\section[Cote 128 : descente le long d'un conducteur nilpotent, idéaux d'équivalence de rang deux]{Cote 128 : descente le long d'un conducteur nilpotent, idéaux d'équivalence de rang deux\protect\verifie{Folder128}}\label{sec:128}

La cote 128, \emph{Descente non plate. Modules formels}, trente et une pages non datées, compare le complexe d'Amitsur d'une extension $A \subset A'$ à celui de sa réduction modulo un idéal nilpotent. Sept pages (12 à 18) y traitent de \q{résultats auxiliaires sur les relations d'équivalence}. La proposition~1 de la page~12 affirme que, si $A'/A$ est isomorphe au corps résiduel $k = A/\mathfrak m$, il n'y a sur $\operatorname{Spec} A'$, au-dessus de $\operatorname{Spec} A$, que deux relations d'équivalence : la plus fine et la moins fine (\lot{128}{1}{12}). La page~13 ramène l'énoncé au cas où $A = k$ est un corps et $A'$ une $k$-algèbre de rang~$2$, traite $k \times k$ et s'arrête sur \q{$A' \simeq k[\varepsilon]$} (\lot{128}{1}{13}). On démontre ici ce cas d'un corps et la réduction qui y ramène le cas local, puis, à la fin de la section, le résultat de descente des pages 4 à~9 : la descente plate effective se remonte le long d'un idéal nilpotent contenu dans le conducteur.

\noindent\emph{Idéaux d'équivalence.} Sur un ensemble $X$, une relation d'équivalence est une partie $R \subset X \times X$ qui contient la diagonale, est stable par l'échange $(x, y) \mapsto (y, x)$ et vérifie : si $(x, y)$ et $(y, z)$ sont dans $R$, $(x, z)$ aussi. Pour $X = \operatorname{Spec} A$ au-dessus d'un corps $k$, le produit $X \times_k X$ est $\operatorname{Spec}(A \otimes_k A)$, et un sous-schéma fermé de ce produit est donné par un idéal $J$ de $A \otimes_k A$, d'autant plus petit que le sous-schéma est gros. Les trois axiomes se traduisent alors ainsi (la lecture les énonce après la proposition~3 du n\textsuperscript{o}~1, pages 9 à~11) :
\begin{itemize}
\item réflexivité : $R$ contient la diagonale, c'est-à-dire $J \subset \Delta = \operatorname{Ker}(A \otimes_k A \to A, \ a \otimes b \mapsto ab)$ ;
\item symétrie : $J$ est stable par l'échange $a \otimes b \mapsto b \otimes a$ ;
\item transitivité : $p_{13}(J) \subset p_{12}(J) + p_{23}(J)$ dans $A \otimes_k A \otimes_k A$, où $p_{12}(a \otimes b) = a \otimes b \otimes 1$, $p_{13}(a \otimes b) = a \otimes 1 \otimes b$ et $p_{23}(a \otimes b) = 1 \otimes a \otimes b$ engendrent des idéaux.
\end{itemize}
La dernière condition dit que le sous-schéma de $X^3$ formé des $(x, y, z)$ avec $(x, y) \in R$ et $(y, z) \in R$ s'envoie dans $R$ par $(x, y, z) \mapsto (x, z)$. Les deux idéaux extrêmes sont $J = \Delta$, la diagonale, relation la plus fine, et $J = 0$, le produit tout entier, relation la moins fine.

\noindent\emph{L'intuition.} Une $k$-algèbre de rang~$2$ est un \q{schéma à deux points}, au sens géométrique : deux points distincts ($k \times k$), un point double ($k[\varepsilon]$, $\varepsilon^2 = 0$), ou un seul point de degré~$2$ (une extension quadratique de $k$). Pour deux points, la question est celle des relations d'équivalence sur un ensemble à deux éléments, et il y en a deux. Pour le point double, on pourrait craindre une relation intermédiaire, qui identifierait le point à lui-même \q{à l'ordre un} sans l'identifier à son vecteur tangent ; la transitivité l'interdit (figure~\ref{fig:128-rang-deux}).

