce qui donne l'énoncé de la page sous sa forme propre. La page parle de $\lambda^{-1}s$ ; comme $\lambda^{-1}$ commute aussi à $H$, cela revient au même, et l'énoncé vaut pour un sommet comme pour tous (\q{c'est kif-kif}).

L'énoncé de la page est celui de l'encadré non vérifié ci-dessous ; le cadre abstrait du point~1 et l'application au modèle des points~2 à~4 sont de l'édition. Dans le modèle, l'énoncé tient sur tout anneau commutatif non nul pour les distances $0$, $1$ et~$2$, pour toute application qui commute à $\mathrm{SL}(2, R)$ et pour tout type $\pm e$ ; pour les scalaires le calcul est direct ($x \wedge \mu x = 0$, et $\mu e = \pm e$ force $\mu = \pm 1$), sans argument de stabilisateur. L'exception de la distance~$2$ est $\sigma$, et elle seule. Sur $\mathbf Z/n$ elle ne se produit que pour $n = 4$, où $\sigma$ est l'antipodie de l'octaèdre et où les scalaires sont triviaux. Sur un autre anneau exceptionnel avec $2 \neq 0$, par exemple $\mathbf Z/4 \times \mathbf F_2$, $\sigma$ est aussi à distance~$2$ ; un calcul hors de Lean, à partir du polygone de l'étoile $k \sim k \pm 1$ indexé par $R$, montre que l'étoile y est formée de deux cycles de longueur~$4$ ; le polyèdre n'est donc pas une surface, et l'exemple ne contredit pas la page. Pour $e = 1$ et $n \geq 5$, le point~4 est le théorème~9 de Singerman et Strudwick sur les pôles de la carte de Farey modulo~$n$ \cite{singermanstrudwick2020}.
\end{remarque}

Ne sont pas démontrés ici : l'isomorphisme de groupes $T_H \simeq Z$ de (81') et le cas $\mathfrak z_H \neq 1$ de (88) ; l'optimalité de la borne~$3$ pour $\mathbf Z/6$ et pour un anneau semi-local quelconque ; la connexité de $SP_M$ pour $\Lambda = \mathbf Z$ ; le caractère de morphisme de groupes de $Z \to Z'_n$ dans le cadre abstrait (pages~139 et~140), et l'existence de $\nu$ en un sommet à partir de la seule structure de $G_{0s} \simeq \mathbf D_n$ (pages~184 à~187) ; la question de la page~141 sur les triangulations dont les sommets sont d'ordre~$7$ ; la distance exactement~$3$ de la page~188 hors des anneaux semi-locaux.

\begin{encadre}
\begin{theoreme}[Grothendieck, pages 187 et 188, homothéties à distance trois\pisteresolue{79-homothety-distance-three}]
Dans un 2-polyèdre régulier triangulé abstrait, deux sommets distincts n'ont la même étoile que dans l'octaèdre (lemme du double cône, page~275). Une homothétie $\lambda \neq \mathrm{id}$ n'envoie donc aucun sommet à distance $1$ ou $2$, l'antipodie de l'octaèdre exceptée, et quand $\lambda^{-1}s$ est à distance au plus $3$ de $s$, cette distance vaut exactement~$3$.
\end{theoreme}
\end{encadre}

\noindent\emph{Forme démontrée.} On prend un 2-polyèdre triangulé régulier sous la forme la plus faible que l'argument utilise : une relation symétrique $A$ sur un ensemble $S$, connexe, telle que l'étoile de chaque sommet porte, pour les arêtes de $A$ qu'elle contient, une structure de polygone d'un même ordre $n \geq 3$ (condition (A2) de la lecture, tous les sommets ayant le même ordre ; (A1) en découle). L'\emph{octaèdre} est le graphe $K_{2,2,2}$ : les sommets $\{0, 1, 2\} \times \{\pm\}$, joints quand leurs premières coordonnées diffèrent.

\begin{encadre}
\begin{theoreme}[Pages 187, 188 et 275, forme de l'édition\pisteresolue{79-homothety-distance-three}]
\begin{enumerate}
\item (Le double cône, page~275.) Dans un tel polyèdre, si deux sommets distincts $s \neq s'$ ont la même étoile $E$, alors $n = 4$, $S = \{s, s'\} \cup E$, et $A$ est isomorphe à l'octaèdre.
\item (Page~188.) Soient $H$, $U_0$, $\sigma$ comme ci-dessus, avec $\sigma^2 \in U_0$, tels que le graphe de classes $H/U_0$ soit un tel polyèdre (il est alors régulier : $H$ est transitif sur ses arcs), et $\lambda \neq 1$ une permutation de $S$ qui commute à $H$. Si $\lambda$ envoie un sommet $s$ à distance au plus~$2$ de $s$, alors $n = 4$, le polyèdre est l'octaèdre, et $\lambda$ est son antipodie : pour tout sommet $y$, $\lambda y \neq y$ et $\lambda y$ a l'étoile de $y$.
\item Hors de l'octaèdre ($n \neq 4$), $\lambda s$ n'est ni $s$, ni un voisin de $s$, ni à distance~$2$ de $s$ : quand $\lambda s$, ou $\lambda^{-1}s$, est à distance au plus~$3$ de $s$, cette distance vaut exactement~$3$.
\end{enumerate}
\end{theoreme}
\end{encadre}

\begin{proof}
Point~1 (\texttt{double\_cone}). Un polygone n'a pas de boucle, donc aucun sommet n'est dans sa propre étoile (\texttt{not\_adj\_self}) ; en particulier $s' \notin E$, sinon $s'$ serait dans l'étoile de $s'$. Soit $u \in E$. Par symétrie, $s$ et $s'$ sont dans l'étoile de $u$, qui est un polygone $k \sim k \pm 1$ indexé par $\mathbf Z/n$ ; soient $i$ et $j$ leurs indices. Un sommet de l'étoile de $u$ est voisin de $s$ si et seulement s'il est dans $E$, donc si et seulement s'il est voisin de $s'$ : dans le polygone, $i$ et $j$ ont les mêmes voisins. Le voisin $i + 1$ de $i$ est voisin de $j$ et $i \neq j$, donc $j = i + 2$ ; le voisin $i - 1$ est alors à l'écart $-3$ de $j$, et $-3 = \pm 1$ donne $4 = 0$ ou $2 = 0$ ; comme $n \geq 3$, $n$ divise $4$ et $n = 4$ (\texttt{cyc\_same\_nbrs}, \texttt{eq\_four\_of\_four\_eq\_zero}). L'étoile de $u$ a donc quatre sommets, d'indices $i$, $i + 1$, $i + 2$, $i + 3$ : $s$, $s'$, et deux voisins de $s$, c'est-à-dire deux points de $E$. L'ensemble $\{s, s'\} \cup E$ est ainsi stable par passage à un voisin, et la connexité donne $S = \{s, s'\} \cup E$. Enfin $E$ est un carré $k \sim k \pm 1$ sur $\mathbf Z/4$, dont les sommets non adjacents sont $k$ et $k + 2$ ; on envoie $s, s'$ sur $(0, \pm)$ et les indices $0, 2$ sur $(1, \pm)$, $1, 3$ sur $(2, \pm)$. Les sommets de $E$ sont adjacents à $s$ et à $s'$, et $s$, $s'$ ne le sont pas entre eux : l'adjacence est celle de $K_{2,2,2}$.

Point~2 (\texttt{homothety\_dist\_le\_two}). Par l'énoncé précédent, $\lambda$ n'a pas de point fixe. L'étoile de $s$ a au moins deux sommets, $\varphi(0) \neq \varphi(1)$, de sorte que $\lambda s$ n'est pas voisin de $s$. Il reste le cas d'un voisin commun, où $s$ et $\lambda s$ ont la même étoile ; le point~1 donne $n = 4$ et l'octaèdre. Pour un autre sommet $y = gs$, $g \in H$, on a $\lambda y = g\lambda s$, et $g$ envoie l'étoile de $s$ sur celle de $gs$ et celle de $\lambda s$ sur celle de $g\lambda s$ (\texttt{isArc\_smul\_iff}) : $\lambda y$ a l'étoile de $y$. Point~3 (\texttt{homothety\_dist\_three}) : c'est la contraposée ; pour $\lambda^{-1}$, qui commute aussi à $H$, on applique le même énoncé.
\end{proof}

\begin{remarque}
L'énoncé de la page tient, dans un cadre plus large qu'elle ne le dit : le double cône n'utilise ni l'orientation, ni la régularité au sens des drapeaux, seulement la connexité et l'égalité des ordres des sommets ; sans cette égalité, la même démonstration donne seulement que les sommets de $E$ sont d'ordre~$4$, et le double cône sur un $n$-gone est un contre-exemple pour tout $n \geq 3$, ce qui est la \q{double pyramide} de la page~275. Dans le point~2, seule la transitivité de $H$ sur les arcs sert ; la condition d'homothétie (70~b) et la fidélité (72) n'interviennent pas. Que l'antipodie de l'octaèdre soit effectivement une homothétie, à distance~$2$, est vu dans le modèle sur $\mathbf Z/4$ (\texttt{zmod4\_non\_neighbours}, \texttt{commutant\_dist}), et dans le cadre abstrait par l'encadré suivant. La page dit \q{2-polyèdre régulier triangulé} sans fixer d'axiomes ; la forme retenue ici (étoiles polygonales d'un même ordre, connexité) est celle de l'édition. Le point~3 ne dit pas que la distance est au plus~$3$ : c'est la condition a) de la page, qu'elle pose comme hypothèse, et qui n'est démontrée que sur un anneau semi-local (encadré précédent, point~3).
\end{remarque}

\begin{encadre}
\begin{theoreme}[Pages 188 et 275, l'antipodie de l'octaèdre, forme de l'édition\pisteresolue{79-homothety-distance-three}]
Soit $A$ une relation sur $S$ et $e : S \simeq \{0, 1, 2\} \times \{\pm\}$ un isomorphisme sur l'octaèdre $K_{2,2,2}$. Soit $\alpha$ l'antipodie, $e\,\alpha\,e^{-1}(i, \varepsilon) = (i, -\varepsilon)$.
\begin{enumerate}
\item Les sommets non adjacents à $y$ sont $y$ et $\alpha y$ ; $\alpha$ est une involution sans point fixe, $\alpha y$ a l'étoile de $y$, et $y$, $\alpha y$ sont à distance~$2$. La condition (H1) vaut : $\{s, t\} \in A \iff \{\alpha s, \alpha^{-1} t\} \in A$. Toute application injective de $S$ dans lui-même qui respecte $A$ commute à $\alpha$, et toute permutation qui envoie chaque sommet sur un autre sommet de même étoile est $\alpha$.
\item Si le graphe de classes $H/U_0$ est l'octaèdre (sans hypothèse sur $\sigma$), $\alpha$ commute à $H$, vérifie la condition d'homothétie (70~b), est distincte de l'identité et stricte ($A_\alpha = A$). Elle ne vérifie pas la fidélité (72) : un élément de $H$ fixe $s_0$ et envoie $t_0$ sur $\alpha t_0$ ; elle n'appartient donc à aucun groupe d'homothéties au sens de (88).
\item Dans le cadre de l'encadré précédent (point~2), une permutation $\lambda \neq 1$ qui commute à $H$ et envoie un sommet à distance au plus~$2$ est l'antipodie de l'octaèdre.
\end{enumerate}
\end{theoreme}
\end{encadre}

\begin{proof}
Point~1 (\texttt{not\_adj\_iff\_octAnti}, \texttt{star\_octAnti}, \texttt{octAnti\_homothety}, \texttt{octAnti\_common\_nbr}, \texttt{octAnti\_comm}, \texttt{eq\_octAnti}). Dans $K_{2,2,2}$, $(j, \eta)$ n'est pas adjacent à $(i, \varepsilon)$ si et seulement si $j = i$, c'est-à-dire si c'est $(i, \pm\varepsilon)$ ; l'adjacence ne dépend que de la première coordonnée, que $\alpha$ conserve, d'où l'égalité des étoiles et (H1), puisque $\alpha^{-1} = \alpha$. Le sommet $(i + 1, +)$ est un voisin commun de $y$ et $\alpha y$. Si $g$ est injective et respecte $A$, $g\alpha y$ n'est pas adjacent à $gy$ et en est distinct, donc c'est $\alpha(gy)$. Si $\lambda y \neq y$ a l'étoile de $y$, $\lambda y$ n'est pas adjacent à $y$, sinon il serait dans sa propre étoile, et c'est $\alpha y$. Point~2 (\texttt{octAnti\_isHomothety}). Les éléments de $H$ respectent les arcs (\texttt{isArc\_smul\_iff}) et agissent injectivement ; $A_\alpha = A$ parce que $\alpha$ préserve chaque étoile (\texttt{twistGraph\_eq\_self}). Les sommets $t_0$ et $\alpha t_0$ sont voisins de $s_0$, et le stabilisateur de $s_0$ est transitif sur ses voisins (\texttt{IsArc.stab\_trans}) ; la fidélité forcerait alors $\alpha = 1$. Point~3 (\texttt{homothety\_dist\_le\_two\_eq}) : l'encadré précédent donne l'octaèdre et que $\lambda y \neq y$ a l'étoile de $y$ pour tout $y$ ; on conclut par le point~1.
\end{proof}

