\section[Cote 44 : l'intégralité des nombres de Cartan à partir des axiomes]{Cote 44 : l'intégralité des nombres de Cartan à partir des axiomes\protect\verifie{Folder44}}\label{sec:44}

La cote 44, \emph{Jacobiennes intermédiaires : notes manuscrites (s.d.), lettre (1964)}, compte huit pages. Trois feuillets d'un programme sur les jacobiennes intermédiaires y entourent la lettre à Serre du 12 août 1964. La page~4 est étrangère au programme : c'est un feuillet barré d'une longue diagonale, qui énumère deux structures axiomatiques, un système de racines réduit et ce qu'on appelle aujourd'hui une donnée radicielle. La première est un couple $(P, \Delta)$, $P$ abélien libre de rang fini et $\Delta \subset P$ finie, soumis à trois conditions : a) $\Delta$ engendre $P$ ; b) si $a \in \Delta$, alors $-a \in \Delta$, \q{mais $na \notin \Delta$ si $n \neq 1, -1$, $n \in \mathbb Q$} ; c) pour tout $a \in \Delta$, il existe une \q{symétrie} $S_a$ qui envoie $a$ sur $-a$ et vérifie $S_a(\Delta) \subset \Delta$. Une note réalise toutes les symétries par la forme invariante $\sum_{a \in \Delta} \langle x, a\rangle\langle y, a\rangle$, écrit $S_\alpha x = x - \langle\gamma_\alpha, x\rangle\,\alpha$ avec $\gamma_\alpha \in P'^{\mathbb Q}$, puis, après un mot illisible, \q{que l'on a en fait $\gamma_\alpha \in P'$}, c'est-à-dire que les nombres de Cartan $c_{\alpha\beta} = \langle\gamma_\alpha, \beta\rangle$ sont entiers. Un crochet en donne la raison : chaque $\alpha$ serait indivisible dans $P$, parce qu'il peut faire partie d'un \q{système fondamental de racines} (\lot{44}{1}{4}). Le mot qui gouverne l'assertion et une bonne part du crochet sont illisibles. La lecture modernisée tient l'intégralité pour une conséquence des axiomes ; la piste de l'onglet Findings objecte que les trois axiomes seuls ne la donnent pas.

\noindent\emph{Conventions.} Soient $V$ un espace vectoriel sur $\mathbb Q$ et $P$ un sous-groupe de $V$. Un élément $\alpha \in P$ est \emph{indivisible dans $P$} si, chaque fois que $\alpha = m y$ avec $m \in \mathbb Z$ et $y \in P$, on a $m = \pm 1$. Dans l'exemple, $P = \mathbb Z^2$, de base $(e_1, e_2)$, et les symétries sont calculées dans $\mathbb Q^2$.

\begin{enonce}[Page 4, de l'indivisibilité à l'intégralité\piste{44-cartan-integrality-from-axioms}]
Soient $\alpha \in P$ indivisible dans $P$ et $f : V \to \mathbb Q$ une application telle que $x - f(x)\,\alpha \in P$ pour tout $x \in P$. Alors $f(x) \in \mathbb Z$ pour tout $x \in P$. En particulier, si la symétrie $S_\alpha x = x - \langle\gamma_\alpha, x\rangle\,\alpha$ envoie $P$ dans $P$ et si $\alpha$ est indivisible dans $P$, les nombres $\langle\gamma_\alpha, \beta\rangle$, $\beta \in P$, sont entiers.
\end{enonce}

\begin{proof}
Soient $x \in P$ et $q = f(x)$ ; on a $q\alpha = x - (x - q\alpha) \in P$. On conclut par l'énoncé général : si $\alpha \in P$ est indivisible dans $P$ et si $q\alpha \in P$ pour un rationnel $q$, alors $q \in \mathbb Z$.
\end{proof}
\general{RatSmulMemIndivisible}

\begin{remarque}
L'argument n'utilise ni la liberté de $P$, ni la finitude de $\Delta$, ni la forme invariante : il suffit que $S_\alpha$ préserve $P$ et soit de la forme $x \mapsto x - f(x)\,\alpha$. C'est le pas que le crochet attribue à l'indivisibilité.
\end{remarque}

\begin{contrexemple}[Page 4, les trois axiomes seuls\piste{44-cartan-integrality-from-axioms}]
Dans $P = \mathbb Z^2$, soit
\[ \Delta = \{\pm 3e_1, \pm 3e_2, \pm(e_1 + e_2), \pm(e_1 - e_2)\}. \]
\begin{enumerate}
\item $\Delta$ engendre $\mathbb Z^2$ (axiome a).
\item $\Delta = -\Delta$, et aucune racine n'est un multiple rationnel $q a$ d'une racine $a$ avec $q \neq \pm 1$ (axiome b, avec $n \in \mathbb Q$ comme sur la page).
\item Pour chaque $a \in \Delta$, il existe un automorphisme $S$ de $\mathbb Z^2$ tel que $S a = -a$ et $S(\Delta) \subset \Delta$ (axiome c).
\item Soit $f : \mathbb Z^2 \to \mathbb Q$ additive, avec $f(3e_1) = 2$, telle que $x \mapsto x - f(x) \cdot 3e_1$ envoie $\Delta$ dans $\Delta$. Alors $f(e_1 + e_2) = 2/3$. Une telle $f$ existe : $f(x_1, x_2) = 2x_1/3$.
\end{enumerate}
Le nombre de Cartan $\langle\gamma_{3e_1}, e_1 + e_2\rangle$ vaut donc $2/3$, qui n'est pas entier, et $3e_1 = 3 \cdot e_1$ est divisible dans $P$.
\end{contrexemple}

\begin{proof}
On a $e_1 = 3e_1 - (e_1 + e_2) - (e_1 - e_2)$ et $e_2 = (e_1 + e_2) - e_1$, d'où l'axiome a). Pour b), deux racines proportionnelles sont sur une même droite par l'origine, et chacune des quatre droites $\mathbb Q e_1$, $\mathbb Q e_2$, $\mathbb Q(e_1 + e_2)$, $\mathbb Q(e_1 - e_2)$ ne contient que deux racines opposées ; on vérifie les soixante-quatre couples. Pour c), les quatre réflexions du groupe de Weyl de type $B_2$, $(x_1, x_2) \mapsto (-x_1, x_2)$, $(x_1, -x_2)$, $(-x_2, -x_1)$ et $(x_2, x_1)$, permutent $\Delta$ et changent en leur opposé respectivement $\pm 3e_1$, $\pm 3e_2$, $\pm(e_1 + e_2)$ et $\pm(e_1 - e_2)$.

Pour 4), l'additivité donne $3 f(2e_1) = 2 f(3e_1) = 4$, donc $f(e_1 + e_2) + f(e_1 - e_2) = f(2e_1) = 4/3$. L'image de $e_1 + e_2$ est $(1 - 3f(e_1 + e_2),\, 1)$ ; c'est une racine de seconde coordonnée~$1$, donc $e_1 + e_2$ ou $-e_1 + e_2$, et $f(e_1 + e_2) \in \{0, 2/3\}$. De même l'image $(1 - 3f(e_1 - e_2),\, -1)$ de $e_1 - e_2$ donne $f(e_1 - e_2) \in \{0, 2/3\}$. La somme valant $4/3$, les deux valent $2/3$. Pour $f(x_1, x_2) = 2x_1/3$, l'application $x \mapsto x - f(x) \cdot 3e_1$ est la première réflexion. Enfin $3e_1 = 3 \cdot e_1$ avec $e_1 \in P$ et $3 \neq \pm 1$.
\end{proof}

\begin{remarque}
La réserve de la piste se confirme : les axiomes a) à c), même avec $n \in \mathbb Q$ dans b), ne donnent pas l'intégralité, et la symétrie de $3e_1$ y est unique, de sorte que le nombre $2/3$ ne dépend d'aucun choix. Les longueurs des racines sont dans le rapport $3/\sqrt 2$ au lieu de $\sqrt 2$ : le groupe engendré par les symétries est celui de $B_2$, mais $\Delta$ n'est pas cristallographique. La fiche ajoutait que $3e_1$ appartient encore au système simple $\{3e_1, e_2 - e_1\}$ ; c'est vrai au sens des groupes de réflexions, à coefficients rationnels positifs, mais pas au sens entier, car $e_1 + e_2 = \frac23 \cdot 3e_1 + (e_2 - e_1)$ n'est pas combinaison entière de $3e_1$ et $e_2 - e_1$ (vérifié dans le fichier). Comme un élément d'un système fondamental au sens entier fait partie d'une base de $P$, il est indivisible, et le crochet de la page n'est pas réfuté : les trois axiomes ne garantissent pas l'existence d'un tel système. Reste à lire sur le fac-similé le mot qui gouverne l'assertion, pour savoir si la page affirme, se propose de démontrer ou demande.
\end{remarque}

