\section[Cote 21 : injectifs de $I$-torsion, critère ponctuel pour un champ]{Cote 21 : injectifs de $I$-torsion, critère ponctuel pour un champ\protect\verifie{Folder21}}\label{sec:21}

La cote 21, \emph{[Chapitre] 0 III : tapuscrit et copies de tapuscrit annotés (s.d.), notes manuscrites (s.d.)}, datée par l'inventaire \q{[vers 1960-1967]}, s'ouvre sur un tapuscrit corrigé à la main. Pour un anneau noethérien $A$ et un idéal $I$, il étudie les foncteurs contravariants sur la catégorie $\underline{C}$ des $A$-modules de type fini annulés par une puissance de $I$, et les représente par des modules $H$ dont tout élément est annulé par une puissance de $I$ (2.9 à 2.14). La proposition~2.15, énoncée page~11, caractérise ceux de ces modules qui sont injectifs. Sa démonstration, page~13, invoque le critère de Baer sous le nom de \q{Tohoku}. Pour l'étape décisive, elle écrit \q{En vertu de \emph{Krull}, $I^n N$ contient une intersection $N \cap I^m N$}, avec $N$ là où la ligne suivante et l'argument demandent $M$ (\lot{21}{1}{13}). Le corollaire~2.16 suit, puis une ligne biffée à la machine : \q{Si on rejette tout ce numéro (comme il me semble raisonnable)}.

On explicite deux notions que la lecture prend dans les numéros précédents.

\begin{definition}
Un $A$-module $H$ est \emph{de $I$-torsion} si tout élément de $H$ est annulé par une puissance de $I$. Le foncteur $\operatorname{Hom}(-, H)$ est \emph{exact à droite sur $\underline{C}$} si, pour tout $M \in \underline{C}$ et tout sous-module $N \subseteq M$, tout homomorphisme $N \to H$ se prolonge en un homomorphisme $M \to H$. Pour un $A$-module $K$, on note $H^0_I(K)$ le sous-module des éléments de $K$ annulés par une puissance de $I$.
\end{definition}

\begin{enonce}[Proposition 2.15\lie{4}]
Soient $A$ un anneau noethérien, $I$ un idéal de $A$ et $H$ un $A$-module de $I$-torsion. Pour que $H$ soit un $A$-module injectif, il faut et il suffit que le foncteur $T_H(M) = \operatorname{Hom}(M, H)$ sur la catégorie $\underline{C}$ des $A$-modules de type fini annulés par une puissance de $I$ soit exact à droite, donc exact.
\end{enonce}

\begin{enonce}[Corollaire 2.16]
Soit $K$ un $A$-module. Si $K$ est injectif, $H^0_I(K)$ l'est aussi.
\end{enonce}
\general{PrimaryComponentInjective}

\begin{lemme}\label{lem:21-puissance}
Soient $H$ un module de $I$-torsion, $M$ un module de type fini et $g : M \to H$ un homomorphisme. Il existe $n$ tel que $a\,g(x) = 0$ pour tout $a \in I^n$ et tout $x \in M$.
\end{lemme}

\begin{proof}
Soient $s_1, \dots, s_k$ des générateurs de $M$, et $e_i$ tel que $I^{e_i}$ annule $g(s_i)$. Posons $n = \max_i e_i$ ; comme $I^n \subseteq I^{e_i}$, $I^n$ annule chaque $g(s_i)$. L'ensemble des $x \in M$ tels que $I^n$ annule $g(x)$ est un sous-module (il contient $0$, est stable par somme, et par multiplication par $c \in A$ puisque $a\,g(cx) = c\,(a\,g(x))$) ; il contient les générateurs, donc c'est $M$. C'est la phrase du feuillet : l'image de $u$ est \q{un sous-module de type fini de $H$, donc annulé par une puissance de $I$}.
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration de la proposition 2.15]
\emph{Nécessité.} Si $H$ est injectif, tout homomorphisme d'un sous-module $N$ de $M$ vers $H$ se prolonge à $M$, pour tout $M$, a fortiori pour $M \in \underline{C}$.

\emph{Suffisance.} Supposons $\operatorname{Hom}(-, H)$ exact à droite sur $\underline{C}$. Par le critère de Baer \cite{baer1940}, il suffit de montrer que, pour tout idéal $J$ de $A$, tout homomorphisme $g : J \to H$ se prolonge à $A$. L'idéal $J$ est de type fini ($A$ est noethérien) ; par le lemme~\ref{lem:21-puissance}, il existe $n$ tel que $I^n$ annule $g(J)$, et donc $g$ est nul sur $I^n J$, qui est engendré par les produits $a y$ avec $a \in I^n$, $y \in J$, sur lesquels $g(ay) = a\,g(y) = 0$.

Appliquons le lemme d'Artin--Rees au module $A$, à son sous-module $J$ et à l'idéal $I$ (lemme établi indépendamment par E.~Artin et par D.~Rees, qui l'a publié en 1956 \cite{rees1956}) : il existe $k$ tel que $J \cap I^{p} = I^{p-k}(J \cap I^{k})$ pour tout $p \geqslant k$. Posons $m = n + k$ ; alors
\[
  J \cap I^m = I^n (J \cap I^k) \subseteq I^n J .
\]
C'est l'inclusion $N \cap I^m M \subseteq I^n N$ de la lecture, pour $M = A$ et $N = J$.

Soit $\varphi : J \to A/I^m$ la composée de l'inclusion et de la projection. Son noyau est $J \cap I^m$, contenu dans $I^n J$, sur lequel $g$ est nul. Donc $g$ se factorise par l'image de $\varphi$ : il existe $u' : \varphi(J) \to H$ avec $u'(\varphi(x)) = g(x)$ pour $x \in J$. Le module $A/I^m$ est de type fini et annulé par $I^m$, donc dans $\underline{C}$, et $\varphi(J) \simeq J/(J \cap I^m)$ en est un sous-module. Par hypothèse, $u'$ se prolonge en $w : A/I^m \to H$. La composée de la projection $A \to A/I^m$ et de $w$ prolonge $g$ : pour $x \in J$, elle envoie $x$ sur $w(\varphi(x)) = u'(\varphi(x)) = g(x)$.
\end{proof}

Les flèches de la démonstration, où le prolongement cherché est $w$ composé avec la projection :
\[
\begin{tikzcd}[column sep=large]
J \arrow[r, hook] \arrow[d, two heads, "\varphi"] \arrow[dd, bend right=60, "g"'] & A \arrow[d, two heads] \\
\varphi(J) \arrow[r, hook] \arrow[d, "u'"] & A/I^m \arrow[dl, dashed, "w"] \\
H &
\end{tikzcd}
\qquad \ker\varphi = J \cap I^m \subseteq I^n J, \quad g = u' \circ \varphi.
\]



\begin{remarque}
La démonstration a besoin de l'inclusion d'Artin--Rees $N \cap I^m M \subseteq I^n N$, avec le module ambiant dans l'intersection, comme la lecture le rétablit. Celle de la page, $N \cap I^m N \subseteq I^n N$, est triviale pour $m \geqslant n$ et ne sert pas. L'inclusion utile résulte du lemme d'Artin--Rees ; le théorème d'intersection de Krull (1938) qu'invoque la page ne la donne pas.
\end{remarque}

\begin{remarque}
Dans~2.15, la finitude des objets de $\underline{C}$ n'intervient qu'à travers les modules monogènes $A/I^m$ : pour l'injectivité, il suffit que les homomorphismes vers $H$ se prolongent le long des inclusions $J/(J \cap I^m) \hookrightarrow A/I^m$.
\end{remarque}

\begin{remarque}
Le corollaire~2.16 se déduit de~2.15 : si $K$ est injectif, le prolongement à $K$ d'un homomorphisme vers $H^0_I(K)$ défini sur un sous-module d'un module annulé par $I^n$ prend encore ses valeurs dans $H^0_I(K)$. Aucune finitude n'y sert, et la noethérianité n'intervient qu'à travers~2.15.
\end{remarque}

\begin{remarque}
L'énoncé selon lequel la composante $I$-primaire d'un module injectif sur un anneau noethérien est injective est le lemme 08XW de \cite{stacks}.
\end{remarque}