\begin{remarque}
La page excepte \q{l'octaèdre et $\lambda$ = l'antipodisme} sans dire que l'antipodie est une homothétie ; c'est vrai au sens de la condition (H1) des pages~187 et~188, et l'homothétie est même stricte. Mais elle échappe au cadre des pages~242 à~247 : dès que $H$ est transitif sur les arcs de l'octaèdre, la fidélité (72) tombe, et la bijection (88) entre groupes d'homothéties et sous-groupes $T_H$ ne la voit pas. L'existence d'un graphe de classes isomorphe à l'octaèdre (par exemple sous son groupe de rotations, d'ordre~$24$) n'est pas formalisée ; dans le modèle, le cas $\mathbf Z/4$ en tient lieu (\texttt{zmod4\_non\_neighbours}, \texttt{star\_sigma}).
\end{remarque}

\begin{encadre}
\begin{theoreme}[Grothendieck, pages 136 à 140 et 184 à 187, polygones étoilés\piste{79-star-polygon-twist}]
Le groupe $(\mathbf Z/n)^*/\pm 1$ opère sur les structures de polygone d'un ensemble à $n$ éléments. Sous l'axiome To~6, une homothétie agit sur une triangulation en redessinant chaque étoile comme le polygone étoilé d'indice $\nu \in (\mathbf Z/n)^*/\pm 1$, recentré au sommet image, avec $\nu$ indépendant du sommet, et l'on a une injection $Z \hookrightarrow Z'_n$, sauf pour l'octaèdre.
\end{theoreme}
\end{encadre}

\noindent\emph{Conventions.} Pour $n \geq 1$ et un ensemble $E$, une \emph{structure de polygone} sur $E$ est une relation de la forme $a \sim b \iff \varphi^{-1}(b) - \varphi^{-1}(a) = \pm 1$, pour une bijection $\varphi : \mathbf Z/n \to E$ ; son \emph{polygone étoilé d'indice $\nu$} est la relation $\varphi^{-1}(b) - \varphi^{-1}(a) = \pm \nu$. Pour un graphe $A$ sur un ensemble $S$, l'étoile $\mathrm{Et}(s)$ est l'ensemble des voisins de $s$, et pour une permutation $\lambda$ de $S$ le graphe tordu $A_\lambda$ joint $u$ et $t$ quand $A$ joint $\lambda^{-1}u$ et $t$ : l'étoile de $\lambda s$ pour $A_\lambda$ est, comme partie de $S$, l'étoile de $s$ pour $A$. L'axiome To~6 pour $(\lambda, \nu)$ demande que $A$ induise un polygone sur chaque étoile et que $A_\lambda$ induise sur $\mathrm{Et}(s)$ le polygone étoilé d'indice $\nu$ de celui de $A$, pour tout $s$.

\begin{encadre}
\begin{theoreme}[Pages 136 à 140 et 184 à 187, forme de l'édition\piste{79-star-polygon-twist}]
Soit $n \geq 3$.
\begin{enumerate}
\item (Le \q{fait mirifique}.) Le polygone étoilé d'indice $\nu$ ne dépend que du polygone, et non de la bijection $\varphi$ ; pour $\nu \in (\mathbf Z/n)^*$ c'est encore un polygone. On obtient une action de $(\mathbf Z/n)^*$ sur les structures de polygone de $E$, dans laquelle $\nu$ et $\nu'$ agissent de même sur un polygone si et seulement si $\nu' = \pm\nu$ : l'action passe à $Z'_n = (\mathbf Z/n)^*/\pm 1$ et y est libre.
\item (Pages~184 à~187.) Deux structures de polygone de $E$ dont les rotations $\varphi(k) \mapsto \varphi(k + 1)$ engendrent le même groupe se déduisent l'une de l'autre par un $\nu \in (\mathbf Z/n)^*$ ; réciproquement, les polygones étoilés d'un polygone ont son groupe de rotations.
\item (To~6.) Si To~6 vaut pour $(\lambda, \nu)$ et pour $(\lambda, \nu')$, et si $S$ n'est pas vide, alors $\nu' = \pm\nu$. Si To~6 vaut pour $(\lambda, \nu)$ et $(\lambda', \pm\nu)$, et si toute arête de $A_\lambda$ et de $A_{\lambda'}$ est dans un triangle, alors $A_\lambda = A_{\lambda'}$ ; si de plus deux sommets distincts de $A$ n'ont jamais la même étoile, alors $\lambda = \lambda'$.
\item (L'indice ne dépend pas du sommet, (29).) Si un automorphisme $g$ de $A$ commute à $\lambda$ et si $A_\lambda$ induit sur $\mathrm{Et}(s)$ le polygone étoilé d'indice $\nu$, il induit sur $\mathrm{Et}(gs)$ celui de même indice. Si ces automorphismes sont transitifs sur $S$, To~6 en un sommet entraîne To~6.
\item (Le modèle.) Sur $\mathbf Z/n$, pour $e, \mu \in (\mathbf Z/n)^*$, le polyèdre $P_{M, \pm e}$ induit un polygone sur chaque étoile, et l'homothétie $T_\mu$ vérifie To~6 avec $\nu = \mu$ ; son graphe tordu est $P_{M, \pm\mu e}$.
\item (Sauf pour l'octaèdre, pages~139, 140 et~275.) Supposons $A$ symétrique et connexe, ses étoiles étant des polygones d'ordre $n$. Si To~6 vaut pour $(\lambda, \nu)$ et $(\lambda', \pm\nu)$ et si toute arête de $A_\lambda$ et de $A_{\lambda'}$ est dans un triangle, alors $\lambda = \lambda'$ ou $A$ est l'octaèdre ($n = 4$, $A \simeq K_{2,2,2}$) ; en particulier $\lambda = \lambda'$ dès que $n \neq 4$. L'exception est effective : sur $\mathbf Z/4$, dans $P_{M, \pm e}$, l'antipodie $\sigma$ et l'identité vérifient toutes deux To~6 avec $\nu = 1$, leurs graphes tordus sont triangulés, et $\sigma \neq 1$.
\end{enumerate}
\end{theoreme}
\end{encadre}

\begin{proof}
Point~1. Si deux bijections $\varphi$ et $\psi$ définissent le même polygone, $f = \psi^{-1}\varphi$ est une permutation de $\mathbf Z/n$ qui envoie $k$ et $k + 1$ sur deux éléments d'écart $\pm 1$. Posons $d = f(1) - f(0) = \pm 1$ ; par récurrence $f(k) = dk + f(0)$ : si $f(k) = dk + f(0)$ et $f(k + 1) = d(k + 1) + f(0)$, alors $f(k + 2)$ vaut $f(k + 1) \pm d$, et la valeur $f(k + 1) - d = f(k)$ est exclue par l'injectivité, puisque $2 \neq 0$ dans $\mathbf Z/n$ pour $n \geq 3$. Les automorphismes du $n$-gone sont donc les $k \mapsto \pm k + c$ (\texttt{affine\_of\_adj}), et la condition $\psi^{-1}(b) - \psi^{-1}(a) = \pm\nu$, multipliée par $d = \pm 1$, équivaut à la même pour $\varphi$ (\texttt{cyc\_congr}). Pour $\nu$ inversible, le polygone étoilé d'indice $\nu$ de $\varphi$ est le polygone de $k \mapsto \varphi(\nu k)$ (\texttt{cyc\_reindex}), d'où l'action (\texttt{twist\_twist}, \texttt{twist\_one}, \texttt{polygonAction}). Le changement de $\nu$ en $-\nu$ ne change rien (\texttt{twist\_neg}). Si l'indice $\nu$ fixe le polygone de $\varphi$, l'arête $\{\varphi(0), \varphi(\nu)\}$ du polygone étoilé est une arête du polygone, donc $\nu = \pm 1$ (\texttt{twist\_eq\_self\_iff}), et l'on conclut par l'action (\texttt{twist\_eq\_twist\_iff}).

Point~2. Si la rotation $\rho_\psi$ est une puissance $\rho_\varphi^m$ (dans un groupe fini, les puissances entières sont des puissances naturelles), alors $\psi(k) = \rho_\psi^k\psi(0) = \varphi(c + mk)$ avec $c = \varphi^{-1}\psi(0)$ ; la bijectivité de $k \mapsto c + mk$ rend $m$ inversible, et $\varphi^{-1}(b) - \varphi^{-1}(a) = m(\psi^{-1}(b) - \psi^{-1}(a))$ donne le polygone de $\psi$ comme polygone étoilé d'indice $m$ de celui de $\varphi$ (\texttt{exists\_twist\_of\_zpowers\_rot}). Réciproquement la rotation de $k \mapsto \varphi(\nu k)$ est $\rho_\varphi^\nu$, et $\rho_\varphi$ en est la puissance $\nu^{-1}$ (\texttt{zpowers\_rot\_reindex}).

Point~3. L'unicité au signe près vient du point~1 appliqué à l'étoile d'un sommet (\texttt{toSix\_unique}). Une arête $\{u, t\}$ de $A_\lambda$ est dans un triangle $\{w, u, t\}$, donc $u$ et $t$ sont dans l'étoile de $w$ pour $A_\lambda$, c'est-à-dire dans $\mathrm{Et}(\lambda^{-1}w)$ ; sur cette étoile $A_\lambda$ et $A_{\lambda'}$ induisent le même polygone étoilé, donc $\{u, t\}$ est une arête de $A_{\lambda'}$, et inversement (\texttt{twistGraph\_eq\_of\_toSix}) : c'est $A_\lambda = A_0^{(\nu)}$. Enfin $A_\lambda = A_{\lambda'}$ dit que $\lambda^{-1}u$ et $\lambda'^{-1}u$ ont la même étoile pour tout $u$, d'où $\lambda = \lambda'$ (\texttt{eq\_of\_toSix}).

Point~4. L'automorphisme $g$ envoie $\mathrm{Et}(s)$ sur $\mathrm{Et}(gs)$ ; comme il commute à $\lambda$, il préserve aussi $A_\lambda$. Il transporte donc la bijection $\varphi$ de l'étoile de $s$ en une bijection $g\varphi$ de l'étoile de $gs$, le polygone de $A$ en celui de $A$ et celui de $A_\lambda$ en celui de $A_\lambda$ (\texttt{toSix\_at\_smul}, \texttt{toSix\_of\_transitive}).

Point~5. Écrivons $\dot x$ avec $x \wedge y_0 = 1$ et posons $y = ey_0$. L'application $k \mapsto (y + kx)^{\cdot}$ est une bijection de $\mathbf Z/n$ sur l'étoile de $\dot x$ : elle est surjective parce que l'étoile est la droite $y + Rx$, à un signe près, et injective parce que $y + kx = -(y + k'x)$ donnerait $2e = 0$ (\texttt{starIndex}). Le graphe tordu $A_{T_\mu}$ joint $\dot u$ et $\dot t$ quand $\mu^{-1}u \wedge t = \pm e$, c'est-à-dire $u \wedge t = \pm\mu e$ : c'est $P_{M, \pm\mu e}$ (\texttt{twistGraph\_scal}). Par le calcul $(y + kx) \wedge (y + k'x) = (k - k')e$ de l'énoncé précédent, $P_{M, \pm\mu e}$ induit sur l'étoile le polygone $k \sim k \pm \mu$ (\texttt{onStar\_adj}) : pour $\mu = 1$, c'est le polygone de $P_{M, \pm e}$ (\texttt{isPolygon\_adj}), et en général son polygone étoilé d'indice~$\mu$ (\texttt{toSix\_scal}).

