\section[Cote 19 : le théorème de comonadicité 1.12, la comonade sur une base produit le théorème de Gabriel--Popescu et les chaînes d'adjoints]{Cote 19 : le théorème de comonadicité 1.12, la comonade sur une base produit, le théorème de Gabriel--Popescu et les chaînes d'adjoints\protect\verifie{Folder19}}\label{sec:19}

La cote 19, \emph{Topos : notes manuscrites (s.d.)}, quatre-vingt-quinze pages que l'inventaire date \q{[à partir de 1958-1973]}, est un dossier de travail en neuf liasses. La première, « Tapis cartésiens » (pages~3 à~11), étudie la comonade d'une adjonction et ses coalgèbres. La page~4 énonce le \q{Théorème 1.12}, suivi d'un nom propre que la transcription lit \q{Beck} avec doute. Elle écrit \q{il faut et il suffit} pour~b), et porte en marge la restriction \q{il suffit de regarder les doubles flèches $u, v$ de $A$ telles que $\mathrm{Ker}(f(u), f(v))$ existe \quad (condition C)} (\lot{19}{1}{4}). La deuxième liasse, « Cohomologie relative », s'ouvre pages~14 et~15 sur la représentabilité. Pour une catégorie à générateur $U$, elle affirme une équivalence avec les modules sur $\mathrm{End}(U)$, \q{[détails laissés au lecteur]} (\lot{19}{1}{15}).

\noindent\emph{Conventions.} On note, comme la lecture, $f : A \to B$ l'adjoint à gauche de $g : B \to A$, $\eta : \mathrm{id}_A \to gf$ l'unité, $\varepsilon : fg \to \mathrm{id}_B$ la coünité, et $\varphi = fg$ la comonade, de comultiplication $\delta_X = f(\eta_{gX})$. Une $\varphi$-coalgèbre est un couple $(X, a)$, $a : X \to \varphi X$, tel que $\varepsilon_X \circ a = 1_X$ et $\delta_X \circ a = \varphi(a) \circ a$ ; un morphisme $(X, a) \to (X', a')$ est une flèche $t : X \to X'$ telle que $a' \circ t = \varphi(t) \circ a$. Le foncteur de comparaison $h : A \to \varphi\text{-}\mathbf{Coalg}$ envoie $Y$ sur $(fY, f(\eta_Y))$ et $\psi$ sur $f(\psi)$. Le \emph{noyau} $\mathrm{Ker}(u, v)$ d'une double flèche est son égalisateur, et $f$ \emph{y commute} s'il envoie un noyau de $(u, v)$ sur un noyau de $(fu, fv)$. On utilise les identités triangulaires $\varepsilon_{fY} \circ f(\eta_Y) = 1$ et $g(\varepsilon_X) \circ \eta_{gX} = 1$, et la bijection d'adjonction $t \mapsto t^\flat = g(t) \circ \eta_Y$, de $\operatorname{Hom}_B(fY, X)$ sur $\operatorname{Hom}_A(Y, gX)$, d'inverse $s \mapsto \varepsilon_X \circ f(s)$.

\begin{definition}
Le foncteur $f$ vérifie la \emph{condition~C} si, pour toute double flèche $(u, v)$ de $A$ telle que $\mathrm{Ker}(fu, fv)$ existe, $\mathrm{Ker}(u, v)$ existe et $f$ y commute. Un triplet $(e, s, t)$ formé de $e : E \to Y$, $s : Y \to E$ et $t : Z \to Y$ est un \emph{noyau scindé} de $u, v : Y \rightrightarrows Z$ si $ue = ve$, $se = 1_E$, $tu = 1_Y$ et $tv = es$. Une double flèche $(u, v)$ de $A$ est \emph{$f$-scindée} si $(fu, fv)$ admet un noyau scindé.
\end{definition}

\begin{enonce}[Théorème 1.12, page 4]
Soit $f \dashv g$ une adjonction, $\varphi = fg$, et $h$ le foncteur de comparaison.
\begin{enumerate}
\item[a)] Si les noyaux de doubles flèches existent dans $A$ et si $f$ y commute, alors $h$ est essentiellement surjectif.
\item[b)] $h$ est une équivalence si et seulement si $f$ est conservatif et si, pour toute double flèche $(u, v)$ de $A$ telle que $\mathrm{Ker}(fu, fv)$ existe, $\mathrm{Ker}(u, v)$ existe et $f$ y commute.
\end{enumerate}
La restriction portée en marge (il suffit de considérer les doubles flèches $(u, v)$ dont l'image par $f$ a un noyau) est la condition~C.
\end{enonce}

\begin{lemme}\label{lem:19-scinde}
Si $(e, s, t)$ est un noyau scindé de $(u, v)$, alors $e$ est un noyau de $(u, v)$, et l'image de $(e, s, t)$ par tout foncteur est un noyau scindé de l'image de $(u, v)$.
\end{lemme}

\begin{proof}
Soit $z : T \to Y$ avec $uz = vz$. Alors $z = tuz = tvz = e(sz)$, donc $z$ se factorise par $e$, et de façon unique, puisque $ez' = ez''$ entraîne $z' = sez' = sez'' = z''$. Les quatre conditions sont des égalités entre composés, qu'un foncteur conserve.
\end{proof}

Un noyau scindé se dessine ainsi, les flèches $s$ et $t$ allant en sens inverse :
\[
\begin{tikzcd}[column sep=huge]
E \arrow[r, "e"] & Y \arrow[l, bend left=40, "s"] \arrow[r, shift left, "u"] \arrow[r, shift right, "v"'] & Z \arrow[l, bend left=40, "t"]
\end{tikzcd}
\qquad ue = ve, \quad se = 1_E, \quad tu = 1_Y, \quad tv = es.
\]

\begin{lemme}\label{lem:19-paire}
Pour toute coalgèbre $(X, a)$, la double flèche $(\eta_{gX}, g(a)) : gX \rightrightarrows gfgX$ est $f$-scindée : $(a, \varepsilon_X, \varepsilon_{fgX})$ est un noyau scindé de $(f(\eta_{gX}), fg(a))$. Elle est de plus coréflexive : $g(\varepsilon_X)$ est une rétraction commune de $\eta_{gX}$ et de $g(a)$.
\end{lemme}

\begin{proof}
On a $f(\eta_{gX}) \circ a = \delta_X \circ a = \varphi(a) \circ a = fg(a) \circ a$ par coassociativité ; $\varepsilon_X \circ a = 1_X$ par l'axiome de coünité ; $\varepsilon_{fgX} \circ f(\eta_{gX}) = 1$ par l'identité triangulaire en $gX$ ; et $\varepsilon_{fgX} \circ fg(a) = a \circ \varepsilon_X$ par naturalité de $\varepsilon$. Enfin $g(\varepsilon_X) \circ g(a) = g(\varepsilon_X \circ a) = 1$ et $g(\varepsilon_X) \circ \eta_{gX} = 1$.
\end{proof}

\begin{lemme}\label{lem:19-comp}
Supposons que, pour toute coalgèbre $(X, a)$, la double flèche $(\eta_{gX}, g(a))$ ait un noyau $e_X : R(X, a) \to gX$ et que $f$ y commute.
\begin{enumerate}
\item Pour tout $Y \in A$, $t \mapsto t^\flat$ induit une bijection entre les morphismes de coalgèbres $hY \to (X, a)$ et les flèches $k : Y \to R(X, a)$, par $t^\flat = e_X \circ k$.
\item Pour toute coalgèbre $(X, a)$, la flèche $\theta = \varepsilon_X \circ f(e_X)$ est un isomorphisme de coalgèbres de $h(R(X, a))$ sur $(X, a)$ ; en particulier $h$ est essentiellement surjectif.
\item Si de plus $f$ est conservatif, $h$ est une équivalence.
\end{enumerate}
\end{lemme}

\begin{proof}
(1) Soit $t : fY \to X$. Les transposées des deux membres de $a \circ t = \varphi(t) \circ f(\eta_Y)$ sont $g(a) \circ t^\flat$ et, puisque $\varphi(t) \circ f(\eta_Y) = f(t^\flat)$, $gf(t^\flat) \circ \eta_Y = \eta_{gX} \circ t^\flat$ par naturalité de $\eta$. La transposition étant bijective, $t$ est un morphisme de coalgèbres si et seulement si $t^\flat$ égalise $(\eta_{gX}, g(a))$, c'est-à-dire se factorise, de façon unique, par $e_X$.

(2) Posons $E = R(X, a)$. Par~(1) appliqué à $k = 1_E$, la flèche $\theta$, de transposée $e_X$, est un morphisme de coalgèbres $hE \to (X, a)$, et $a \circ \theta = \varphi(\theta) \circ f(\eta_E) = f(\theta^\flat) = f(e_X)$. Or $a$ est un noyau de $(f(\eta_{gX}), fg(a))$ par les lemmes~\ref{lem:19-scinde} et~\ref{lem:19-paire}, et $f(e_X)$ en est un par hypothèse ; donc $\theta$ est un isomorphisme. Son inverse est un morphisme de coalgèbres :
\[
\varphi(\theta^{-1}) \circ a = \varphi(\theta^{-1}) \circ a \circ \theta \circ \theta^{-1} = \varphi(\theta^{-1}) \circ \varphi(\theta) \circ f(\eta_E) \circ \theta^{-1} = f(\eta_E) \circ \theta^{-1}.
\]

(3) Soit $Y' \in A$. La flèche $\eta_{Y'}$ égalise $(\eta_{gfY'}, gf(\eta_{Y'}))$, par naturalité de $\eta$ ; c'est la double flèche attachée à la coalgèbre $hY' = (fY', f(\eta_{Y'}))$, et l'on a donc $\eta_{Y'} = e_{hY'} \circ k_{Y'}$ pour une flèche $k_{Y'} : Y' \to R(hY')$. Appliquons $f$ : $f(\eta_{Y'})$ est un noyau de l'image de cette double flèche (lemmes~\ref{lem:19-scinde} et~\ref{lem:19-paire}, avec $a = f(\eta_{Y'})$), $f(e_{hY'})$ aussi par hypothèse, et $f(e_{hY'}) \circ f(k_{Y'}) = f(\eta_{Y'})$ ; donc $f(k_{Y'})$ est un isomorphisme, et $k_{Y'}$ aussi, $f$ étant conservatif. Pour $\psi : Y \to Y'$, la transposée de $h(\psi) = f(\psi)$ est $gf(\psi) \circ \eta_Y = \eta_{Y'} \circ \psi = e_{hY'} \circ (k_{Y'} \circ \psi)$ : dans la bijection~(1), $h(\psi)$ correspond à $k_{Y'} \circ \psi$. Comme $\psi \mapsto k_{Y'} \circ \psi$ est bijective, $h$ est pleinement fidèle ; il est essentiellement surjectif par~(2), c'est donc une équivalence.
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration de a) et de la suffisance de b)]
Si $f$ vérifie la condition~C, chaque double flèche $(\eta_{gX}, g(a))$ a un noyau auquel $f$ commute, puisque son image a un noyau (lemmes~\ref{lem:19-paire} et~\ref{lem:19-scinde}). Le lemme~\ref{lem:19-comp}\,(2) donne alors a) sous la forme de la marge, et la forme du texte s'en déduit, car si tous les noyaux existent dans $A$ et que $f$ y commute, la condition~C est vérifiée. Si de plus $f$ est conservatif, $h$ est une équivalence par le lemme~\ref{lem:19-comp}\,(3).
\end{proof}

\begin{proof}[La nécessité de b) est fausse]
Soit $B$ la catégorie des couples d'ensembles $(X, Y)$, et $A$ la sous-catégorie pleine des couples tels que $Y \neq \varnothing$ entraîne $X \neq \varnothing$ ; $f$ est l'inclusion. Posons $g(X, Y) = (X, Y)$ si $X \neq \varnothing$ et $g(X, Y) = (\varnothing, \varnothing)$ sinon ; $g(X, Y)$ est dans $A$. Pour $(X', Y') \in A$, une flèche $(p, q) : (X', Y') \to (X, Y)$ de $B$ se factorise de façon unique par $g(X, Y) \to (X, Y)$ : si $Y' \neq \varnothing$, alors $X' \neq \varnothing$, donc $X \neq \varnothing$ ; si $Y' = \varnothing$, $q$ est l'application vide. Ainsi $f \dashv g$, et $f$ est une inclusion coréflexive. Une telle inclusion est pleinement fidèle, donc conservative, et elle est comonadique, résultat classique : la comonade est idempotente, et ses coalgèbres sont, à isomorphisme près, les objets de $A$. Le foncteur $h$ est donc une équivalence.