Ne sont pas démontrés ici : l'unicité des symétries par la forme invariante $\sum_{a} \langle x, a\rangle\langle y, a\rangle$ dans le cas général ; l'énoncé qu'un élément d'un système fondamental au sens entier est indivisible ; les axiomes de la donnée radicielle $(P, P', \Delta, \Delta', \varphi)$ de la seconde moitié du feuillet.
\section[Cote 50 : la formule des traces dans le cadre axiomatique]{Cote 50 : la formule des traces dans le cadre axiomatique\protect\verifie{Folder50}}\label{sec:50}

La cote 50, \emph{Sur bouquin Lang : notes manuscrites}, que l'inventaire date d'après 1965, compte dix pages. Les pages~6 à~10, à lire dans l'ordre 10, 9, 8, 7, puis le haut de 8 et enfin 6, posent pour les endomorphismes des variétés abéliennes un cadre sans points ni diviseurs : une catégorie additive à dualité $D$, un groupe $N(A)$ d'éléments antisymétriques de $\mathrm{Hom}(A, D(A))$, deux cônes $N^+$ et $N^>$, une forme d'intersection $I$ $r$-linéaire à valeurs entières, strictement positive sur $N^>$, et un degré $\nu$ tel que $I(u^*\xi_1, \dots, u^*\xi_r) = \nu(u)\, I(\xi_1, \dots, \xi_r)$ (\lot{50}{1}{7}). La page~8 en tire les coefficients $\sigma_i(\alpha)$ de $\nu(\alpha + n)$ et la formule des traces $\mathrm{tr}(\alpha) = r\, I(\xi^{r-1}, D_\xi(\alpha))/I(\xi^r)$, où $D_\xi(\alpha) = (\alpha + 1)^*\xi - \alpha^*\xi - \xi$ ; la page~6 l'écrit pour $\alpha\beta'$ et $\alpha\alpha'$, puis s'arrête sur le mot \q{Corollaire}, que la lecture complète par la positivité de l'involution de Rosati, $\mathrm{tr}(\alpha\alpha') > 0$ pour $\alpha \neq 0$ (\lot{50}{1}{6}).

Pour une courbe elliptique $E$ et un endomorphisme $\alpha$, le degré de $\alpha + n$ est un polynôme en l'entier $n$, de la forme $n^2 + \mathrm{tr}(\alpha)\,n + \deg\alpha$ ; pour $\alpha = m$ entier, on trouve $(n + m)^2$, d'où $\mathrm{tr}(m) = 2m$. La page cherche à obtenir ce polynôme et sa trace à partir des seuls axiomes, sans géométrie ; la trace s'y lit comme un rapport de deux nombres d'intersection. Si la positivité de Rosati suivait des axiomes, elle donnerait la structure de l'algèbre $\mathrm{End}(A) \otimes \mathbf Q$. Vérification faite, la formule des traces suit des axiomes à condition que $I$ soit symétrique, et la positivité n'en suit pas.

\noindent\emph{Conventions.} On fixe un objet $A$ et une classe $\xi$ dont le morphisme $\varphi_\xi$ est un $\mathbf Q$-isomorphisme, et l'on transporte tout dans $E = \mathrm{End}(A)$ par $\psi(\eta) = \varphi_\xi^{-1}\varphi_\eta$ : l'involution de Rosati $\alpha' = \varphi_\xi^{-1}\,{}^t\alpha\,\varphi_\xi$ est une anti-involution de $E$, et $\varphi_{\alpha^*\eta} = {}^t\alpha\,\varphi_\eta\,\alpha$ se lit $\psi(\alpha^*\eta) = \alpha'\psi(\eta)\alpha$, avec $\psi$ injectif et $\psi(\xi) = 1$. Les cônes, quand ils servent, sont stables par addition et par multiplication par $n > 0$, $N^> \subset N^+$, $N^>$ engendre $N$, $\varphi_x$ est un $\mathbf Q$-isomorphisme pour $x \in N^>$, $I > 0$ sur $(N^>)^r$, $u^*N^+ \subset N^+$ pour tout $u$ et $u^*N^> \subset N^>$ si $\nu(u) \neq 0$.

\begin{enonce}[Pages 8 et 9, le polynôme $\nu(\alpha + n)$]
Les identités (1)--(3) de la page~9 valent : $\psi(D_\xi(\alpha, \beta)) = \alpha'\beta + \beta'\alpha$, $D_\xi(\alpha, \beta) = D_\xi(\alpha'\beta) = D_\xi(\beta'\alpha)$, $D_\xi(\alpha') = D_\xi(\alpha)$ ; de plus $(uv)^* = v^*u^*$ et $\nu(uv) = \nu(u)\nu(v)$. Il existe un unique polynôme de $\mathbf Q[X]$ qui prend en tout entier $n$ la valeur $\nu(\alpha + n)$ ; il est unitaire de degré $2r$, de terme constant $\nu(\alpha)$, et les $\sigma_i(\alpha)$ sont ses coefficients.
\end{enonce}

\noindent L'énoncé tient. Les théorèmes \texttt{nu\_mul}, \texttt{charPoly\_unique} et \texttt{charPoly\_monic} sont dans le fichier \href{\leanblob/Folder50.lean}{\texttt{Folder50.\allowbreak{}lean}}.

\begin{encadre}
\begin{theoreme}[D'après la page 8, avec $I$ symétrique\piste{50-axiomatic-trace-formula}]
Si $I$ est symétrique, $\mathrm{tr}(\alpha)\, I(\xi^r) = r\, I(\xi^{r-1}, D_\xi(\alpha))$ pour tout $\alpha \in E$. En particulier $\mathrm{tr}(\alpha'\alpha)\, I(\xi^r) = 2r\, I(\xi^{r-1}, \alpha^*\xi)$ et $\mathrm{tr}(\alpha\alpha')\, I(\xi^r) = 2r\, I(\xi^{r-1}, \alpha'^*\xi)$.
\end{theoreme}
\end{encadre}

\begin{proof}
On a $\psi((\alpha + n)^*\xi) = (\alpha' + n)(\alpha + n) = n^2 + n(\alpha + \alpha') + \alpha'\alpha$, donc $(\alpha + n)^*\xi = n^2\xi + n\,D_\xi(\alpha) + \alpha^*\xi$ par injectivité de $\psi$. Par l'axiome du degré, $\nu(\alpha + n)\, I(\xi^r) = I\bigl((n^2\xi + n\,D_\xi(\alpha) + \alpha^*\xi)^r\bigr)$, que la multilinéarité développe en une somme sur les $f : \{1, \dots, r\} \to \{\xi, D_\xi(\alpha), \alpha^*\xi\}$, de poids $2$, $1$, $0$. Le poids total $2r$ n'est atteint que pour $f$ constante en $\xi$ ; le poids $2r - 1$ l'est pour les $r$ fonctions qui prennent une fois la valeur $D_\xi(\alpha)$, et la symétrie ramène chacun des $r$ termes à $I(\xi^{r-1}, D_\xi(\alpha))$. Enfin $\psi(D_\xi(\alpha'\alpha)) = 2\alpha'\alpha$, d'où $D_\xi(\alpha'\alpha) = 2\alpha^*\xi$.
\end{proof}

\begin{remarque}
La page~6 écrit $\alpha^*\xi$ en regard de $\mathrm{tr}(\alpha\alpha')$ ; les axiomes donnent $\alpha^*\xi$ pour $\alpha'\alpha$ et $\alpha'^*\xi$ pour $\alpha\alpha'$. L'égalité des deux formes est $\mathrm{tr}(\alpha\alpha') = \mathrm{tr}(\alpha'\alpha)$, que le cadre ne donne pas sans autre argument.
\end{remarque}

\begin{contrexemple}[Contre-exemple de l'édition, $I$ non symétrique]
Soient $E = N = \mathbf Z^2$, d'involution triviale, $\psi = \mathrm{id}$, $\alpha^*\eta = \alpha^2\eta$, $\xi = (1, 1)$, $r = 2$, $I(x, y) = x_1y_2$, $\nu(u) = u_1^2u_2^2$, $N^+ = \mathbf N^2$, $N^> = (\mathbf N \setminus \{0\})^2$. Tous les axiomes sont satisfaits, et pour $\alpha = (1, 0)$ on a $\mathrm{tr}(\alpha)\, I(\xi^2) = 2$, tandis que $2\, I(D_\xi(\alpha), \xi) = 4$ et $2\, I(\xi, D_\xi(\alpha)) = 0$.
\end{contrexemple}

\begin{proof}
$I(u^2x, u^2y) = u_1^2u_2^2\, x_1y_2$, $I$ est $> 0$ sur $(N^>)^2$, $(1, 1)$ et $(1, 2)$ engendrent $\mathbf Z^2$, $x\cdot(x_2, x_1) = x_1x_2(1, 1)$, et $u^*$ préserve les deux cônes. Ici $\nu(\alpha + n) = (1 + n)^2n^2 = n^4 + 2n^3 + n^2$, donc $\mathrm{tr}(\alpha) = 2$, et $D_\xi(\alpha) = (4, 1) - (1, 0) - (1, 1) = (2, 0)$.
\end{proof}