Point~6. Si deux sommets distincts n'ont jamais la même étoile, le point~3 conclut (\texttt{eq\_of\_toSix}) ; sinon le lemme du double cône (\texttt{double\_cone}) donne $n = 4$ et l'octaèdre (\texttt{eq\_of\_toSix\_or\_octahedron}, \texttt{eq\_of\_toSix\_of\_ne\_four}). Pour l'exception, une permutation qui préserve chaque étoile ne tord pas le graphe, $A_\lambda = A$ (\texttt{twistGraph\_eq\_self}), et vérifie donc To~6 avec $\nu = 1$ (\texttt{toSix\_one\_of\_star\_eq}). Dans un graphe symétrique à étoiles polygonales, toute arête $\{u, t\}$ est dans un triangle : si $t$ a l'indice $k$ dans l'étoile de $u$, le sommet d'indice $k + 1$ convient (\texttt{triangulated\_of\_pol}). Sur un anneau exceptionnel, $\sigma(\dot x)$ a, type par type, les voisins de $\dot x$ (\texttt{same\_star\_iff}), d'où l'égalité des étoiles dans $P_{M, \pm e}$ (\texttt{star\_sigma}) ; enfin $\sigma$ n'a pas de point fixe sur $\mathbf Z/4$, où $2 \neq 0$ (\texttt{sigma\_ne\_scal}), d'où $\sigma \neq 1$ (\texttt{octahedron\_toSix}).
\end{proof}

\begin{remarque}
Les points~1, 3 et~5 démontrent l'énoncé de la page sous la forme suivante : l'action de $Z'_n$ est fidèle, et même libre ; To~6 détermine $\nu$ au signe près ; deux homothéties de même $\nu$ ont le même graphe tordu, et sont égales dès que deux sommets distincts n'ont jamais la même étoile. Deux hypothèses restent explicites. D'abord que toute arête de $A_\lambda$ soit dans un triangle, ce que la page suppose en parlant de triangulation et qu'elle discute aux pages~187 et~188 (condition a)). Ensuite que deux sommets distincts n'aient pas la même étoile, qui remplace \q{sauf pour l'octaèdre} : le point~6 fait ce passage par le lemme du double cône de la page~275 (\texttt{double\_cone}), sous la seule hypothèse de connexité, et montre que l'exception de l'octaèdre est nécessaire. La page dit \q{homomorphisme injectif} ; dans le cadre abstrait, Lean ne démontre que l'injectivité de $\lambda \mapsto \nu$ ; que $\nu(\lambda\lambda') = \nu(\lambda)\nu(\lambda')$ ne découle pas de To~6 par cet argument, car $A_{\lambda\lambda'}$ mêle les étoiles de $s$ et de $\lambda s$. Dans le modèle, $T_\mu \mapsto \mu$ est évidemment multiplicative, et injective modulo $\pm 1$ par \texttt{scal\_eq\_scal\_iff}. Le point~4 démontre l'indépendance par rapport au sommet de la page~187 sous l'hypothèse de transitivité ; l'existence de $\nu$ en un sommet, que la page tire de l'unicité du sous-groupe cyclique d'ordre $n$ dans $G_{0s} \simeq \mathbf D_n$, se ramène par le point~2 à l'égalité des groupes de rotations, que Lean prend comme hypothèse sans la déduire de $G_{0s}$. La question de la page~141, pour les triangulations à sommets d'ordre~$7$, reste ouverte.
\end{remarque}
\section[Cote 85 : représentations de $G_2$ et de $\mathbb D_\infty$ dans $\mathrm{PGL}_2$, rotation d'ordre 5]{Cote 85 : représentations de $G_2$ et de $\mathbb D_\infty$ dans $\mathrm{PGL}_2$, rotation d'ordre 5\protect\verifie{Folder85}}\label{sec:85}

La cote 85, \emph{2-polyèdres et 1-polygônes : notes manuscrites (s.d.)}, du groupe \q{Géométrie et topologie combinatoire}, étudie les polygones et polyèdres réguliers réalisés dans une forme de $\mathrm{PGL}_2$ sur une base quelconque, au moyen d'un seul invariant $A$. Pour $\mathrm{PGL}_2$, la lecture le donne par $A(v) = (\mathrm{Tr}\, v)^2/\det v - 2$ pour un relèvement $v \in \mathrm{GL}_2$ (pages~23 et~27, \lot{85}{2}{23}, \lot{85}{2}{27}). La page~30 dit qu'un élément est d'ordre~$5$ en tout point si et seulement si $\alpha^2 + \alpha - 1 = 0$, hors caractéristique~$5$ (\lot{85}{2}{30}). La page~10 énonce le cas de l'icosaèdre avec un facteur $\mathbf Z/2$ et la marge \q{laisser tomber $\mathbf Z/2$ dans l'énoncé} (\lot{85}{1}{10}) ; la page~40 énonce le théorème sans ce facteur : pour une forme $G$ de $\mathrm{PGL}_2$ sur un schéma $S$ et un monomorphisme $\varphi : \mathfrak A_5 \to G$, $\alpha(\varphi) = A(\varphi(\pi))$, $\pi$ un $5$-cycle, satisfait $\alpha^2 + \alpha - 1 = 0$, la catégorie des $(G, \varphi)$ est rigide, et le foncteur des classes d'isomorphisme est \q{représentable par $M = \mathrm{Spec}\,\mathbf Z[T]/(T^2 + T - 1)$} (\lot{85}{2}{40}). Le calcul qui porte ce théorème est démontré ici, sur tout anneau commutatif, ainsi qu'un modèle explicite des relations de l'icosaèdre.

Le théorème de la page~4 (\lot{85}{1}{4}) porte sur le groupe $G_2 = \langle \tau_0, \tau_1, \tau_2 \mid \tau_i^2, (\tau_0\tau_2)^2\rangle$, avec $\rho_0 = \tau_0\tau_1$ et $\rho_1 = \tau_1\tau_2$. Pour un homomorphisme $\varphi$ de $G_2$ dans une forme de $\mathrm{PGL}_2$ sur $S$ tel qu'en tout point $\rho_0^2 \neq 1$, $\rho_1^2 \neq 1$ et $\rho_0\rho_1 \neq \rho_1\rho_0$, la page énonce trois choses : 1)~les invariants $\alpha_0 = A(\varphi(\rho_0))$, $\alpha_1 = A(\varphi(\rho_1))$ sont tels que $(\alpha_0 + 2)(\alpha_1 + 2)(\alpha_0 + \alpha_1)$ est inversible ; 2)~le foncteur $\varphi \mapsto (\alpha_0, \alpha_1)$ est pleinement fidèle, c'est-à-dire que le centralisateur de l'image est trivial et que deux objets de mêmes invariants sont isomorphes ; 3)~tout couple admissible provient d'un $\varphi$. La lecture en tire que l'espace de modules est l'ouvert de $\mathbb A^2_{\mathbf Z}$ complémentaire des trois droites $\alpha_0 = -2$, $\alpha_1 = -2$, $\alpha_0 + \alpha_1 = 0$. La démonstration des pages~5 et~6 renvoie à des \q{généralités} absentes du dossier (\lot{85}{1}{5}, \lot{85}{1}{6}). Le corollaire des pages~6 et~7 prescrit les ordres de $\rho_0$ et $\rho_1$ par $\Psi_{\nu_i}(\alpha_i) = 0$, avec $\nu_i$ inversible si $\nu_i$ n'est pas premier (\lot{85}{1}{7}). Les pages~8 à~10 traitent les trois cas finis (\lot{85}{1}{8}). On démontre ici les calculs de traces et la rigidité sur tout anneau, la conjugaison sur un corps qui contient une racine de $T^2 - \alpha_0 T + 1$, une forme normale explicite après adjonction d'une telle racine et la traduction des ordres $3$, $4$, $5$ et $6$.

\noindent\emph{Conventions.} $R$ est un anneau commutatif et $g = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ une matrice de $M_2(R)$ de déterminant $\delta$ inversible ; on note $t = \mathrm{Tr}\, g$ et $A(g) = t^2\delta^{-1} - 2$. On dit que $g$ est \emph{nulle part scalaire} si $b$, $c$ et $a - d$ engendrent l'idéal unité. Un idéal est l'idéal unité si et seulement s'il n'est contenu dans aucun idéal premier ; la condition dit donc que l'image de $g$ dans $\mathrm{PGL}_2(k(s))$ est différente de $1$ en tout point $s$ de $\operatorname{Spec} R$. Comme $5$ est premier, l'image de $g$ est alors d'ordre~$5$ en tout point si et seulement si $g^5$ est scalaire.

\noindent\emph{Conventions pour $G_2$.} Un homomorphisme $G_2 \to \mathrm{PGL}_2(R)$ est donné par trois matrices $\tau_0, \tau_1, \tau_2$ de déterminants $d_0, d_1, d_2$ inversibles, telles que $\tau_0^2$, $\tau_1^2$, $\tau_2^2$ et $(\tau_0\tau_2)^2$ soient scalaires. On note $\rho_0 = \tau_0\tau_1$, $\rho_1 = \tau_1\tau_2$, $\alpha_0 = A(\rho_0)$, $\alpha_1 = A(\rho_1)$, $t_{01} = \mathrm{Tr}(\tau_0\tau_1)$, $t_{12} = \mathrm{Tr}(\tau_1\tau_2)$, $t_{02} = \mathrm{Tr}(\tau_0\tau_2)$, $T = \mathrm{Tr}(\tau_0\tau_1\tau_2)$ et $\Delta = (\alpha_0 + 2)(\alpha_1 + 2)(\alpha_0 + \alpha_1)$. Sur un corps $k$, la condition~$(*)$ de la page~4 s'écrit : $\rho_0^2$ et $\rho_1^2$ ne sont pas scalaires, et il n'existe pas de $\mu \in k$ tel que $\rho_0\rho_1 = \mu\,\rho_1\rho_0$. \q{$(*)$ en tout point} signifie que $(*)$ vaut pour les images des $\tau_i$ dans $M_2(R/\mathfrak m)$, pour tout idéal maximal $\mathfrak m$. Pour $\nu \geq 2$, on dit que $g$ est d'ordre $\nu$ en tout point si $g^\nu$ est scalaire et si $g^m$ est nulle part scalaire pour tout diviseur $m$ de $\nu$ avec $1 \leq m < \nu$.

\begin{lemme}\label{lem:85-traces}
Soient $\tau_0, \tau_1, \tau_2 \in M_2(R)$ de trace nulle et de déterminants inversibles.
\begin{enumerate}
\item $\alpha_0 + 2 = t_{01}^2 (d_0 d_1)^{-1}$ et $\alpha_1 + 2 = t_{12}^2 (d_1 d_2)^{-1}$.
\item $\rho_0\rho_1 - \rho_1\rho_0 = -T\,\tau_1$.
\item Si $t_{02} = 0$, alors $T^2 = 4 d_0 d_1 d_2 - t_{01}^2 d_2 - t_{12}^2 d_0$, donc $\alpha_0 + \alpha_1 = -T^2 (d_0 d_1 d_2)^{-1}$.
\item Si $t_{02} = 0$, $\Delta$ est inversible si et seulement si $t_{01}$, $t_{12}$ et $T$ le sont.
\end{enumerate}
\end{lemme}

\begin{proof}
(1) $\det \rho_0 = d_0 d_1$ et $A(\rho_0) = t_{01}^2 (d_0 d_1)^{-1} - 2$ par définition. (2) et (3) sont des identités polynomiales entre les coefficients, une fois $\tau_i = \begin{pmatrix} a_i & b_i \\ c_i & -a_i \end{pmatrix}$ ; pour (3), la différence des deux membres est $t_{02}$ multiplié par un polynôme explicite, et Lean la vérifie sous cette forme. Le membre de droite de~(3) est, au signe près, le déterminant de Gram des $\tau_i$ pour la forme $\mathrm{Tr}(XY)$, avec $t_{02} = 0$. En reportant~(3) dans $\alpha_0 + \alpha_1 = t_{01}^2(d_0d_1)^{-1} + t_{12}^2(d_1d_2)^{-1} - 4$, on obtient $-T^2(d_0d_1d_2)^{-1}$. (4) Par~(1) et~(3), $\Delta = -t_{01}^2 t_{12}^2 T^2 \cdot d_0^{-2} d_1^{-3} d_2^{-2}$, et un produit est inversible si et seulement si chaque facteur l'est.
\end{proof}