Mais $f$ ne vérifie pas la condition~C. Soient $u, v : (\ast, \ast) \rightrightarrows (\{0, 1\}, \ast)$ les flèches de $A$ qui envoient le point de la première composante sur $0$ et sur $1$ et sont l'identité sur la seconde. Leur noyau dans $B$ existe, c'est $(\varnothing, \ast)$. Si $K \to (\ast, \ast)$ était un noyau de $(u, v)$ dans $A$ auquel $f$ commute, $K$ serait isomorphe à $(\varnothing, \ast)$, de seconde composante non vide ; étant dans $A$, il aurait un point $x$ dans sa première composante, et $u$ et $v$ l'enverraient sur le même élément, c'est-à-dire $0 = 1$ : c'est absurde. Le noyau de $(u, v)$ dans $A$ est $(\varnothing, \varnothing)$, et $f$ n'y commute pas.
\end{proof}

\begin{enonce}[Théorème de Beck, forme exacte]
Le foncteur $h$ est une équivalence si et seulement si $f$ est conservatif et si, pour toute double flèche $f$-scindée $(u, v)$ de $A$, $\mathrm{Ker}(u, v)$ existe et $f$ y commute.
\end{enonce}

\noindent L'équivalence est démontrée dans le fichier de la section (\texttt{beck\_iff}), à partir des deux implications que mathlib contient séparément.

\noindent\emph{Une base produit.} Les pages~7 à~11 reprennent la comonade d'une adjonction quand la base est un produit $B = \prod_{i \in I} B_i$ : $f$ est une famille $f_i : A \to B_i$, $g$ envoie $(X_i)$ sur $\prod_i g_i(X_i)$, et la page pose $\varphi_{ji} = f_j g_i$ en supposant \q{que les $f_{j}$ commutent aux produits de type $I$ (p. ex. $f_{j}$ exacts ; ou $I$ fini)} (\lot{19}{1}{7}). Les données de la comonade y deviennent (3.9) $\bar\alpha_k = \alpha_k(X_k) \circ \mathrm{pr}_k$ et $\bar\lambda_{kji} = \lambda_{kji}(X_i) \circ \mathrm{pr}_i$, avec $\lambda_{kji} : \varphi_{ki} \to \varphi_{kj}\varphi_{ji}$ venu de l'unité $\mathrm{id} \to g_j f_j$ ; la marge note que $\lambda_{iii}$ est $\lambda_i$, et le cas de deux facteurs, $g'$, $g''$ pleinement fidèles, ne laisse que $\varphi'$, $\varphi''$, $\lambda'$, $\lambda''$ (\lot{19}{1}{9}). On se donne ici des adjonctions $f_i \dashv g_i$, $f_i : A \to B_i$, et l'on suppose que $A$ a les produits indexés par $I$ ; on note $\eta_i$, $\varepsilon_i$ leurs unités et coünités, $\mathrm{pr}_i$ les projections de $\prod_i g_i(X_i)$, et $\lambda_{kji}(X) = f_k(\eta_{j, g_i X}) : f_k g_i X \to f_k g_j f_j g_i X$.

\begin{enonce}[Pages 7 et 8, la matrice de la comonade\piste{19-comonad-matrix-product-base}]
\begin{enumerate}
\item Le foncteur $f = (f_i) : A \to \prod_i B_i$ est adjoint à gauche de $g$, $g((X_i)) = \prod_i g_i(X_i)$ ; l'unité a pour composantes les $\eta_i$, et la coünité en $(X_i)$ a pour composante $j$ la flèche $\varepsilon_{j, X_j} \circ f_j(\mathrm{pr}_j)$.
\item Si $f_j$ commute aux produits indexés par $I$, la composante $j$ de $\varphi((X_i))$ est un produit des $\varphi_{ji}(X_i)$, de projections les $f_j(\mathrm{pr}_i)$.
\item Sans autre hypothèse, la coünité de $\varphi$ a pour composante $k$ la flèche $\varepsilon_{k, X_k} \circ f_k(\mathrm{pr}_k)$, et la composante $k$ de la comultiplication $\delta$ vérifie, pour tous $j$ et $i$,
\[
f_k g_j f_j(\mathrm{pr}_i) \circ f_k(\mathrm{pr}_j) \circ \delta_k = \lambda_{kji}(X_i) \circ f_k(\mathrm{pr}_i) :
\]
c'est (3.9). Si tous les $f_j$ commutent aux produits indexés par $I$, ces égalités caractérisent $\delta_k$.
\item Pour $i = j = k$, $\lambda_{iii}$ est la comultiplication de la comonade $\varphi_i = f_i g_i$.
\end{enumerate}
\end{enonce}

L'adjonction du point~1, et la comonade vue comme une matrice de foncteurs $\varphi_{ji} = f_j g_i : B_i \to B_j$ (ici pour $I = \{1, 2\}$) :
\[
\begin{tikzcd}[column sep=huge]
A \arrow[r, shift left=1.2ex, "{f = (f_i)}"] & \prod_i B_i \arrow[l, shift left=1.2ex, "{g = \prod_i g_i}"]
\end{tikzcd}
\qquad
\varphi \leftrightarrow \begin{pmatrix} f_1 g_1 & f_1 g_2 \\ f_2 g_1 & f_2 g_2 \end{pmatrix}.
\]

\begin{proof}
(1) La bijection $\operatorname{Hom}(fY, (X_i)) = \prod_i \operatorname{Hom}(f_i Y, X_i) \simeq \prod_i \operatorname{Hom}(Y, g_i X_i) \simeq \operatorname{Hom}(Y, \prod_i g_i X_i)$ est naturelle en $Y$ et en $(X_i)$, composante par composante ; l'unité est l'image de l'identité, c'est-à-dire la flèche de composantes $\eta_{i, Y}$, et la coünité l'image réciproque de l'identité, de composante $j$ la transposée de $\mathrm{pr}_j$, soit $\varepsilon_{j, X_j} \circ f_j(\mathrm{pr}_j)$.

(2) Le cône $(\mathrm{pr}_i)$ est un produit dans $A$, et $f_j$ envoie un produit sur un produit : le cône $(f_j(\mathrm{pr}_i))$ de sommet $f_j(\prod_i g_i X_i)$ est un produit de la famille $f_j g_i(X_i)$.

(3) La coünité de $\varphi$ est celle de l'adjonction, calculée en~(1). La composante $k$ de $\delta$ est $f_k(\eta_{gX})$, où $\eta$ est l'unité de~(1), dont la composante $j$ est $\eta_j$. Donc $\delta_k$ suivie de $f_k(\mathrm{pr}_j)$ puis de $f_k g_j f_j(\mathrm{pr}_i)$ vaut $f_k\bigl(g_j f_j(\mathrm{pr}_i) \circ \eta_{j, gX}\bigr) = f_k\bigl(\eta_{j, g_i X_i} \circ \mathrm{pr}_i\bigr)$, par naturalité de $\eta_j$, c'est-à-dire $\lambda_{kji}(X_i) \circ f_k(\mathrm{pr}_i)$. Si les $f_j$ commutent aux produits indexés par $I$, $f_k(\prod_j g_j f_j g X)$ est un produit de projections $f_k(\mathrm{pr}_j)$ ; $g_j$, adjoint à droite, commute aux produits, si bien que $f_k g_j f_j(\prod_i g_i X_i)$ est un produit de projections $f_k g_j f_j(\mathrm{pr}_i)$. Deux flèches qui ont les mêmes composées avec toutes ces projections sont égales.

(4) $\lambda_{iii}(X) = f_i(\eta_{i, g_i X})$ est, par définition, la comultiplication de $f_i g_i$.
\end{proof}

\begin{enonce}[Pages 7 à 9, les cas dégénérés et les deux facteurs\piste{19-comonad-matrix-product-base}]
Supposons les $g_i$ pleinement fidèles.
\begin{enumerate}
\item $\varepsilon_i : \varphi_{ii} \to \mathrm{id}_{B_i}$ est un isomorphisme ; $\lambda_{kki}$ et $\lambda_{kjj}$ sont des isomorphismes pour tous $i, j, k$.
\item Pour $i \neq j$, $\lambda_{iji} = \lambda' \circ \varepsilon_i$, où $\lambda' = \lambda_{iji} \circ \varepsilon_i^{-1} : \mathrm{id}_{B_i} \to \varphi_{ij}\varphi_{ji}$.
\item Pour deux facteurs, $B = B' \times B''$, $\varphi' = f' g''$, $\varphi'' = f'' g'$ : si $f'$ commute aux produits binaires, la composante $B'$ de $\varphi(X', X'')$ est un produit de $X'$ et de $\varphi'(X'')$, de projections $\varepsilon'_{X'} \circ f'(\mathrm{pr}')$ et $f'(\mathrm{pr}'')$ ; de même, si $f''$ y commute, la composante $B''$ est un produit de $\varphi''(X')$ et de $X''$.
\end{enumerate}
\end{enonce}

\begin{proof}
(1) Un adjoint à droite pleinement fidèle a une coünité inversible. L'identité triangulaire $\varepsilon_{k, f_k Y} \circ f_k(\eta_{k, Y}) = 1$ montre alors que $f_k(\eta_{k, Y})$ est l'inverse de $\varepsilon_{k, f_k Y}$ ; avec $Y = g_i X$, c'est $\lambda_{kki}(X)$. L'autre identité, $g_j(\varepsilon_{j, X}) \circ \eta_{j, g_j X} = 1$, montre que $\eta_{j, g_j X}$ est l'inverse de $g_j(\varepsilon_{j, X})$, et $\lambda_{kjj}(X) = f_k(\eta_{j, g_j X})$ est inversible.

(2) C'est la définition de $\lambda'$.

(3) Par~(2) de l'énoncé précédent, la composante $B'$ de $\varphi(X', X'')$ est un produit de $f'g'(X')$ et de $f'g''(X'')$ ; remplacer la première projection par sa composée avec l'isomorphisme $\varepsilon'_{X'}$ donne encore un produit, de facteurs $X'$ et $\varphi'(X'')$. De même pour $B''$.
\end{proof}

\begin{encadre}
\begin{contrexemple}[Page 7, « ou $I$ fini »\piste{19-comonad-matrix-product-base}]
Il existe des adjonctions $f_i \dashv g_i$, avec $I$ à deux éléments, pour lesquelles la composante $j$ de $\varphi((X_i))$ n'est isomorphe au produit des $\varphi_{ji}(X_i)$ pour aucun choix d'isomorphisme.
\end{contrexemple}
\end{encadre}

\begin{proof}
Prenons $I = \{0, 1\}$, $A = B_0 = B_1$ la catégorie des ensembles, $f_i(Y) = \{0,1\} \times Y$ et $g_i(X) = X^{\{0,1\}}$, l'adjonction étant la curryfication, et $X_0 = X_1 = \ast$. Alors $g_i(\ast) = \ast$, $\prod_i g_i(X_i) = \ast$ et la composante $j$ de $\varphi(X)$ est $\{0,1\} \times \ast$, à deux éléments, tandis que $\prod_i \varphi_{ji}(X_i) = (\{0,1\} \times \ast)^2$ en a quatre.
\end{proof}

\begin{remarque}
La page suppose que les $f_j$ commutent aux produits indexés par $I$  : c'est l'hypothèse qui sert, et elle suffit. Elle en donne deux exemples. Le premier est juste : un foncteur exact à gauche commute aux produits finis. Le second est faux : un adjoint à gauche ne commute pas en général aux produits finis, et l'exemple ci-dessus est un cas où la formule $\mathrm{pr}_j\,\varphi((X_i)) = \prod_i \varphi_{ji}(X_i)$ est fausse avec $I$ fini. La lecture reprend la parenthèse de la page (« ce qui est automatique si $I$ est fini, ou si les $f_j$ sont exacts »). Il faut l'exactitude, ou directement la commutation aux produits.
\end{remarque}

\begin{remarque}
Les formules (3.9) ne demandent aucune hypothèse : elles décrivent les composées de la coünité et de la comultiplication avec les projections. La commutation des $f_j$ aux produits sert seulement à en déduire que ces données forment une matrice, c'est-à-dire qu'elles déterminent $\varphi$ et $\delta$. Les cas \q{dégénérés} de la page~8, $i = j$ ou $j = k$, sont, pour des $g_i$ pleinement fidèles, ceux où $\lambda_{kji}$ est un isomorphisme ; il ne reste donc, pour deux facteurs, que $\lambda'$ et $\lambda''$. La formule $\varphi(X', X'') = (X' \times \varphi'(X''), \varphi''(X') \times X'')$ demande encore que $f'$ et $f''$ commutent aux produits binaires, condition que la page tire de son hypothèse générale.
\end{remarque}

\begin{enonce}[Pages 14 et 15 ; théorème de Gabriel--Popescu\lie{4}]
Soient $C$ une catégorie de Grothendieck, $U$ un générateur de $C$ et $R = \mathrm{End}_C(U)$. Le foncteur $\operatorname{Hom}_C(U, -) : C \to \mathbf{Mod}_R$, à valeurs dans les $R$-modules à droite, est pleinement fidèle, et son adjoint à gauche $- \otimes_R U$ est exact.
\end{enonce}