\noindent\emph{Catégories fibrées (pages 21 à 26).} Soient $Y$ un fermé de $X$ et $\mathcal F$ une catégorie fibrée sur les ouverts de $X$. La définition~6 (page~21) dit que $\mathcal F$ satisfait $(P_1)$, resp. $(P_2)$, resp. $(P_3)$, relativement à $Y$ si, pour tout ouvert $V$, la restriction $\mathcal F(V) \to \mathcal F(V \smallsetminus Y)$ est fidèle, resp. pleinement fidèle, resp. une équivalence, et qu'elle les satisfait en $x$ si le foncteur $\mathrm{Pseudolim}_W \mathcal F(W) \to \mathrm{Pseudolim}_W \mathcal F(W \smallsetminus \overline{\{x\}})$, $W$ parcourant les voisinages ouverts de $x$, l'est. La proposition~7 (page~24) affirme l'équivalence des deux formes sur un espace noethérien spectral ; le recollement de la page~26 demande que $\mathcal F$ soit un champ, hypothèse que la lecture ajoute.

\begin{theoreme}[D'après les pages 21 à 26, forme complétée par l'édition\piste{21-stack-p3-pointwise}]
Soient $X$ un espace noethérien quasi-sobre (par exemple noethérien spectral), $Y$ une partie fermée et $\mathcal F$ une catégorie fibrée scindée sur les ouverts de $X$ qui est un champ pour les recouvrements par deux ouverts. Pour chacune des conditions $(P_1)$, $(P_2)$, $(P_3)$, $\mathcal F$ la satisfait relativement à $Y$ si et seulement si elle la satisfait en tout point de $Y$. Pour $(P_1)$ et $(P_2)$, il suffit que $\mathcal F$ soit un préchamp pour ces recouvrements.
\end{theoreme}

\noindent L'énoncé tient (\href{\leanblob/Folder21.lean}{\texttt{proposition7\_P1}}, \texttt{\_P2}, \texttt{\_P3} ; corollaire~8 : \texttt{corollaire8\_P3}).

\begin{proof}[Esquisse]
(i)~$\Rightarrow$~(ii) est formel : le corollaire~8, qui vaut pour toute partie $Y' \subseteq Y$, appliqué à $\overline{\{x\}}$. Pour (ii)~$\Rightarrow$~(i), récurrence noethérienne sur les fermés $Y' \subseteq Y$. Un fermé non vide $Y'$ a un point $x$ et un voisinage ouvert $W_0$ de $x$ tels que $W_0 \cap Y' \subseteq \overline{\{x\}}$ : le point générique d'une composante irréductible maximale, $W_0$ étant le complémentaire des autres composantes. Si $x \notin V$, alors $V \cap \overline{\{x\}} = \emptyset$ et l'hypothèse de récurrence pour $Y' \smallsetminus W_0$ conclut. Sinon, sur $W = V \cap W_0$, on a $W \smallsetminus \overline{\{x\}} = W \smallsetminus Y'$ ; la condition en $x$ donne, sur un voisinage $W' \subseteq W$ de $x$, une flèche (resp. un objet) qui coïncide hors de $\overline{\{x\}}$ avec la donnée. On recolle sur $(V \smallsetminus Y') \cup W' = V \smallsetminus (Y' \smallsetminus W')$, et la récurrence pour $Y' \smallsetminus W'$ conclut.
\end{proof}

\begin{remarque}
Les pseudo-limites ne sont pas construites : la condition en $x$ est écrite dépliée, en germes de flèches et d'objets. Une catégorie fibrée y est un foncteur $(\mathrm{Ouv}\,X)^{\mathrm{op}} \to \mathrm{Cat}$ ; le champ n'est demandé que pour deux ouverts, sans compatibilité de l'objet recollé à l'isomorphisme. Dans (ii)~$\Rightarrow$~(i), les trois propriétés se démontrent séparément : la surjectivité essentielle en chaque point donne à elle seule la surjectivité essentielle, sans les conditions $(P_1)$ et $(P_2)$ que la page suppose acquises (\q{Reste le cas $P_3$, quand $P_1$, $P_2$ sont déjà vérifiés}).
\end{remarque}

Ne sont pas démontrés ici : la profondeur le long d'un fermé et le prolongement de type Hartogs ; les numéros~2.1 à~2.14 (Eilenberg--Watts, module représentant, premiers associés) ; la proposition~2.15 comme équivalence de catégories ; le numéro~2.17 ; les faisceaux des pages~15 à~20 ; l'identification de la page~23 à $\mathcal F_{(x)}$ sur le localisé $X_{(x)}$ ; le corollaire~10 et les torseurs des pages~27 et~28.
\section[Cote 22 : produits de modules plats (lemme 3.3, corollaires 3.4 et 3.5), l'obstruction sur {$k[[t]]$}, un noyau de différentielles]{Cote 22 : produits de modules plats (lemme 3.3, corollaires 3.4 et 3.5), l'obstruction sur $k[[t]]$, un noyau de différentielles\protect\verifie{Folder22}}\label{sec:22}

La cote 22, \emph{[EGA IV]. [Chapitre] 0 IV. Cohen, différentielles, algèbres formellement simples (Compléments)}, datée par l'inventaire \q{1963-[vers 1967]}, réunit des tirés à part, un tapuscrit annoté et des notes manuscrites. Les pages~9 à~17 sont un tapuscrit paginé de sa main 24 à 32 et corrigé à l'encre : le numéro~3 d'un chapitre adressé à un correspondant qu'il tutoie. Avant le théorème central du numéro, la page~10 (sa page~25) place trois énoncés et en donne la fonction : \q{il nous sera commode d'avoir un critère permettant de déduire de la propriété P une propriété de platitude} (\lot{22}{1}{10}). Dans la démonstration du lemme~3.3, les mots \q{de type fini}, qui qualifient les modules libres de la présentation, sont une addition manuscrite. Dans l'énoncé du corollaire~3.5, un passage biffé portait \q{de $A$-modules projectifs de type fini}. Les pages manuscrites~22 et~24 prennent $k = \mathbf Q((x_i))$ et $A = k[[t]]$, écrivent $\Omega_k \otimes_k A \simeq A^{(I)} \subsetneq \prod_i A\,dx_i$ et cherchent une dérivation $D : A \to \Omega_k \otimes_k A$ qui prolonge $d_k$ ; la page~22 présume que $A$ \q{n'est jamais formellement lisse sur $k$ pour la topologie discrète} (\lot{22}{2}{22}). La page~23 énonce le cas général : si $\Omega_{K/k}$ est de dimension infinie sur $K$, $A = K[[t_1, \ldots, t_n]]$, muni de la topologie discrète, n'est pas formellement lisse sur $K$ (\lot{22}{2}{23}). La page~24 choisit des indices $i_0, i_1, \ldots$, commence la série $\sum_n a_n t^n$ et s'arrête.

\begin{enonce}[Lemme 3.3]
Soient $A$ un anneau, $(P_i)_{i \in I}$ une famille de $A$-modules, $P = \prod_i P_i$ leur produit, et $M$ un $A$-module de présentation finie. Alors l'homomorphisme canonique $M \otimes_A P \to \prod_i (M \otimes_A P_i)$ est un isomorphisme.
\end{enonce}

\begin{enonce}[Corollaire 3.4 ; cas noethérien du théorème de Chase]
Supposons que tout $A$-module de type fini soit de présentation finie (par exemple $A$ noethérien). Alors tout produit de $A$-modules plats est plat.
\end{enonce}

\begin{enonce}[Corollaire 3.5]
Supposons $A$ comme en 3.4, par exemple noethérien. Soit $P$ un $A$-module isomorphe à la limite projective d'un système projectif strict, admettant un système cofinal dénombrable, de $A$-modules projectifs. Alors $P$ est un $A$-module plat.
\end{enonce}

\noindent Le corollaire~3.5 est démontré ici sous la forme à laquelle la lecture le ramène : un système $(P_n)_{n \in \mathbb N}$ dont les applications de transition $\pi_n : P_{n+1} \to P_n$ sont surjectives ; sa limite est le sous-module de $\prod_n P_n$ formé des suites $(x_n)$ telles que $\pi_n(x_{n+1}) = x_n$ pour tout $n$.