\begin{enonce}[Page 4, partie 1), les invariants\piste{85-g2-pgl2-moduli-over-z}]
Soient $\tau_0, \tau_1, \tau_2 \in M_2(R)$ de déterminants inversibles, avec $\tau_i^2$ et $(\tau_0\tau_2)^2$ scalaires.
\begin{enumerate}
\item Si $(*)$ vaut en tout point, alors $\tau_0$, $\tau_1$, $\tau_2$ et $\tau_0\tau_2$ sont de trace nulle, et $\Delta = (\alpha_0 + 2)(\alpha_1 + 2)(\alpha_0 + \alpha_1)$ est inversible.
\item Réciproquement, si $\tau_0$, $\tau_1$, $\tau_2$ et $\tau_0\tau_2$ sont de trace nulle et $\Delta$ inversible, alors $(*)$ vaut en tout point.
\end{enumerate}
\end{enonce}

\begin{proof}
(1) Fixons un idéal maximal $\mathfrak m$ et travaillons dans $k = R/\mathfrak m$. Si $\tau_0$ y était scalaire, $\rho_0^2 = c^2\tau_1^2$ serait scalaire ; de même pour $\tau_1$ (avec $\tau_0^2$) et pour $\tau_2$ (avec $\rho_1^2 = c^2\tau_1^2$). Si $\tau_0\tau_2 = c$ était scalaire, $c$ serait non nul, $\tau_2\tau_0 = c$ aussi, et $\rho_0\rho_1 = \tau_0\tau_1^2\tau_2$ et $\rho_1\rho_0 = \tau_1(\tau_2\tau_0)\tau_1$ vaudraient tous deux $c\,s$, où $\tau_1^2 = s$ ; cela contredit~$(*)$ avec $\mu = 1$. Les quatre matrices sont donc nulle part scalaires sur $R$, car un idéal qui n'est contenu dans aucun idéal maximal est l'idéal unité. Pour une matrice $g$ nulle part scalaire avec $g^2$ scalaire, Cayley--Hamilton donne $g^2 = (\mathrm{Tr}\,g)\,g - \det g$ ; les coefficients hors diagonale de $(\mathrm{Tr}\,g)\,g$ et la différence de ses coefficients diagonaux sont nuls, donc $\mathrm{Tr}\,g$ annule un idéal égal à l'idéal unité, et $\mathrm{Tr}\,g = 0$. Les quatre traces sont nulles. Revenons dans $k$. Si $t_{01} = 0$, $\rho_0$ est de trace nulle et $\rho_0^2 = -\det\rho_0$ est scalaire ; de même $t_{12} \neq 0$. Si $T = 0$, le lemme~\ref{lem:85-traces}~(2) donne $\rho_0\rho_1 = \rho_1\rho_0$. Les images de $t_{01}$, $t_{12}$ et $T$ sont donc non nulles en tout point, ces trois éléments sont inversibles, et $\Delta$ l'est par le lemme~\ref{lem:85-traces}~(4).

(2) Par le lemme~\ref{lem:85-traces}~(4), $t_{01}$, $t_{12}$ et $T$ sont inversibles, et le restent dans chaque $R/\mathfrak m$. Il suffit donc de montrer $(*)$ sur un anneau non nul où ces trois éléments sont inversibles. On a $T = \mathrm{Tr}(\rho_0\tau_2) = (\rho_{0,00} - \rho_{0,11})\,\tau_{2,00} + \rho_{0,01}\,\tau_{2,10} + \rho_{0,10}\,\tau_{2,01}$, car $\tau_2$ est de trace nulle ; $T$ appartient donc à l'idéal engendré par les coefficients hors diagonale de $\rho_0$ et la différence de ses coefficients diagonaux, et $\rho_0$ est nulle part scalaire. Si $\rho_0^2$ était scalaire, on aurait $t_{01} = \mathrm{Tr}\,\rho_0 = 0$. Même raisonnement pour $\rho_1$, avec $T = \mathrm{Tr}(\rho_1\tau_0)$. Si enfin $\rho_0\rho_1 = \mu\,\rho_1\rho_0$, multiplions à gauche par $\tau_0$ et prenons la trace : $\mathrm{Tr}(\tau_0\rho_0\rho_1) = d_0 d_1 \mathrm{Tr}\,\tau_2 = 0$, et $\mathrm{Tr}(\tau_0\rho_1\rho_0) = t_{01} T$ (identité polynomiale pour des matrices de trace nulle). Donc $\mu\,t_{01}T = 0$, $\mu = 0$, et $\rho_0\rho_1 = 0$, ce qui contredit $\det(\rho_0\rho_1) = d_0 d_1^2 d_2$ inversible.
\end{proof}

\begin{remarque}
Chaque facteur de $\Delta$ répond à une condition de~$(*)$ : $\alpha_0 + 2$ inversible équivaut à $t_{01}$ inversible, c'est-à-dire $\rho_0^2 \neq 1$ ; $\alpha_1 + 2$ à $\rho_1^2 \neq 1$ ; et $\alpha_0 + \alpha_1$, au vu de $\rho_0\rho_1 - \rho_1\rho_0 = -T\tau_1$, à la non-commutation. L'énoncé vaut sur tout anneau, sans hypothèse sur $2$ : en caractéristique~$2$ les involutions sont unipotentes, et $\tau_0$, $\tau_2$ commutent au lieu d'anticommuter, sans que les calculs changent. L'hypothèse \q{$(\tau_0\tau_2)^2$ scalaire} sert à obtenir $t_{02} = 0$ ; sans elle, l'identité~(3) du lemme a un terme en $t_{02}$.
\end{remarque}

\begin{lemme}\label{lem:85-commutant}
Si $X \in M_2(R)$ est nulle part scalaire et $gX = Xg$, il existe $p, q \in R$ avec $g = p + qX$.
\end{lemme}

\begin{proof}
Écrivons $X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, $g = \begin{pmatrix} e & f \\ h & k \end{pmatrix}$. La commutation donne $fc = bh$, $b(e - k) = f(a - d)$ et $h(a - d) = c(e - k)$ : les vecteurs $(f, h, e - k)$ et $(b, c, a - d)$ sont proportionnels au sens où leurs mineurs d'ordre~$2$ sont nuls. Soit $r_1 b + r_2 c + r_3(a - d) = 1$. Posons $q = r_1 f + r_2 h + r_3(e - k)$ et $p = e - qa$. Alors $f = f(r_1 b + r_2 c + r_3(a-d)) = qb$ par les relations, de même $h = qc$ et $e - k = q(a - d)$, d'où $g = p + qX$.
\end{proof}

\begin{enonce}[Page 4, partie 2), rigidité]
Soient $\tau_0, \tau_1, \tau_2 \in M_2(R)$ de déterminants inversibles, de trace nulle, avec $t_{02} = 0$ et $\Delta$ inversible. Si $g \in \mathrm{GL}_2(R)$ et $\mu_0, \mu_1, \mu_2 \in R$ vérifient $g\tau_i = \mu_i\,\tau_i g$ pour $i = 0, 1, 2$, alors $g$ est scalaire.
\end{enonce}

\begin{proof}
On a $g\rho_0 = \mu_0\mu_1\,\rho_0 g$, d'où $t_{01} = \mathrm{Tr}(g^{-1}g\rho_0) = \mu_0\mu_1\,\mathrm{Tr}(g^{-1}\rho_0 g) = \mu_0\mu_1 t_{01}$, et $\mu_0\mu_1 = 1$ puisque $t_{01}$ est inversible. De même $\mu_1\mu_2 = 1$ : $g$ commute à $\rho_0$ et à $\rho_1$. Comme $T$ est inversible, $\rho_0$ est nulle part scalaire (démonstration de l'énoncé précédent), et le lemme~\ref{lem:85-commutant} donne $g = p + q\rho_0$. La commutation avec $\rho_1$ donne $q(\rho_0\rho_1 - \rho_1\rho_0) = 0$, soit $qT\tau_1 = 0$ ; en multipliant par $\tau_1$, $qTd_1 = 0$, donc $q = 0$ et $g = p$.
\end{proof}

\noindent\emph{La forme normale.} Pour $\ell, b \in R$, posons
\[
\rho_0^\circ = \begin{pmatrix} \ell & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad
\rho_1^\circ = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -b & b \end{pmatrix}, \quad
\tau_1^\circ = \begin{pmatrix} b & 1 - \ell - b \\ b(1 - \ell) & -b \end{pmatrix}, \quad
\tau_0^\circ = \rho_0^\circ\tau_1^\circ, \quad \tau_2^\circ = \tau_1^\circ\rho_1^\circ .
\]
La matrice $\rho_0^\circ$ a pour trace $\ell + 1$ et pour déterminant $\ell$, et $A(\rho_0^\circ) = \ell + \ell^{-1}$ ; $\rho_1^\circ$ a pour trace et pour déterminant $b$, et $A(\rho_1^\circ) = b - 2$. La matrice $\tau_1^\circ$ est, à un scalaire près, l'unique matrice de trace nulle orthogonale à $\rho_0^\circ$ et à $\rho_1^\circ$ pour la forme $\mathrm{Tr}(XY)$.

\begin{enonce}[Page 4, partie 3), une forme normale]
Soient $\alpha_0, \alpha_1 \in R$ avec $\Delta = (\alpha_0 + 2)(\alpha_1 + 2)(\alpha_0 + \alpha_1)$ inversible, $\ell \in R$ une racine de $T^2 - \alpha_0 T + 1$ et $b = \alpha_1 + 2$. Alors $\tau_0^\circ$, $\tau_1^\circ$, $\tau_2^\circ$ sont de déterminants inversibles, de trace nulle, avec $\mathrm{Tr}(\tau_0^\circ\tau_2^\circ) = 0$ (de sorte que $(\tau_i^\circ)^2$ et $(\tau_0^\circ\tau_2^\circ)^2$ sont scalaires), $A(\tau_0^\circ\tau_1^\circ) = \alpha_0$, $A(\tau_1^\circ\tau_2^\circ) = \alpha_1$, et $(*)$ vaut en tout point. Pour tout anneau $R$ et tout tel couple, cela s'applique sur $R[\ell] = R[T]/(T^2 - \alpha_0 T + 1)$, libre de rang~$2$ sur $R$.
\end{enonce}

\begin{proof}
On a $\ell(\alpha_0 - \ell) = 1$, donc $\ell$ est inversible. Les traces de $\tau_1^\circ$, $\tau_0^\circ$, $\tau_2^\circ$ et $\tau_0^\circ\tau_2^\circ$ sont nulles par calcul direct. Ensuite $\det\tau_1^\circ = -b\big((1-\ell)^2 + \ell b\big)$ et, comme $\ell^2 + 1 = \alpha_0\ell$, $(1 - \ell)^2 + \ell b = \ell(\alpha_0 + \alpha_1)$ ; ce déterminant est inversible, et $\det\tau_0^\circ = \ell\det\tau_1^\circ$, $\det\tau_2^\circ = b\det\tau_1^\circ$. Comme $\tau_1^\circ$ est de trace nulle, $(\tau_1^\circ)^2 = s$ avec $s = -\det\tau_1^\circ$ inversible, d'où $\tau_0^\circ\tau_1^\circ = s\rho_0^\circ$ et $\tau_1^\circ\tau_2^\circ = s\rho_1^\circ$. L'invariant ne dépend pas du relèvement : $A(\tau_0^\circ\tau_1^\circ) = (\ell + 1)^2\ell^{-1} - 2 = \alpha_0$, car $(\ell + 1)^2 = (\alpha_0 + 2)\ell$, et $A(\tau_1^\circ\tau_2^\circ) = b^2 b^{-1} - 2 = \alpha_1$. Enfin $\Delta$ est inversible, et la partie~(2) de l'énoncé des invariants donne $(*)$ en tout point. Dans $R[T]/(T^2 - \alpha_0 T + 1)$, la classe de $T$ est racine par construction.
\end{proof}

\begin{remarque}
La forme normale demande une racine $\ell$ de $T^2 - \alpha_0 T + 1$. Sur $R$ lui-même, une réalisation dans le $\mathrm{PGL}_2$ déployé n'existe pas toujours : pour $R = \mathbf R$ et $(\alpha_0, \alpha_1) = (-1, c_5)$, elle donnerait un $\mathfrak A_5$ dans $\mathrm{PGL}_2(\mathbf R)$, qui n'en contient pas (cas du critère de Beauville rappelé plus bas, non formalisé ici). D'où les formes de $\mathrm{PGL}_2$ dans l'énoncé de la page~4. Le passage de $R[\ell]$ à une forme sur $R$, par descente le long de $R \to R[\ell]$ en s'appuyant sur la rigidité, n'est pas formalisé.
\end{remarque}

\begin{enonce}[Page 4, partie 2), conjugaison sur un corps]
Soient $K$ un corps et $\tau_0, \tau_1, \tau_2 \in \mathrm{GL}_2(K)$ de trace nulle, avec $t_{02} = 0$ et $\Delta \neq 0$. Soit $\ell \in K$ une racine de $T^2 - \alpha_0 T + 1$ et $b = \alpha_1 + 2$. Il existe $g \in \mathrm{GL}_2(K)$ et $c_0, c_1, c_2 \in K$ tels que $\tau_i g = c_i\, g\tau_i^\circ$ pour $i = 0, 1, 2$. En particulier, deux tels triplets de mêmes invariants $(\alpha_0, \alpha_1)$ sont conjugués dans $\mathrm{PGL}_2(K)$.
\end{enonce}

\begin{proof}
Le lemme~\ref{lem:85-traces} donne $t_{01}$, $t_{12}$, $T$ non nuls. Posons $X = (\ell + 1)t_{01}^{-1}\rho_0$ et $Y = b\,t_{12}^{-1}\rho_1$. On a $\ell \neq 0$, $\ell + 1 \neq 0$ car $(\ell+1)^2 = (\alpha_0 + 2)\ell$, et $b \neq 0$. Alors $\mathrm{Tr}\,X = \ell + 1$, $\det X = (\ell+1)^2 t_{01}^{-2} d_0 d_1 = \ell$, $\mathrm{Tr}\,Y = \det Y = b$, $\mathrm{Tr}(XY)$ est un multiple de $\mathrm{Tr}(\tau_0\tau_1^2\tau_2) = -d_1 t_{02} = 0$, et $\det(XY - YX)$ est un multiple non nul de $\det(T\tau_1) = T^2 d_1$.