\begin{proof}
La fidélité de $\operatorname{Hom}_C(U, -)$ est la définition d'un générateur. La pleine fidélité et l'exactitude à gauche de $- \otimes_R U$ sont le théorème de Gabriel--Popescu, publié par Popescu et Gabriel en 1964 \cite{popescugabriel1964}, que la preuve vérifiée invoque ; l'exactitude à droite vient de ce que $- \otimes_R U$ est un adjoint à gauche.
\end{proof}

\begin{remarque}
Sous la forme de la marge, a) n'utilise que la condition~C, et non la conservativité ; la suffisance de b) est le théorème de comonadicité de Beck, dual du théorème de monadicité (Mac~Lane 1998, §~VI.7, théorème~1 \cite{maclane1998}).
\end{remarque}

\begin{remarque}
L'erreur est sur la page : elle affirme la nécessité de b) par \q{il faut et il suffit}, alors que l'exemple ci-dessus est une adjonction comonadique dont l'adjoint à gauche ne vérifie pas la condition~C. La condition~b) ne coïncide donc pas avec le théorème de Beck sous sa forme exacte, qui caractérise les adjonctions comonadiques par une condition nécessaire et suffisante.
\end{remarque}

\begin{remarque}
Toute double flèche $f$-scindée est une double flèche dont l'image a un noyau (lemme~\ref{lem:19-scinde}), et la réciproque est fausse. La condition~C est donc plus forte que celle de Beck : suffisante, elle n'est pas nécessaire.
\end{remarque}

\begin{remarque}
Pour un générateur seul, la page affirme une équivalence $C \simeq \mathbf{Mod}_R$. Seul le plongement pleinement fidèle est acquis, et la lecture retient cette forme.
\end{remarque}

\begin{remarque}
Le théorème sert en théorie des topos sous sa forme comonadique. Pour un morphisme de topos $u : E \to F$ dont l'image inverse $u^*$ est conservative (un morphisme surjectif), $u^*$ est adjoint à gauche de $u_*$, conservatif et exact à gauche, donc commute à tous les noyaux ; le théorème~1.12, sous la forme de la marge, et le lemme~\ref{lem:161-2-grossier} identifient alors $F$ à la catégorie des coalgèbres de la comonade $u^* u_*$ sur $E$. C'est la descente le long d'un morphisme surjectif, dont la page~34 de la cote~161-2 note un critère (section~\ref{sec:161-2}). Cette application est de l'édition ; elle n'est pas formalisée, mathlib n'ayant pas les morphismes de topos.
\end{remarque}

\paragraph{Chaînes d'adjoints (pages 79 et 80).} La page~80 prolonge une chaîne d'adjoints vers le bas par les foncteurs $f_!, f^*, f_*, f^!, \ldots$, énonce une Proposition, puis pose une Question : \q{Peut-on trouver une suite infinie dans les deux directions ?} La phrase s'achève page~81 sur une ébauche illisible (\lot{19}{4}{80}). La clause \q{dont aucun n'est pl.\ fid.} est une insertion interlinéaire. Pour un foncteur $u$ entre petites catégories, $u^*$ désigne la restriction des préfaisceaux d'ensembles le long de $u$.

\begin{theoreme}[Grothendieck, page 80, Proposition\piste{19-adjoint-chains-length-n}]\label{thm:19-chaine}
Pour tout $n$, il existe une petite catégorie $C$ et $n$ foncteurs $\widehat C \to \widehat C$, chacun adjoint à droite du précédent, dont aucun n'est pleinement fidèle.
\end{theoreme}

\begin{theoreme}[Page 80, la Question, énoncé de l'édition\piste{19-adjoint-chains-length-n}]\label{thm:19-infinie}
Soit $C = \mathbb Z \sqcup \mathbb Z$, réunion disjointe de deux copies de l'ensemble ordonné $\mathbb Z$. Il existe des foncteurs $F_k : \widehat C \to \widehat C$, $k \in \mathbb Z$, avec $F_k \dashv F_{k+1}$ pour tout $k$, dont aucun n'est fidèle, donc aucun pleinement fidèle. La Question de la page a donc une réponse positive, pour des topos de préfaisceaux sur une petite catégorie.
\end{theoreme}

\begin{proof}
Sur $\mathbb Z$, posons $e_m(x) = 2x + m$ et $r_m(x) = \lfloor (x - m)/2 \rfloor$. On a $2x + m \leqslant y \iff x \leqslant \lfloor (y-m)/2 \rfloor$ et $\lfloor (x-m)/2 \rfloor \leqslant y \iff x \leqslant 2y + m + 1$, d'où la chaîne de correspondances de Galois $e_m \dashv r_m \dashv e_{m+1}$, infinie dans les deux sens. Sur $C$, soient $B_{2m} = e_m \sqcup r_m$ et $B_{2m+1} = r_m \sqcup e_{m+1}$ ; alors $B_k \dashv B_{k+1}$ pour tout $k$. Une adjonction $u \dashv v$ entre petites catégories donne $u^* \dashv v^*$ sur les préfaisceaux, et l'on pose $F_k = B_k^*$.

Chaque $B_k$ agit sur l'une des deux copies par un $e_m$, dont l'image évite une classe de parité. Soit $q$ un point de cette copie hors de l'image, et $p = q - 1$ : tout $B_k(c) \leqslant q$ vérifie $B_k(c) \leqslant p$, et $q \not\leqslant p$. Soient $h_q$ le préfaisceau représenté par $q$ et $G$ le préfaisceau $x \mapsto \{b \in \{0, 1\} : x \leqslant p \Rightarrow b = 0\}$, dont les restrictions remplacent $b$ par $0$ au-dessous de $p$. Les deux morphismes $h_q \to G$ de valeurs $0$ et $1$ en $q$ sont distincts, et leurs restrictions par $B_k$ coïncident, puisque ces restrictions ne voient que des points au-dessous de $p$. Donc $F_k$ n'est pas fidèle. La Proposition s'obtient en prenant $F_0, \ldots, F_{n-1}$ (Lean : \texttt{proposition\_page80}, \texttt{chain\_adj}, \texttt{chain\_not\_fullyFaithful}).
\end{proof}

Sur une copie de $\mathbb Z$, la chaîne $\cdots \dashv r_{-1} \dashv e_0 \dashv r_0 \dashv e_1 \dashv r_1 \dashv \cdots$ se lit sur la figure suivante : $e_0$ (en trait plein) envoie $x$ sur $2x$, $e_1$ (en tirets) sur $2x + 1$, et $r_0$ renvoie $2x$ et $2x + 1$ sur $x$. L'image de $e_0$ évite les impairs (cercles blancs) : c'est le point $q$ de la démonstration.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=0.8cm, y=1.5cm, >=stealth]
\foreach \x in {-2,...,2} {
  \fill (2*\x+0.5, 1) circle (1.6pt);
  \node[above] at (2*\x+0.5, 1) {\small $\x$};
  \draw[->, shorten >=2.5pt, shorten <=2.5pt] (2*\x+0.5, 1) -- (2*\x, 0);
  \draw[->, dashed, shorten >=2.5pt, shorten <=2.5pt] (2*\x+0.5, 1) -- (2*\x+1, 0);
}
\foreach \y in {-4,-2,...,4} { \fill (\y, 0) circle (1.6pt); \node[below] at (\y, 0) {\small $\y$}; }
\foreach \y in {-3,-1,...,5} { \draw[fill=white] (\y, 0) circle (1.6pt); \node[below] at (\y, 0) {\small $\y$}; }
\node[left] at (-4.6, 1) {$\mathbb Z$};
\node[left] at (-4.6, 0) {$\mathbb Z$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
Sur $C = \mathbb Z \sqcup \mathbb Z$, les deux copies sont décalées d'un cran : $B_{2m} = e_m \sqcup r_m$ et $B_{2m+1} = r_m \sqcup e_{m+1}$, de sorte que chaque $B_k$ agit sur l'une des copies par un $e$.

\begin{remarque}
La réunion disjointe est nécessaire : sur une seule copie de $\mathbb Z$, un $e_m^*$ sur deux est pleinement fidèle, puisque $r_m e_m = \mathrm{id}$. Les deux copies décalées d'un cran font qu'aucun $F_k$ ne l'est. Une note de la lecture, à la page~81, tient une chaîne infinie dans les deux sens pour impossible \q{dans des situations très générales} ; l'exemple montre qu'elle existe entre topos de préfaisceaux. La suggestion de la page, un $g$ à la fois adjoint à gauche et à droite de $f$, n'est pas celle suivie ici.
\end{remarque}

Ne sont pas démontrés ici : l'énoncé de Morita (équivalence si et seulement si $U$ est petit et projectif) ; la Conclusion des pages~4 à~6 (adjonctions et comonades) ; la reconstruction de l'adjonction ; les topos de coalgèbres (page~6) ; dans le cas dégénéré des pages~10 et~11, l'équivalence de l'intersection des images essentielles de $g'$ et $g''$ avec la sous-catégorie pleine de $B'$ où $\lambda'$ est inversible, et les trois conditions équivalentes pour qu'elle soit ponctuelle ; les pages~7 à~95 (résolutions standard, cohomologie relative, SGA~4, localisation, recollement, catégories fibrées).

\begin{encadre}
\begin{theoreme}[Grothendieck, pages 7 à 11, comonade sur une base produit\piste{19-comonad-matrix-product-base}]\label{thm:19-quadruplets}
On reprend les adjonctions $f_i \dashv g_i$, $f_i : A \to B_i$, $A$ ayant les produits indexés par $I$.
\begin{enumerate}
\item Sans autre hypothèse, la matrice $(\varphi_{ji}, \varepsilon_i, \lambda_{kji})$ vérifie les relations de coünité et de coassociativité :
\[
\varphi_{ki}(\varepsilon_i) \circ \lambda_{kii} = 1, \qquad \varepsilon_k \varphi_{ki} \circ \lambda_{kki} = 1, \qquad \varphi_{lk}(\lambda_{kji}) \circ \lambda_{lki} = \lambda_{lkj}\varphi_{ji} \circ \lambda_{lji}.
\]
\item Si les $f_j$ commutent aux produits indexés par $I$, une flèche $a : X \to \varphi X$, d'entrées $u_{ki} = f_k(\mathrm{pr}_i) \circ a_k : X_k \to \varphi_{ki}(X_i)$, est une coalgèbre si et seulement si $\varepsilon_k \circ u_{kk} = 1$ et $\lambda_{kji}(X_i) \circ u_{ki} = \varphi_{kj}(u_{ji}) \circ u_{kj}$ pour tous $k, j, i$ ; une flèche $t : X \to Y$ vers une coalgèbre $(Y, b)$ d'entrées $v_{ki}$ est un morphisme de coalgèbres si et seulement si $v_{ki} \circ t_k = \varphi_{ki}(t_i) \circ u_{ki}$ pour tous $k, i$.
\item Deux facteurs, $B = B' \times B''$, $g'$ et $g''$ pleinement fidèles, $f'$ et $f''$ commutant aux produits binaires : la catégorie des $\varphi$-coalgèbres est équivalente à celle des quadruplets $(X', X'', u', u'')$, $u' : X' \to \varphi'(X'')$, $u'' : X'' \to \varphi''(X')$, tels que
\[
\lambda'(X') = \varphi'(u'') \circ u', \qquad \lambda''(X'') = \varphi''(u') \circ u'',
\]
un morphisme de quadruplets étant un couple $(t', t'')$ qui commute à $u'$ et à $u''$. Si de plus $f = (f', f'')$ est comonadique, $A$ est équivalente à la catégorie des quadruplets, par $Y \mapsto (f'Y, f''Y, f'(\eta''_Y), f''(\eta'_Y))$.
\end{enumerate}
\end{theoreme}
\end{encadre}

\begin{proof}
(1) Avec $\lambda_{kji}(X) = f_k(\eta_{j, g_i X})$, la première relation est $f_k$ appliqué à l'identité triangulaire $g_i(\varepsilon_{i, X}) \circ \eta_{i, g_i X} = 1$, la deuxième est l'identité triangulaire $\varepsilon_{k, f_k Y} \circ f_k(\eta_{k, Y}) = 1$ en $Y = g_i X$. Les deux membres de la troisième sont $f_l$ appliqué à $g_k f_k(\eta_{j, g_i X}) \circ \eta_{k, g_i X}$ et à $\eta_{k, g_j f_j g_i X} \circ \eta_{j, g_i X}$, égaux par naturalité de $\eta_k$ (Lean : \texttt{lam\_counit\_right}, \texttt{lam\_counit\_left}, \texttt{lam\_coassoc}).