\noindent L'axiome (e) dit seulement $I$ $r$-linéaire. Dans ce modèle, la formule échoue que $D_\xi(\alpha)$ soit placé en premier ou en second.

\begin{contrexemple}[Contre-exemple de l'édition, le Corollaire de la page 6]
Soient $E = \mathbf H[\mathbf Z, 0, 0, 0]$, l'algèbre de quaternions où $i^2 = j^2 = 0$, munie de sa conjugaison, $N = \mathbf Z$, $\psi(x) = x$, $\alpha^*x = (\mathrm{re}\,\alpha)^2x$, $\xi = 1$, $r = 1$, $I(x) = x$, $\nu(\alpha) = (\mathrm{re}\,\alpha)^2$, $N^+ = \mathbf N$, $N^> = \mathbf N \setminus \{0\}$. Tous les axiomes sont satisfaits, ainsi que $I(\xi^{r-1}, \eta) > 0$ pour tout $\eta \in N^+$ non nul, mais $i \neq 0$ et $\mathrm{tr}(i'i) = 0$.
\end{contrexemple}

\begin{proof}
$\alpha'x\alpha = x\,\alpha'\alpha = (\mathrm{re}\,\alpha)^2x$, car $\alpha'\alpha = (\mathrm{re}\,\alpha)^2$ quand $i^2 = j^2 = 0$. Comme $i'i = -i^2 = 0$, $\nu(i'i + n) = n^2$ et $\mathrm{tr}(i'i) = 0$.
\end{proof}

\noindent La lecture déduit le Corollaire de ce que $\alpha^*\xi$ est dans le cône positif ; ici $i^*\xi = 0$. La piste proposait d'ajouter la positivité de $I$ sur $N^+$. Elle tient dans ce modèle, et le Corollaire y est faux.

\begin{enonce}[Énoncé de l'édition, le Corollaire sous deux axiomes de plus]
Si $I$ est symétrique, si $I(\xi^{r-1}, \eta) > 0$ pour tout $\eta \in N^+$ non nul et si $\alpha^*\xi \neq 0$ pour tout $\alpha \neq 0$, alors $\mathrm{tr}(\alpha'\alpha) > 0$ pour tout $\alpha \neq 0$.
\end{enonce}

\noindent Voir \texttt{tr\_star\_mul\_self\_pos} : $\alpha^*\xi \in N^+$ est non nul, et $I(\xi^r) > 0$.

Ne sont pas démontrés ici : la catégorie elle-même et la Propriété fondamentale~1 sur les produits, qui n'est \q{purement formelle} que si $N$ contient tous les éléments antisymétriques ; la première moitié du dossier (pages~2 et~4).
\section[Cote 63 : les quatre composantes de $j = 0$ ont quatre tangentes en $p = 2$]{Cote 63 : les quatre composantes de $j = 0$ ont quatre tangentes en $p = 2$\protect\verifie{Folder63}}\label{sec:63}

La cote 63, \emph{Formulaire courbes elliptiques}, rassemble des textes d'autres auteurs (la lettre de Tate à Cassels, le formulaire de Deligne d'après Tate, des tapuscrits d'Atkin) et des notes de Grothendieck ; la carte la date de 1967. Aux pages~95 à~99, il étudie le schéma $M_3$ des courbes elliptiques munies d'une base de leurs points d'ordre~$3$, au-dessus de $\mathbf Z[\frac13]$, et le lieu $j = 0$, c'est-à-dire $M'_3 = M_3 \cap V(c_4)$. Ce lieu a quatre composantes irréductibles, qui se rencontrent toutes en un point $a$ au-dessus de $\mathbf F_4$, en caractéristique~$2$. La page~97 pose la question : \q{À examiner si les 4 composantes de $(M'_3)_2$ ont \q{tangentes distinctes}} (\lot{63}{5}{97}). La page~99 commence par \q{\dots{} aux composantes irréductibles sont égales} et affirme que l'espace tangent de Zariski en $a$ se scinde en $V_1 \times V_2$, stable sous le groupe $G' = \mathrm{SL}(2, \mathbf F_3)$ (\lot{63}{5}{99}). La lecture en conclut, par un argument d'orbites, que les quatre branches ont la même tangente. Elles en ont quatre.

\noindent\emph{Le modèle.} On travaille sur la famille de Hesse $x^3 + y^3 + z^3 = 3t\,xyz$, de paramètre $t$, qui est le niveau~$3$ au-dessus de $\mathbf Z[\frac13, \zeta]$, $\zeta$ racine primitive cubique de l'unité. Pour cette famille, $c_4$ vaut $t(t^3 + 8)$ à une unité près (Artebani et Dolgachev) ; ce calcul et l'identification de la famille de Hesse à $M_3$ sont admis ici. Soient $R = \mathbf Z[\zeta]$, l'anneau $A = R[t]$, et l'idéal maximal $P = (2, t)$ du point $a$, de corps résiduel $A/P = R/2R = \mathbf F_4$. L'espace cotangent en $a$ est $P/P^2$, un $\mathbf F_4$-espace vectoriel de base les classes de $2$ et de~$t$. La tangente d'une branche lisse $f = 0$ passant par $a$ est la droite de $P/P^2$ engendrée par la classe de $f$.

\begin{encadre}
\begin{contrexemple}[Énoncé de l'édition, pages 97 à 99]
Dans $R[t]$, $t^3 + 8 = (t + 2)(t + 2\zeta)(t + 2\zeta^2)$, de sorte que $V(c_4)$ est formé des quatre branches $t = 0$, $t = -2$, $t = -2\zeta$, $t = -2\zeta^2$, toutes dans $P$. Pour deux branches distinctes $f$ et $g$ de cette liste et tous $a, b \in R[t]$, si $af + bg \in P^2$, alors $a \in P$ et $b \in P$ : les quatre tangentes sont deux à deux distinctes. L'involution de Hesse $t \mapsto (t + 2)/(t - 1)$ fixe $a$ et agit sur $P/P^2$ par $2 \mapsto 2$, $t \mapsto t + 2$ : c'est une transvection, qui ne respecte pas le scindage de la page~99.
\end{contrexemple}
\end{encadre}

\begin{proof}
La factorisation se vérifie en développant : le produit vaut $t^3 + 2(1 + \zeta + \zeta^2)t^2 + 4(\zeta + \zeta^2 + \zeta^3)t + 8\zeta^3$, et $1 + \zeta + \zeta^2 = 0$, $\zeta^3 = 1$.

Un polynôme $h = \sum h_i t^i$ de $R[t]$ est dans $P$ si et seulement si $2$ divise $h_0$ dans $R$ ; s'il est dans $P^2$, alors $4$ divise $h_0$ et $2$ divise $h_1$, car c'est vrai des produits de deux éléments de $P$ et ces conditions définissent un idéal. Soient $f = t + 2\alpha$ et $g = t + 2\beta$ deux branches, $\alpha \neq \beta$ dans $\{0, 1, \zeta, \zeta^2\}$, et $af + bg \in P^2$. Les coefficients de degré $0$ et $1$ de $af + bg$ sont $2(\alpha a_0 + \beta b_0)$ et $a_0 + b_0 + 2(\alpha a_1 + \beta b_1)$. Le premier est divisible par $4$ ; comme $R$ est un $\mathbf Z$-module libre de base $1, \zeta$, on peut simplifier par $2$, et $2$ divise $\alpha a_0 + \beta b_0$. Le second est divisible par $2$, donc $b_0 = 2w - a_0$ pour un $w \in R$, et $(\alpha - \beta) a_0 = 2(u - \beta w)$ si $\alpha a_0 + \beta b_0 = 2u$. Or chaque différence $\alpha - \beta$ est inversible modulo $2$ : $(-1)(-1) = 1$, $(-\zeta)(-\zeta^2) = 1$, $(1 - \zeta)(1 - \zeta^2) = 3 = 1 + 2$, et $(\zeta - \zeta^2)\,\zeta^2(1 - \zeta^2) = 3$. Si $(\alpha - \beta)\varepsilon = 1 + 2m$, on obtient $a_0 = 2\bigl(\varepsilon(u - \beta w) - m a_0\bigr)$, donc $a \in P$, puis $b_0 = 2w - a_0$ est pair et $b \in P$.