Comme $\det(X - \ell) = \ell^2 - \ell(\ell + 1) + \ell = 0$, il existe $v \neq 0$ avec $Xv = \ell v$. Posons $w = -b^{-1}Yv$ et soit $g$ la matrice de colonnes $v$, $w$. Par définition $Yv = -bw$ ; par Cayley--Hamilton, $Y^2 = bY - b$, d'où $Yw = v + bw$. L'identité $XY + YX = (\mathrm{Tr}\,X)Y + (\mathrm{Tr}\,Y)X + \mathrm{Tr}(XY) - \mathrm{Tr}\,X\,\mathrm{Tr}\,Y$ donne $XYv = Yv - bv$, soit $Xw = v + w$. Ces quatre égalités disent $Xg = g\rho_0^\circ$ et $Yg = g\rho_1^\circ$. Si $\det g = 0$, $w$ est proportionnel à $v$, qui est alors vecteur propre commun de $X$ et $Y$ ; $(XY - YX)v = 0$ et $\det(XY - YX) = 0$, ce qui est exclu. En Lean, cette étape passe par les identités $b\,v_i\,\big((XY - YX)v\big)_j \in (\det g)$ modulo les relations, et le choix d'une coordonnée $v_i \neq 0$.

Soit $M = g^{-1}\tau_1 g$. Sa trace est nulle ; $\mathrm{Tr}(M\rho_0^\circ) = \mathrm{Tr}(\tau_1 X)$ est un multiple de $\mathrm{Tr}(\tau_1\tau_0\tau_1) = -d_1\mathrm{Tr}\,\tau_0 = 0$, et de même $\mathrm{Tr}(M\rho_1^\circ) = 0$. Ces trois équations linéaires imposent $M = M_{00}b^{-1}\,\tau_1^\circ$. Enfin $\tau_0 = (-d_1)^{-1}(\ell+1)^{-1}t_{01}\,X\tau_1$ et $\tau_2 = (-d_1)^{-1}b^{-1}t_{12}\,\tau_1 Y$, d'où $\tau_0 g \in K\,g\rho_0^\circ\tau_1^\circ = K\,g\tau_0^\circ$ et $\tau_2 g \in K\,g\tau_1^\circ\rho_1^\circ = K\,g\tau_2^\circ$. Pour deux triplets $\tau$, $\sigma$ de mêmes invariants, avec $g$, $g'$ ainsi obtenus, $h = g g'^{-1}$ vérifie $\tau_i h = c_i c_i'^{-1}\,h\sigma_i$.
\end{proof}

\begin{remarque}
La conjugaison est démontrée sur un corps qui contient $\ell$, par exemple algébriquement clos. Sur un corps quelconque, la rigidité et un argument de descente galoisienne la donneraient aussi ; ce passage n'est pas formalisé, ni la conjugaison sur un anneau local ou une base quelconque. La matrice $\rho_0^\circ$ couvre d'un seul coup le cas semi-simple ($\ell \neq 1$) et le cas unipotent ($\ell = 1$, $\alpha_0 = 2$, possible hors caractéristique~$2$).
\end{remarque}

\begin{enonce}[Pages 6 et 7, 29 à 31, les ordres]
Soit $g \in M_2(R)$ nulle part scalaire, de trace $t$ et de déterminant $d$ inversible, et $\alpha = A(g)$. Définissons $x_0 = 0$, $x_1 = 1$, $x_{n+2} = t x_{n+1} - d x_n$, et $P_0 = 0$, $P_1 = 1$, $P_{n+2} = P_{n+1} - P_n$ pour $n$ pair, $P_{n+2} = (\alpha + 2)P_{n+1} - P_n$ pour $n$ impair.
\begin{enumerate}
\item $g^{n+1} = x_{n+1}\,g - d\,x_n$ ; $g^{n+1}$ est scalaire si et seulement si $x_{n+1} = 0$, et nulle part scalaire si et seulement si $x_{n+1}$ est inversible.
\item $x_{2k+1} = d^k P_{2k+1}(\alpha)$ et $x_{2k+2} = t\,d^k P_{2k+2}(\alpha)$. Donc $g^{2k+1}$ est scalaire si et seulement si $P_{2k+1}(\alpha) = 0$, et, si $t$ est inversible, $g^{2k+2}$ est scalaire si et seulement si $P_{2k+2}(\alpha) = 0$.
\item $P_3 = \alpha + 1$, $P_4 = \alpha$, $P_5 = \alpha^2 + \alpha - 1$, $P_6 = \alpha^2 - 1$, $P_7 = \alpha^3 + \alpha^2 - 2\alpha - 1$.
\item $g$ est d'ordre~$3$ en tout point si et seulement si $\alpha = -1$ ; d'ordre~$4$ en tout point si et seulement si $\alpha = 0$ et $2$ est inversible ; d'ordre~$6$ en tout point si et seulement si $\alpha = 1$ et $6$ est inversible.
\end{enumerate}
\end{enonce}

\begin{proof}
(1) Par récurrence, avec $g^2 = tg - d$ : $g^{n+2} = (x_{n+1}g - dx_n)g = (tx_{n+1} - dx_n)g - dx_{n+1}$. Pour $g$ nulle part scalaire, $xg + y$ est scalaire si et seulement si $x = 0$ (argument d'idéal), et nulle part scalaire si et seulement si $x$ est inversible : ses coefficients hors diagonale et la différence diagonale sont $x$ fois ceux de $g$, et un idéal maximal contient $xb$, $xc$, $x(a-d)$ si et seulement s'il contient $x$, ou $b$, $c$ et $a - d$. (2) Par récurrence sur $k$, avec $t^2 = (\alpha + 2)d$ : $x_{2k+3} = t\cdot t d^k P_{2k+2} - d\cdot d^k P_{2k+1} = d^{k+1}\big((\alpha+2)P_{2k+2} - P_{2k+1}\big)$ et $x_{2k+4} = t d^{k+1}P_{2k+3} - d\cdot t d^k P_{2k+2} = t d^{k+1}(P_{2k+3} - P_{2k+2})$. (3) Calcul direct. (4) Ordre~$3$ : $g^3$ scalaire équivaut à $P_3(\alpha) = 0$. Ordre~$4$ : $g^2$ nulle part scalaire équivaut à $x_2 = t$ inversible, et $g^4$ scalaire à $t\,d\,\alpha = 0$, soit $\alpha = 0$ ; alors $t^2 = 2d$, donc $2$ est inversible ; réciproquement $\alpha = 0$ et $2$ inversible donnent $t^2 = 2d$ inversible. Ordre~$6$ : il faut $t$ inversible, $x_3 = d(\alpha + 1)$ inversible et $t d^2(\alpha - 1)(\alpha + 1) = 0$, soit $\alpha = 1$ ; alors $2 = \alpha + 1$ est inversible et $t^2 = 3d$ donne $3$ inversible ; la réciproque est le même calcul.
\end{proof}

\begin{remarque}
La suite $x_n$ est celle du lemme~\ref{lem:85-puissance}, et $P_5 = \Psi_5$ redonne le calcul de l'ordre~$5$. Les valeurs de~(3) sont $\Psi_3$, $\Psi_4$, $\Psi_5$, $\Psi_3\Psi_6$ et $\Psi_7$ : ce sont les $F_n$ de la page~29 pour $n \leq 7$. L'identification $P_n = F_n = \prod_{d \mid n,\, d \geq 3}\Psi_d$ pour tout $n$ n'est pas formalisée. Le point~(4) confirme la condition~c) du corollaire des pages~6 et~7 pour $\nu = 4$ et $\nu = 6$ : dans $\mathrm{PGL}_2$, l'ordre~$6$ demande $6$ inversible, alors que, dans $\mathrm{SL}_2$, le cas~B) de la page~31 ne demande que $2$ ; un élément de $\mathrm{PGL}_2(k)$ d'invariant $1$ en caractéristique~$3$ a une trace nulle et est une involution. Pour les cas finis des pages~8 à~10, $\Delta(-1, -1) = -2$, $\Delta(0, -1) = -2$ et, si $\alpha^2 + \alpha - 1 = 0$, $\Delta(-1, \alpha) = -1$ : les deux premiers demandent $2$ inversible, le troisième est inversible sur toute base, comme le dit la lecture.
\end{remarque}

\begin{enonce}[Pages 10, 30 et 40, l'invariant d'une rotation d'ordre~$5$\piste{85-a5-pgl2-moduli-spec-z-phi}]
Soit $g \in M_2(R)$ de déterminant inversible.
\begin{enumerate}
\item $A(\mu g) = A(g)$ pour tout $\mu \in R^\times$ : $A$ ne dépend que de l'image de $g$ dans $\mathrm{PGL}_2(R)$.
\item Si $g$ est nulle part scalaire et $g^5$ scalaire, alors $A(g)^2 + A(g) - 1 = 0$.
\item Réciproquement, si $A(g)^2 + A(g) - 1 = 0$, alors $g^5$ est scalaire.
\item $A(g^2) = A(g)^2 - 2$ ; en particulier, si $A(g)^2 + A(g) - 1 = 0$, alors $A(g^2) = -1 - A(g)$ (corollaire de la page~40).
\end{enumerate}
\end{enonce}

\begin{lemme}\label{lem:85-puissance}
Pour toute matrice $g \in M_2(R)$, $g^5 = x_5\, g + y_5$, avec $x_5 = t^4 - 3\delta t^2 + \delta^2$ et $y_5 = -\delta(t^3 - 2\delta t)$. Si $\delta$ est inversible, $x_5 = \delta^2\,(A(g)^2 + A(g) - 1)$.
\end{lemme}

\begin{proof}
Par Cayley--Hamilton, $g^2 = t g - \delta$. Si $g^n = x_n g + y_n$, alors $g^{n+1} = (t x_n + y_n) g - \delta x_n$. Partant de $x_1 = 1$, $y_1 = 0$, on trouve $x_2 = t$, $x_3 = t^2 - \delta$, $x_4 = t^3 - 2\delta t$, $y_4 = -\delta(t^2 - \delta)$, puis $x_5 = t^4 - 3\delta t^2 + \delta^2$ et $y_5 = -\delta x_4$. La vérification en Lean se fait coefficient par coefficient. Posons $u = t^2\delta^{-1}$, de sorte que $A(g) = u - 2$. Alors $A(g)^2 + A(g) - 1 = u^2 - 3u + 1$, et $\delta^2(u^2 - 3u + 1) = t^4 - 3\delta t^2 + \delta^2$.
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration de l'énoncé]
(1) $\mathrm{Tr}(\mu g) = \mu t$ et $\det(\mu g) = \mu^2 \delta$, donc $(\mu t)^2 (\mu^2\delta)^{-1} = t^2 \delta^{-1}$.

(2) Écrivons $g^5 = \gamma \cdot 1$. Par le lemme~\ref{lem:85-puissance}, $x_5 g = (\gamma - y_5)\cdot 1$. En lisant les coefficients hors diagonale et la différence des coefficients diagonaux, $x_5 b = x_5 c = x_5 (a - d) = 0$. L'ensemble des $r \in R$ tels que $x_5 r = 0$ est un idéal ; il contient $b$, $c$, $a - d$, donc l'idéal unité, et $x_5 = 0$. Comme $\delta^2$ est inversible, le lemme donne $A(g)^2 + A(g) - 1 = 0$.