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{tikzpicture}[x=1cm, y=1cm, >=stealth, every node/.style={font=\small}]
% Spec(k x k) : deux points, le carré a quatre points
\draw[black!35] (0,-0.5) -- (2.6,-0.5) (-0.5,0) -- (-0.5,2.6);
\foreach \x/\l in {0.6/x, 2/y} { \fill (\x,-0.5) circle (1.6pt); \node[below] at (\x,-0.5) {$\l$}; \fill (-0.5,\x) circle (1.6pt); \node[left] at (-0.5,\x) {$\l$}; }
\draw[frise, thick, dashed] (0.2,0.2) -- (2.4,2.4) node[above right=-2pt] {$\Delta$};
\foreach \x in {0.6, 2} \foreach \y in {0.6, 2} \draw[fill=white] (\x,\y) circle (2.2pt);
\fill[frise] (0.6,0.6) circle (2.2pt) (2,2) circle (2.2pt);
\node[align=center] at (1.05,-1.55) {$\operatorname{Spec}(k \times k)$ : \\ $0$ garde les quatre points, \\ $\Delta$ les deux de la diagonale};
% Spec(k[eps]) : un point double ; trois sous-schémas du carré
\begin{scope}[xshift=5.2cm]
\foreach \c/\t/\col/\q/\ds/\dd in {0/{$J = 0$}/black/1/1/0, 3.2/{$J = k\,\varepsilon_1\varepsilon_2$}/piste/0/1/0, 6.4/{$J = \Delta$}/frise/0/0/1} {
  \begin{scope}[xshift=\c cm]
  \ifnum\q=1 \fill[black!15] (0,0) rectangle (1.1,1.1); \fi
  \ifnum\ds=1 \draw[->, thick, \col] (0,0) -- (1.5,0) node[below] {$\varepsilon_1$}; \draw[->, thick, \col] (0,0) -- (0,1.5) node[left] {$\varepsilon_2$}; \fi
  \ifnum\dd=1 \draw[->, thick, \col] (0,0) -- (1.2,1.2) node[above right=-2pt] {$\varepsilon_1 = \varepsilon_2$}; \fi
  \fill (0,0) circle (2pt);
  \node[\col] at (0.75,-0.75) {\t};
  \end{scope}
}
\node[align=center] at (4,-1.55) {$\operatorname{Spec}(k[\varepsilon] \otimes_k k[\varepsilon]) = \operatorname{Spec} k[\varepsilon_1, \varepsilon_2]/(\varepsilon_1^2, \varepsilon_2^2)$ : un seul point, \\ avec ses directions tangentes $\varepsilon_1$, $\varepsilon_2$ et le terme croisé $\varepsilon_1 \varepsilon_2$ (en gris)};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\caption{Les sous-schémas du carré $\operatorname{Spec}(A \otimes_k A)$ pour les deux modèles de rang~$2$. Pour $k \times k$, deux points, les relations $0$ et $\Delta$ sont le carré entier et sa diagonale. Pour $k[\varepsilon]$, un point double, le carré est un seul point épaissi ; $\Delta$ ne garde que la direction diagonale, et l'idéal intermédiaire $k\,\varepsilon_1\varepsilon_2$ ôte le seul terme croisé. Il n'est pas transitif : dans $A^{\otimes 3}$, placer le point du milieu à l'origine annule $\varepsilon_1\varepsilon_2$ et $\varepsilon_2\varepsilon_3$, mais pas $\varepsilon_1\varepsilon_3$.}
\label{fig:128-rang-deux}
\end{figure}

\begin{theoreme}[Grothendieck, page 12, proposition~1 (i), cas d'un corps]\label{thm:128-deux}
Soient $k$ un corps et $A$ une $k$-algèbre commutative de dimension~$2$. Les idéaux d'équivalence de $A \otimes_k A$ sont exactement $0$ et~$\Delta$.
\end{theoreme}

\begin{proof}
Les deux idéaux $0$ et $\Delta$ sont d'équivalence : pour $\Delta$, la symétrie vient de la commutativité de $A$, et la transitivité de l'identité $p_{13}(\delta s) = p_{12}(\delta s) + p_{23}(\delta s)$, où $\delta s = 1 \otimes s - s \otimes 1$, ces éléments engendrant~$\Delta$.

Réciproquement, soit $J$ un idéal d'équivalence. Pour $x \in A$ hors de $k$, $(1, x)$ est une base de $A$, et $\Delta = A \cdot \delta x$ : le $A$-module $\Delta$ est engendré par les $\delta s$, et $\delta(c + dx) = d\,\delta x$. Tout élément de $J$ s'écrit donc $a \cdot \delta x = a \otimes x - ax \otimes 1$, et il suffit de montrer que $J = 0$ ou que $\delta x \in J$ pour un tel~$x$.

Si tout élément non nul de $A$ est inversible, un élément non nul $a \cdot \delta x$ de $J$ donne $\delta x = a^{-1} \cdot (a \cdot \delta x) \in J$. Sinon, soit $e$ non nul et non inversible ; il n'est pas dans $k$, et $e^2 = s + re$ avec $s, r \in k$. Si $s \neq 0$, $e \cdot s^{-1}(e - r) = 1$ ; donc $s = 0$ et $e^2 = re$.