Pour l'involution, $t - 1$ n'est pas dans $P$ (son terme constant $-1$ n'est pas pair, en comparant les coordonnées sur la base $1, \zeta$), donc inversible dans l'anneau local en $a$, et $(t + 2) - (t - 1)(t + 2) = 4 - t^2 \in P^2$ : modulo $P^2$, l'image $(t + 2)/(t - 1)$ de $t$ est $t + 2$. Le nombre $2$ est fixe.
\end{proof}

\begin{remarque}
L'argument de la page~99 suppose que $G'$ respecte le scindage $V_1 \times V_2$ de l'espace tangent, $V_1$ vertical et $V_2$ horizontal, et qu'il agit trivialement sur $V_2$. L'involution de Hesse, qui provient du groupe $Q_8 \subset G'$, envoie la direction horizontale $t$ sur $t + 2$ : elle ne respecte pas le scindage, et les quatre droites non verticales de $P/P^2$ forment une seule orbite de quatre éléments au lieu d'être fixées. La multiplicité~$4$ du point et la non-régularité de $M'$ en $p = 2$ (page~95) ne sont pas en cause.
\end{remarque}

Ne sont pas démontrés ici : l'identification de la famille de Hesse au schéma $M_3$ et la formule de $c_4$, admises ; la structure de $M_3[\frac16] \cap V(c_4)$ de la page~98 ; les notes des pages~65 à~76 sur les périodes et les deux décompositions de $H^1_{\mathrm{dR}}$.
\section[Cote 100 : un point de dimension un hors d'une famille dénombrable de diviseurs]{Cote 100 : un point de dimension un hors d'une famille dénombrable de diviseurs\protect\verifie{Folder100}}\label{sec:100}

La cote 100, \emph{Bonne réduction des variétés abéliennes via bonne réduction de Barsotti--Tate $T_p(A)$ (base quelconque)}, cinquante-deux pages que l'inventaire date \q{[à partir de 1967-1968]}, mêle des notes manuscrites et la copie annotée d'un tapuscrit. Pour algébriser un schéma abélien formel, les pages~30 à~38 ont besoin d'un lemme d'algèbre commutative : dans le spectre d'un anneau local noethérien complet intègre, une famille dénombrable de fermés rares laisse échapper un point $x$ avec $\dim \overline{\{x\}} = 1$ (corollaire de la page~38, \lot{100}{2}{38}). La page le démontre en passant à $\Theta = V[[T_1, \ldots, T_n]]$, $V$ anneau de valuation discrète complet. Un $V$-homomorphisme $\varphi : \Theta \to V$ est déterminé par les images des $T_i$, qui sont des éléments arbitraires de l'idéal maximal $\mathfrak m$ ; son noyau est un point de dimension un. Chaque fermé rare, contenu dans un $V(f)$ avec $f \neq 0$, exclut les $\varphi$ tels que $f(\varphi(T_1), \ldots, \varphi(T_n)) = 0$, partie fermée rare de l'espace métrique complet $\mathfrak m^n$, et le théorème de Baire conclut.

On démontre ici le cas $n = 1$, celui de $\Theta = V[[T]]$, anneau de dimension~$2$. Les homomorphismes $\Theta \to V$ sont alors les $\varphi_a : T \mapsto a$, $a \in \mathfrak m$, de noyau l'idéal $(T - a)$. Dans ce cas l'argument de Baire peut être remplacé par un dénombrement : chaque série $f \neq 0$ n'exclut qu'un nombre fini de valeurs de $a$, tandis que $\mathfrak m$ n'est pas dénombrable.

\noindent\emph{Conventions.} $V$ est un anneau de valuation discrète, complet pour la topologie $\mathfrak m$-adique, d'uniformisante $\varpi$ ; $V[[T]]$ est l'anneau des séries formelles. Dire qu'un point de dimension un, le noyau de $\varphi_a$, est hors de $V(f)$ revient à dire que $f$ n'appartient pas à l'idéal $(T - a)$.

\begin{theoreme}[énoncé de l'édition, cas $n = 1$ du corollaire de la page 38\piste{100-baire-dimension-one-points}]\label{thm:100-points}
Soit $V$ un anneau de valuation discrète complet. Pour $a \in \mathfrak m$, l'anneau $V[[T]]/(T - a)$ est isomorphe à $V$. Pour toute famille dénombrable $(f_i)$ de séries non nulles de $V[[T]]$, il existe $a \in \mathfrak m$ tel qu'aucune $f_i$ n'appartienne à $(T - a)$.
\end{theoreme}

\begin{proof}
Le polynôme $T - a$ est unitaire et son terme constant $-a$ est dans $\mathfrak m$ : il est distingué au sens de Weierstrass. La division de Weierstrass identifie alors $V[[T]]/(T - a)$ à $V[T]/(T - a)$, qui est $V$ par $P \mapsto P(a)$, et un polynôme $P$ est dans l'idéal $(T - a)$ de $V[[T]]$ si et seulement si $P(a) = 0$.

Soit $f \neq 0$. Le plus petit $v$ tel que $\varpi^{v+1}$ ne divise pas tous les coefficients de $f$ existe, et $f = \varpi^v g$ où $g$ a un coefficient inversible, c'est-à-dire que l'image de $g$ dans $k[[T]]$, $k$ le corps résiduel, n'est pas nulle. Le théorème de préparation de Weierstrass écrit $g = P u$, avec $P$ polynôme distingué et $u$ inversible. Donc $f = Q u$, où $Q = \varpi^v P$ est un polynôme non nul, et $f \in (T - a)$ si et seulement si $Q(a) = 0$ : seules les racines de $Q$, en nombre fini, sont exclues.

Il reste à voir que $\mathfrak m$ n'est pas dénombrable ; comme $a \mapsto \varpi a$ est une injection de $V$ dans $\mathfrak m$, il suffit que $V$ ne le soit pas. À toute suite $\varepsilon \in \{0, 1\}^{\mathbf N}$, la complétude associe une limite $L_\varepsilon$ des sommes partielles $\sum_{i < n} \varepsilon_i \varpi^i$, congrue à la $n$-ième modulo $\varpi^n$. Si $\varepsilon$ et $\varepsilon'$ diffèrent pour la première fois en $j$, les sommes partielles d'indice $j + 1$ diffèrent de $\pm\varpi^j$, et $L_\varepsilon = L_{\varepsilon'}$ forcerait $\varpi^{j+1} \mid \varpi^j$, ce qui est impossible. L'ensemble des $a \in \mathfrak m$ exclus par l'une des $f_i$ est une réunion dénombrable d'ensembles finis, donc dénombrable, et il ne peut pas contenir~$\mathfrak m$.
\end{proof}

Le dénombrement ne remplace Baire qu'en une variable. Pour $n \geq 2$, une série non nulle exclut en général une infinité non dénombrable de points de $\mathfrak m^n$, par exemple tout l'hyperplan $T_1 = 0$ pour $f = T_1$, et il faut l'argument de la page : une série non nulle ne s'annule identiquement sur aucun ouvert de $\mathfrak m^n$. Le théorème ne suppose rien sur le corps résiduel, qui peut être fini, comme pour $V = \mathbf Z_p$ : la non-dénombrabilité de $V$ vient de la complétude seule.