(3) Si $A(g)^2 + A(g) - 1 = 0$, le lemme donne $x_5 = 0$ et $g^5 = y_5$.

(4) $\mathrm{Tr}(g^2) = t^2 - 2\delta$ et $\det(g^2) = \delta^2$, d'où $A(g^2) = (t^2 - 2\delta)^2\delta^{-2} - 2 = (u - 2)^2 - 2 = A(g)^2 - 2$. Si $A(g)^2 = 1 - A(g)$, cela vaut $-1 - A(g)$.
\end{proof}

\begin{enonce}[Page 40, un modèle des relations de l'icosaèdre]
Soit $\zeta \in R$ tel que $\zeta^4 + \zeta^3 + \zeta^2 + \zeta + 1 = 0$, et posons
\[
  s = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad p = \begin{pmatrix} \zeta & 1 \\ 0 & \zeta^4 \end{pmatrix}.
\]
Alors $s^2 = -1$, $(sp)^3 = -1$ et $p^5$ est scalaire ; $s$, $p$ et $sp$ sont nulle part scalaires ; $\det p = 1$ et $A(p) = \zeta^2 + \zeta^3$ est racine de $T^2 + T - 1$. C'est le cas en particulier pour $R = \mathbf Z[\zeta_5] = \mathbf Z[X]/(X^4 + X^3 + X^2 + X + 1)$ et $\zeta$ la classe de $X$.
\end{enonce}

\begin{proof}
On a $\zeta^5 - 1 = (\zeta - 1)(\zeta^4 + \zeta^3 + \zeta^2 + \zeta + 1) = 0$, donc $\zeta$ est inversible d'inverse $\zeta^4$, et $\det p = \zeta^5 = 1$. Le calcul direct donne $s^2 = -1$. Le produit $sp = \begin{pmatrix} 0 & -\zeta^4 \\ \zeta & 1 \end{pmatrix}$ a pour trace $1$ et pour déterminant $\zeta^5 = 1$, donc $(sp)^2 = sp - 1$, puis $(sp)^3 = sp(sp - 1) = (sp - 1) - sp = -1$. Ensuite $\mathrm{Tr}\, p = \zeta + \zeta^4$ et $A(p) = (\zeta + \zeta^4)^2 - 2 = \zeta^2 + 2\zeta^5 + \zeta^8 - 2 = \zeta^2 + \zeta^3$. On a $(\zeta^2 + \zeta^3)^2 + \zeta^2 + \zeta^3 - 1 = \zeta^4 + 2\zeta^5 + \zeta^6 + \zeta^2 + \zeta^3 - 1 = \zeta^4 + \zeta^3 + \zeta^2 + \zeta + 1 = 0$, et le point~(3) de l'énoncé précédent donne $p^5$ scalaire. Le coefficient $(0,1)$ vaut $-1$ pour $s$, $1$ pour $p$ et $-\zeta^4$ pour $sp$ ; c'est chaque fois un inversible, et les trois matrices sont nulle part scalaires. Dans $\mathbf Z[X]/(X^4 + X^3 + X^2 + X + 1)$, la classe de $X$ est racine du polynôme par construction.
\end{proof}

\begin{remarque}
Le point~(2) vaut sur tout anneau commutatif, sans hypothèse sur $2$, $3$ ou $5$, ni de réduction. L'exclusion de la caractéristique~$5$ à la page~30 concerne le sens réciproque, l'ordre exact $5$ : en caractéristique~$5$, $T^2 + T - 1 = (T - 2)^2$, et $A(g) = 2$ vaut aussi pour $g = 1$. Avec l'hypothèse \q{nulle part scalaire} et $5$ premier, les points~(2) et~(3) disent qu'un élément nulle part scalaire de déterminant inversible est d'ordre~$5$ en tout point si et seulement si $A(g)^2 + A(g) - 1 = 0$, en toute caractéristique. Dans le modèle, en caractéristique~$5$, $\zeta = 1$ convient, $p$ est unipotent et $A(p) = 2$ : c'est la rotation unipotente que la lecture signale pour $\mathfrak A_5 \simeq \mathrm{PSL}_2(\mathbf F_5)$.
\end{remarque}

\begin{remarque}
Les relations $s^2$, $(sp)^3$, $p^5$ scalaires sont celles du groupe triangulaire de type $(2, 3, 5)$, qui est $\mathfrak A_5$. En tout point, le sous-groupe de $\mathrm{PGL}_2(k(s))$ engendré par les images de $s$ et $p$ est un quotient de $\mathfrak A_5$ différent de $1$, donc isomorphe à $\mathfrak A_5$, ce groupe étant simple. Ce passage n'est pas formalisé. Le modèle est dans le $\mathrm{PGL}_2$ déployé sur $\mathbf Z[\zeta_5]$, et non sur $\mathbf Z[T]/(T^2 + T - 1)$. Sur $\mathbf Q(\sqrt 5)$, corps réel où $-1$ n'est pas somme de deux carrés, le $\mathrm{PGL}_2$ déployé ne contient pas $\mathfrak A_5$ d'après le critère de Beauville (2010) \cite{beauville2010}, que la lecture cite de mémoire (note des pages~36 et~37) : sur un corps $K$ de caractéristique première à l'ordre du groupe, $\mathrm{PGL}_2(K)$ contient $\mathfrak A_5$ si et seulement si $-1$ est somme de deux carrés et $5$ un carré dans $K$ ; un modèle sur $\mathbf Z[\varphi]$ demande donc une forme non déployée, et le théorème de la page~40 porte pour cette raison sur les formes de $\mathrm{PGL}_2$.
\end{remarque}

\noindent\emph{Les représentations de $\mathbb D_\infty$ (pages 16 à 20).} D'après la lecture, la page~17 (\lot{85}{1}{17}) énonce : la catégorie $C$ des $(G, \varphi)$, $G$ forme de $\mathrm{PGL}_2$ sur $S$ et $\varphi : \mathbb D_\infty = \langle \tau_0, \tau_1 \mid \tau_0^2, \tau_1^2 \rangle \to G(S)$ avec $u_s^2 \neq 1$ en tout point, $u = \varphi(\tau_0\tau_1)$, est équivalente à celle des couples $(\alpha, R)$, $\alpha + 2$ inversible et $R$ torseur sous $\mathcal U_{2-\alpha}$, groupe des $\lambda$ avec $1 + \lambda\rho$ inversible et la loi $\lambda + \lambda' + \rho\lambda\lambda'$. La page~19 donne $\underline{\mathrm{Aut}}(G, \varphi) \simeq {}_2\mathcal U_{2-\alpha}$ (\lot{85}{1}{19}). On traite le groupe déployé sur un corps $K$ : une représentation est un couple $t_0, t_1 \in \mathrm{GL}_2(K)$ avec $t_0^2$, $t_1^2$ scalaires et $u^2$ non scalaire, $u = t_0 t_1$. Alors $t_0$ et $t_1$ sont de trace nulle et $\tau = \mathrm{Tr}\, u \neq 0$. On note $d = \det u$ et $\alpha = A(u) = \tau^2/d - 2$.

\begin{enonce}[Pages 16 à 20, sur un corps, énoncé de l'édition\piste{85-dinfty-torsor-classification}]
Soit $K$ un corps.
\begin{enumerate}
\item Deux représentations $(t_0, t_1)$ et $(s_0, s_1)$ sont conjuguées dans $\mathrm{PGL}_2(K)$ si et seulement si elles ont le même invariant, $A(t_0t_1) = A(s_0s_1)$, et si le quotient $\det t_0 / \det s_0$ est un carré de $K^\times$.
\item Il existe une représentation d'invariant $\alpha$ avec $-\det t_0 = \delta$ si et seulement si $\alpha + 2 \neq 0$, $\delta \neq 0$ et $\delta$ est une valeur de la forme $p^2 + (\alpha + 2)pr + (\alpha + 2)r^2$.
\item Si $2 \neq 0$ dans $K$, le centralisateur de $\{t_0, t_1\}$ dans $\mathrm{PGL}_2(K)$ est formé de $1$ et de la classe du commutateur $c = t_0t_1 - t_1t_0$, qui n'est pas scalaire et a pour déterminant $d(2 - \alpha)$. Il a deux éléments si $\alpha \neq 2$, un seul si $\alpha = 2$.
\item Sur $\mathbf Q$, $\big(\mathrm{diag}(1, -1), \bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -1 \end{smallmatrix}\bigr)\big)$ et $\big(\bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{smallmatrix}\bigr), \bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{smallmatrix}\bigr)\big)$ ont toutes deux $\alpha = -6$ et ne sont pas conjuguées dans $\mathrm{PGL}_2(\mathbf Q)$.
\end{enumerate}
\end{enonce}

\begin{proof}
Pour des matrices de trace nulle, $t_0t_1 + t_1t_0 = \tau$, d'où $t_0 u = (\tau - u) t_0$. Comme $u$ n'est pas scalaire, il a un vecteur cyclique $v$. Dans la base $(v, uv)$, $u$ est la matrice compagnon $C$ de $T^2 - \tau T + d$, et $t_0$, de trace nulle avec $t_0 C = (\tau - C)t_0$, s'écrit $X(p, r) = \bigl(\begin{smallmatrix} p & \tau p + dr \\ r & -p \end{smallmatrix}\bigr)$. On a $-\det t_0 = N(p, r) = p^2 + \tau pr + dr^2$, norme de $w = (p + r\tau) - rC$ dans $K[C]$, et $X(p, r) = X(1, 0)\,w$ avec $X(1, 0)\,z = \bar z\, X(1, 0)$ pour $z \in K[C]$. La conjugaison par $\mathrm{diag}(1, c^{-1})$ remplace $(\tau, d)$ par $(c\tau, c^2d)$ et $r$ par $cr$ : seul $\alpha$ compte.

(1) La trace et le déterminant donnent l'invariance de $A$, et $t_0 g = c_0\, g s_0$ donne $\det t_0 = c_0^2 \det s_0$. Réciproquement, on est ramené à $X(p, r)$ et $X(p', r')$ pour le même $C$, avec $N(p, r) = e^2 N(p', r')$. Posons $y = w\bar w'$ et $f = eN(w')$, de sorte que $N(y) = f^2$. Pour $\theta \in K[C]$, $z = f\theta + \bar y\bar\theta$ vérifie $yz = f\bar z$, d'où $X(p, r)\,z = e\, z\, X(p', r')$ : c'est Hilbert~90 pour $K[C]$, qui peut être un corps, $K \times K$ ou $K[\varepsilon]$. Il reste à trouver un tel $z$ inversible, parmi $\theta = 1$ avec $\pm f$ et $\theta = C$. Pour $\theta = 1$, $\det z = N(w')\,N(w \pm e w')$, et la somme des deux normes est $4e^2N(w')$. Si les deux sont nulles, $2 = 0$ dans $K$ ; alors $N(w + ew') = 0$ donne $pr' = p'r$, $\det z_C = 0$ donne $Q = pp' + \tau pr' + drr' = 0$, et l'identité $Q^2 - N(p, r)N(p', r') = (pr' - p'r)(\cdots)$ donne $e^2N(w')^2 = 0$, ce qui est exclu. On compose enfin les conjugaisons de $t_0$ et de $u$, et celle de $t_1 = t_0^{-1}u$ s'en déduit.

(2) Par la forme normale, $-\det t_0 = N(p, r)$, et la mise à l'échelle $(\tau, d) \mapsto (\alpha + 2, \alpha + 2)$ remplace $r$ par $rd/\tau$. Réciproquement, $t_0 = X(p, r)$ et $t_1 = \delta^{-1} t_0 C$, avec $\tau = d = \alpha + 2$, conviennent.

(3) Si $g t_i = c_i t_i g$, alors $g u g^{-1} = c_0 c_1 u$, et la trace donne $c_0 c_1 = 1$ puisque $\tau \neq 0$. Donc $g$ commute à $u$ et s'écrit $p + qu$. Avec $u t_0 = \tau t_0 - t_0 u$, la relation $g t_0 = c_0 t_0 g$ devient $(p + q\tau - c_0 p)\,t_0 - (q + c_0 q)\,t_0 u = 0$, et $t_0$, $t_0 u$ sont libres. Si $q \neq 0$, alors $c_0 = -1$, $2p + q\tau = 0$ et $g = \frac q2(2u - \tau) = \frac q2\, c$. Inversement, $c$ anticommute à $t_0$ et à $t_1$, et $\det c = 4d - \tau^2 = d(2 - \alpha)$.