Si $r \neq 0$, $f = e/r$ est un idempotent hors de $k$ (c'est le cas $k \times k$). Un élément de $J$ s'écrit $t = c\,(1 \otimes f) + d\,(f \otimes f) - (c + d)(f \otimes 1)$. On calcule $(f \otimes 1)\,t = (c + d)\,w_1$ et $(1 \otimes 1 - f \otimes 1)\,t = c\,w_2$, avec $w_1 = f \otimes f - f \otimes 1$ et $w_2 = 1 \otimes f - f \otimes f$. Si $t \neq 0$, l'un des scalaires $c + d$, $c$ est non nul, donc $w_1$ ou $w_2$ est dans~$J$. Or $w - \sigma(w) = \delta f$ pour $w = w_1$ comme pour $w = w_2$, où $\sigma$ est l'échange, et la symétrie donne $\delta f \in J$.

Si $r = 0$, $e^2 = 0$ (c'est le cas $k[\varepsilon]$). Un élément de $J$ s'écrit $t = c\,\delta e + d\,(e \otimes e)$, et $(e \otimes 1)\,t = c\,(e \otimes e)$. Supposons $\delta e \notin J$. Si $c \neq 0$, $e \otimes e \in J$, puis $c\,\delta e = t - d\,(e \otimes e) \in J$, contradiction ; donc $J \subset k\,(e \otimes e)$. Si de plus $J \neq 0$, $e \otimes e \in J$. Soit $\chi : A \to k$ le caractère $c + de \mapsto c$, et $\varphi : A^{\otimes 3} \to A^{\otimes 2}$ le morphisme d'algèbres $a \otimes b \otimes c \mapsto \chi(b)\, a \otimes c$, qui \q{oublie le point du milieu}. Il annule $p_{12}(e \otimes e) = e \otimes e \otimes 1$ et $p_{23}(e \otimes e) = 1 \otimes e \otimes e$, donc les idéaux $p_{12}(J)$ et $p_{23}(J)$, mais envoie $p_{13}(e \otimes e) = e \otimes 1 \otimes e$ sur $e \otimes e \neq 0$. La transitivité est en défaut ; donc $J = 0$.

Dans tous les cas, $J = 0$ ou $\delta x \in J$ pour un $x \notin k$, et alors $\Delta = A \cdot \delta x \subset J \subset \Delta$.
\end{proof}

\begin{remarque}
La démonstration n'utilise ni la clôture algébrique de $k$, que la page s'accorde en interligne, ni la classification des algèbres de rang~$2$ : elle couvre d'un coup les extensions quadratiques, séparables ou non. Le cas $k[\varepsilon]$, que la page laisse après \q{$\varepsilon^2 = 0$}, est celui de la lecture : l'idéal $k\,\varepsilon_1\varepsilon_2$ est réflexif et symétrique, mais pas transitif. Le cas $k \times k$ se règle, lui, par la seule symétrie : les idéaux $k\,(f \otimes (1 - f))$ et $k\,((1 - f) \otimes f)$, réflexifs et transitifs, correspondent aux deux relations non symétriques d'un ensemble à deux éléments.
\end{remarque}

\noindent\emph{Portée de la vérification.} Lean formalise la définition des idéaux d'équivalence par les trois conditions ci-dessus, pour $A$ commutative de dimension~$2$ sur un corps quelconque, et démontre le théorème~\ref{thm:128-deux} dans les deux sens. L'idéal $\Delta$ y est le noyau de la multiplication \texttt{Algebra.\allowbreak{}TensorProduct.\allowbreak{}lmul'}, et les $\delta s$ l'engendrent comme $A$-module par un résultat de mathlib qui sert à définir les différentielles de Kähler.

La partie difficile de la proposition~1 (i) est la réduction du cas général au cas d'un corps. Elle passe par la proposition~3 du n\textsuperscript{o}~1 et son corollaire~2 (pages 9 à~11) : la réduction modulo $\mathfrak m$ induit une bijection entre les idéaux d'équivalence de $A' \otimes_A A'$ et ceux de $A'_0 \otimes_k A'_0$, parce que l'idéal d'augmentation se réduit isomorphiquement (lemme du serpent). Cette réduction est démontrée plus bas, pour $I = \mathfrak m$ et dans le sens qui sert (théorème~\ref{thm:128-prop1}) ; ni la traduction entre idéaux et sous-schémas fermés, ni les points (ii) et (iii) de la proposition ne sont formalisés.