\noindent Vérifié tel quel (\texttt{quotEquiv}, \texttt{exists\_poly\_mul\_unit}, \texttt{finite\_bad}, \texttt{uncountable}, \texttt{exists\_avoid}), avec le théorème de préparation de Weierstrass et l'isomorphisme $V[T]/(g) \simeq V[[T]]/(g)$ de mathlib pour un polynôme distingué~$g$.

\begin{encadre}
\begin{theoreme}[Pages 36 à 38, forme corrigée par l'édition, points de dimension un\piste{100-baire-dimension-one-points}]\label{thm:100-baire}
Soit $R$ un anneau local noethérien complet, d'idéal maximal $\mathfrak m$.
\begin{enumerate}
\item (Proposition, page~36.) Dans $\operatorname{Spec} R$, une famille dénombrable de fermés dont la réunion contient tous les points $x$ tels que $\dim \overline{\{x\}} \leq 1$ a une sous-famille finie qui recouvre le spectre.
\item (Corollaire, page~38.) Si $R$ est intègre et n'est pas un corps, une famille dénombrable de fermés rares de $\operatorname{Spec} R$ laisse échapper un point $x$ tel que $\dim \overline{\{x\}} = 1$.
\end{enumerate}
\end{theoreme}
\end{encadre}
{\small La page barre \q{complet}, que l'édition rétablit : sans cette hypothèse l'énoncé est faux. Les feuillets démontrent le cas de dimension $\leq 1$ et le corollaire, par Cohen et une propriété de Baire sur les $\mathfrak m^n$ ; le cas général de la proposition s'interrompt page~36 sur des lignes illisibles et annulées, et le passage du corollaire à la proposition n'est pas écrit. Le cas d'une variable de l'argument de la page est le théorème~\ref{thm:100-points}.\par}

\noindent\emph{Conventions.} Un point $x$ de $\operatorname{Spec} R$ est un idéal premier $\mathfrak p$, et $\overline{\{x\}} = V(\mathfrak p) \simeq \operatorname{Spec} R/\mathfrak p$ : la dimension de $\overline{\{x\}}$ est la longueur maximale d'une chaîne de premiers commençant en $\mathfrak p$, que Lean appelle la cohauteur de $x$ dans l'ensemble ordonné $\operatorname{Spec} R$. Elle est finie, $R$ étant local noethérien. Dans $\operatorname{Spec} R$ intègre, irréductible, un fermé est rare si et seulement s'il est propre, et c'est sous cette forme, un peu plus générale, que Lean énonce le corollaire.

\begin{lemme}[dimension de l'adhérence d'un point]\label{lem:100-adherence}
Pour tout anneau commutatif $A$ et tout point $x$ de $\operatorname{Spec} A$, la dimension topologique de $\overline{\{x\}}$, longueur maximale d'une chaîne de fermés irréductibles de cet espace, est la cohauteur de $x$ dans $\operatorname{Spec} A$, et vaut $\dim A/\mathfrak p$.
\end{lemme}
\begin{proof}
On a $\overline{\{x\}} = V(\mathfrak p)$, et l'application $\operatorname{Spec} A/\mathfrak p \to \operatorname{Spec} A$ induite par la surjection $A \to A/\mathfrak p$ est un plongement fermé d'image $V(\mathfrak p)$ : c'est un homéomorphisme sur $\overline{\{x\}}$, qui a donc la dimension de $\operatorname{Spec} A/\mathfrak p$, soit $\dim A/\mathfrak p$. Les premiers de $A/\mathfrak p$ sont, dans l'ordre, ceux de $A$ qui contiennent $\mathfrak p$, et la dimension de l'ensemble ordonné des $y \geq x$ est la cohauteur de $x$.
\end{proof}

La démonstration ne passe ni par le théorème de structure de Cohen ni par Baire sur $\mathfrak m^n$. La complétude n'intervient qu'une fois, par le lemme suivant, connu sous le nom d'évitement dénombrable des idéaux premiers (on l'attribue à Burch ; voir aussi Sharp et Vámos, 1985).

\begin{lemme}[évitement dénombrable]\label{lem:100-evitement}
Si $R$ est local noethérien complet, $\mathfrak m$ n'est pas contenu dans la réunion d'une famille dénombrable $(\mathfrak p_j)_{j \in \mathbf N}$ d'idéaux premiers distincts de $\mathfrak m$.
\end{lemme}

\begin{proof}
On construit par récurrence des $x_k \in R$ et des entiers $N_0 < N_1 < \cdots$, avec $x_0 = 0$, $N_0 = 1$, tels que $x_k \notin \mathfrak p_j + \mathfrak m^{N_k}$ pour tout $j < k$ et $x_{k+1} - x_k \in \mathfrak m^{N_k}$. Si $x_k \notin \mathfrak p_k$, on garde $x' = x_k$ ; sinon, $\mathfrak m^{N_k} \not\subset \mathfrak p_k$ puisque $\mathfrak p_k$ est premier et ne contient pas $\mathfrak m$, et l'on pose $x' = x_k + y$ avec $y \in \mathfrak m^{N_k} \setminus \mathfrak p_k$. Dans les deux cas $x' \notin \mathfrak p_k$. Le théorème d'intersection de Krull dans l'anneau local noethérien $R/\mathfrak p_k$, où $\bigcap_N \mathfrak m^N = 0$, donne un $M$ tel que $x' \notin \mathfrak p_k + \mathfrak m^M$ : les premiers sont fermés pour la topologie $\mathfrak m$-adique. On pose $x_{k+1} = x'$ et $N_{k+1} = \max(N_k + 1, M)$ ; les conditions pour $j < k$ subsistent, puisque $x_{k+1} \equiv x_k \pmod{\mathfrak m^{N_k}}$.

La suite $(x_k)$ est de Cauchy, avec $x_n - x_k \in \mathfrak m^{N_k}$ pour $n \geq k$ ; comme $R$ est complet, elle a une limite $L$, et $L - x_k \in \mathfrak m^{N_k}$ pour tout $k$. En particulier $L \in x_0 + \mathfrak m = \mathfrak m$, et si $L$ était dans $\mathfrak p_j$, alors $x_{j+1} = L - (L - x_{j+1})$ serait dans $\mathfrak p_j + \mathfrak m^{N_{j+1}}$, ce que la construction exclut. C'est l'argument de Baire, rendu explicite sur l'espace complet $\mathfrak m$.
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration du théorème]
Écrivons $Z_i = V(I_i)$, avec $I_i$ l'idéal des fonctions nulles sur $Z_i$ : un point $\mathfrak q$ est dans $Z_i$ si et seulement si $I_i \subset \mathfrak q$.

\emph{Montée.} Soient $\mathfrak p$ un premier ne contenant aucun $I_i$, et une chaîne $\mathfrak p \subsetneq \mathfrak a \subsetneq \mathfrak b$ de premiers (c'est dire que $\dim \overline{\{\mathfrak p\}} \geq 2$). Alors il existe un premier $\mathfrak q \supsetneq \mathfrak p$ qui ne contient aucun $I_i$. Supposons le contraire, et soit $S$ l'ensemble des premiers distincts de $\mathfrak m$ minimaux sur l'un des $\mathfrak p + I_i$ : chaque $\mathfrak p + I_i$ n'a qu'un nombre fini de premiers minimaux, et $S$ est dénombrable. Le lemme~\ref{lem:100-evitement} donne $x \in \mathfrak m$ hors de tous les premiers de $S$. Si $x \in \mathfrak p$, comme $\mathfrak a$ contient un $I_i$, un premier minimal sur $\mathfrak p + I_i$ contenu dans $\mathfrak a$ est dans $S$ et contient $x$. Si $x \notin \mathfrak p$, soit $\mathfrak q$ un premier minimal sur $\mathfrak p + (x)$. Le théorème de l'idéal principal de Krull, appliqué dans $R/\mathfrak p$, dit qu'il n'y a pas de chaîne $\mathfrak p \subsetneq \mathfrak c \subsetneq \mathfrak q$ ; en particulier $\mathfrak q \neq \mathfrak m$, à cause de la chaîne $\mathfrak p \subsetneq \mathfrak a \subsetneq \mathfrak m$. Par hypothèse $\mathfrak q$ contient un $I_i$, donc un premier $\mathfrak q'$ minimal sur $\mathfrak p + I_i$ ; $\mathfrak q' \neq \mathfrak p$ puisque $I_i \not\subset \mathfrak p$, et donc $\mathfrak q' = \mathfrak q$. Ainsi $\mathfrak q \in S$ et $x \in \mathfrak q$. Les deux cas contredisent le choix de $x$.