Pour un homomorphisme $g : M \to N$, notons $c_M : M \otimes P \to \prod_i (M \otimes P_i)$ l'homomorphisme canonique, $m \otimes (p_i)_i \mapsto (m \otimes p_i)_i$. Il est naturel en $M$ : $c_N \circ (g \otimes P) = \bigl(\prod_i (g \otimes P_i)\bigr) \circ c_M$, comme on le voit sur les tenseurs purs.

\begin{lemme}\label{lem:22-libre}
Pour tout entier $n$, $c_{A^n}$ est bijectif.
\end{lemme}

\general{FinitePresentationPiRightHomBijective}

\begin{proof}[Démonstration du lemme 3.3]
C'est celle du feuillet. Le module $M$ étant de présentation finie, il existe une suite exacte $A^m \xrightarrow{f} A^n \xrightarrow{g} M \to 0$ de modules libres \emph{de type fini}. Comme le produit tensoriel est exact à droite, on obtient deux suites exactes
\[
\begin{tikzcd}
A^m \otimes P \arrow[r] \arrow[d, "c_{A^m}"'] & A^n \otimes P \arrow[r] \arrow[d, "c_{A^n}"'] & M \otimes P \arrow[r] \arrow[d, "c_M"'] & 0 \\
\prod_i (A^m \otimes P_i) \arrow[r] & \prod_i (A^n \otimes P_i) \arrow[r] & \prod_i (M \otimes P_i) \arrow[r] & 0
\end{tikzcd}
\]
la seconde parce qu'un produit de suites exactes est exact (on choisit un antécédent composante par composante). Les homomorphismes $c_{A^m}$, $c_{A^n}$, $c_M$ forment un morphisme de la première suite dans la seconde, par naturalité de $c$. Les deux premiers sont bijectifs par le lemme~\ref{lem:22-libre}. Le lemme des cinq, sous sa forme pour des suites exactes à droite (surjectivité à gauche, bijectivité au milieu), montre que $c_M$ est bijectif.
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration du corollaire 3.4]
On démontre en fait davantage : il suffit que tout idéal de type fini de $A$ soit de présentation finie. Soient $(P_i)$ des modules plats et $P = \prod_i P_i$. Par le critère classique de platitude par les idéaux, il suffit de voir que, pour tout idéal $J$ de type fini de $A$, l'application $J \otimes P \to A \otimes P$ induite par l'inclusion $\iota : J \to A$ est injective. Par naturalité,
\[
  \Bigl(\prod_i (\iota \otimes P_i)\Bigr) \circ c_J = c_A \circ (\iota \otimes P).
\]
Le membre de gauche est injectif : $c_J$ l'est par le lemme~3.3, $J$ étant de présentation finie, et chaque $\iota \otimes P_i$ l'est parce que $P_i$ est plat. Donc $\iota \otimes P$ est injectif. Sous l'hypothèse de 3.4, tout idéal de type fini, module de type fini, est de présentation finie, et l'on conclut.
\end{proof}

\begin{lemme}\label{lem:22-hyp}
Tout $A$-module de type fini est de présentation finie si et seulement si $A$ est noethérien.
\end{lemme}

\general{IsNoetherianRingIffFinitePresentation}

\begin{lemme}\label{lem:22-prod2}
Le produit de deux modules plats est plat.
\end{lemme}

\general{FlatProdPi}

\begin{proof}[Démonstration du corollaire 3.5, pour un système indexé par $\mathbb N$]
Chaque $\pi_n : P_{n+1} \to P_n$ est surjective et $P_n$ est projectif, donc $\pi_n$ admet une section $s_n : P_n \to P_{n+1}$, $\pi_n \circ s_n = \mathrm{id}$. Le noyau $K_n$ de $\pi_n$ est un facteur direct de $P_{n+1}$ (un projecteur sur $K_n$ est $\mathrm{id} - s_n \circ \pi_n$), donc projectif, en particulier plat. Soit $\Phi : \varprojlim_n P_n \to P_0 \times \prod_n K_n$ l'application
\[
  (x_n)_n \longmapsto \bigl(x_0,\ (x_{n+1} - s_n(x_n))_n\bigr),
\]
bien définie car $\pi_n(x_{n+1} - s_n(x_n)) = x_n - x_n = 0$, et linéaire. Elle est injective : si deux suites ont même image, elles ont même terme d'indice $0$ et, comme $x_{n+1} = s_n(x_n) + k_n$ détermine $x_{n+1}$ à partir de $x_n$, mêmes termes à tout indice par récurrence. Elle est surjective : étant donnés $y \in P_0$ et $(k_n) \in \prod_n K_n$, la suite définie par $x_0 = y$ et $x_{n+1} = s_n(x_n) + k_n$ vérifie $\pi_n(x_{n+1}) = x_n + 0$, est donc dans la limite, et a pour image $(y, (k_n))$. Ainsi $\varprojlim P_n \simeq P_0 \times \prod_n K_n$. Par le corollaire~3.4, $\prod_n K_n$ est plat ; par le lemme~\ref{lem:22-prod2}, $P_0 \times \prod_n K_n$ l'est, et la platitude passe à un module isomorphe.
\end{proof}

\begin{remarque}
Le lemme~3.3 vaut sur tout anneau commutatif. Sa réciproque, qu'un module pour lequel ces flèches sont bijectives pour toute famille $(P_i)$ est de présentation finie, est due à Lenzing (1969) \cite{lenzing1969}. Avec l'addition manuscrite \q{de type fini}, la démonstration du feuillet se ramène aux modules $A^n$.
\end{remarque}

\begin{remarque}
L'hypothèse de~3.4, que tout module de type fini soit de présentation finie, équivaut à la noethérianité (lemme~\ref{lem:22-hyp}). Le \q{par exemple $A$ noethérien} de la page ne désigne donc pas une classe plus large.
\end{remarque}

\begin{remarque}
Le corollaire~3.4 est un cas du théorème de Chase, publié en 1960 \cite{chase1960}, avant les dates que l'inventaire donne au dossier : sur un anneau cohérent, tout produit de modules plats est plat. La démonstration ci-dessus n'applique le lemme~3.3 qu'aux idéaux de type fini.
\end{remarque}

\noindent\emph{L'obstruction des pages~22 et~24.} On note $A = k[[t]]$ et, pour un $k$-module $M$, $A \otimes_k M$ le $A$-module obtenu par extension des scalaires. Une dérivation est prise sur une base quelconque $R$ (pour la page, $R = \mathbf Q$) ; seules servent l'additivité et la règle de Leibniz. \q{Formellement lisse pour la topologie discrète} est la lissité formelle de mathlib, $\mathtt{Algebra.FormallySmooth}$ : $\Omega_{A/k}$ projectif et $H_1(L_{A/k}) = 0$, condition équivalente au relèvement des morphismes à travers les idéaux de carré nul.

\begin{lemme}\label{lem:22-obstruction}
Soient $k$ un anneau commutatif non nul, $M$ un $k$-module libre de base $(b_i)_{i \in I}$, $(i_n)_{n \in \mathbb N}$ une suite injective d'indices et $(a_n)$ une suite d'éléments de $k$. Il n'existe pas de dérivation $D : A \to A \otimes_k M$ telle que $D(a_n) = 1 \otimes b_{i_n}$ pour tout $n$.
\end{lemme}

\begin{proof}
Pour $j \in I$, soit $p_j : A \otimes_k M \to A$ l'application $A$-linéaire $f \otimes m \mapsto b_j^*(m)\, f$, où $b_j^*$ est la coordonnée d'indice $j$. Un élément de $A \otimes_k M$ est une somme finie de tenseurs purs, donc n'a qu'un nombre fini de coordonnées $p_j$ non nulles. Soit $f = \sum_n a_n t^n$. Il existe donc $n$ tel que $p_{i_n}(D(f)) = 0$ et $p_{i_n}(D(t)) = 0$. L'application $E = p_{i_n} \circ D : A \to A$ est une dérivation, puisque $p_{i_n}$ est $A$-linéaire ; elle vérifie $E(t) = 0$, donc $E(t^m) = 0$ et $E(t^m g) = t^m E(g)$ pour tout $m$ et tout $g \in A$, et $E(a_m) = b_{i_n}^*(b_{i_m}) = \delta_{mn}$, l'application $m \mapsto i_m$ étant injective. Écrivons $f = \sum_{m \leq n} a_m t^m + t^{n+1} g$. Alors
\[ E(f) = \sum_{m \leq n} \delta_{mn}\, t^m + t^{n+1} E(g), \]
dont le coefficient de $t^n$ est $1$. Or $E(f) = 0$, et $1 \neq 0$ dans $k$.
\end{proof}

\begin{theoreme}[D'après les pages 22 et 24, obstruction différentielle sur {$k[[t]]$}, topologie discrète, forme complétée par l'édition\piste{22-power-series-discrete-obstruction}]
Soient $k = \mathbf Q(x_i : i \in I)$, avec $I$ infini, et $A = k[[t]]$. Les $dx_i$ forment une base de $\Omega_{k/\mathbf Q}$, si bien que $A \otimes_k \Omega_{k/\mathbf Q} \simeq A^{(I)}$ ; aucune dérivation $D : A \to A \otimes_k \Omega_{k/\mathbf Q}$ ne vérifie $D(c) = 1 \otimes dc$ pour tout $c \in k$, et $A$ n'est pas formellement lisse sur $k$ pour la topologie discrète.
\end{theoreme}

\begin{proof}
Les $dx_i$ forment une base de $\Omega_{P/\mathbf Q}$, pour $P = \mathbf Q[x_i : i \in I]$. Le corps $k$ est un localisé de $P$, donc formellement étale sur $P$, et $k \otimes_P \Omega_{P/\mathbf Q} \to \Omega_{k/\mathbf Q}$ est un isomorphisme ; les $dx_i$ forment donc une base de $\Omega_{k/\mathbf Q}$. Si $D$ existait, on choisirait une suite injective $(i_n)$ dans $I$ et $a_n = x_{i_n}$ : le lemme~\ref{lem:22-obstruction} interdit $D(x_{i_n}) = 1 \otimes dx_{i_n}$.