(4) On a $\mathrm{Tr}(t_0t_1) = \mathrm{Tr}(s_0s_1) = 2$ et $\det(t_0t_1) = \det(s_0s_1) = -1$. Mais $\det t_0 = -1$, $\det s_0 = 1$, et $-1$ n'est pas un carré dans $\mathbf Q$.
\end{proof}

\begin{remarque}
L'équivalence de la page~17, telle que la lecture la donne, est fausse. Pour $\alpha = -6$, $\rho = 2 - \alpha = 8$ est inversible, $\mathcal U_\rho \simeq \mathbb G_m$ et $H^1(\mathbf Q, \mathbb G_m) = 0$ : $C'$ n'a qu'une classe d'invariant $-6$ sur $\mathbf Q$. Les automorphismes de $\mathrm{PGL}_2$ sur un corps sont intérieurs, et le point~(4) donne deux classes dans $C$. De même, le groupe des automorphismes d'un objet $(\alpha, R)$ de $C'$ est $\mathcal U_\rho(S)$, infini ici, quand la page~19, confirmée par le point~(3), donne ${}_2\mathcal U_\rho \simeq \mu_2$. Les classes du groupe déployé sont repérées par un élément de $K^\times/K^{\times 2} = H^1(K, \mu_2)$, comme on l'attend de torseurs sous ${}_2\mathcal U_\rho$. Enfin \q{$u_s^2 \neq 1$, c'est-à-dire $\alpha + 2$ inversible} n'est pas une équivalence : $t_1 = t_0$ donne $u = 1$ et $\alpha = 2$. Les formes de $\mathrm{PGL}_2$, les bases autres qu'un corps et les torseurs sur $S$ ne sont pas formalisés.
\end{remarque}

Ne sont pas démontrés ici : la rigidité de la catégorie des $(G, \varphi)$ et la représentabilité de son foncteur des classes d'isomorphisme par $\operatorname{Spec} \mathbf Z[T]/(T^2 + T - 1)$ (page~40), ni l'existence d'un plongement de $\mathfrak A_5$ dans une forme de $\mathrm{PGL}_2$ sur cette base ; pour le théorème de la page~4, le passage des formes de $\mathrm{PGL}_2$ aux matrices de $\mathrm{GL}_2$, qui n'a lieu que localement, la descente de la forme normale de $R[\ell]$ à une forme sur $R$, la conjugaison sur un corps qui ne contient pas $\ell$ et sur une base quelconque, et donc la représentabilité par l'ouvert de $\mathbb A^2_{\mathbf Z}$ ; l'identification $P_n = F_n$ pour tout $n$ et le théorème de la page~31 pour $n$ quelconque ; l'équivalence entre \q{nulle part scalaire} et \q{différent de $1$ en tout point} pour une forme quelconque, et la description de son invariant $A$ comme quotient adjoint (pages~23 à~26) ; l'homomorphisme $\mathfrak A_5 \to \mathrm{PGL}_2(\mathbf Z[\zeta_5])$ défini par le modèle et son injectivité sur les fibres ; les représentations de $\mathbb D_\infty$ sur une base quelconque et dans les formes de $\mathrm{PGL}_2$ (pages~12 à~21), les systèmes de Schwarz (pages~42 à~56), les hyperpolygônes (pages~58 à~73), les polyèdres de caractéristique~$0$ (pages~75 à~80) et les pages~82 à~97.

\begin{encadre}
\begin{theoreme}[D'après les pages 4 à 7, modules des représentations de $G_2$, reformulation de l'édition\piste{85-g2-pgl2-moduli-over-z}]\nonverifie
Sur un schéma quelconque, les homomorphismes de $G_2$ dans une forme de $\mathrm{PGL}_2$ qui vérifient $(*)$ en toute fibre sont rigides et classés par le couple $(\alpha_0, \alpha_1)$ : leur foncteur des classes d'isomorphisme est représentable par l'ouvert de $\mathbb A^2_{\mathbf Z}$ où $(\alpha_0 + 2)(\alpha_1 + 2)(\alpha_0 + \alpha_1)$ est inversible, complément de trois droites. Imposer les ordres exacts $\nu_0$, $\nu_1$ le découpe par $\Psi_{\nu_i}(\alpha_i) = 0$.
\end{theoreme}
\end{encadre}

\begin{encadre}
\begin{corollaire}[Grothendieck, pages 10 et 40, sous-groupes icosaédraux\piste{85-a5-pgl2-moduli-spec-z-phi}]\nonverifie
Pour tout schéma $S$, le groupoïde des couples $(G, \varphi)$, $G$ forme de $\mathrm{PGL}_2$ sur $S$ et $\varphi : \mathfrak A_5 \to G$ un monomorphisme, est rigide, et $\varphi \mapsto A(\varphi(\pi))$, $\pi$ un $5$-cycle standard, rend son foncteur des classes d'isomorphisme représentable par $\operatorname{Spec} \mathbf Z[T]/(T^2 + T - 1)$. Il se déduit du théorème de la page~4 pour $(\nu_0, \nu_1) = (3, 5)$, où le discriminant est inversible.
\end{corollaire}
\end{encadre}
\bigskip
\noindent Autres pistes de l'onglet Findings pour ce thème, dans des cotes qui n'ont pas de section ici :\par

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Grothendieck, pages 1 à 3, groupoïde fondamental d'un produit fibré\piste{132-fibre-product-pi2-defect}]\nonverifie
Pour une fibration de Serre $f : X \to S$ et une application $g : Y \to S$, le foncteur $\Pi_1(X \times_S Y) \to \Pi_1(X) \times^2_{\Pi_1(S)} \Pi_1(Y)$ est bijectif sur $\pi_0$ et surjectif sur $\pi_1$, de noyau $\mathrm{Coker}(\pi_2X \times \pi_2Y \to \pi_2S)$ en la composante de base. C'est donc une équivalence quand $X$, $Y$ et $S$ sont asphériques.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small Le dernier mot de la page~3, \q{asphériques}, est illisible et restitué par la lecture, qui restreint aussi à la composante de base le calcul du noyau, énoncé sans restriction par la page. Mathlib n'a pas les fibrations de Serre ni le groupe $\pi_2$ à ce niveau. On se reportera aux notes de Grothendieck (\lot{132}{1}{1}).\par}

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Grothendieck, pages 16 à 20, extensions d'un groupe non connexe ; voir aussi Brown--Mucuk 1994\piste{132-nonconnected-extension-classification}]\nonverifie
Soient $H$ un groupe topologique dont $\pi_0(H) = \mathfrak G$ est discret, et $\tilde H$ une extension de $H$ par $\pi = \pi_1(H^0)$ qui prolonge le revêtement universel de $H^0$. Pour tout groupe discret $N$, non nécessairement abélien, la catégorie des extensions de $H$ par $N$ est équivalente à celle des couples $(\tilde G_0, \varphi)$ formés d'une extension $\tilde G_0$ de $\mathfrak G$ par $N$ et d'un morphisme $\mathfrak G$-équivariant $\varphi : \pi \to \mathfrak z(N)$. L'extension $G$ s'obtient par produit contracté, et $\pi_0(G) \simeq \tilde G_0/\varphi(\pi)$.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small Les feuillets en esquissent une démonstration incomplète (pages 16 à 20) : seules les réductions et la construction explicite sont écrites, et les hypothèses de connexité locale sont de l'édition. Brown et Mucuk classent les revêtements des groupes topologiques non connexes par des modules croisés, non ces extensions. Mathlib n'a pas les revêtements universels des groupes topologiques. On se reportera aux notes de Grothendieck (\lot{132}{1}{16}).\par}

\begin{encadre}
\begin{exemple*}[D'après les pages 5 à 8, forme complétée par l'édition, Gr-catégorie périphérique d'une surface\piste{132-peripheral-gr-category}]\nonverifie
Pour une surface compacte orientable à $n \geq 1$ composantes de bord, le $2$-groupe des autoéquivalences du modèle formé de $\pi_1$, des lacets de bord $\ell_i$ et de leurs attaches $\alpha(i)$ a pour $\pi_0$ le groupe des classes d'applications à bord libre, et pour $\pi_1$ zéro, sauf pour le disque ($\mathbf Z$, canoniquement) et le cylindre ($\mathbf Z$, non canoniquement). Sa version à bord fixé a pour $\pi_0$ le groupe des classes d'applications relatif au bord, et un $\pi_1$ toujours nul.
\end{exemple*}
\end{encadre}
{\small La page calcule ces groupes sans les identifier aux groupes de classes d'applications. Cette identification, une forme de Dehn--Nielsen--Baer à plusieurs composantes de bord, est de la lecture et n'est vérifiée que pour $n = 1$. Mathlib n'a pas les groupes de classes d'applications des surfaces. On se reportera aux notes de Grothendieck (\lot{132}{1}{5}).\par}

\noindent Les deux énoncés suivants viennent de la cote 147, \emph{Structure à l'infini des $M_{g,\nu}$} : quatre-vingt-dix pages numérotées de sa main et annoncées par une table en treize paragraphes, que l'édition date de l'hiver 1982--1983. C'est un texte suivi, jamais édité. Il énonce à sa page~29 le principe des deux étages de la tour de Teichmüller, un an avant l'\emph{Esquisse d'un programme}.\par\medskip

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Grothendieck, pages 148 à 151, voisinage épointé et codimension deux\piste{147-deleted-neighbourhood-codim-two}]\nonverifie
Soient $X$ un espace analytique complexe lisse et $\Theta$ un diviseur à croisements normaux. Le voisinage tubulaire épointé $V^*_{\Theta,X}$ est la colimite homotopique du système semi-simplicial des voisinages tubulaires épointés des strates déployées. Son groupoïde fondamental est donc la somme amalgamée $\tilde\Pi_1 \leftarrow \tilde\Pi_{2,1} \to \tilde\Pi_2$ des groupoïdes des fibrés en tores multinormaux au-dessus des strates ouvertes de codimension~$1$ et~$2$. Il en va de même de $\Pi_1(X \setminus \Theta)$ quand $X \setminus \Theta$ et son bout ont des groupoïdes fondamentaux équivalents.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small La page~149 énonce le théorème de recollement comme une équivalence de topos et le corrige aussitôt en équivalence d'homotopie ; aucune démonstration n'est donnée. La lecture lit \q{limite inductive} comme colimite homotopique, corrige le $\Pi_1 X$ du corollaire~3 en $\Pi_1 X^*$ et rapproche le cas $X^* = M_{g,\nu}$, où le groupe modulaire serait décrit par les strates de codimension~$1$ et~$2$ du bord, du principe des deux niveaux ; ce rapprochement n'est pas sur la page. Hatcher, Lochak et Schneps ajoutent aux relations de $\widehat{GT}$, avec $\lambda = 1$, une relation dans le groupe modulaire profini de genre~$1$ à deux composantes de bord. Le sous-groupe $\Lambda$ qu'elle définit agit sur toute la tour de Teichmüller profinie et s'injecte dans ses automorphismes extérieurs spéciaux (2000, théorèmes~A à~C \cite{hatcherlochakschneps2000}). Les relations qui définissent $\Lambda$ relèvent des dimensions modulaires~$1$ et~$2$ : des relations sur les deux premiers niveaux donnent déjà une action sur toute la tour, en tout genre. L'énoncé général de la page n'a pas été cherché dans la littérature sur l'éclatement réel orienté. Voir les groupoïdes de Teichmüller de la cote~146 (section~\ref{sec:146}). Mathlib n'a pas les voisinages tubulaires ni les colimites homotopiques d'espaces. On se reportera aux notes de Grothendieck (\lot{147}{8}{148}).\par}