\emph{Proposition.} Supposons qu'aucune sous-famille finie ne recouvre le spectre. Les premiers minimaux de $R$ sont en nombre fini et tout point en spécialise un ; si chacun était dans un $Z_i$, ces $Z_i$, fermés, recouvriraient le spectre. Il existe donc un premier minimal $\mathfrak p$ hors de tous les $Z_i$. Tant que $\dim \overline{\{\mathfrak p\}} \geq 2$, la montée remplace $\mathfrak p$ par un $\mathfrak q \supsetneq \mathfrak p$ hors de tous les $Z_i$, et $\dim \overline{\{\mathfrak q\}} < \dim \overline{\{\mathfrak p\}}$. On aboutit à un point de dimension $\leq 1$ hors de la réunion des $Z_i$, contre l'hypothèse.

\emph{Corollaire.} On ajoute à la famille le fermé $\{\mathfrak m\}$. Le point générique $(0)$ n'est dans aucun $Z_i$, puisqu'un fermé qui le contient est le spectre entier, ni égal à $\mathfrak m$, puisque $R$ n'est pas un corps : aucune sous-famille finie ne recouvre le spectre. La proposition donne un point $x$ de dimension $\leq 1$ hors des $Z_i$ et distinct de $\mathfrak m$, le seul point de dimension~$0$ : $\dim \overline{\{x\}} = 1$.
\end{proof}

La complétude n'est utilisée que par le lemme~\ref{lem:100-evitement}, et c'est là qu'elle est nécessaire : pour l'anneau local de $\mathbf Q[x, y]$ à l'origine, qui n'a qu'un ensemble dénombrable d'idéaux premiers, $\mathfrak m$ est la réunion des premiers de hauteur un. Le nombre de variables $\dim S$ ou $\dim S - 1$ que la page donne à $V[[T_1, \ldots, T_n]]$ n'intervient plus.

\noindent\emph{Portée de la vérification.} Lean démontre ces énoncés dans \href{\leanblob/Folder100.lean}{\texttt{Folder100.\allowbreak{}lean}}, espace \texttt{Baire} : \texttt{exists\_notMem\_sup\_pow} pour la fermeture des premiers, \texttt{exists\_mem\_maximalIdeal\_forall\_notMem} et \texttt{exists\_mem\_maximalIdeal\_notMem\_of\_countable} pour le lemme~\ref{lem:100-evitement}, \texttt{not\_chain\_of\_mem\_minimalPrimes} pour le théorème de l'idéal principal au-dessus de $\mathfrak p$, \texttt{exists\_isPrime\_gt} pour la montée, \texttt{exists\_coheight\_le\_one} pour la descente sur la dimension, \texttt{exists\_finite\_subcover} et \texttt{exists\_finite\_subcover\_of\_countable} pour la proposition, \texttt{exists\_coheight\_eq\_one} pour le corollaire. La dimension de $\overline{\{x\}}$ y est la cohauteur de $x$ dans $\operatorname{Spec} R$ ; le lemme~\ref{lem:100-adherence}, qui l'identifie à la dimension topologique de l'adhérence, est \texttt{topologicalKrullDim\_closure\_singleton} (par \texttt{PrimeSpectrum.\allowbreak{}closure\_singleton}, \texttt{PrimeSpectrum.\allowbreak{}topologicalKrullDim\_eq\_ringKrullDim}, \texttt{ringKrullDim\_quotient} et \texttt{Order.\allowbreak{}coheight\_eq\_krullDim\_Ici}), et le corollaire sous sa forme littérale, avec $\dim \overline{\{x\}}$ dimension topologique, est \texttt{exists\_topologicalKrullDim\_closure\_eq\_one}. La voie de la page, par Cohen et Baire sur $\mathfrak m^n$, n'est pas formalisée au-delà d'une variable, et l'application à l'algébrisation des schémas abéliens formels reste hors de portée.

Ne sont pas démontrés ici, pour la voie de la page : le cas de plusieurs variables, où Baire est nécessaire ; la réduction d'un anneau local complet intègre à une extension finie de $V[[T_1, \ldots, T_n]]$ (théorème de structure de Cohen) et la remontée des points de dimension un le long de cette extension. La proposition de la page~36 et le corollaire de la page~38 en toute dimension sont démontrés ci-dessus par une autre voie (théorème~\ref{thm:100-baire}). Les autres pistes de la cote restent ouvertes :

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Grothendieck, pages 2, 3 et 20, pleine fidélité et composantes connexes\piste{100-full-faithfulness-connected-components}]\nonverifie
Soient $S$ un schéma localement noethérien et $U \subset S$ un ouvert tel que toutes les caractéristiques résiduelles de $S - U$ soient égales à $p$. Le foncteur $A \mapsto (A_U, A[p^\infty], \mathrm{id})$ des schémas abéliens sur $S$ vers les triplets est pleinement fidèle dès que $U$ rencontre chaque composante connexe de $S$, sans hypothèse de normalité, de réduction ni de densité schématique.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small Les feuillets en esquissent une démonstration incomplète (page 3). Le lemme d'existence de $S_v$ y renvoie à \q{Invariants 1.2}. Mathlib n'a pas les schémas abéliens ni les groupes $p$-divisibles. On se reportera aux notes de Grothendieck (\lot{100}{1}{2}).\par}

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Grothendieck, pages 22 à 24, descente des morphismes le long d'un épimorphisme propre\piste{100-proper-epimorphism-hom-descent}]\nonverifie
Soit $f : S' \to S$ un morphisme propre de schémas localement noethériens tel que $\mathcal O_S \to f_*\mathcal O_{S'}$ soit injectif, sans hypothèse de platitude, et soit $S'' = S' \times_S S'$. Pour tout $S$-schéma $X$ formellement non ramifié, la suite $\mathrm{Hom}_S(S, X) \to \mathrm{Hom}_S(S', X) \rightrightarrows \mathrm{Hom}_S(S'', X)$ est exacte ; le changement de base le long de $f$ est donc pleinement fidèle sur les schémas abéliens.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small Les feuillets en esquissent une démonstration incomplète (pages 22 et 24) : le lemme~1 se ramène, par l'algèbre $\mathrm{Ker}(f_*\mathcal O_{S'} \rightrightarrows h_*\mathcal O_{S''})$, au cas d'un épimorphisme fini et radiciel, le corollaire~1, dont la page~24 donne la réduction au cas local, l'image schématique et la finitude de $\mathcal O_{X,x}$ sur $\mathcal O_{S,s}$. La fin du corollaire~1 (non-ramification, Nakayama) et la radicialité de la réduction sont de l'édition, comme la représentabilité et la non-ramification du schéma des homomorphismes de schémas abéliens. Mathlib n'a pas la descente des morphismes le long d'un morphisme propre. On se reportera aux notes de Grothendieck (\lot{100}{2}{22}).\par}

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Grothendieck, pages 30 à 38, algébrisation par les courbes\piste{100-formal-abelian-curve-criterion}]\nonverifie
Soit $R$ un anneau local noethérien complet. Un schéma abélien formel sur $\operatorname{Spf} R$ est algébrisable si et seulement si son changement de base à $\operatorname{Spf} B'$ l'est pour tout quotient intègre $B$ de dimension un de $R$, de normalisé $B'$, ou encore s'il le devient après un morphisme propre surjectif $S' \to \operatorname{Spec} R$.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small Les feuillets en esquissent une démonstration incomplète (pages 32 à 38). Mathlib n'a pas l'algébrisation des schémas formels. On se reportera aux notes de Grothendieck (\lot{100}{2}{30}).\par}

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Grothendieck, pages 47 à 52, prolongement vers un modèle de Néron\piste{100-neron-extension-p-divisible}]\nonverifie
Sur un trait $S$, pour tout modèle de Néron $G$ et tout groupe $p$-divisible $M$ sur $S$, tout homomorphisme $M_K \to G_K$ des fibres génériques se prolonge de façon unique en $M \to G$, le théorème de pleine fidélité de Tate pour les groupes $p$-divisibles sur $S$ étant admis.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small La conclusion repose sur le théorème de Tate, et le cas où $G_K$ est extension d'une variété abélienne par un tore est traité dans le tapuscrit des pages 47 à~50, dont l'auteur n'est pas établi ; la part des feuillets manuscrits est le lemme des pages 51 et~52. Les feuillets en esquissent une démonstration incomplète : ce lemme renvoie deux fois à \q{on sait}, et la page~52 l'applique au modèle de Néron et conclut \q{On gagne !}.\par}
\bigskip
\noindent Autres pistes de l'onglet Findings pour ce thème, dans des cotes qui n'ont pas de section ici :\par