Supposons $A$ formellement lisse sur $k$. La suite de Jacobi--Zariski
\[ H_1(L_{A/k}) \xrightarrow{\ \delta\ } A \otimes_k \Omega_{k/\mathbf Q} \xrightarrow{\ \iota\ } \Omega_{A/\mathbf Q} \longrightarrow \Omega_{A/k} \longrightarrow 0 \]
est exacte. Comme $H_1(L_{A/k}) = 0$ et que $\Omega_{A/k}$ est projectif, elle est scindée, et $\iota$ a une rétraction $A$-linéaire $r$ : c'est l'énoncé général rappelé à la suite de la démonstration. Alors $D = r \circ d_A$ est une dérivation de $A$ dans $A \otimes_k \Omega_{k/\mathbf Q}$, et $D(c) = r(\iota(1 \otimes dc)) = 1 \otimes dc$ pour $c \in k$ : c'est le cas exclu au paragraphe précédent.
\end{proof}
\general{FormallySmoothMapBaseChange}

La page~23 dit la même chose pour tout corps : sous l'hypothèse \q{de dimension infinie}, elle conclut par la négative. C'est l'énoncé que l'édition avait démontré en partant de l'exemple.

\begin{theoreme}[Grothendieck, page 23, pour une seule variable]\label{prop:22-corps}
Soient $k$ un anneau commutatif et $K$ un corps qui est une $k$-algèbre, avec $\Omega_{K/k}$ de dimension infinie sur $K$. Aucune dérivation $D : K[[t]] \to K[[t]] \otimes_K \Omega_{K/k}$ ne vérifie $D(c) = 1 \otimes dc$ pour tout $c \in K$, et $K[[t]]$ n'est pas formellement lisse sur $K$ pour la topologie discrète.
\end{theoreme}

\begin{proof}
Les $da$, $a \in K$, engendrent $\Omega_{K/k}$ ; on en extrait une base, infinie par hypothèse, et une suite injective $da_0, da_1, \ldots$ de vecteurs de cette base. Le lemme~\ref{lem:22-obstruction} exclut alors $D$, et la seconde moitié de la démonstration précédente, où $\mathbf Q$ est remplacé par $k$, montre que la lissité formelle donnerait une telle $D$.
\end{proof}

\noindent Voir \texttt{no\_derivation\_of\_field} et \texttt{not\_formallySmooth\_of\_field} dans \href{\leanblob/Folder22.lean}{\texttt{Folder22.\allowbreak{}lean}}. La page prend $n > 0$ variables $t_1, \ldots, t_n$ ; l'énoncé suivant ramène ce cas à une seule variable. Elle conclut que $A$ \q{n'est pas f.\ lisse sur $K$ relativement à $k$, et a fortiori n'est pas f.\ lisse sur $k$} : le \q{relativement à $k$} nomme vraisemblablement l'obstruction ci-dessus, et le \q{a fortiori} suppose une notion relative que le dossier ne définit pas ; il n'est pas démontré ici. Pour $k = \mathbf Q$ et $K = \mathbf Q(x_i : i \in I)$, c'est l'exemple des pages~22 et~24.

\begin{encadre}
\begin{theoreme}[Grothendieck, page 23, en $n$ variables\piste{22-p23-proposition-reconstruction}]
Soient $k$ un anneau commutatif, $K$ un corps qui est une $k$-algèbre, avec $\Omega_{K/k}$ de dimension infinie sur $K$, et $A = K[[t_1, \ldots, t_n]]$, $n \geq 1$. Aucune dérivation $D : A \to A \otimes_K \Omega_{K/k}$ ne vérifie $D(c) = 1 \otimes dc$ pour tout $c \in K$, et $A$ n'est pas formellement lisse sur $K$ pour la topologie discrète.
\end{theoreme}
\end{encadre}

\begin{proof}
Soit $\iota : K[[t]] \to A$ le morphisme de $K$-algèbres $f(t) \mapsto f(t_1)$, et $\pi : A \to K[[t]]$ celui qui envoie $t_1$ sur $t$ et les autres $t_i$ sur $0$ ; ce sont des substitutions de séries sans terme constant, et $\pi \circ \iota$ est l'identité. Soit $\varphi = \pi \otimes \mathrm{id} : A \otimes_K \Omega_{K/k} \to K[[t]] \otimes_K \Omega_{K/k}$ ; il vérifie $\varphi(a \cdot \tau) = \pi(a) \cdot \varphi(\tau)$, puisque c'est vrai des tenseurs purs $\tau = b \otimes \omega$. Si $D$ existait, $D' = \varphi \circ D \circ \iota$ serait une dérivation de $K[[t]]$ : $D'(fg) = \varphi\bigl(\iota(f) D(\iota g) + \iota(g) D(\iota f)\bigr) = f\,D'(g) + g\,D'(f)$, puisque $\pi(\iota f) = f$. Et $D'(c) = \varphi(1 \otimes dc) = 1 \otimes dc$ pour $c \in K$. Le théorème~\ref{prop:22-corps} l'exclut.

Supposons enfin $A$ formellement lisse sur $K$. Comme pour une variable, la suite de Jacobi--Zariski, avec $H_1(L_{A/K}) = 0$ et $\Omega_{A/K}$ projectif, fournit une rétraction $A$-linéaire $r$ de $\iota : A \otimes_K \Omega_{K/k} \to \Omega_{A/k}$, et $r \circ d_A$ est une dérivation de $A$ dans $A \otimes_K \Omega_{K/k}$ qui envoie $c \in K$ sur $r(\iota(1 \otimes dc)) = 1 \otimes dc$ : c'est ce que l'on vient d'exclure.
\end{proof}

\noindent Voir \texttt{incl}, \texttt{proj}, \texttt{no\_derivation\_mv} et \texttt{not\_formallySmooth\_mv} (qui applique \texttt{retraction\_of\_formallySmooth}) dans \href{\leanblob/Folder22.lean}{\texttt{Folder22.\allowbreak{}lean}}, où les variables sont indexées par un ensemble fini non vide quelconque.

\begin{remarque}
La conclusion de l'exemple est de la lecture : la page~24 s'arrête sur la construction de la série. Les pages~22 et~23 se ramènent d'abord au cas $D(t) = 0$ : $D(t)$ est une combinaison linéaire finie de $dx_i$, $i \in J$, et l'on remplace $\mathbf Q$ par le sous-corps $k_0$ engendré par les $x_i$, $i \in J$ (à la page~23, $k$ par une extension de type fini $K'$). Ce pas n'est pas nécessaire : il suffit de prendre $n$ assez grand pour que la coordonnée d'indice $i_n$ de $D(t)$ soit déjà nulle. La page~24 choisit ensuite $a_n$ tel que $d_{K/k}\,a_n \neq 0$, après avoir biffé $D_{i_n}(a_n) \neq 0$. La condition retenue ne suffit pas : si tous les $a_n$ sont égaux et $D(t) = 0$, $D(\sum a_n t^n)$ n'a qu'une coordonnée non nulle. C'est la condition biffée, une coordonnée d'indice $i_n$ non nulle, dont se sert le lemme~\ref{lem:22-obstruction}. La caractéristique~$0$ ne sert pas : le théorème~\ref{prop:22-corps} vaut en caractéristique $p$, par exemple pour $\mathbb F_p(x_i : i \in I)$, $I$ infini. La piste demande si l'exemple figure dans EGA~$0_{\mathrm{IV}}$ ou chez Matsumura ; le projet Stacks n'énonce la lissité formelle de $K[[x]]$ que pour la topologie $(x)$-adique \cite[tags 07EL et 07EM]{stacks}.
\end{remarque}

\paragraph{Différentielles en caractéristique $p$ (pages 25 à 28).} La page~26 dessine le carré $k \subset K$, $k \cap K^p \subset K^p$, énonce que $\Omega^1_{k/k \cap K^p} \otimes_k K \to \Omega^1_K$ peut ne pas être injective, ou, ce qui revient au même, que le noyau $N_{K/k}$ de $\Omega^1_k \otimes_k K \to \Omega^1_K$ peut ne pas être engendré par les $dx \otimes 1$, $x \in k \cap K^p$, et annonce \q{Voici un contre-exemple} ; la page~28 établit par l'absurde la $p$-liberté de $(x, y)$ sur $k \cap K^p$ et propose la spécialisation $a_i = 0$ pour $2 \leq i \leq p - 1$ (\lot{22}{2}{26}, \lot{22}{2}{28}).