(2) La coünité de $\varphi$ a pour composante $k$ la flèche $\varepsilon_k \circ f_k(\mathrm{pr}_k)$ (énoncé des pages~7 et~8, point~3) : la condition de coünité, composante par composante, est $\varepsilon_k \circ u_{kk} = 1$, et ceci sans hypothèse. Pour la coassociativité, on compose les deux membres de $\delta \circ a = \varphi(a) \circ a$, en la composante $k$, avec les flèches $f_k g_j f_j(\mathrm{pr}_i) \circ f_k(\mathrm{pr}_j)$. Le membre de gauche donne $\lambda_{kji}(X_i) \circ u_{ki}$ par (3.9). Celui de droite donne $\varphi_{kj}(u_{ji}) \circ u_{kj}$, puisque $\varphi(a)$ suivi de $f_k(\mathrm{pr}_j)$ vaut $f_k g_j(a_j) \circ f_k(\mathrm{pr}_j)$. Ces flèches séparent les morphismes à valeurs dans $(\varphi^2 X)_k$ quand les $f_j$ commutent aux produits (même argument que pour (3.9)). Les morphismes se traitent de même avec les seules projections $f_k(\mathrm{pr}_i)$ (Lean : \texttt{counit\_iff}, \texttt{coassoc\_iff}, \texttt{hom\_iff}).

(3) Les $g_i$ étant pleinement fidèles, $\varepsilon_i$ est inversible et la coünité impose $u_{kk} = \varepsilon_k^{-1}$ : c'est en ce sens que \q{l'axiome de coünité est automatiquement satisfait}. Il reste les deux entrées croisées $u' = u_{12}$ et $u'' = u_{21}$. Des huit relations de coassociativité, celles où $j = i$ se réduisent à $\lambda_{kii} = \varphi_{ki}(\varepsilon_i^{-1})$, conséquence de (1) ; celles où $k = j \neq i$ à $\lambda_{kki} = \varepsilon_k^{-1}\varphi_{ki}$ et à la naturalité de $\varepsilon_k^{-1}$ ; les deux qui restent, $k = i \neq j$, sont exactement les deux triangles, puisque $\lambda' = \lambda_{iji} \circ \varepsilon_i^{-1}$. Dans l'autre sens, un quadruplet donne une flèche $a$ dont la composante $k$ a pour entrées $u_{kk} = \varepsilon_k^{-1}$, $u'$, $u''$, ce qui la définit puisque $(\varphi X)_k$ est un produit des $\varphi_{ki}(X_i)$, et (2) montre que c'est une coalgèbre. Le foncteur des coalgèbres vers les quadruplets, qui retient les entrées croisées, est donc fidèle, plein (les conditions diagonales sur un morphisme sont la naturalité de $\varepsilon_k^{-1}$) et essentiellement surjectif. Si $f$ est comonadique, on le compose avec le foncteur de comparaison $h$ ; l'entrée $u'$ de $h(Y)$ est $f'(\mathrm{pr}'') \circ f'(\eta_Y) = f'(\eta''_Y)$ (Lean : \texttt{versQuadruplets\_isEquivalence}, \texttt{quadruplets}, \texttt{quadruplet\_u'}, \texttt{quadruplet\_u''}).
\end{proof}

\begin{remarque}
Le manuscrit écrit \q{il semble qu'on trouve} et biffe le calcul : il est juste, à condition d'ajouter l'hypothèse que la page tient de son cadre général, la commutation de $f'$ et $f''$ aux produits binaires, et, pour décrire $A$ elle-même et non les coalgèbres, la comonadicité de $f$, qui est le propos du théorème~1.12. Le cas dégénéré qui suit (pages~10 et~11) fait l'objet du théorème~\ref{thm:19-degenere}.
\end{remarque}

\begin{encadre}
\begin{theoreme}[Grothendieck, pages 10 et 11, le cas dégénéré\piste{19-comonad-matrix-product-base}]\label{thm:19-degenere}
On se place dans la situation du point~(3) du théorème~\ref{thm:19-quadruplets}, $f = (f', f'')$ comonadique, et l'on note $\Phi : A \to \mathrm{Quad}$, $Y \mapsto (f'Y, f''Y, f'(\eta''_Y), f''(\eta'_Y))$, l'équivalence qu'il fournit.
\begin{enumerate}
\item Si $\varphi'\varphi''$ et $\varphi''\varphi'$ sont à valeurs finales, tout $(X', X'', u', u'')$ est un quadruplet : les deux triangles sont sans contenu.
\item Sans hypothèse de dégénérescence, un quadruplet $Q$ est dans l'image essentielle de $\Phi g'$ si et seulement si $u''$ est inversible, et dans celle de $\Phi g''$ si et seulement si $u'$ l'est ; de façon équivalente, $Y \in A$ est dans l'image essentielle de $g'$ si et seulement si $f''(\eta'_Y)$ est inversible. Plus généralement, pour $I$ quelconque, $g_i$ pleinement fidèle et $f = (f_j)$ conservatif, $Y$ est dans l'image essentielle de $g_i$ si et seulement si $f_j(\eta_{i, Y})$ est inversible pour tout $j \neq i$.
\item L'intersection des deux images essentielles est formée des quadruplets où $u'$ et $u''$ sont inversibles ; dans le cas dégénéré, $X'$ et $X''$ y sont finals.
\end{enumerate}
\end{theoreme}
\end{encadre}

\begin{proof}
(1) Les deux membres de chaque triangle sont des flèches vers un objet final (Lean : \texttt{Quadruplet.\allowbreak{}degenere}).

(2) Pour $g_i$ pleinement fidèle, $Y$ est dans l'image essentielle de $g_i$ si et seulement si $\eta_{i, Y}$ est inversible (mathlib : \texttt{isIso\_unit\_app\_iff\_mem\_essImage}). Or $f_i(\eta_{i, Y})$ l'est toujours, par l'identité triangulaire $\varepsilon_{i, f_i Y} \circ f_i(\eta_{i, Y}) = 1$ et l'inversibilité de $\varepsilon_i$ ; un $f$ conservatif, ce qu'est tout foncteur comonadique, rend donc $\eta_{i, Y}$ inversible dès que les $f_j(\eta_{i, Y})$, $j \neq i$, le sont (Lean : \texttt{essImage\_iff}, \texttt{reflectsIso\_of\_comonadic}). Pour deux facteurs, $f''(\eta'_Y)$ est l'entrée $u''$ de $\Phi(Y)$ (\texttt{essImage\_g'\_iff}, \texttt{essImage\_g''\_iff}). Enfin $\Phi$ est pleinement fidèle et essentiellement surjective, et un isomorphisme de quadruplets $(t', t'') : P \to Q$ donne $u''_Q \circ t'' = \varphi''(t') \circ u''_P$, avec $t'$ et $t''$ inversibles, ce qui transporte l'inversibilité (Lean : \texttt{Quadruplet.\allowbreak{}isIso\_u''\_of\_iso}, \texttt{essImage\_g'\_quadruplets}, \texttt{essImage\_g''\_quadruplets}).

(3) La première assertion est la conjonction des deux précédentes (\texttt{essImage\_inter}). Si $u'$ et $u''$ sont inversibles, $\varphi'(u'') \circ u' : X' \to \varphi'\varphi''(X')$ l'est, et le but est final ; de même pour $X''$ (\texttt{final\_of\_inter}).
\end{proof}

\begin{remarque}
Le critère de la page, \q{image essentielle de $g'$ : $u''$ est un isomorphisme}, ne dépend pas de la dégénérescence : il vaut dès que $g'$, $g''$ sont pleinement fidèles et $f$ comonadique. Restent non formalisées l'équivalence de l'intersection avec la sous-catégorie pleine de $B'$ où $\lambda'$ est inversible et les trois conditions équivalentes pour que cette intersection soit ponctuelle.
\end{remarque}

\section[Cote 133 : le centre et le groupe dérivé vus par deux modules croisés]{Cote 133 : le centre et le groupe dérivé vus par deux modules croisés\protect\verifie{Folder133}}\label{sec:133}

La cote 133, \emph{[Groupes de Witt et formes quadratiques, groupes formels] : notes manuscrites (s.d.), tirés à part (1974)}, que l'inventaire date \q{1974-[à partir de 1975]}, réunit sept suites distinctes. La dernière, sous une chemise titrée \q{Fourbis auxiliaires cohomologiques pour groupes formels} (page~44), occupe les pages~45 à~53, qu'il pagine de 1 à 7 ; les pages~47 et~49 ne sont pas de sa main. Elle traite en général le problème que la \q{Solution} des pages~35 et~36 pose pour un groupe formel : décrire un groupe $G$ par son centre et son groupe dérivé. La page~45 se donne deux modules croisés $\mathcal C = (N \to M)$ et $\mathcal C' = (N' \to M')$ de mêmes invariants $\pi_0$, $\pi_1$, et note $K = G/\pi_1$ (\lot{133}{3}{45}). La page~46 définit $\mathfrak Z = [\mathrm{Cent}(K)/(N'/\pi_1)] \cap \operatorname{Ker}\Theta$, construit $\varphi_G$ puis $\Psi_G$, et encadre \q{$\Psi_G$ injectif} comme équivalent à $N' = \mathrm{Cent}(G)$ (\lot{133}{3}{46}). La page~48 définit l'accouplement $c_E$ d'une extension centrale $E$ de $\pi_0$ par $\pi_1$ et écrit \q{On doit trouver, au signe près} $\Psi_{G_1} = \Psi_G + \tilde c_E\,\alpha$ (\lot{133}{3}{48}). Les pages~51 et~52 définissent $\mathcal D = (N_{\mathrm{ab}})_M$ et $\lambda_G$, et écrivent $N/DG \simeq \mathcal D/\lambda_G(\pi_0 \otimes \pi_0)$ et $\lambda_{G_1} = \lambda_G + \beta c_E$ (\lot{133}{3}{51}, \lot{133}{3}{52}). Malgré le titre, rien n'y est propre aux groupes formels, et les énoncés sont démontrés ici pour des groupes abstraits.

\noindent\emph{Conventions.} Le commutateur est $[x, y] = xyx^{-1}y^{-1}$. Dans tout ce qui suit, $G$ est un groupe, $N$ et $N'$ deux sous-groupes distingués, avec $N' \subset \mathrm{Cent}(G)$ ; alors $[N, N'] = 1$, $\pi_1 = N \cap N'$ est central, $\pi_0 = G/NN'$, $K = G/\pi_1$, $M = G/N'$ agit sur $N$ par conjugaison, et $\Theta : M \to \mathrm{Aut}(N)$ est cette action. Le groupe $\mathfrak Z$ est pris par son image inverse $\overline{N'}$ dans $G$ : les $z \in G$ dont l'image dans $K$ est centrale et qui commutent à tout élément de $N$, c'est-à-dire tels que $[g, z] \in \pi_1$ pour tout $g \in G$ et $nz = zn$ pour tout $n \in N$. On a $N' \subset \overline{N'}$ et $\mathfrak Z = \overline{N'}/N'$.

\begin{lemme}\label{lem:133-central}
Si $c$ est central dans un groupe, $[g, zc] = [g, z]$ et $[gc, z] = [g, z]$.
\end{lemme}

\begin{proof}
$[g, zc] = gzcg^{-1}c^{-1}z^{-1} = gzg^{-1}cc^{-1}z^{-1} = [g, z]$, en faisant passer $c$ devant $g^{-1}$. La seconde s'en déduit par $[x, y]^{-1} = [y, x]$.
\end{proof}

\begin{encadre}
\begin{theoreme}[Grothendieck, page 46, l'injectivité de $\Psi_G$\piste{133-centre-and-derived-group-from-two-crossed-modules}]
Pour $z \in \overline{N'}$, l'application $g \mapsto [g, z]$ définit un homomorphisme $\varphi_G(z) : \pi_0 \to \pi_1$, qui ne dépend que de la classe de $z$ dans $\mathfrak Z$ ; l'application $\Psi_G : \mathfrak Z \to \mathrm{Hom}(\pi_0, \pi_1)$ ainsi définie est un homomorphisme, et
\[
N' = \mathrm{Cent}(G) \iff \Psi_G \text{ est injectif.}
\]
\end{theoreme}
\end{encadre}

\begin{proof}
Soit $z \in \overline{N'}$. Par définition $[g, z] \in \pi_1$, donc $[g, z]$ est central. On a $[gh, z] = g\,[h, z]\,zg^{-1}z^{-1}$ ; comme $[h, z]$ est central, c'est $[h, z]\,[g, z] = [g, z]\,[h, z]$, et $g \mapsto [g, z]$ est un homomorphisme $G \to \pi_1$. Il est trivial sur $N$, puisque $z$ commute à $N$, et sur $N'$, qui est central ; il se factorise donc par $\pi_0 = G/NN'$, ce qui définit $\varphi_G(z)$. Si $z$ et $w$ ont même classe modulo $N'$, $w = zc$ avec $c \in N'$ central, et $[g, w] = [g, z]$ par le lemme~\ref{lem:133-central} : d'où $\Psi_G$ sur $\mathfrak Z$. Il est multiplicatif : $[g, zw] = gzg^{-1}\,[g, w]\,z^{-1} = [g, z]\,[g, w]$, puisque $[g, w]$ est central.

Supposons $\Psi_G$ injectif et soit $c \in \mathrm{Cent}(G)$. Alors $c \in \overline{N'}$, et $\Psi_G(\bar c)$ est trivial, comme $\Psi_G(1)$ : donc $\bar c = 1$ dans $\mathfrak Z$, c'est-à-dire $c \in N'$. Ainsi $\mathrm{Cent}(G) \subset N'$, et l'égalité vient de $N' \subset \mathrm{Cent}(G)$.