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Grothendieck, pages 93 et 94, amplitude par la caractéristique d'Euler\piste{14-nakai-euler-characteristic-criterion}]\nonverifie
Un faisceau inversible $L$ sur un schéma projectif est ample dès que $\chi(\mathcal O_Z \otimes L^{\otimes n}) \to +\infty$ pour tout sous-schéma fermé intègre $Z$ de dimension $\geq 1$, et de même avec $\dim H^0$ à la place de $\chi$. La page attribue l'énoncé à Mumford et Nakai.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small Les feuillets en esquissent une démonstration incomplète (page 94). Ses deux lemmes y sont renvoyés à une \q{lettre de Mumford}. Mathlib n'a pas la caractéristique d'Euler des faisceaux cohérents ni l'amplitude. On se reportera aux notes de Grothendieck (\lot{14}{5}{93}).\par}

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[D'après les pages 1 à 22, forme corrigée par l'édition, section canonique par le déterminant\piste{59-determinant-canonical-section}]\nonverifie
Soient $X/S$ propre et plat, avec $\mathrm{Pic}^0_{X/S} = B$ schéma abélien de dual $A$, et $\delta$ une section de $\mathrm{NS}_{X/S}$. Le déterminant de la cohomologie du faisceau de Poincaré donne une trivialisation canonique du $A$-torseur $\mathrm{Alb}^{\chi(\delta)}_{X/S} \times^A \mathrm{Pic}^{\varphi(\delta)}_{B/S} \times^A (\widetilde{\varphi(\delta)}_*\mathrm{Pic}^\delta_{X/S})^{(-1)}$, où $\varphi : \mathrm{NS}_{X/S} \to \mathrm{NS}_{B/S}$ est une application polynomiale de degré $n - 1$, non additive.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small Les feuillets en esquissent une démonstration incomplète (pages 1 à 4 et 16 à 19). La descente y est marquée \q{détailler}, la propriété universelle de $\mathrm{Alb}^1$ annoncée page~22 sans preuve, et l'inverse sur le torseur poussé est de l'édition. Mathlib n'a pas le déterminant de la cohomologie ni le faisceau de Poincaré. On se reportera aux notes de Grothendieck (\lot{59}{1}{1}).\par}

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Grothendieck, pages 39 à 48, faisceau des quasi-fonctions\piste{130-quasi-function-sheaf}]\nonverifie
Les fonctions de Weil forment un faisceau de Zariski $QF_X$, somme amalgamée du faisceau $\Phi_X$ des fonctions admissibles et de $\mathcal R^*_X$ au-dessus de $\mathcal O^*_X$, dans une suite exacte $0 \to \Phi_X \to QF_X \to \mathrm{Div}_X \to 0$. Pour $X$ quasi-projectif, tout diviseur de Cartier est le diviseur d'une quasi-fonction globale.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small Les feuillets en esquissent une démonstration incomplète (pages 41 à 48). La page s'arrête avant le cas de $\mathbf P^r$. Mathlib n'a pas les fonctions de Weil ni les diviseurs de Cartier. On se reportera aux notes de Grothendieck (\lot{130}{2}{39}).\par}

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Grothendieck, pages 22 à 28, déterminants des parties étales\piste{9-det-etale-tate-iso}]\nonverifie
Pour un schéma abélien $A$ ordinaire localement polarisable sur une base connexe de caractéristique~$p$, $\alpha_A = \det T_p(\tilde\varphi)_{\text{ét}}/\sqrt{\deg\tilde\varphi}$ ne dépend pas de la polarisation $\varphi$ et est un isomorphisme de réseaux $\det T_p(A)_{\text{ét}} \simeq \det T_p(A^*)_{\text{ét}}$, compatible au changement de base ; pour une isogénie $u$, on a seulement $\det T_p(u)_{\text{ét}} \cdot \det T_p(u^*)_{\text{ét}} = \deg u$.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small Les feuillets en esquissent une démonstration incomplète : définitions, énoncés a) et b) et leurs arguments sont sur les pages, mais l'identité $\Delta(u)\Delta(u^*) = \deg u$ y est introduite par une justification illisible (la page~25, qui l'attribuait à un théorème $p$-adique, est annulée), les points c) et d) sont laissés \q{à vérifier}, et les hypothèses de polarisabilité locale et de base connexe sont de l'édition.\par}

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Grothendieck, pages 24 et 26, déterminant et racine du degré\piste{9-symmetric-positive-det-sqrt-degree}]\nonverifie
Pour une variété abélienne ordinaire polarisée $A$ et $u \in \mathrm{End}(A) \otimes \mathbf Q$ symétrique et positif pour l'involution de Rosati, le déterminant de $u$ sur la partie étale du module de Tate $p$-adique vaut $+\sqrt{\deg u}$.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small Les feuillets en esquissent une démonstration incomplète : la page~24 ramène l'énoncé au signe, et la page~26 l'obtient par positivité, $u = v^2$ sur le cône positif ; l'identité $\Delta(u)\Delta(u^*) = \deg u$ y repose sur une justification illisible, et la restriction de l'argument de rationalité aux éléments symétriques est de l'édition.\par}

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Grothendieck, pages 23 à 29 et 33, équivalence d'Albanese\piste{14-albanese-equivalence-ring}]\nonverifie
Sur les cycles de toute codimension, posons $z \sim 0$ quand $z = Z_*(t)$ pour un cycle $Z$ sur $X \times T$, $T$ projective lisse connexe, et un $0$-cycle $t$ de degré~$0$ sur $T$ tel que $\mathrm{alb}_T(t) = 0$. Cette relation est comprise entre les équivalences rationnelle et algébrique, passe aux produits, aux images réciproques et aux images directes propres, coïncide avec l'équivalence rationnelle sur les diviseurs et avec le degré et la somme d'Albanese sur les $0$-cycles ; dans l'anneau quotient, le produit de deux classes algébriquement triviales est nul.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small Les feuillets en esquissent une démonstration incomplète : les théorèmes~1.4 et~1.6 sont démontrés (pages 28 et~29), mais la proposition~1.2~(iii) est laissée \q{à vérifier} (page~27), le~(iv) est fait \q{par l'AQT}, abréviation non reconstituée, et le corollaire~2.4 (page~33) est sans démonstration.\par}

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Grothendieck, pages 9 et 10, Riemann--Roch et transformation de Fourier sur une base\piste{47-chow-fourier-todd-over-base}]\nonverifie
Sur une base $S$, Grothendieck--Riemann--Roch pour $m_A$ et $\mathrm{pr}_2$ donne $\mathrm{ch}(x * y) = (\mathrm{ch}\,x * \mathrm{ch}\,y)\cdot\mathrm{Todd}(t_A)$ sur un schéma abélien $A$ et, pour $\Psi_D = \mathrm{pr}_{2*}(\mathrm{pr}_1^*(-)\cdot\exp D)$, $\Psi_D(a * b) = \Psi_D(a)\,\Psi_D(b)$ sans correction ; la formule qui échange cup-produit et produit de Pontrjagin prend un facteur venu de~$S$.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small La page~9 affirme $(\ast)$ par Riemann--Roch (\q{On vérifie}) sans le calcul, et la page~10 dérive la seconde formule avec le seul facteur $\mathrm{Todd}(t_A)$. Comme la seconde application de $(\ast)$ se fait sur $B$, l'édition corrige ce facteur en $\mathrm{Todd}(t_A)\,\mathrm{Todd}(t_B)\,\mathrm{ch}(\omega_A)$ : c'est le facteur venu de $S$ de l'encadré. Le théorème de Riemann--Roch de Grothendieck, appliqué ici à $m_A$ et à $\mathrm{pr}_2$, n'est vérifié en Lean nulle part dans l'annexe ; la partie \q{K-théorie, classes de Chern et Riemann--Roch} (section~\ref{sec:2}) n'en contrôle que quelques calculs. Les pages~3 à~7 qui précèdent établissent l'inversion de Fourier relative, $\Phi_{{}^sL} \circ \Phi_L \simeq s_A^*(-) \otimes \tau_A[-n]$ sur les complexes parfaits, $\tau_A$ le déterminant de l'algèbre de Lie de $A$ : c'est le théorème~1.1 de Mukai (1987) \cite{mukai1987}, pour un schéma abélien sur une base quelconque, avec la torsion par le dual du fibré canonique relatif. Deninger et Murre (1991) \cite{deningermurre1991} étudient la transformation de Fourier sur l'anneau de Chow rationnel d'un schéma abélien ; la comparaison de leurs formules avec le facteur corrigé n'a pas été faite.\par}