Le carré de la page~26, où les traits sont des inclusions de corps :
\[
\begin{tikzcd}
k' = k \cap K^p \arrow[r, no head] \arrow[d, no head] & K^p \arrow[d, no head] \\
k \arrow[r, no head] & K
\end{tikzcd}
\]

\begin{encadre}
\begin{contrexemple}[Grothendieck, pages 26 et 28, noyau des différentielles, dans la spécialisation de la page 28\piste{22-differentials-kernel-counterexample}]\label{thm:22-differentielles}
Soient $p$ un nombre premier, $K = \mathbb F_p(x, b_0, b_1)$ le corps des fractions rationnelles en trois indéterminées, $a_i = b_i^p$, $y = a_0 + a_1 x$, $k = \mathbb F_p(x, y) \subset K$ et $k' = k \cap K^p$. L'application $K \otimes_k \Omega_{k/k'} \to \Omega_{K/k'}$ n'est pas injective : $1 \otimes dy - a_1 \otimes dx$ est un élément non nul de son noyau.
\end{contrexemple}
\end{encadre}

\begin{proof}
Toute dérivation de $K$ tue les puissances $p$-ièmes, donc $dy = a_1\,dx$ dans $\Omega_{K/k'}$, et l'élément est dans le noyau. Pour voir qu'il n'est pas nul, il suffit d'une $k'$-dérivation $\delta : k \to K$ avec $\delta(x) = 0$ et $\delta(y) = 1$ : elle donne une forme $K$-linéaire sur $K \otimes_k \Omega_{k/k'}$ qui vaut $1$ sur l'élément. On prend $\delta = \partial/\partial y$, les dérivées partielles de $k = \mathbb F_p(x, y)$ venant de la base $(dx, dy)$ de $\Omega_{k/\mathbb F_p}$, et il reste à voir que $\partial c/\partial y = 0$ pour $c \in k'$. Soit $\partial_x$ la dérivée partielle de $K$ par rapport à $x$, qui tue $b_0$, $b_1$ et $K^p$. Par la règle de dérivation des fonctions composées, $0 = \partial_x c = \partial c/\partial x + a_1\, \partial c/\partial y$. Si $\partial c/\partial y$ n'était pas nul, $a_1$ serait dans $k$. Or $x, y, a_1$ sont algébriquement indépendants sur $\mathbb F_p$ : la substitution $(T_0, T_1, T_2) \mapsto (x, y, a_1)$ est l'automorphisme triangulaire $(T_0, T_1 + T_2 T_0, T_2)$ suivi de $(T_0, T_1^p, T_2^p)$, que la substitution $T_0 \mapsto T_0^p$ rend égal au morphisme injectif $f \mapsto f(T^p)$. Une égalité $a_1 g(x, y) = f(x, y)$ donnerait $T_2\, g = f$ dans $\mathbb F_p[T_0, T_1, T_2]$, d'où $f = 0$ en faisant $T_2 = 0$, puis $g = 0$ (Lean : \texttt{contre\_exemple\_page26}, \texttt{a1\_not\_mem}, \texttt{triple\_injective}).
\end{proof}

\begin{remarque}
La démonstration ne calcule pas $k'$ : elle établit seulement que $\partial/\partial y$ le tue, c'est-à-dire la $p$-liberté de $(x, y)$ sur $k'$ que la page~28 démontre par l'absurde. Le but est $\Omega_{K/k'}$, qui est le $\Omega^1_K$ de la page puisque $k'$ est formé de puissances $p$-ièmes (lemme~\ref{thm:22-identification} ci-dessous). Pour $p = 2$ la spécialisation est l'exemple entier ; le cas général est le contre-exemple~\ref{thm:22-differentielles-general}.
\end{remarque}

\begin{encadre}
\begin{lemme}[identification $\Omega_{K/k'} = \Omega_K$]\label{thm:22-identification}
Soient $R \to S \to B$ des homomorphismes d'anneaux commutatifs, $B$ de caractéristique $p$, tels que l'image de $S$ dans $B$ soit formée de puissances $p$-ièmes. Alors $\Omega_{B/R} \to \Omega_{B/S}$ est bijective. En particulier $\Omega_K = \Omega_{K/\mathbb F_p} \to \Omega_{K/k'}$ est un isomorphisme pour tout $k' \subset K^p$.
\end{lemme}
\end{encadre}

\begin{proof}
La suite $B \otimes_S \Omega_{S/R} \to \Omega_{B/R} \to \Omega_{B/S} \to 0$ est exacte, et sa première flèche envoie $b \otimes ds$ sur $b\, d(w^p) = p\, b\, w^{p-1}\, dw = 0$ si $s$ a pour image $w^p$ ; elle est donc nulle (Lean : \texttt{map\_bijective\_of\_pow}, \texttt{omega\_kPrimeOf\_bijective}).
\end{proof}

\begin{encadre}
\begin{contrexemple}[Grothendieck, pages 26 et 28, noyau des différentielles, l'exemple général\piste{22-differentials-kernel-counterexample}]\label{thm:22-differentielles-general}
Soient $p$ un nombre premier, $K = \mathbb F_p(x, b_0, \ldots, b_{p-1})$, $a_i = b_i^p$, $y = \sum_{i=0}^{p-1} a_i x^i$, $k = \mathbb F_p(x, y) \subset K$ et $k' = k \cap K^p$. Alors $\Omega_{k/k'} \otimes_k K \to \Omega_K$ n'est pas injective ; de façon équivalente, $dy - y'\,dx$, où $y' = \sum_i i\, a_i x^{i-1}$, est dans le noyau de $\Omega_k \otimes_k K \to \Omega_K$ sans être dans le sous-$K$-espace engendré par les $dc \otimes 1$, $c \in k'$.
\end{contrexemple}
\end{encadre}

\begin{proof}
C'est l'argument de la spécialisation, valable pour tout plongement $k = \mathbb F_p(x, y) \to K$ avec $dy = y'\,dx$ pour toute dérivation de $K$ et $y' \notin k$ : si $c = w^p \in k'$, la règle de dérivation des fonctions composées pour $\partial_x$ donne $0 = \partial c/\partial x + y'\, \partial c/\partial y$, donc $\partial c/\partial y = 0$, et $\partial/\partial y$ fournit une forme linéaire qui tue les $dc \otimes 1$, $c \in k'$, et vaut $1$ sur $dy - y'\,dx$. Ici $dy = y'\,dx$ car les $a_i$ sont des puissances $p$-ièmes. Reste $y' \notin k$, conséquence de l'indépendance algébrique de $x, y, y'$ : la spécialisation $b_0 \mapsto T_1$, $b_1 \mapsto T_2$, $b_i \mapsto 0$ pour $i \geq 2$ envoie $(x, y, y')$ sur $(T_0, T_1^p + T_2^p T_0, T_2^p)$, le triplet de la spécialisation, dont l'indépendance est démontrée plus haut. On conclut comme pour $a_1$ (Lean : \texttt{contre\_exemple\_general}, \texttt{contre\_exemple\_general\_span}, \texttt{not\_injective\_to\_omega}, \texttt{ker\_not\_span}, \texttt{tripleG\_injective}).
\end{proof}

Ne sont pas démontrés ici : la lissité, la non-ramification et l'étalitude formelles pour des topologies préadiques, et leurs critères de relèvement ; en particulier la moitié $t$-adique de l'obstruction ; dans le corollaire~3.5, la réduction à un système indexé par $\mathbb N$ ; les numéros~3.2 et~3.6 à~3.13 (algèbres de Cohen, homomorphismes réguliers) ; le \q{a fortiori \ldots\ sur $k$} de la page~23 ; la seconde variante de la page~28, avec $a_1$ algébrique sur $\mathbb F$ ; les pages~1 à~8, 18 à~21, 25 et~27.
\section[IHÉS SGA\,6 1/5 : modules à $n$-présentation finie]{IHÉS SGA\,6 1/5 : modules à $n$-présentation finie, extensions, noyaux et facteurs directs\protect\verifie[\leanblobmain]{IhesSGA6_1_5}}\label{sec:ihes-sga6-1-5}

Cette section ne porte pas sur une cote du fonds de Montpellier, mais sur une pièce du fonds Grothendieck--Illusie de l'IHÉS, \texttt{FG\_IL\_5\_SGA6\_1\_5}, que le site montre à l'onglet Illusie (\href{https://repo-archives.ihes.fr/FONDS_GROTHENDIECK_ILLUSIE/}{vue~1}). C'est un tapuscrit de treize feuillets, numérotés 22 à 34, écrit à la première personne ; des corrections à l'encre brune, noire et bleue y sont d'une main que les pages ne permettent pas d'identifier. Il contient les numéros 4 à 7 d'un texte plus long sur les $n$-présentations finies, et le catalogue de l'IHÉS le range parmi les pièces de SGA~6, avec la date \q{1966 ?}. Aucune lecture modernisée n'en a été faite : les énoncés ci-dessous sont lus sur la transcription des vues~1 à~5.