Réciproquement, supposons $N' = \mathrm{Cent}(G)$, et soient $z, w \in \overline{N'}$ avec $\Psi_G(\bar z) = \Psi_G(\bar w)$, c'est-à-dire $[g, z] = [g, w]$ pour tout $g$. Appliquée à $g^{-1}$, l'égalité donne $zgz^{-1} = wgw^{-1}$, d'où $g\,z^{-1}w = z^{-1}(zgz^{-1})w = z^{-1}(wgw^{-1})w = z^{-1}w\,g$ : $z^{-1}w$ est central, donc dans $N'$, et $\bar z = \bar w$.
\end{proof}

\begin{remarque}
Seule l'hypothèse $N' \subset \mathrm{Cent}(G)$ sert. L'hypothèse $[N, N'] = 1$ que la lecture ajoute en découle, et $N \supset D(G)$ n'intervient pas ici. La vérification confirme les contrôles d'additivité et de nullité que donne la lecture et que la page résume par \q{triviale sur $N'$ et sur $\mathfrak Z$}. En chemin, elle établit que $\mathrm{Cent}(G)$ est l'image inverse de $\operatorname{Ker}\Psi_G$, point que la page dit \q{clair}.
\end{remarque}

On suppose maintenant de plus $D(G) \subset N$. Soit $\mathcal D = (N_{\mathrm{ab}})_M$ ; c'est le quotient $N/[G, N]$, le sous-groupe $[G, N]$ engendré par les $[g, n]$ contenant les $[n, n']$. On note $\bar n$ la classe dans $\mathcal D$ d'un $n \in N$.

\begin{lemme}\label{lem:133-D}
Le groupe $\mathcal D$ est commutatif, $G$ y agit trivialement, et $\pi_0$ est commutatif.
\end{lemme}

\begin{proof}
Pour $a, b \in N$, $(ab)^{-1}(ba) = [b^{-1}, a^{-1}] \in [G, N]$, donc $\bar a\bar b = \bar b\bar a$. Pour $c \in N$ et $x \in G$, $(xcx^{-1})^{-1}c = [x, c^{-1}] \in [G, N]$, donc $\overline{xcx^{-1}} = \bar c$. Pour $x, y \in G$, $(xy)^{-1}(yx) = [y^{-1}, x^{-1}] \in D(G) \subset N \subset NN'$, donc $xy$ et $yx$ ont même image dans $\pi_0$.
\end{proof}

\begin{enonce}[Pages 51 et 52, la surjectivité de $\lambda_G$\piste{133-centre-and-derived-group-from-two-crossed-modules}]
Supposons $D(G) \subset N$ et $N' \subset \mathrm{Cent}(G)$. L'application $(x, y) \mapsto \overline{[x, y]}$ définit une forme $\lambda_G : \pi_0 \times \pi_0 \to \mathcal D$, multiplicative en chaque variable et alternée, et
\[
N = D(G) \iff \lambda_G \text{ est surjectif,}
\]
c'est-à-dire si et seulement si les valeurs de $\lambda_G$ engendrent $\mathcal D$.
\end{enonce}

\begin{proof}
Pour $y$ fixé, $x \mapsto \overline{[x, y]}$ est un homomorphisme $G \to \mathcal D$ : $[xx', y] = (x[x', y]x^{-1})[x, y]$, et le lemme~\ref{lem:133-D} donne $\overline{[xx', y]} = \overline{[x', y]}\;\overline{[x, y]} = \overline{[x, y]}\;\overline{[x', y]}$. Il est trivial sur $N$, car $[n, y] = [y, n]^{-1} \in [G, N]$, et sur $N'$, car $[n', y] = 1$ pour $n'$ central ; il se factorise donc par $\pi_0$. Comme $\overline{[x, y]} = \overline{[y, x]}^{-1}$, la même chose vaut pour la seconde variable, et $\lambda_G$ est bien défini sur $\pi_0 \times \pi_0$, multiplicatif en chaque variable ; $[x, x] = 1$ le rend alterné.

Si $N = D(G)$, tout $n \in N$ est produit de commutateurs et de leurs inverses ; sa classe $\bar n$ est le produit correspondant de valeurs de $\lambda_G$ et de leurs inverses, et ces valeurs engendrent $\mathcal D$. Réciproquement, les valeurs de $\lambda_G$ sont des classes d'éléments de $D(G)$, donc le sous-groupe qu'elles engendrent est contenu dans l'image de $D(G)$ dans $\mathcal D$. S'il est égal à $\mathcal D$, tout $n \in N$ s'écrit $n = m\,(m^{-1}n)$ avec $m \in D(G)$ et $m^{-1}n \in [G, N] \subset D(G)$ ; donc $N \subset D(G)$, et $N = D(G)$.
\end{proof}

\begin{remarque}
Comme $\mathcal D$ est commutatif et $\lambda_G$ bimultiplicatif, $\lambda_G$ définit une application linéaire $\pi_0 \otimes \pi_0 \to \mathcal D$, dont l'image est le sous-groupe engendré par les valeurs de $\lambda_G$ ; c'est la surjectivité de la page. L'hypothèse $N' \subset \mathrm{Cent}(G)$ est nécessaire à la définition même de $\lambda_G$ sur $\pi_0$, et la lecture la cite (\q{puisque $N'$ est central}). L'hypothèse plus faible $[N, N'] = 1$ ne suffit pas à l'équivalence. Dans le groupe des quaternions $Q_8$, avec $N = D(Q_8) = \mathrm{Cent}(Q_8)$, d'ordre~$2$, et $N' = Q_8$, on a $[N, N'] = 1$ et $\pi_0 = 1$, donc toute forme sur $\pi_0$ est nulle, alors que $\mathcal D = N/[G, N] = N$ n'est pas trivial (exemple non vérifié en Lean). La commutativité de $\pi_0$ découle de $D(G) \subset N$ (lemme~\ref{lem:133-D}) et n'est pas une hypothèse de plus. L'isomorphisme $N/D(G) \simeq \mathcal D/\lambda_G(\pi_0 \otimes \pi_0)$ de la page n'est démontré ici que sous la forme de l'équivalence.
\end{remarque}

Soient enfin $E$ un groupe, $\iota : \pi_1 \to E$ un homomorphisme injectif d'image centrale, et $q : E \to \pi_0$ un homomorphisme de noyau $\iota(\pi_1)$ : une extension centrale de $\pi_0$ par $\pi_1$, si $q$ est surjectif, ce dont on ne se sert pas. Soit $G \times_{\pi_0} E$ le produit fibré et $G_1$ son quotient par l'image antidiagonale $\{(a, \iota(a)^{-1})\}$ de $\pi_1$, centrale, prise en Lean par son sous-groupe distingué engendré.

\begin{enonce}[Pages 48 et 52, le changement de $G$ en $G_1$\piste{133-centre-and-derived-group-from-two-crossed-modules}]
Supposons $D(G) \subset N$ et $N' \subset \mathrm{Cent}(G)$.
\begin{enumerate}
\item Pour $e, f \in E$, $[e, f] = \iota(c_E(e, f))$ pour un unique $c_E(e, f) \in \pi_1$, qui ne dépend que des images de $e$ et $f$ dans $\pi_0$.
\item Dans $G_1$, le commutateur des classes de $(g, e)$ et $(z, f)$ est la classe de $([g, z]\,c_E(e, f), 1)$.
\item En particulier, si $z \in \overline{N'}$, ce commutateur est l'image de $\Psi_G(\bar z)(\bar g)\,c_E(e, f) \in \pi_1$ ; et la classe dans $\mathcal D$ de $[x, y]\,c$, pour $c \in \pi_1$, est $\lambda_G(\bar x, \bar y)\,\beta(c)$, où $\beta : \pi_1 \to \mathcal D$ est le passage au quotient.
\end{enumerate}
\end{enonce}

\begin{proof}
(1) L'image de $[e, f]$ dans $\pi_0$ est le commutateur des images, trivial puisque $\pi_0$ est commutatif ; $[e, f]$ est donc dans $\operatorname{Ker} q = \iota(\pi_1)$, et $\iota$ est injectif. Si $e$ et $e'$ ont même image, $e' = e\,\iota(a)$, et de même $f' = f\,\iota(b)$ ; comme $\iota(a)$ et $\iota(b)$ sont centraux, le lemme~\ref{lem:133-central} donne $[e', f'] = [e, f]$.

(2) Le commutateur de $(g, e)$ et $(z, f)$ dans le produit fibré est $([g, z], [e, f]) = ([g, z], \iota(c))$, $c = c_E(e, f)$, et
\[
([g, z], \iota(c))^{-1}\,([g, z]\,c, 1) = (c, \iota(c)^{-1})
\]
est dans l'image antidiagonale de $\pi_1$ ; les deux éléments ont donc même classe dans $G_1$. L'élément $([g, z]\,c, 1)$ est bien dans le produit fibré, $[g, z]\,c$ étant dans $N$.

(3) Si $z \in \overline{N'}$, $[g, z] = \Psi_G(\bar z)(\bar g)$ par définition. La seconde assertion est $\overline{[x, y]\,c} = \overline{[x, y]}\;\bar c$.
\end{proof}

\begin{remarque}
Ce calcul donne les deux formules de la page, $\Psi_{G_1} = \Psi_G + \tilde c_E\,\alpha$ et $\lambda_{G_1} = \lambda_G + \beta c_E$, écrites additivement : dans $G_1$, un commutateur est le produit du commutateur dans $G$ et de la valeur de $c_E$. L'ordre des facteurs fixe le signe que la page laisse ouvert (\q{au signe près}). Avec $[x, y] = xyx^{-1}y^{-1}$ et $\Psi_G(\bar z)(\bar g) = [g, z]$, le terme correctif est $c_E(\bar g, \bar z)$, c'est-à-dire $\tilde c_E(\alpha(\bar z))$ évalué en $\bar g$, au signe près selon le côté où l'on curryfie. L'identification des deux modules croisés de $G_1$ avec ceux de $G$ n'est pas formalisée ; elle ferait de cette égalité d'éléments une égalité d'applications $\Psi_{G_1} = \Psi_G \cdot \tilde c_E\,\alpha$ sur un même $\mathfrak Z$.
\end{remarque}

Ne sont pas démontrés ici : l'identification des modules croisés de $G_1$ avec ceux de $G$ ; l'isomorphisme $N/D(G) \simeq \mathcal D/\lambda_G(\pi_0\otimes\pi_0)$ au-delà de l'équivalence ; l'obstruction dans $H^3$ et l'indétermination dans $H^2$ (page~45) ; les conditions b) et c) des pages~50 à~53 ; la réduction aux formes alternées ; les suites de Witt, les $\lambda$-anneaux et les groupes formels (pages~34 à~39), les pages~41 à~43 sur Chevalley.

\begin{encadre}
\begin{exemple}[Grothendieck, pages 42 et 43, quotient affine non constructible\piste{133-affine-quotient-not-constructible}]\nonverifie
Sur une base de caractéristique mixte, soit $G$ une extension d'un schéma abélien $A$ par $\mathbb G_a$, non triviale en un point $y$ de caractéristique~$0$ et triviale en une spécialisation $s$ de caractéristique~$p$. Alors $(G_y)_{\mathrm{aff}} = 1$ et $(G_s)_{\mathrm{aff}} \simeq \mathbb G_a$ : le plus grand quotient affine des fibres d'un schéma en groupes lisse à fibres connexes ne varie pas de façon constructible.
\end{exemple}
\end{encadre}
\section[Cote 161-1 : la partie fixe d'une adjonction, les adjonctions idempotentes, les objets locaux]{Cote 161-1 : la partie fixe d'une adjonction, les adjonctions idempotentes, les objets locaux\protect\verifie{Folder161_1}}\label{sec:161-1}

La cote 161-1, \emph{Catégories : notes manuscrites (s.d.)}, dix-neuf pages sans date, appartient au groupe des dossiers rassemblés par Grothendieck sur différentes thématiques, que l'inventaire date \q{[après 1961-vers 1977]}. Les pages~3 à~7 étudient un couple de foncteurs adjoints $E \rightleftarrows F$ et les équivalences qu'il induit entre des sous-catégories des deux côtés. La page~3 s'ouvre sur \q{Foncteurs adjoints [demander Schanuel]} et écrit le critère~(1) de pleine fidélité sur une sous-catégorie pleine. Elle porte en marge \q{donner un exemple montrant que cette condition n'est pas surabondante, avec $E'$ réduit à un élément} (\lot{161-1}{1}{3}). La page~5 dresse la liste des conditions équivalentes qui définissent aujourd'hui une adjonction idempotente (\lot{161-1}{1}{5}). La page~7 se demande si une sous-catégorie réflexive est le lieu des objets locaux pour les flèches que le réflecteur inverse, et conclut \q{Or c'est vrai sauf erreur…} (\lot{161-1}{1}{7}). On note, comme la lecture, $u$ l'adjoint à gauche de $v$, $\eta : \mathrm{id}_E \to vu$ l'unité et $\varepsilon : uv \to \mathrm{id}_F$ la coünité (le manuscrit écrit $i$ et $j$).