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Grothendieck, pages 16, 17 et 20, bonne réduction de l'Albanese\piste{51-albanese-good-reduction-codim-two}]\nonverifie
Si $X$ est projectif et plat sur un anneau de valuation discrète $V$, à fibres lisses hors d'un fermé de codimension $\geq 2$, de fibre générique géométriquement intègre et normale, $\mathrm{Alb}(X_K)$ et $(\mathrm{Pic}^0_{X_K})_{\mathrm{red}}$ ont bonne réduction.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small L'hypothèse que la fibre générique est normale est de l'édition. Les feuillets en esquissent une démonstration incomplète : une courbe $C$ lisse sur $V$ qui engendre la variété abélienne, puis Koizumi--Shimura ; l'existence de $C$ et le fait qu'elle engendre sont affirmés (\q{on sait}) sans démonstration.\par}

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Grothendieck, pages 98 et 99, section hyperplane générique\piste{57-generic-hyperplane-h1-injective}]\nonverifie
Soient $X \subset \mathbf P^r$ normal intègre de dimension $\geq 2$ sur un corps algébriquement clos et $Y_{\bar K}$ sa section hyperplane générique sur la clôture algébrique de $k(t_1, \ldots, t_r)$. Alors $H^1(X, G) \to H^1(Y_{\bar K}, G)$ est injectif pour $G = \mathbf G_a$ et pour $G$ fini commutatif, $\mu_p$ et $\alpha_p$ compris ; le noyau de $\mathrm{Pic}^\tau_{X_{\bar K}} \to \mathrm{Pic}^\tau_{Y_{\bar K}}$ est un $p$-groupe unipotent fini.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small Les feuillets en esquissent une démonstration incomplète : la page~98 ramène le théorème aux corollaires 1 à~4, et la page~99 plonge $H^1(X, \alpha_p)$ et $\mathrm{Pic}(X)[p]$ dans $H^0(X, \tilde\Omega^1)$ par Cartier ; l'injectivité de la restriction sur $H^0(\tilde\Omega^1)$, dite \q{presque triviale}, n'est pas faite, et le corollaire~1 n'est pas achevé.\par}

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Grothendieck, pages 226 à 228 et 247 à 271, Picard analytique et complété\piste{57-analytic-pic-completion-criterion}]\nonverifie
Soient $f : X \to Y$ un morphisme propre d'espaces analytiques complexes et $y \in Y$. L'application $(R^1f_*\mathcal O^*_X)_y \to \varprojlim \mathrm{Pic}(X_n)$ est un isomorphisme si et seulement si $(R^1f_*\mathcal O_X)_y$ est de longueur finie ; le système $(\mathrm{Pic}(X_n))$ est de Mittag-Leffler ; $X$ est projectif au voisinage de $y$ si et seulement si tous les $X_n$ sont projectifs.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
\begin{demopage}[pages 226 à 228 et 247 à 261]
La lettre à Hironaka du 6~juillet 1962 (pp.~226--228) énonce le théorème et en annonce la démonstration par les théorèmes de Grauert et la suite exponentielle ; le brouillon la donne. Par Grauert (lemme~1.3), $(H^i(X_n, \mathcal O_{X_n}))_n$ est de Mittag-Leffler, de limite $(R^if_*\mathcal O_X)^\wedge_y$ ; la suite exponentielle, où $H^i(X_n, \mathbf Z) = H^i(X_0, \mathbf Z)$ est de type fini, en tire la même condition pour $(H^i(X_n, \mathcal O^*_{X_n}))_n$ et une suite exacte (proposition~1.5). Le lemme des cinq, qui compare celle-ci à la suite des tiges, rend la flèche de $(R^if_*\mathcal O^*_X)_y$ vers la limite injective, et bijective si et seulement si $(R^if_*\mathcal O_X)_y$ est de longueur finie : c'est le théorème pour $i = 1$ (remarque~1.7, et corollaire~1.8 pour la projectivité).
\end{demopage}

\begin{encadre}
\begin{exemple*}[Grothendieck, pages 11 à 13, torseur de Picard en dimension 2\piste{59-surface-even-chi-torsor}]\nonverifie
Pour un schéma abélien $A/S$ de dimension relative~$2$ et une section $\delta$ de $\mathrm{NS}_{A/S}$ avec $\chi(\delta)$ pair, le torseur $\mathrm{Pic}^\delta_{A/S}$ sous le dual est trivial.
\end{exemple*}
\end{encadre}
{\small La page le donne en exemple d'un calcul (\q{Exemple}, page~13). Les feuillets en esquissent une démonstration incomplète : la page~13 déduit la trivialité des puissances $\chi^{n-2}(\chi - 1)$ et $2\chi^{n-2}$ du torseur, et conclut pour $n = 2$ sur un \q{si} de lecture incertaine ; les compatibilités des trivialisations que les marges demandent ne sont pas démontrées.\par}

\begin{encadre}
\begin{conjecture*}[Grothendieck, pages 7 et 8, intégralité sur une variété abélienne\piste{47-dual-polarisation-divisibility}]
Sur une variété abélienne, pour un fibré en droites $L$ de classe de Néron--Severi $\delta$ avec $\chi = \chi(\delta) \neq 0$ et $\delta'$ la classe déterminée par $\det \Phi_L(L)$, les classes $\binom{\chi}{k}\delta'^k/\chi^m$ sont entières, comme conséquences de $c(\Phi_L(\mathrm{cl}\,L)) = (1 - D'/\chi)^\chi$.
\end{conjecture*}
\end{encadre}
{\small La lecture prend $m = k$, que la ligne du caractère de Chern de la page impose, et en donne une démonstration sur un corps algébriquement clos par l'image réciproque le long de l'isogénie $\varphi_L$, injective sur l'anneau de Chow rationnel ; l'exposant $m = k - 2$ de la page donne un énoncé plus faible, vrai si celui de la lecture l'est. Cette démonstration est de l'édition et n'est pas vérifiée en Lean ; l'argument surchargé de $\varphi_L$ reste à relire sur le fac-similé. Mathlib n'a pas les classes de Chern sur les variétés abéliennes. On se reportera aux notes de Grothendieck (\lot{47}{1}{7}).\par}

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[D'après la page 3, forme reconstituée par l'édition, critère de platitude\piste{49-flatness-lemma-pushforward}]\nonverifie
Soient $S$ localement noethérien, $\varphi : X \to Y$ un morphisme de $S$-schémas de type fini, $F$ quasi-cohérent sur $X$ et plat sur $S$, $G$ cohérent sur $Y$ et $G \to \varphi_*F$. Si $G \to \varphi_*F$ est injectif sur la fibre en $s$ aux points au-dessus de $y$, $G$ est plat sur $S$ en $y$.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small L'édition retient la forme barrée de la clause~c), la clause conservée étant coupée par un mot illisible. Mathlib n'a pas la platitude des faisceaux cohérents sur les schémas. On se reportera aux notes de Grothendieck (\lot{49}{1}{3}).\par}

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Grothendieck, pages 42 à 49, rigidité des sous-groupes\piste{57-rigid-subgroups-one-fibre}]\nonverifie
Soient $S$ localement noethérien connexe et $G$ un schéma en groupes de type fini sur $S$. Deux sous-schémas en groupes fermés \q{rigides} de $G$, c'est-à-dire commutatifs, plats, et dont chaque fibre géométrique est l'adhérence schématique de sa torsion d'ordre premier à la caractéristique résiduelle, qui coïncident sur une fibre, sont égaux.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small Mathlib n'a pas les schémas en groupes sur une base noethérienne. On se reportera aux notes de Grothendieck (\lot{57}{3}{42}).\par}

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Grothendieck, pages 3 à 5, symbole local de Néron\piste{130-neron-symbol-component-correction}]\nonverifie
Pour une variété abélienne $A$ sur le corps des fractions $K$ d'un anneau de valuation discrète, le symbole local de Néron $(X, a)_v$ est la somme d'un nombre d'intersection $i(\bar X, \bar a)$ sur le modèle de Néron et d'une correction $v(X, a)$ caractérisée par quatre axiomes (bilinéarité, invariance par translation, normalisation par la partie verticale de $\mathrm{div}\,\bar f$, bornitude), avec $m\,v(X, a) \in \mathbf Z$ pour $m$ l'ordre du groupe des composantes ; d'où un accouplement $A^\vee(K) \times A(K) \to \mathbf Z/m\mathbf Z$.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small Mathlib n'a pas les modèles de Néron ni les symboles locaux. On se reportera aux notes de Grothendieck (\lot{130}{1}{3}).\par}