\emph{L'idée.} Un module $M$ de type fini est un quotient d'un module libre de type fini : il y a une suite exacte $L_0 \to M \to 0$ avec $L_0 = A^k$. Il est de présentation finie si l'on peut, de plus, prolonger la suite en $L_1 \to L_0 \to M \to 0$ avec $L_1$ libre de type fini : un nombre fini de générateurs, et un nombre fini de relations entre eux. Rien n'empêche de continuer, avec un nombre fini de relations entre les relations, et ainsi de suite. Le tapuscrit appelle \emph{$n$-présentation finie} de $M$ une suite exacte
\[
  L_n \to L_{n-1} \to \cdots \to L_1 \to L_0 \to M \to 0
\]
de modules libres de type fini (définition~4.1). Il note $\underline C_n$ la classe des modules qui en ont une, et convient que $\underline C_n$ contient tous les modules si $n < 0$. Ainsi $\underline C_0$ est la classe des modules de type fini, $\underline C_1$ celle des modules de présentation finie, et
\[
  \underline C_0 \supset \underline C_1 \supset \underline C_2 \supset \cdots .
\]
Sur un anneau noethérien, la suite est constante à partir de $n = 0$, puisqu'un sous-module d'un module de type fini y est de type fini. Le tapuscrit en tire lui-même la remarque que ces classes ne servent que pour des anneaux non noethériens, qui interviennent en théorie de la descente même quand on part d'anneaux noethériens.

Le n\textsuperscript{o}\,4 se place dans une catégorie abélienne, avec une classe d'objets projectifs stable par sommes finies à la place des modules libres de type fini ; le n\textsuperscript{o}\,5 l'applique aux modules à gauche sur un anneau non nécessairement commutatif. On lit ici les énoncés du n\textsuperscript{o}\,4 dans le cas des modules.

\begin{encadre}
\begin{enonce}[Tapuscrit, vues 1 à 5, énoncés 4.2 à 4.7~bis et n\textsuperscript{o}\,5, pour les modules]
Soient $A$ un anneau et $n \geq 0$ un entier.
\begin{itemize}
\item[(4.2)] Si $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ est une suite exacte avec $M'$ et $M''$ dans $\underline C_n$, alors $M$ est dans $\underline C_n$.
\item[(4.3)] Une somme directe finie de modules de $\underline C_n$ est dans $\underline C_n$.
\item[(4.4)] Si $0 \to R \to M_0 \to X \to 0$ est une suite exacte avec $M_0$ dans $\underline C_n$, alors $X$ est dans $\underline C_n$ si et seulement si $R$ est dans $\underline C_{n-1}$.
\item[(4.7~bis)] Un facteur direct d'un module de $\underline C_n$ est dans $\underline C_n$.
\item[(n\textsuperscript{o}\,5)] Les classes $\underline C_n$ ne changent pas si l'on demande seulement aux $L_i$ d'être projectifs de type fini.
\end{itemize}
\end{enonce}
\end{encadre}

\emph{Pourquoi le décalage d'indice dans 4.4.} Si $X$ est le quotient de $M_0$ par $R$, des générateurs de $M_0$ engendrent $X$, et les relations de $X$ sont celles de $M_0$ augmentées des éléments de $R$. Pour présenter $X$ jusqu'à l'étage $n$, il suffit donc de présenter $R$ jusqu'à l'étage $n - 1$ : chaque étage de $R$ fournit un étage de plus pour $X$. Dans le cas $n = 1$ avec $M_0 = A^k$, on retrouve un fait classique : $X$ est de présentation finie si et seulement si le noyau d'une surjection $A^k \to X$ est de type fini, et alors le noyau de toute surjection de ce genre l'est.

\emph{La démonstration.} Le tapuscrit démontre 4.2 par la construction \q{en fer à cheval} de Cartan et Eilenberg (chapitre~V, 2.2, de \cite{cartaneilenberg1956}), qui résout une extension à partir des résolutions des deux termes extrêmes. Il démontre 4.4 par récurrence sur $n$, en modifiant une présentation de $X$ jusqu'à ce qu'elle se relève en une surjection sur $M_0$ ; ce passage du feuillet~23 (vue~2) est encadré au crayon et barré, avec des mots biffés puis soulignés de tirets, et sa forme finale n'est pas sûre. La preuve vérifiée suit une autre route, qui tient en une seule construction.

\begin{lemme}\label{lem:ihes-sga6-1-5-coprod}
Soient $p : N \to M$ une surjection et $u : F \to M$ une surjection depuis un module projectif $F$. Il existe une surjection $g : \ker p \times F \to N$ dont le noyau est isomorphe à $\ker u$.
\end{lemme}

\begin{proof}
Comme $F$ est projectif, $u$ se relève en $h : F \to N$ avec $p \circ h = u$. On pose $g(a, b) = a + h(b)$. Pour $y \in N$, on choisit $b \in F$ tel que $u(b) = p(y)$ ; alors $a = y - h(b)$ est dans $\ker p$, et $g(a, b) = y$. Si $g(a, b) = 0$, on applique $p$ et l'on trouve $u(b) = 0$ ; de plus $a = -h(b)$ est déterminé par $b$. Inversement, pour $b \in \ker u$, le couple $(-h(b), b)$ est dans $\ker g$. L'application $(a, b) \mapsto b$ est donc un isomorphisme de $\ker g$ sur $\ker u$.
\end{proof}

\noindent On démontre alors, par récurrence sur $n$, les énoncés dans l'ordre suivant.

\emph{Le sens \q{il suffit} de 4.4 au rang $n + 1$, à partir de 4.2 au rang $n$.} Soient $0 \to R \to M_0 \to X \to 0$ exacte, $M_0 \in \underline C_{n+1}$ et $R \in \underline C_n$. On choisit une surjection $u : L_0 \to M_0$, avec $L_0$ libre de type fini et $\ker u \in \underline C_n$. Le noyau $S$ de la surjection composée $L_0 \to X$ est une extension de $R$ par $\ker u$ : la suite $0 \to \ker u \to S \to R \to 0$ est exacte. Par 4.2 au rang $n$, $S$ est dans $\underline C_n$, donc $X$ est dans $\underline C_{n+1}$. C'est le raisonnement de la vue~3.

\emph{4.2 au rang $n$.} Soit $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ exacte, avec $M'$ et $M''$ dans $\underline C_n$. On choisit une surjection $u : L_0 \to M''$ dont le noyau est dans $\underline C_{n-1}$. Le lemme~\ref{lem:ihes-sga6-1-5-coprod} donne une suite exacte $0 \to \ker u \to M' \times L_0 \to M \to 0$. Le produit $M' \times L_0$ est dans $\underline C_n$ (pour deux facteurs, on fait le produit des deux présentations, étage par étage). Le sens \q{il suffit} de 4.4 au rang $n$ conclut. Pour $n = 0$, $M$ est un quotient du module de type fini $M' \times L_0$.

\emph{4.7~bis.} Si $M$ est un facteur direct de $N \in \underline C_n$, la suite $0 \to M_1 \to N \to M \to 0$ est scindée, et le facteur complémentaire $M_1$ est lui aussi un facteur direct de $N$. Par récurrence, $M_1$ est dans $\underline C_{n-1}$, et le sens \q{il suffit} de 4.4 donne $M \in \underline C_n$. C'est l'argument de la vue~4, que le tapuscrit écrit en une ligne.

\emph{Le sens \q{il faut} de 4.4, sous une hypothèse plus faible.} Soit $0 \to R \to M_0 \to X \to 0$ exacte, avec $M_0 \in \underline C_{n-1}$ et $X \in \underline C_n$. On choisit une surjection $u : L_0 \to X$ dont le noyau est dans $\underline C_{n-1}$. Le lemme donne $0 \to \ker u \to R \times L_0 \to M_0 \to 0$. Par 4.2 au rang $n - 1$, $R \times L_0$ est dans $\underline C_{n-1}$, et $R$, qui en est un facteur direct, aussi, par 4.7~bis.