\begin{enonce}[(1), page 3]
Soient $E' \subset E$ une sous-catégorie pleine et $\overline{E}'$ sa clôture par isomorphie. Alors
\[
  \begin{gathered}
  u|E' \text{ est pleinement fidèle et } vu(E') \subset \overline{E}' \\
  \iff \text{pour tout } Y \in E',\ \eta_Y : Y \to vu(Y) \text{ est un isomorphisme.}
  \end{gathered}
\]
La seconde condition du membre de gauche n'est pas surabondante : la pleine fidélité de $u|E'$ ne force pas $vu$ à ramener $E'$ dans $\overline{E}'$.
\end{enonce}

\begin{enonce}[Adjonctions idempotentes, page 5]
Les conditions \q{$\eta v : v \to vuv$ est un isomorphisme} et \q{$\varepsilon u : uvu \to u$ est un isomorphisme} de la condition~2 du manuscrit sont redondantes : chacune des quatre conditions ($\eta v$, $v\varepsilon$, $\varepsilon u$, $u\eta$ inversible) implique les trois autres.
\end{enonce}
\general{AdjunctionIdempotent}

Les identités triangulaires disent que les deux composés suivants sont des identités ; dans chaque ligne, une flèche est donc inversible si et seulement si l'autre l'est. L'énoncé ajoute le passage d'une ligne à l'autre.
\[
\begin{tikzcd}
v \arrow[r, "\eta v"] \arrow[rr, bend right=30, "\mathrm{id}_v"'] & vuv \arrow[r, "v\varepsilon"] & v
\end{tikzcd}
\qquad\qquad
\begin{tikzcd}
u \arrow[r, "u\eta"] \arrow[rr, bend right=30, "\mathrm{id}_u"'] & uvu \arrow[r, "\varepsilon u"] & u
\end{tikzcd}
\]

\begin{enonce}[Objets locaux, pages 6 et 7]
Soient $\alpha : E_1 \to E$ un foncteur pleinement fidèle admettant un adjoint à gauche $\alpha'$, et $\Sigma$ la classe des flèches de $E$ que $\alpha'$ rend inversibles. Une flèche $f : X \to Y$ est dans $\Sigma$ si et seulement si $\operatorname{Hom}_E(Y, \alpha Z_1) \to \operatorname{Hom}_E(X, \alpha Z_1)$ est bijective pour tout $Z_1 \in E_1$ ; et un objet $\xi$ de $E$ tel que $\operatorname{Hom}_E(-, \xi)$ transforme les flèches de $\Sigma$ en bijections (un objet $\Sigma$-local) est dans l'image essentielle de $\alpha$.
\end{enonce}

On rappelle que la bijection d'adjonction $\operatorname{Hom}_F(uX, P) \simeq \operatorname{Hom}_E(X, vP)$ envoie $g$ sur $\eta_X \circ v(g)$ (on compose de gauche à droite : $\eta_X$, puis $v(g)$), et qu'on a les identités triangulaires $\eta_{vP}\,;v(\varepsilon_P) = \mathrm{id}_{vP}$ et $u(\eta_X)\,;\varepsilon_{uX} = \mathrm{id}_{uX}$. Dans les démonstrations qui suivent, on écrit $f\,;g$ pour « $f$ puis $g$ ».

\begin{lemme}\label{lem:161-1-hom}
Pour $X, Y \in E$, l'application $\operatorname{Hom}_E(X, Y) \to \operatorname{Hom}_F(uX, uY)$, $f \mapsto u(f)$, est bijective si et seulement si l'application $f \mapsto f\,;\eta_Y$, de $\operatorname{Hom}_E(X, Y)$ dans $\operatorname{Hom}_E(X, vuY)$, l'est.
\end{lemme}

\begin{proof}
La seconde application est la composée de la première et de la bijection d'adjonction : celle-ci envoie $u(f)$ sur $\eta_X\,;vu(f)$, qui vaut $f\,;\eta_Y$ par naturalité de $\eta$. C'est la phrase de la page~3 : l'application \q{se déduit de l'application $i(Y) : Y \to vu(Y)$ au moyen de $\mathrm{Hom}(X, i(Y))$}.
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration de (1)]
Supposons que $\eta_Y$ soit un isomorphisme pour tout $Y \in E'$. Pour $X, Y \in E'$, la composition avec $\eta_Y$ est alors bijective, et $u|E'$ est pleinement fidèle par le lemme~\ref{lem:161-1-hom} ; et $vu(Y)$, isomorphe à $Y$, est dans $\overline{E}'$.

Réciproquement, soit $Y \in E'$ ; par hypothèse il existe $Z \in E'$ et un isomorphisme $e : vu(Y) \to Z$. Le lemme~\ref{lem:161-1-hom}, appliqué aux couples $(Z, Y)$ et $(Y, Y)$ d'objets de $E'$, dit que $f \mapsto f\,;\eta_Y$ est bijective de $\operatorname{Hom}(Z, Y)$ sur $\operatorname{Hom}(Z, vuY)$ et de $\operatorname{Hom}(Y, Y)$ sur $\operatorname{Hom}(Y, vuY)$. Par la surjectivité de la première, il existe $g : Z \to Y$ avec $g\,;\eta_Y = e^{-1}$. Posons $s = e\,;g : vu(Y) \to Y$. D'une part $s\,;\eta_Y = e\,;e^{-1} = \mathrm{id}_{vuY}$. D'autre part $(\eta_Y\,;s)\,;\eta_Y = \eta_Y\,;(s\,;\eta_Y) = \eta_Y = \mathrm{id}_Y\,;\eta_Y$, et l'injectivité de la seconde bijection donne $\eta_Y\,;s = \mathrm{id}_Y$. Donc $\eta_Y$ est un isomorphisme, d'inverse $s$.
\end{proof}

\begin{proof}[L'exemple demandé en marge]
Prenons pour $E$ la catégorie des ensembles, pour $F$ la catégorie ponctuelle, pour $u$ l'unique foncteur $E \to F$ et pour $v$ le foncteur qui pointe un ensemble à un élément $\{*\}$ ; on a $u \dashv v$ parce que $\{*\}$ est final. Soit $E' = \{\varnothing\}$, réduite à un objet. Alors $u|E'$ est pleinement fidèle, puisque $\operatorname{Hom}(\varnothing, \varnothing)$ et $\operatorname{Hom}(u\varnothing, u\varnothing)$ ont chacun un seul élément ; mais $vu(\varnothing) = \{*\}$ n'est pas isomorphe à $\varnothing$, et $\eta_\varnothing : \varnothing \to \{*\}$ n'est pas un isomorphisme. La condition $vu(E') \subset \overline{E}'$ est donc nécessaire à l'équivalence~(1).
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration de l'énoncé sur les objets locaux]
\emph{Caractérisation de $\Sigma$.} Par l'adjonction $\alpha' \dashv \alpha$, $\operatorname{Hom}_E(Y, \alpha Z_1) \simeq \operatorname{Hom}_{E_1}(\alpha' Y, Z_1)$ naturellement en $Y$, de sorte que la composition avec $f$ à la source correspond à la composition avec $\alpha'(f)$. Par le lemme de Yoneda, $\alpha'(f)$ est un isomorphisme si et seulement si $\operatorname{Hom}_{E_1}(\alpha' Y, Z_1) \to \operatorname{Hom}_{E_1}(\alpha' X, Z_1)$ est bijective pour tout $Z_1$. En particulier tout objet $\alpha Z_1$, et tout objet qui lui est isomorphe, est $\Sigma$-local.

\emph{Un objet local est dans l'image essentielle.} Soit $\xi$ un objet $\Sigma$-local et $\eta = \eta_\xi : \xi \to \alpha\alpha'\xi$ l'unité. Pour tout $Z_1$, la composition avec $\eta$, de $\operatorname{Hom}_E(\alpha\alpha'\xi, \alpha Z_1)$ dans $\operatorname{Hom}_E(\xi, \alpha Z_1)$, est bijective : c'est la bijection d'adjonction $\operatorname{Hom}_{E_1}(\alpha'\xi, Z_1) \simeq \operatorname{Hom}_E(\xi, \alpha Z_1)$ lue à travers la pleine fidélité de $\alpha$. Par la caractérisation qui précède, $\eta \in \Sigma$. Comme $\xi$ est local, la composition avec $\eta$, de $\operatorname{Hom}(\alpha\alpha'\xi, \xi)$ dans $\operatorname{Hom}(\xi, \xi)$, est bijective ; il existe donc $r : \alpha\alpha'\xi \to \xi$ avec $\eta\,;r = \mathrm{id}_\xi$. Alors $\eta\,;(r\,;\eta) = \eta = \eta\,;\mathrm{id}$, et comme la composition avec $\eta$ est injective sur les flèches à valeurs dans l'objet local $\alpha\alpha'\xi$, $r\,;\eta = \mathrm{id}$. Ainsi $\xi \simeq \alpha(\alpha'\xi)$. Avec la dernière phrase du paragraphe précédent, on obtient que les objets $\Sigma$-locaux sont exactement ceux de l'image essentielle de $\alpha$.
\end{proof}

\begin{enonce}[(2), page 3]
Soient $F' \subset F$ une sous-catégorie pleine et $\overline{F}'$ sa clôture par isomorphie. Alors
\[
  \begin{gathered}
  v|F' \text{ est pleinement fidèle et } uv(F') \subset \overline{F}' \\
  \iff \text{pour tout } P \in F',\ \varepsilon_P : uv(P) \to P \text{ est un isomorphisme.}
  \end{gathered}
\]
\end{enonce}

\begin{proof}
C'est la démonstration de~(1) retournée. Pour $P, Q \in F$, l'application $g \mapsto v(g)$, de $\operatorname{Hom}_F(P, Q)$ dans $\operatorname{Hom}_E(vP, vQ)$, suivie de la bijection d'adjonction réciproque $h \mapsto u(h)\,;\varepsilon_Q$, donne $g \mapsto uv(g)\,;\varepsilon_Q = \varepsilon_P\,;g$ par naturalité de $\varepsilon$ : c'est le \q{$\mathrm{Hom}(j(P), Q)$} de la page, et $v$ est bijective sur $\operatorname{Hom}(P, Q)$ si et seulement si $g \mapsto \varepsilon_P\,;g$ l'est. Si $\varepsilon_P$ est inversible pour tout $P \in F'$, la composition avec $\varepsilon_P$ est bijective, et $uv(P) \simeq P$. Réciproquement, soient $P \in F'$, $Z \in F'$ et $e : uv(P) \to Z$ un isomorphisme ; la surjectivité de $g \mapsto \varepsilon_P\,;g$ sur $\operatorname{Hom}(P, Z)$ donne $g$ avec $\varepsilon_P\,;g = e$. Posons $s = g\,;e^{-1}$. Alors $\varepsilon_P\,;s = \mathrm{id}$, et $\varepsilon_P\,;(s\,;\varepsilon_P) = \varepsilon_P = \varepsilon_P\,;\mathrm{id}$ ; l'injectivité sur $\operatorname{Hom}(P, P)$ donne $s\,;\varepsilon_P = \mathrm{id}$.
\end{proof}

\begin{enonce}[Les cinq conditions, page 3]
Soient $E' \subset E$ et $F' \subset F$ des sous-catégories strictement pleines ; on note $u' : E' \to F'$ et $v' : F' \to E'$ les foncteurs induits quand $u(E') \subset F'$ et $v(F') \subset E'$. Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
\item $E'$ vérifie~(1), $F'$ vérifie~(2), et $F' = \overline{u(E')}$, $E' = \overline{v(F')}$ ;
\item $u(E') \subset F'$, $v(F') \subset E'$, et $u'$, $v'$ sont pleinement fidèles ;
\item $u(E') \subset F'$, $v(F') \subset E'$, et $u'$ est une équivalence ;
\item $u(E') \subset F'$, $v(F') \subset E'$, et $v'$ est une équivalence.
\end{enumerate}
De plus, si $E'$ strictement pleine vérifie~(1), $\alpha(E') = \overline{u(E')}$ vérifie~(2) et $\beta(\alpha(E')) = E'$ ; dualement pour $F'$.
\end{enonce}

\begin{proof}
On lit \q{$u'$ est une équivalence} comme \q{$u'$ est pleinement fidèle et tout objet de $F'$ est isomorphe à un $u(Y)$, $Y \in E'$}. On utilise deux faits : si $\eta_Y$ est inversible, $\varepsilon_{uY}$ l'est, puisque $u(\eta_Y)\,;\varepsilon_{uY} = \mathrm{id}$ ; et si $\varepsilon_P$ l'est, $\eta_{vP}$ l'est, par l'autre identité triangulaire. Les objets où $\eta$ (resp. $\varepsilon$) est inversible forment une sous-catégorie strictement pleine, par naturalité.