\begin{encadre}
\begin{exemple*}[D'après les pages 62 à 64, forme complétée par l'édition, classe stratifiée de $M_{1,1}$ sur $\mathbf Z$\piste{147-m11-stratified-class-over-z}]\nonverifie
Dans l'invariant additif qui compte chaque pièce localement fermée d'un champ de Deligne--Mumford à groupe d'automorphismes constant $H$ comme la classe de son espace grossier divisée par $\mathrm{card}\,H$, le champ des courbes elliptiques sur $\operatorname{Spec}\mathbf Z$ a pour classe $\tfrac12(L-1) - \tfrac1{12} + \tfrac18\zeta_2 + \tfrac16\zeta_3$, où $\zeta_p = [\operatorname{Spec}\mathbf F_p]$, et sa compactification $\tfrac12 L - \tfrac1{12} + \tfrac18\zeta_2 + \tfrac16\zeta_3$. Sur $\mathbf Z[1/6]$, ces classes se réduisent à $\tfrac12(L-1) - \tfrac1{12}$ et $\tfrac12(L-1) + \tfrac5{12}$.
\end{exemple*}
\end{encadre}
{\small La page dit seulement \q{dans un groupe de Grothendieck convenable} ; la règle de l'invariant est reconstituée par la lecture, qui étend aussi à $\mathbf Z[1/6]$ la formule que la page donne sur $\mathbf Z[1/2]$, et l'arithmétique a été refaite. Cet invariant n'est ni le nombre de points pondéré, qui vaut $q$ pour $M_{1,1}$ sur $\mathbf F_q$, ni la classe dans le groupe de Grothendieck des champs. Les termes en $\zeta_2$ et $\zeta_3$ portent sur les fibres de caractéristique~$2$ et~$3$, où le point $j = 0 = 1728$ a un groupe d'automorphismes d'ordre $24$, resp.~$12$ ; sur $\mathbf Z[1/6]$, les points à automorphismes exceptionnels sont ceux que la section~\ref{sec:62} repère par $j(j-1) = 0$ dans sa normalisation. Mathlib n'a pas les champs de Deligne--Mumford. On se reportera aux notes de Grothendieck (\lot{147}{4}{62}).\par}

\begin{encadre}
\begin{enonce}[Grothendieck, pages 63 et 64, l'arithmétique de la formule (80)]\verifie[\leanblobmain]{Folder147}
Dans un corps de caractéristique nulle, pour tous éléments $L$, $\zeta_2$, $\zeta_3$,
\[ \tfrac12(L - 2 + \zeta_2 + \zeta_3) + \tfrac14(1 - \zeta_2 - \zeta_3) + \tfrac16(1 - \zeta_2 - \zeta_3) + \tfrac1{24}\zeta_2 + \tfrac1{12}\zeta_3 = \tfrac12(L - 1) - \tfrac1{12} + \tfrac18\zeta_2 + \tfrac16\zeta_3 , \]
et l'ajout de $\tfrac12$ donne $\tfrac12 L - \tfrac1{12} + \tfrac18\zeta_2 + \tfrac16\zeta_3$.
\end{enonce}
\end{encadre}
{\small \emph{Démonstration.} La page~63 découpe la droite des $j$ selon les deux sections $S_0$ et $S_1$ des courbes à automorphismes $\mathbf Z/4$ et $\mathbf Z/6$, qui ne se coupent qu'en un point $a_2$ de caractéristique~$2$ et un point $a_3$ de caractéristique~$3$, où les groupes d'automorphismes sont d'ordre $24$ et $12$. Le reste $U$ a pour groupe générique $\{\pm 1\}$. Chaque pièce compte pour l'inverse de l'ordre de son groupe : $\tfrac12$ pour $U$, $\tfrac14$ et $\tfrac16$ pour $S'_0 = S_0 \smallsetminus \{a_2, a_3\}$ et $S'_1$, $\tfrac1{24}$ et $\tfrac1{12}$ pour $a_2$ et $a_3$. La page~64 calcule les classes des pièces : la droite moins deux sections, auxquelles on rend les deux points ôtés deux fois, donne $[U] = L - 2 + \zeta_2 + \zeta_3$, et $[S'_0] = [S'_1] = 1 - \zeta_2 - \zeta_3$. Le membre de gauche vaut alors $\tfrac12 L - \tfrac7{12} + \tfrac18\zeta_2 + \tfrac16\zeta_3$, car $\tfrac12 - \tfrac5{12} + \tfrac1{24} = \tfrac18$ et $\tfrac12 - \tfrac5{12} + \tfrac1{12} = \tfrac16$ : c'est la formule~(80) (\texttt{class\_M11}). La pointe, de poids $\tfrac12$, donne la classe de la compactification (\texttt{class\_M11\_bar}). En annulant $\zeta_2$ et $\zeta_3$, c'est-à-dire au-dessus de $\mathbf Z[1/6]$, on retrouve la formule~(79) (\texttt{class\_M11\_away\_from\_6}). Au-dessus de $\mathbf Z[1/2]$, où la page~63 écrit~(79), il reste le terme $\tfrac16\zeta_3$ ; la lecture le relève. Lean vérifie l'algèbre, avec $L$, $\zeta_2$, $\zeta_3$ indéterminés. Il ne vérifie ni la stratification, ni les groupes d'automorphismes, ni l'invariant lui-même, et l'encadré précédent reste non vérifié. Les noms sont ceux de \href{\leanblobmain/Folder147.lean}{\texttt{Folder147.\allowbreak{}lean}}.\par}

\begin{encadre}
\begin{conjecture*}[Grothendieck, page 18, l'ordre cyclique détermine la position\piste{154-cyclic-order-determines-position}]
Une position relative d'une pseudo-droite ajoutée, autre que les $D_i$ eux-mêmes, est déterminée par l'ordre cyclique, compatible à l'antipodie, dans lequel son revêtement double rencontre les pseudo-droites orientées de~$\Sigma$.
\end{conjecture*}
\end{encadre}
{\small La page écrit \q{il ne devrait pas être difficile de montrer} et ne le démontre pas. Mathlib n'a pas les arrangements de pseudo-droites. On se reportera aux notes de Grothendieck (\lot{154}{1}{18}).\par}

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Grothendieck, pages 55 à 63, 85 et 86, monodromie diédrale\piste{154-dihedral-monodromy-half-turn}]\nonverifie
Soit $\Sigma$ un système de $n$ pseudo-droites d'un plan projectif réel. Les $2n$-gones $\mathrm{Pol}(D)$ découpés sur le revêtement double d'une pseudo-droite ajoutée $D$ forment un système local sur la surface cellulaire des positions relatives. Le transport le long d'un demi-tour autour d'une position $D = D_i$ est la rotation $t \mapsto t - (n-1)$ de $\mathbf Z/2n\mathbf Z$, et la monodromie $\pi_1 \to \mathbb D_{2n}$, à valeurs dans le groupe diédral d'ordre $4n$, est surjective sur la surface où la traversée des $D_i$ est permise.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small L'édition corrige deux fois $\mathbf Z/n\mathbf Z$ en $\mathbf Z/2n\mathbf Z$ (pages 57 et 85), et note que pour $n$ impair la surjectivité demande une réflexion latérale. La surjectivité sans traversée des $D_i$ (pages 85 et 86) n'est pas reprise. Mathlib n'a pas les arrangements de pseudo-droites ni les systèmes locaux sur un complexe cellulaire. On se reportera aux notes de Grothendieck (\lot{154}{3}{55}).\par}

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Grothendieck, page 153, cube des générisations, sous la forme précisée par l'édition\piste{154-generisation-cube}]
Soit $\Sigma$ un arrangement de pseudo-droites, vu comme matroïde orienté de rang~$3$, et appelons \emph{position} d'une pseudo-droite ajoutée une signature $\sigma$ des cocircuits (les sommets de $\Sigma$, au signe près) valide sur chaque droite de $\Sigma$ au sens de Las Vergnas : le long de chaque droite, lue sur son revêtement double, les signes sont de la forme $+ \cdots + \,(0)\, - \cdots -$ au renversement près, avec au plus un $0$, et pas tous nuls. Disons que $\sigma$ est une générisation de $\sigma_D$ si $\sigma = \sigma_D$ partout où $\sigma_D \neq 0$. Si $\sigma_D$ s'annule en exactement $\nu$ sommets, les générisations de $D$ sont exactement les $3^\nu$ choix de signes, $0$ compris, en ces sommets ; ordonnées par la spécialisation, elles forment l'ensemble ordonné des faces du cube $[-1, 1]^\nu$. Les $2^\nu$ générisations stables (sans zéro) en sont les sommets, les $\nu\,2^{\nu-1}$ générisations sous-stables (un seul zéro) les arêtes, l'incidence étant la spécialisation.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small \emph{Démonstration.} Le point est que la condition de Las Vergnas se vérifie droite par droite, et qu'une droite ne porte jamais deux zéros de $\sigma_D$ : deux sommets de $D$ ne sont jamais sur une même droite de $\Sigma$. Sur une droite qui porte un zéro de $\sigma_D$, la suite des signes est $a \cdots a\, 0\, (-a) \cdots (-a)$ ; remplacer ce $0$ par $a$, par $-a$ ou le garder donne encore une suite valide. Sur une droite qui n'en porte pas, rien ne change. Tout choix de signes aux $\nu$ zéros de $\sigma_D$ est donc une position, et les choix aux différents sommets sont indépendants : c'est le \q{décollement} de la page, de chaque côté, en chaque sommet. La restriction aux zéros de $\sigma_D$ est alors une bijection des générisations de $D$ sur $\{-, 0, +\}^\nu$, qui respecte la spécialisation ($0$ en dessous de $+$ et de $-$). Le vecteur de signes $w$ correspond à la face du cube où la coordonnée $z$ vaut $w_z$ si $w_z \neq 0$ et parcourt $[-1, 1]$ sinon ; une face est contenue dans une autre exactement quand le vecteur de la seconde est une spécialisation de celui de la première, et les vecteurs sans zéro donnent les sommets. Il reste à compter : $2^\nu$ vecteurs sans zéro, et, pour chacun des $\nu$ emplacements du zéro unique, $2^{\nu-1}$ choix de signes ailleurs. L'hypothèse $\nu \geq 2$ n'est pas utile, ni les axiomes d'un arrangement (deux droites se coupent en un sommet, \dots) : l'énoncé vaut pour toute donnée de droites portant des suites de sommets. Lean (\href{\leanblob/Folder154.lean}{\texttt{Folder154.\allowbreak{}lean}}) définit les arrangements (\texttt{Arrangement}), la condition sur une droite (\texttt{ValidSeq}), les positions (\texttt{IsPosition}) et la spécialisation (\texttt{Spec}), et démontre qu'une droite porte au plus un zéro (\texttt{IsPosition.\allowbreak{}eq\_of\_zero\_on\_line}), l'indépendance (\texttt{IsPosition.\allowbreak{}of\_spec}, \texttt{isPosition\_and\_spec\_iff}), la bijection et l'incidence (\texttt{genEquiv}, \texttt{genEquiv\_spec\_iff}), le cube (\texttt{cubeFace\_subset\_iff}, \texttt{cubeFace\_eq\_singleton}) et les comptes (\texttt{card\_gen}, \texttt{card\_gen\_stable}, \texttt{card\_gen\_substable}). La page énonce le résultat sans justification ; l'indépendance est celle que proposait la lecture. Ne sont pas démontrés : le même énoncé pour des pseudo-droites topologiques, qui demanderait le théorème de représentation de Folkman--Lawrence ; la tension avec la page~150 pour $\nu \geq 3$ (les $2\nu$ positions sous-stables incidentes à un sommet de la surface $X^*$ contre les $\nu\,2^{\nu-1}$ arêtes du cube) ; le contraste avec une droite passant par $\nu$ sommets d'un arrangement de droites, qui n'a que $2\nu$ perturbations stables ; la question de la même page. On se reportera aux notes de Grothendieck (\lot{154}{8}{153}).\par}

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Grothendieck, pages 132 à 143 et 155 à 157, revêtement d'Arf par factorisation de Stein ; voir aussi Conrad~\cite{conrad2014}\piste{77-arf-cover-stein-factorisation}]\nonverifie
Sur toute base, caractéristique~$2$ comprise, les schémas de drapeaux isotropes $\Delta_H(E, q)$ d'un module quadratique régulier sont lisses et projectifs, à fibres géométriquement connexes sauf quand $N = 2n$ et $n \in H$. La factorisation de Stein de la grassmannienne isotrope maximale définit le revêtement double d'Arf, $\mathrm{Arf}' \simeq \mathrm{Arf} \wedge^{\mathbf Z/2} \mu_2$, et l'homomorphisme de Dickson est l'action de $O(q)$ sur ce revêtement, sans algèbres de Clifford.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small Les feuillets en esquissent une démonstration incomplète (pages 133 à 143) : la lissité et la connexité sont démontrées sur un corps, et le passage à une base quelconque \q{par spécialisation et factorisation de Stein} tient en une ligne. La section de la cote~77 ne traite pas cet énoncé. Conrad construit l'invariant de Dickson par l'algèbre de Clifford paire. Mathlib n'a pas les schémas de drapeaux isotropes ni la factorisation de Stein. On se reportera aux notes de Grothendieck (\lot{77}{7}{132}).\par}