\emph{Le n\textsuperscript{o}\,5.} Un module projectif de type fini $P$ est un facteur direct d'un $A^k$, donc il est dans tous les $\underline C_n$ par 4.7~bis. Si $P \to M$ est une surjection de noyau dans $\underline C_n$, le sens \q{il suffit} de 4.4 donne $M \in \underline C_{n+1}$.

\begin{remarque}
Le sens \q{il faut} de 4.4 demande seulement $M_0 \in \underline C_{n-1}$, au lieu de $M_0 \in \underline C_n$. C'est la forme des trois énoncés \q{deux sur trois} pour une suite exacte courte $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ (Stacks, \href{https://stacks.math.columbia.edu/tag/064R}{064R} \cite{stacks}) : si $M'$ et $M''$ sont dans $\underline C_n$, $M$ aussi ; si $M \in \underline C_{n+1}$ et $M' \in \underline C_n$, alors $M'' \in \underline C_{n+1}$ ; si $M \in \underline C_n$ et $M'' \in \underline C_{n+1}$, alors $M' \in \underline C_n$. Les trois sont démontrés.
\end{remarque}

\noindent\emph{Vérification en Lean.} La définition est faite par récurrence, ce qui est un choix de l'édition, le tapuscrit écrivant la suite exacte : \texttt{IsNPresented R n M} dit pour $n = 0$ que $M$ est de type fini, et au rang $n + 1$ qu'une surjection $R^k \to M$ a son noyau dans le rang $n$. L'anneau $R$ est quelconque, non nécessairement commutatif, comme au n\textsuperscript{o}\,5, et les modules sont pris dans l'univers de $R$, pour que les noyaux y restent. Aux rangs $0$ et $1$, la notion est celle de mathlib : \texttt{isNPresented\_zero\_iff} (\texttt{Module.Finite}) et \texttt{isNPresented\_one\_iff} (\texttt{Module.FinitePresentation}). Le lemme~\ref{lem:ihes-sga6-1-5-coprod} est \texttt{exists\_coprod}. La proposition~4.2 est \texttt{IsNPresented.of\_exact} ; le corollaire~4.3, pour deux facteurs, \texttt{IsNPresented.prod} ; la proposition~4.4, telle que la page l'énonce, \texttt{IsNPresented.iff\_of\_exact} ; les trois énoncés de la remarque, \texttt{IsNPresented.of\_exact}, \texttt{IsNPresented.of\_exact\_right} et \texttt{IsNPresented.of\_exact\_left} ; le corollaire~4.7~bis, \texttt{IsNPresented.of\_retract} ; le n\textsuperscript{o}\,5, \texttt{IsNPresented.of\_projective} et \texttt{IsNPresented.succ\_of\_projective}. Avec $M_0$ libre de type fini, \texttt{isNPresented\_succ\_iff\_forall} et \texttt{isNPresented\_succ\_iff\_exists} disent qu'un module est dans $\underline C_{n+1}$ si et seulement s'il est de type fini et que le noyau d'une, ou de toute, surjection depuis un module libre de type fini est dans $\underline C_n$ (Stacks \href{https://stacks.math.columbia.edu/tag/064U}{064U} et \href{https://stacks.math.columbia.edu/tag/064X}{064X}). Les noms sont ceux de \href{\leanblobmain/IhesSGA6_1_5.lean}{\texttt{IhesSGA6\_1\_5.\allowbreak{}lean}}.

Ne sont pas démontrés ici : le cadre d'une catégorie abélienne du n\textsuperscript{o}\,4 ; les $\infty$-présentations et le corollaire~4.7 ; les corollaires~4.5 et~4.6, sur des suites exactes plus longues ; la proposition~4.8 et le corollaire~4.9, sur les foncteurs exacts et les foncteurs dérivés ; la suite du n\textsuperscript{o}\,5 (changement de base plat, localisation, résolutions finies, immersions régulières) et les n\textsuperscript{os}\,6 et~7 (présentation relative sur une algèbre, préschémas).
\section[Cote 67 : modules à involution et triples (P, Q, m)]{Cote 67 : modules à involution et triples $(P, Q, m)$\protect\verifie{Folder67}}\label{sec:67}

La cote 67, \emph{Chirurgie des surfaces conformes : notes manuscrites (s.d., 1983-1984), lettres (1984)}, compte cent pages. Elle s'achève sur des notes consacrées aux courbes elliptiques réelles (pages~90 à~100). Une courbe elliptique réelle y revient à un réseau $\Pi$ de rang~$2$ muni d'une involution qui renverse l'orientation (page~92). Pour classer ces involutions, la page~90, datée \q{Déc 83}, fait un détour d'algèbre linéaire sur un anneau quelconque, \q{par exemple} commutatif (mot lu avec doute, \lot{67}{5}{90}). Elle considère les $k$-modules $M$ munis d'un automorphisme $\sigma$ tel que $\sigma^2 = \mathrm{id}$ et sur lesquels la multiplication par~$2$ est injective, et leur associe les triples $(P, Q, m)$. Elle établit $M_+ \cap M_- = 0$, $2M \subset M_+ \oplus M_-$, $M' \cap P = 2P$ et $M' \cap Q = 2Q$ pour $M' = 2M$, reconstitue $(M, \sigma)$ à partir du triple par l'isomorphisme $2\,\mathrm{id}_M : M \to M'$, et énonce la proposition. La page~91 en est le brouillon ; la page~99 en tire le cas du rang~$2$ sur un anneau principal (\lot{67}{5}{99}).

\noindent\emph{Conventions.} Soit $k$ un anneau, non nécessairement commutatif. Un $k$-module $M$ est \emph{$2$-régulier} si $2x = 0$ entraîne $x = 0$ dans $M$ ; on note $2M$ l'image de la multiplication par~$2$, qui est un sous-module puisque $2$ est central. La catégorie $\mathcal I$ a pour objets les couples $(M, \sigma)$ d'un $k$-module $2$-régulier et d'un endomorphisme $k$-linéaire $\sigma$ tel que $\sigma^2 = \mathrm{id}$, et pour morphismes $(M, \sigma) \to (M', \sigma')$ les applications $k$-linéaires $f$ telles que $f\sigma = \sigma' f$. On pose $M_+ = \operatorname{Ker}(1 - \sigma)$ et $M_- = \operatorname{Ker}(1 + \sigma)$. La catégorie $\mathcal T$ a pour objets les triples $(P, Q, m)$ de deux $k$-modules $2$-réguliers et d'un sous-module $m$ de $P/2P \times Q/2Q$ tel que $(p, 0) \in m$ entraîne $p = 0$ et $(0, q) \in m$ entraîne $q = 0$ ; ses morphismes $(P, Q, m) \to (P', Q', m')$ sont les couples $(f, g)$ d'applications linéaires $P \to P'$, $Q \to Q'$ telles que $(\bar f \times \bar g)(m) \subset m'$, où $\bar f$, $\bar g$ sont les applications induites, qui existent puisque $f(2P) \subset 2P'$. Un sous-$k$-module de $P/2P \times Q/2Q$ est la même chose qu'un sous-$k/2k$-module, puisque $2$ annule ce produit. Pour un triple $T = (P, Q, m)$, on note $N_T \subset P \times Q$ l'image réciproque de $m$ : $(p, q) \in N_T$ si et seulement si $(\bar p, \bar q) \in m$.