Si $u(E') \subset F'$, $v(F') \subset E'$, $\eta$ est inversible sur $E'$ et $\varepsilon$ sur $F'$, alors 1.\ vaut : un $P \in F'$ est isomorphe, par $\varepsilon_P$, à $u(vP)$ avec $vP \in E'$, et tout objet isomorphe à un $u(Y)$, $Y \in E'$, est dans $F'$, strictement pleine ; de même pour $E'$, par $\eta_Y^{-1}$. Réciproquement 1.\ donne $u(E') \subset F'$, $v(F') \subset E'$, et, par~(1) et~(2), la pleine fidélité de $u'$ et $v'$ et l'essentielle surjectivité de $u'$ et de $v'$ ; donc 1.\ entraîne 2., 3.\ et~4.

Sous 2., $vu(E') \subset v(F') \subset E'$, et (1) donne $\eta$ inversible sur $E'$ ; de même (2) donne $\varepsilon$ inversible sur $F'$ ; d'où 1. Sous 3., (1) donne de même $\eta$ inversible sur $E'$ ; un $P \in F'$ est isomorphe à un $u(Y)$, $Y \in E'$, où $\varepsilon$ est inversible par le premier fait ; donc $\varepsilon_P$ l'est, d'où 1. Le cas~4.\ est symétrique.

Pour la bijection : si $Y \in E'$, $Y \simeq vu(Y)$ par $\eta_Y$ et $uY \in \alpha(E')$ ; si $Y \simeq v(P)$ avec $P \simeq u(Y')$, $Y' \in E'$, alors $Y \simeq vu(Y') \simeq Y'$ et $Y \in E'$. Et $\varepsilon$ est inversible sur $\alpha(E')$ par le premier fait.
\end{proof}

\begin{enonce}[Les points fixes, page 4]
Soient $E_0 \subset E$ la sous-catégorie pleine des $Y$ où $\eta_Y$ est inversible et $F_0 \subset F$ celle des $P$ où $\varepsilon_P$ l'est. Ce sont les plus grandes sous-catégories vérifiant~(1) et~(2) ; on a $F_0 = \overline{u(E_0)}$, $E_0 = \overline{v(F_0)}$, et $u$, $v$ induisent des équivalences quasi-inverses $E_0 \simeq F_0$.
\end{enonce}

\begin{proof}
La maximalité est la forme de~(1) et~(2) démontrée plus haut : $E'$ vérifie~(1) si et seulement si $E' \subset E_0$. Par les deux faits de la démonstration précédente, $u(E_0) \subset F_0$ et $v(F_0) \subset E_0$ ; les égalités $F_0 = \overline{u(E_0)}$ et $E_0 = \overline{v(F_0)}$ en résultent comme dans le cas~1.\ ci-dessus. Les foncteurs induits $u_0 : E_0 \to F_0$ et $v_0 : F_0 \to E_0$ sont quasi-inverses, par les isomorphismes naturels $\eta_Y : Y \to v_0u_0(Y)$ et $\varepsilon_P : u_0v_0(P) \to P$.
\end{proof}

\begin{enonce}[Conditions 1), 3) et~4), page 5 ; la préservation des colimites]
La condition~1), $\operatorname{Im} v \subset E_0$ et $\operatorname{Im} u \subset F_0$, est l'idempotence, et chacune de ses moitiés suffit. Si $\operatorname{Im} u \subset F_0$, l'inclusion $E_0 \subset E$ admet pour adjoint à gauche $v_0 \circ u'$, $X \mapsto vu(X)$ ; si $\operatorname{Im} v \subset E_0$, l'inclusion $F_0 \subset F$ admet pour adjoint à droite $u_0 \circ v'$, $P \mapsto uv(P)$. Ce réflecteur $E \to E_0$ commute aux limites inductives et l'inclusion $E_0 \subset E$ aux limites projectives ; $E_0$ a les limites inductives qu'a $E$ ; dualement, le coréflecteur $F \to F_0$ commute aux limites projectives, l'inclusion $F_0 \subset F$ aux limites inductives, et $F_0$ a les limites projectives qu'a $F$. Enfin, pour une adjonction idempotente, $u \simeq \beta\, u_0\, \alpha'$ et $v \simeq \alpha\, v_0\, \beta'$, avec $\alpha'$ le réflecteur, qui est un passage à la catégorie des fractions, $\beta' $ le coréflecteur, et $\alpha$, $\beta$ les inclusions ; $\beta\, u_0 : E_0 \to F$ est pleinement fidèle (condition~4)).
\end{enonce}

\begin{proof}
\emph{Condition~1).} $Y = vP$ est dans $E_0$ si et seulement si $\eta_{vP}$ est inversible, et $uX \in F_0$ si et seulement si $\varepsilon_{uX}$ l'est : c'est l'énoncé sur les adjonctions idempotentes.

\emph{Le réflecteur.} Si $\operatorname{Im} u \subset F_0$, le foncteur $X \mapsto vu(X)$ arrive dans $E_0$, et il est adjoint à gauche de l'inclusion $E_0 \subset E$, d'unité $\eta_X : X \to vu(X)$ et de coünité $\eta_Y^{-1}$ en $Y \in E_0$ ; c'est le calcul de Hom de la page~5. Dualement, si $\operatorname{Im} v \subset E_0$, le foncteur $P \mapsto uv(P)$ est adjoint à droite de l'inclusion $F_0 \subset F$, de coünité $\varepsilon_P$ ; c'est le calcul entre crochets de la page~4. Ces deux adjonctions sont démontrées en Lean dans le même fichier général que l'énoncé sur les adjonctions idempotentes.

\emph{Limites.} Un adjoint à gauche commute aux limites inductives, un adjoint à droite aux limites projectives. Une sous-catégorie réflexive a les limites inductives de la catégorie ambiante : on réfléchit la limite inductive calculée dans $E$.

\emph{Condition~4).} Pour $X \in E$, $u_0(vu(X)) = uvu(X)$, et $\varepsilon_{uX} : uvu(X) \to u(X)$ est inversible et naturel en $X$ : d'où $\beta\,u_0\,\alpha' \simeq u$. De même $\eta_{vP}^{-1} : vuv(P) \to v(P)$ donne $\alpha\,v_0\,\beta' \simeq v$. Le foncteur $\beta\,u_0$ est pleinement fidèle comme composé d'une équivalence et d'une inclusion pleine. Enfin, un adjoint à gauche dont l'adjoint à droite est pleinement fidèle est une localisation en les flèches qu'il inverse ; c'est le cas de $\alpha'$.
\end{proof}

\begin{enonce}[La descente d'adjoints, page 6]
Soient $\alpha : E_1 \to E$ pleinement fidèle d'adjoint à gauche $\alpha'$, et $\psi : E_1^{\circ} \to \mathrm{Ens}$ tel que $\psi \circ \alpha'$ soit représentable. Alors $\psi$ est représentable. Par suite, si $\beta : E_1 \to F$ est un foncteur tel que $u = \beta\alpha'$ admette un adjoint à droite, $\beta$ admet un adjoint à droite.
\end{enonce}

\begin{proof}
Soit $\xi \in E$ représentant $\psi \circ \alpha'$ : $\operatorname{Hom}_E(X, \xi) \simeq \psi(\alpha' X)$, naturellement en $X$. Si $f : X \to Y$ est dans $\Sigma$, la composition avec $f$, de $\operatorname{Hom}(Y, \xi)$ dans $\operatorname{Hom}(X, \xi)$, correspond à $\psi(\alpha' f)$, qui est bijective puisque $\alpha'(f)$ est inversible ; $\xi$ est donc $\Sigma$-local, et, par l'énoncé sur les objets locaux, il existe $\xi_1 \in E_1$ et un isomorphisme $\alpha \xi_1 \simeq \xi$. Pour $Z \in E_1$, on compose alors les bijections
\[
  \operatorname{Hom}_{E_1}(Z, \xi_1) \simeq \operatorname{Hom}_E(\alpha Z, \alpha \xi_1) \simeq \operatorname{Hom}_E(\alpha Z, \xi) \simeq \psi(\alpha'\alpha Z) \simeq \psi(Z),
\]
la première par la pleine fidélité de $\alpha$, la dernière par $\psi$ appliqué à la coünité $\alpha'\alpha Z \to Z$, inversible puisque $\alpha$ est pleinement fidèle. La naturalité en $Z$ résulte de celle de la coünité. Donc $\psi$ est représenté par $\xi_1$.

Pour la seconde assertion, $\beta$ admet un adjoint à droite si et seulement si, pour tout $P \in F$, le préfaisceau $Z \mapsto \operatorname{Hom}_F(\beta Z, P)$ sur $E_1$ est représentable. Composé avec $\alpha'$, c'est $X \mapsto \operatorname{Hom}_F(\beta\alpha' X, P)$, représentable puisque $\beta\alpha'$ a un adjoint à droite. La première assertion conclut.
\end{proof}

La situation de la descente d'adjoints, avec $\alpha' \dashv \alpha$ et $\alpha$ pleinement fidèle : si $u = \beta\alpha'$ a un adjoint à droite, $\beta$ en a un.
\[
\begin{tikzcd}[column sep=huge]
E \arrow[r, shift left=1.2ex, "\alpha'"] \arrow[rr, bend left=40, "u = \beta\alpha'"] & E_1 \arrow[l, shift left=1.2ex, "\alpha"] \arrow[r, "\beta"] & F
\end{tikzcd}
\]

\begin{remarque}
L'exemple ci-dessus répond à la question de la marge de la page~3, avec $E'$ réduit à un objet ; la réponse de la lecture, \q{Elle l'est}, est juste.
\end{remarque}

\begin{remarque}
L'énoncé des pages~6 et~7 vaut pour toute sous-catégorie réflexive. La caractérisation de $\Sigma$ est classique : Gabriel et Zisman établissent, au chapitre~I de leur livre de 1967 \cite{gabrielzisman1967}, que l'adjoint à gauche d'un foncteur pleinement fidèle est la localisation par les flèches qu'il rend inversibles. L'identification des objets $\Sigma$-locaux à l'image essentielle, le \q{Or c'est vrai} de la page~7, est un lemme de base de la théorie des localisations.
\end{remarque}

\begin{remarque}
La cinquième condition de la page~3, \q{—— et $u'$ et $v'$ pl. fid.}, répète mot pour mot la deuxième ; l'énoncé ci-dessus en retient quatre.
\end{remarque}

\begin{remarque}
La descente de la page~6 tient sans l'hypothèse que $\beta$ soit pleinement fidèle, dont la démonstration ne se sert pas. Pour une catégorie $F$ quelconque, la réduction de la page au cas $\mathrm{Ob}\,F = \mathrm{Ob}\,E_1 \cup \{a\}$ revient à traiter un objet $P$ de $F$ à la fois, comme on l'a fait. La vérification suppose que les ensembles de flèches de $E$, $E_1$ et $F$ vivent dans le même univers, comme le demande la notion de foncteur représentable.
\end{remarque}

\begin{remarque}
La page~5 construit le réflecteur de $E_0$ sous la seule hypothèse $\operatorname{Im} u \subset F_0$, et le coréflecteur de $F_0$ sous $\operatorname{Im} v \subset E_0$. Ces deux hypothèses sont équivalentes par l'énoncé sur les adjonctions idempotentes, et l'identité triangulaire du réflecteur passe par cette équivalence.
\end{remarque}

\begin{remarque}
Les conditions équivalentes qui définissent une adjonction idempotente et l'équivalence entre les parties fixes sont exposées par Borceux (1994, §§~3.4 et~4.2) \cite{borceux1994}.
\end{remarque}

\begin{remarque}
La théorie des topos se sert de ces énoncés. Un sous-topos d'un topos $E$ est une sous-catégorie pleine réflexive dont le réflecteur est exact à gauche, et le faisceau associé est ce réflecteur ; les objets locaux des pages~6 et~7 sont alors les faisceaux, et $\Sigma$ la classe des flèches bicouvrantes. La page~15 du dossier, que l'onglet Findings range parmi les pistes déjà publiées, en tire en une demi-page le critère de reconnaissance de Giraud sous sa forme de localisation exacte à gauche d'un topos de préfaisceaux (SGA~4, exposé~IV \cite{sga4-1}). Les sous-topos classifiants de la cote~161-2 (section~\ref{sec:161-2}) et le $2$-produit de topos de la cote~161-3 (section~\ref{sec:161-3}) s'écrivent dans ce langage ; l'adjonction $\mathcal O \dashv \mathrm{Spec}$ de la section~\ref{sec:115} en est un exemple.
\end{remarque}

Ne sont pas démontrés ici : la reconstruction d'une adjonction idempotente à partir de $(E_0, F_0, E_0 \simeq F_0)$ (page~5) ; les pages~9 à~19, sauf la relation de la page~12 entre les deux trivialisations de $L' \otimes L$, démontrée ci-dessous. Le calcul des contractions des pages~11 et~12 est une notation et non un énoncé ; l'édition retient comme énoncé la question que la page~12 pose et résout par ses ficelles.