\begin{encadre}
\begin{theoreme}[Grothendieck, page 90, \emph{proposition}\piste{67-involution-modules-triples}]
Soit $(M, \sigma)$ un objet de $\mathcal I$, et $P = M_+$, $Q = M_-$.
\begin{enumerate}
\item $P \cap Q = 0$ ; $x + \sigma x \in P$ et $x - \sigma x \in Q$ pour tout $x \in M$ ; $P \cap 2M = 2P$ et $Q \cap 2M = 2Q$.
\item Soit $m$ l'image dans $P/2P \times Q/2Q$ de $\{(p, q) \in P \times Q \mid p + q \in 2M\}$. Pour $p \in P$, $q \in Q$, on a $(\bar p, \bar q) \in m$ si et seulement si $p + q \in 2M$, et $(P, Q, m)$ est un objet de $\mathcal T$.
\item Le foncteur $B : \mathcal T \to \mathcal I$, $(P, Q, m) \mapsto (N_T, \mathrm{id}_P \times (-\mathrm{id}_Q))$, est une équivalence de catégories. L'application $x \mapsto (x + \sigma x, x - \sigma x)$ est un isomorphisme de $(M, \sigma)$ sur $B(P, Q, m)$ ; un quasi-inverse de $B$ envoie donc $(M, \sigma)$ sur un triple isomorphe à $(M_+, M_-, m)$, et le foncteur $(M, \sigma) \mapsto (P, Q, m)$ de la page est une équivalence.
\end{enumerate}
Aucune hypothèse de finitude ni de projectivité n'est faite sur $M$, $P$ ou $Q$.
\end{theoreme}
\end{encadre}

\begin{proof}[Démonstration de (1)]
Si $x \in P \cap Q$, on a $\sigma x = x$ et $\sigma x = -x$, donc $2x = x + x = x - x = 0$, et $x = 0$ par $2$-régularité. Comme $\sigma^2 = \mathrm{id}$, $\sigma(x + \sigma x) = \sigma x + x$ et $\sigma(x - \sigma x) = -(x - \sigma x)$. Soit $p \in P$ avec $p = 2y$, $y \in M$ : alors $2\sigma y = \sigma(2y) = \sigma p = p = 2y$, donc $\sigma y = y$ par $2$-régularité, et $y \in P$, d'où $p \in 2P$. De même, si $q \in Q$ et $q = 2y$, alors $2\sigma y = -q = 2(-y)$, donc $\sigma y = -y$ et $y \in Q$. Les inclusions inverses $2P \subset P \cap 2M$, $2Q \subset Q \cap 2M$ sont claires.
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration de (2)]
Si $(\bar p, \bar q) \in m$, il existe $(p', q')$ avec $p' + q' \in 2M$, $p' - p \in 2P$ et $q' - q \in 2Q$ ; comme $2P$ et $2Q$ sont contenus dans $2M$, $p + q = (p' + q') - (p' - p) - (q' - q)$ est dans $2M$. La réciproque est la définition de $m$. Les modules $P$ et $Q$ sont $2$-réguliers comme sous-modules de $M$. Si $(\bar p, 0) \in m$, alors $(\bar p, \bar 0) \in m$, donc $p = p + 0 \in 2M$, donc $p \in 2P$ par~(1), c'est-à-dire $\bar p = 0$ ; de même pour $Q$.
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration de (3)]
\emph{Le foncteur.} Pour $T = (P, Q, m)$, l'application $\tau = \mathrm{id}_P \times (-\mathrm{id}_Q)$ conserve $N_T$, car $-\bar q = \bar q$ dans $Q/2Q$ (puisque $-q - q = 2(-q)$) ; on a $\tau^2 = \mathrm{id}$, et $N_T$ est $2$-régulier comme sous-module de $P \times Q$. Un morphisme $(f, g)$ envoie $N_T$ dans $N_{T'}$ par la condition $(\bar f \times \bar g)(m) \subset m'$, et $f \times g$ commute à $\tau$ ; c'est le foncteur $B$. Pour $p \in P$ et $q \in Q$, $(2p, 0)$ et $(0, 2q)$ sont dans $N_T$, car leurs classes sont nulles.

\emph{Fidélité.} Si $B(f, g) = B(f', g')$, on évalue en $(2p, 0)$ : $2f(p) = 2f'(p)$, donc $f(p) = f'(p)$ par $2$-régularité de $P'$ ; de même $g = g'$ en évaluant en $(0, 2q)$.

\emph{Plénitude.} Soit $h : B(T) \to B(T')$ un morphisme de $\mathcal I$, $T' = (P', Q', m')$. Pour $p \in P$, posons $h(2p, 0) = (a, b)$. Comme $(2p, 0)$ est fixe par $\tau$, $(a, -b) = \tau h(2p, 0) = h(2p, 0) = (a, b)$, donc $2b = b + b = b - b = 0$ et $b = 0$. Comme $(a, 0) \in N_{T'}$, $(\bar a, 0) \in m'$, donc $\bar a = 0$ et $a \in 2P'$. La multiplication par~$2$ étant un isomorphisme linéaire de $P'$ sur $2P'$, on pose $f(p) = a/2$ ; $f$ est linéaire, comme composé de $p \mapsto h(2p, 0)$, de la première projection et de cet inverse. De même, $(0, 2q)$ étant changé de signe par $\tau$, $h(0, 2q) = (0, c)$ avec $c \in 2Q'$, et l'on pose $g(q) = c/2$. Pour $(p, q) \in N_T$, on a $2(p, q) = (2p, 0) + (0, 2q)$ dans $N_T$, donc
\[
2\,h(p, q) = h(2p, 0) + h(0, 2q) = (2f(p), 0) + (0, 2g(q)) = 2\,(f(p), g(q)),
\]
et $h(p, q) = (f(p), g(q))$ par $2$-régularité de $P' \times Q'$. En particulier, si $(\bar p, \bar q) \in m$, alors $(p, q) \in N_T$ et $(f(p), g(q)) = h(p, q) \in N_{T'}$, c'est-à-dire $(\overline{f(p)}, \overline{g(q)}) \in m'$ : $(f, g)$ est un morphisme de $\mathcal T$, et $B(f, g) = h$.

\emph{Essentielle surjectivité.} Soit $(M, \sigma)$ un objet de $\mathcal I$ et $T = (M_+, M_-, m)$ le triple de~(2). L'application $\varphi(x) = (x + \sigma x, x - \sigma x)$ est linéaire de $M$ dans $M_+ \times M_-$ par~(1), à valeurs dans $N_T$ par~(2), puisque $(x + \sigma x) + (x - \sigma x) = 2x$. Elle commute aux involutions : $\varphi(\sigma x) = (\sigma x + x, \sigma x - x) = \tau \varphi(x)$. Elle est injective : si $\varphi(x) = \varphi(y)$, alors $2x = (x + \sigma x) + (x - \sigma x) = 2y$, et $x = y$. Elle est surjective : si $(p, q) \in N_T$, alors $p + q \in 2M$ par~(2), soit $p + q = 2x$ ; on a $2\sigma x = \sigma p + \sigma q = p - q$, donc $2(x + \sigma x) = 2p$ et $2(x - \sigma x) = 2q$, d'où $\varphi(x) = (p, q)$. Un morphisme de $\mathcal I$ dont l'application sous-jacente est bijective est un isomorphisme, car son inverse commute encore aux involutions ; donc $(M, \sigma) \simeq B(T)$.

Un foncteur fidèle, plein et essentiellement surjectif est une équivalence. Si $C$ en est un quasi-inverse, $B(C(M, \sigma)) \simeq (M, \sigma) \simeq B(M_+, M_-, m)$, et, comme $B$ est pleinement fidèle, $C(M, \sigma) \simeq (M_+, M_-, m)$.
\end{proof}

\begin{remarque}
L'énoncé tient tel que la piste le formule, pour un anneau quelconque, commutatif ou non, sans hypothèse de finitude ni de projectivité. Seule la $2$-régularité sert, à trois endroits : pour $P \cap Q = 0$ ; pour $P \cap 2M = 2P$ et $Q \cap 2M = 2Q$, qui font que $m$ rencontre trivialement chaque facteur ; et pour la plénitude, où un morphisme $h$ est déterminé par sa restriction à $2P \times 2Q$, parce que $2N_T \subset 2P \times 2Q$ et que le but est $2$-régulier. La démonstration suit la page. La reconstruction de $(M, \sigma)$ y est l'isomorphisme $\varphi$, multiplication par~$2$ de $M$ sur $M' = 2M$ lue dans $P \oplus Q$.
\end{remarque}

\begin{remarque}
La vérification énonce l'équivalence dans le sens $B : \mathcal T \to \mathcal I$ de la reconstruction. Elle en déduit le foncteur de la page, $(M, \sigma) \mapsto (P, Q, m)$, comme quasi-inverse, à isomorphisme près sur chaque objet. La page ne définit pas les morphismes de triples. On a pris les couples $(f, g)$ tels que $(\bar f \times \bar g)(m) \subset m'$, c'est-à-dire ceux pour lesquels $f \times g$ envoie $M'$ dans $M'$. La condition sur $m$, que la page écrit $m \cap P/2P = 0$, $m \cap Q/2Q = 0$, est prise telle quelle ; sa traduction en graphe d'un isomorphisme entre un sous-module de $P/2P$ et un sous-module de $Q/2Q$ n'est pas formalisée.
\end{remarque}

Ne sont pas démontrés ici : la description de $m$ comme graphe d'un isomorphisme $p' \simeq q'$ ; le corollaire de la page~90 ($M$ projectif de rang~$2$, $k$ connexe), en partie illisible ; le corollaire de la page~99 (deux classes d'involutions $\neq \pm 1$ dans $\mathrm{GL}_2(k)$, pour $k$ principal et $k/2k$ un corps) et les deux types de réseaux de la page~92 ; le reste du dossier (chirurgie et métriques canoniques des surfaces conformes).