\begin{encadre}
\begin{definition}[Grothendieck, pages 11 et 12, contractions\piste{161-1-contractions-string-calculus}]
La catégorie monoïdale symétrique libre $\Phi(A)$ sur $A$ est étendue par des contractions, accouplements $L'_j \otimes L''_j \to \mathbf 1$ qui évaluent chaque facteur apparié contre son partenaire. On obtient un calcul diagrammatique pour les catégories monoïdales à duaux ; les ficelles dessinées en marge de la page~12 notent quel facteur est apparié à quel autre.
\end{definition}
\end{encadre}

\begin{theoreme*}[Grothendieck, page 12, \q{Relations entre $\varphi_{L',L}$ et $\psi_{L',L}$ ?}]\verifie[\leanblobmain]{Folder161_1}
Soient $C$ une catégorie monoïdale symétrique, de symétrie $s$, et $L$ un objet inversible, d'inverse $L'$ donné par un isomorphisme $\varphi_{L,L'} : L \otimes L' \xrightarrow{\sim} \mathbf 1$. Posons $\varphi_{L',L} = \varphi_{L,L'} \circ s_{L',L} : L' \otimes L \xrightarrow{\sim} \mathbf 1$. Il existe un unique morphisme $\psi_{L',L} : L' \otimes L \to \mathbf 1$ tel que
\[
  \varphi_{L,L'} \otimes \mathrm{id}_L = \mathrm{id}_L \otimes \psi_{L',L} \ :\ L \otimes L' \otimes L \longrightarrow L
\]
(aux contraintes d'associativité et d'unité près), et c'est un isomorphisme. Pour un scalaire $e \in \operatorname{End}(\mathbf 1)$, on a $\varphi_{L',L} = e \cdot \psi_{L',L}$ si et seulement si la symétrie $s_{L,L}$ agit sur $L \otimes L$ par $e$. En particulier
\[
  \varphi_{L',L} = \varepsilon(L) \cdot \psi_{L',L},
\]
où $\varepsilon(L) \in \operatorname{Aut}(\mathbf 1)$ est le scalaire par lequel $s_{L,L}$ agit sur $L \otimes L$ ; il ne dépend que de $L$, non de l'inverse $(L', \varphi_{L,L'})$ choisi, et $\varepsilon(L)^2 = 1$.
\end{theoreme*}

Un scalaire $e : \mathbf 1 \to \mathbf 1$ agit sur tout objet $X$ par $e \cdot \mathrm{id}_X = e \otimes \mathrm{id}_X$, lu à travers $\mathbf 1 \otimes X \simeq X$ ; cette action commute à toutes les flèches, et $e \cdot \mathrm{id}_{X \otimes Y} = (e \cdot \mathrm{id}_X) \otimes \mathrm{id}_Y$. Sur $\mathbf 1$, elle redonne $e$. Comme précédemment, on écrit $f\,;g$ pour « $f$ puis $g$ ».

\begin{proof}
\emph{Existence et unicité de $\psi$.} Comme $L' \otimes L \simeq \mathbf 1$ (par $\varphi_{L',L}$) et $L \otimes L' \simeq \mathbf 1$, le foncteur $L \otimes -$ est une équivalence de $C$, de quasi-inverse $L' \otimes -$ ; il est donc pleinement fidèle, et $\psi_{L',L}$ est l'unique antécédent de l'isomorphisme $\varphi_{L,L'} \otimes \mathrm{id}_L$, lu de $L \otimes (L' \otimes L)$ vers $L \otimes \mathbf 1$. De même $L' \otimes -$ est pleinement fidèle, et, la symétrie échangeant $f \otimes \mathrm{id}_Z$ et $\mathrm{id}_Z \otimes f$, on peut simplifier par $- \otimes L$ ou $- \otimes L'$.

\emph{Le carré de naturalité de la page.} Posons $\varepsilon = \psi_{L',L}^{-1}\,;\varphi_{L',L}$, de sorte que $\varphi_{L',L} = \psi_{L',L}\,;\varepsilon$ ; comme $s_{L,L'}\,;s_{L',L} = \mathrm{id}$, on a $\varphi_{L,L'} = \chi\,;\varepsilon$ avec $\chi = s_{L,L'}\,;\psi_{L',L}$. La naturalité de la symétrie $s_{L,-}$ appliquée à $\varphi_{L,L'} : L \otimes L' \to \mathbf 1$ donne, à l'identification $L \otimes \mathbf 1 \simeq L \simeq \mathbf 1 \otimes L$ près,
\[
  \mathrm{id}_L \otimes \varphi_{L,L'} = s_{L,\, L \otimes L'}\,;(\varphi_{L,L'} \otimes \mathrm{id}_L).
\]
L'hexagone décompose $s_{L,\,L \otimes L'} = (s_{L,L} \otimes \mathrm{id}_{L'})\,;(\mathrm{id}_L \otimes s_{L,L'})$, et l'identité triangulaire remplace $\varphi_{L,L'} \otimes \mathrm{id}_L$ par $\mathrm{id}_L \otimes \psi_{L',L}$ : le membre de droite devient $(s_{L,L} \otimes \mathrm{id}_{L'})\,;(\mathrm{id}_L \otimes \chi)$. Celui de gauche vaut $(\mathrm{id}_L \otimes \chi)\,;(\mathrm{id}_L \otimes \varepsilon)$, et $\mathrm{id}_L \otimes \varepsilon$ est l'action de $\varepsilon$ sur $L$ (encore par la symétrie, $s_{L,\mathbf 1}$ échangeant $\mathrm{id}_L \otimes \varepsilon$ et $\varepsilon \otimes \mathrm{id}_L$). Comme les scalaires commutent aux flèches, il vient
\[
  (\varepsilon \cdot \mathrm{id}_{L \otimes L \otimes L'})\,;(\mathrm{id}_L \otimes \chi) = (s_{L,L} \otimes \mathrm{id}_{L'})\,;(\mathrm{id}_L \otimes \chi),
\]
et l'isomorphisme $\mathrm{id}_L \otimes \chi$ se simplifie : $s_{L,L} \otimes \mathrm{id}_{L'} = (\varepsilon \cdot \mathrm{id}_{L \otimes L}) \otimes \mathrm{id}_{L'}$, puis $s_{L,L} = \varepsilon \cdot \mathrm{id}_{L \otimes L}$ en simplifiant par $- \otimes L'$.

\emph{Unicité du scalaire.} Si $e \cdot \mathrm{id}_{L \otimes L} = e' \cdot \mathrm{id}_{L \otimes L}$, on simplifie deux fois par $- \otimes L$ et l'on trouve $e = e'$. Ainsi $\varepsilon$ est le seul scalaire qui agisse comme $s_{L,L}$, ce qui donne l'équivalence de l'énoncé, l'indépendance de $\varepsilon(L)$ vis-à-vis de $(L', \varphi_{L,L'})$, et $\varepsilon(L)^2 = 1$ puisque $s_{L,L}\,;s_{L,L} = \mathrm{id}$. Enfin, $\psi_{L',L}\,;\varepsilon$ s'écrit $(\varepsilon \cdot \mathrm{id}_{L' \otimes L})\,;\psi_{L',L}$, la forme $\varepsilon(L) \cdot \psi_{L',L}$ de l'énoncé.
\end{proof}

L'énoncé tient tel que la lecture le donne, dans toute catégorie monoïdale symétrique, sans supposer que tous les objets soient inversibles (Lean : \href{\leanblobmain/Folder161_1.lean}{\texttt{psi\_triangle}, \texttt{psi\_unique}, \texttt{braiding\_self\_eq\_scalar}, \texttt{phiSwap\_eq\_iff}, \texttt{phiSwap\_eq\_scalar\_comp}, \texttt{epsilon\_eq\_of\_inverse}, \texttt{epsilon\_mul\_self}}). La symétrie ne sert qu'à deux endroits : la naturalité de $s_{L,-}$ et l'hexagone, qui sont le carré et les trois colonnes de ficelles sur lesquels la page s'interrompt. Ne sont pas vérifiés en Lean : le calcul diagrammatique des contractions lui-même et la catégorie $\Phi(A)$ ; l'exemple des super-espaces vectoriels, où $\varepsilon(L) = -1$ pour une droite impaire et où les deux trivialisations diffèrent donc d'un signe.
\bigskip
\noindent Autres pistes de l'onglet Findings pour ce thème, dans des cotes qui n'ont pas de section ici :\par

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Quillen, d'après les pages 43 à 45, universalité des correspondances de bordisme\piste{162-5-bordism-correspondences-universal}]\nonverifie
Sur les variétés fermées et les classes d'homotopie d'applications, la catégorie $\mathbf B$ dont les morphismes $X \to Y$ sont les classes de bordisme non orienté de variétés au-dessus de $X \times Y$ est universelle parmi les catégories munies d'un foncteur covariant et d'un foncteur contravariant qui coïncident sur les objets et vérifient le changement de base pour les carrés cartésiens transverses. Tout tel couple $(F'_\bullet, F'^\bullet)$ identifie les correspondances bordantes, une correspondance $Z \to X \times Y$ de composantes $p$, $q$ allant sur $F'_\bullet(q) \circ F'^\bullet(p)$. La page attribue l'énoncé à Quillen.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small Les feuillets en esquissent une démonstration incomplète (pages 43 à 45). L'esquisse finit par \q{Le reste est sans doute l'AQT}, sans rien sur la composition ni sur l'unicité, et le mot \q{fermées} est de l'édition. Mathlib n'a pas le bordisme des variétés. On se reportera aux notes de Grothendieck (\lot{162-5}{3}{43}).\par}

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Grothendieck, pages 27 à 30, de Rham et Hochschild pour une catégorie formelle\piste{162-5-de-rham-hochschild-flat-formal-category}]\nonverifie
Soient $X_0$ un schéma de caractéristique nulle et $\mathcal C$ une catégorie formelle sur $X_0$ de conormal $\Omega$ plat. Les données de descente sur un $\mathcal O$-module $M$ relativement à $\mathcal C$ correspondent aux $\Omega$-connexions intégrables sur $M$, et le complexe de de Rham $\Lambda^\bullet\Omega \otimes M$ est canoniquement quasi-isomorphe, dans la catégorie dérivée, au complexe de Hochschild $C^\bullet(\mathcal C, M)$.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small La page~30 l'énonce sans démonstration, \q{sous les conditions du th. de Quillen} ; le mot \q{intégrables} et la définition de $C^\bullet(\mathcal C, M)$ sont de la lecture. Deux cas particuliers sont classiques, et la lecture les identifie : pour $\mathcal C$ le complété formel de la diagonale d'un $X_0$ lisse sur $\mathbf Q$, les données de descente sont les stratifications, c'est-à-dire les connexions intégrables, et l'énoncé est la comparaison des cohomologies de de Rham et infinitésimale ; pour $X_0$ un point, c'est la comparaison de la cohomologie d'un groupe formel et de celle de son algèbre de Lie. Le cas d'une catégorie formelle quelconque, sans inverse supposé, de conormal plat non nécessairement de type fini, reste ouvert. C'est le pendant formel de la connexion de Gauss--Manin et des connexions projectives de la section~\ref{sec:93} ; la monodromie modérée correspondante, en caractéristique résiduelle $p$, est l'objet des énoncés de la cote~34 (partie \q{Groupes fondamentaux et théorie de Galois}). Mathlib n'a pas les catégories formelles ni les complexes de de Rham sur un schéma. On se reportera aux notes de Grothendieck (\lot{162-5}{2}{27}).\par}

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Quillen, d'après les pages 21 à 26, catégories formelles à conormal plat\piste{162-5-formal-categories-flat-conormal-de-rham}]\nonverifie
Sur un schéma $X_0$ de caractéristique nulle, le foncteur qui envoie une catégorie formelle $I$-adique sur $X_0$ (un pro-anneau complet augmenté muni d'un $\Delta$ coassociatif et counitaire, sans inverse supposé) sur l'algèbre différentielle graduée $(\Lambda^\bullet\Omega, \delta)$ de son conormal $\Omega = I/I^2$ est une équivalence entre les catégories formelles de $\Omega$ plat et les complexes de de Rham sur $\Lambda^\bullet\Omega$ de $\Omega$ plat, sans hypothèse de finitude sur $\Omega$ ni de lissité sur~$X_0$.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small La page~26 l'énonce comme \q{Th. de Quillen}, sans démonstration ni référence, et dit qu'il contient le théorème de Cartan sur les groupes formels en caractéristique nulle. Quand $\Omega$ est localement libre de type fini, la lecture identifie la catégorie formelle à un algébroïde de Lie, de complexe de Chevalley--Eilenberg $(\Lambda^\bullet\Omega, \delta)$ ; la Remarque~1 de la page (que $\delta^2 = 0$ suit des axiomes) est fausse, et l'énoncé encadré suppose $\delta^2 = 0$ dans la définition d'un complexe de de Rham. Mathlib n'a pas les catégories formelles $I$-adiques. On se reportera aux notes de Grothendieck (\lot{162-5}{2}{21}).\par}