\noindent\emph{Le critère sur un corps.} Prenons $A = k$ et notons, comme dans le théorème~\ref{thm:128-deux}, $A$ l'algèbre finie (le $A'$ de la page). L'hypothèse \q{$\delta(x)$ engendre l'idéal $\Delta$ de $A'' = (A \otimes_k A)/J$} se lit dans $A \otimes_k A$ : $\Delta \subset (\delta x) + J$. L'exactitude de $k \to A \rightrightarrows A''$ dit que $\delta x \in J$ seulement pour $x \in k$. Les feuillets distinguent deux cas : $A$ non radiciel, ramené à $k^n$ où un décompte donne $n = 2$, et $A$ radiciel, ramené à $k \oplus V$ avec $V^2 = 0$, où la page~18 s'arrête sur \q{il faut prouver} $\dim V = 1$. La démonstration ci-dessous évite cette distinction : elle regarde $J$ point par point.

\begin{theoreme}[Grothendieck, pages 14 à 18, proposition~2, cas d'un corps]\label{thm:128-colongueur}
Soient $k$ un corps, $A$ une $k$-algèbre commutative de dimension finie dont tous les corps résiduels sont $k$, et $J \subset \Delta$ un idéal de $A \otimes_k A$. On suppose que $\delta x \in J$ entraîne $x \in k$, et que $\Delta \subset (\delta x) + J$ pour tout $x \notin k$. Alors $\dim_k A \leq 2$, c'est-à-dire $\mathrm{long}(A/k) \leq 1$. Si de plus $J$ est un idéal d'équivalence et $\dim_k A = 2$, alors $J = 0$, c'est-à-dire $A'' = A \otimes_k A$.
\end{theoreme}

\begin{proof}
Un point $\chi : A \to k$ (un morphisme de $k$-algèbres, d'idéal $\mathfrak m_\chi = \operatorname{Ker} \chi$) donne le morphisme $\varphi_\chi : A \otimes_k A \to A$, $a \otimes b \mapsto \chi(a)\, b$, qui \q{fixe le premier point en $\chi$}. Il envoie $\delta x$ sur $x - \chi(x)$, et $\Delta$ dans $\mathfrak m_\chi$. Pour $0 \neq z \in \mathfrak m_\chi$ (donc $z \notin k$) et $y \in \mathfrak m_\chi$, écrivons $\delta y = u\, \delta z + j$ avec $j \in J$ ; en appliquant $\varphi_\chi$, $y = \varphi_\chi(u)\, z + \varphi_\chi(j)$. Ainsi $\mathfrak m_\chi \subset A z + \varphi_\chi(J)$.

Premier cas : $\varphi_\chi(J) = 0$ pour un point $\chi$. Alors tout $z \neq 0$ de $\mathfrak m_\chi$ l'engendre. Si $\mathfrak m_\chi = 0$, $A = k$. Sinon, soit $z \neq 0$ dans $\mathfrak m_\chi$ et $\mathfrak n$ un idéal maximal contenant l'annulateur de $z$ ; c'est le noyau d'un point $\chi'$. Pour $w \in \mathfrak n$, si $wz \neq 0$, il engendre $\mathfrak m_\chi$ : $z = bwz$, donc $1 - bw$ annule $z$ et serait dans $\mathfrak n$ avec $bw$, absurde. Donc $\mathfrak n z = 0$, et $bz = \chi'(b)\, z$ pour tout $b$ : $\mathfrak m_\chi = kz$ et $A = k \oplus kz$.

Second cas : $\mathfrak m_\chi \subset \varphi_\chi(J)$ pour tout $\chi$ (si $\varphi_\chi(J)$ contient $y_0 \neq 0$, on prend $z = y_0$ ci-dessus). Pour $f \in \Delta$, $f \equiv \delta(\varphi_\chi f)$ modulo $\mathfrak m_\chi \Delta$ (où $A$ agit sur le premier facteur) : c'est vrai pour $f = \delta s$, car $\delta$ s'annule sur $k$, et le passage à $a \cdot f$ ajoute $(a - \chi(a)) \cdot f \in \mathfrak m_\chi \Delta$. Pour $x \in A$, choisissons $f \in J$ avec $\varphi_\chi(f) = x - \chi(x)$ ; alors $\delta x = \delta(\varphi_\chi f) \in J + \mathfrak m_\chi \Delta$. Ainsi $\Delta \subset J + \mathfrak m \Delta$ pour tout idéal maximal $\mathfrak m$, puisque tous sont des $\mathfrak m_\chi$. Par le lemme de Nakayama, appliqué en chaque idéal maximal au $A$-module de type fini $(\Delta + J)/J$, $\Delta \subset J$ ; l'exactitude donne alors $x \in k$ pour tout $x$, soit $A = k$.

Enfin, si $\dim_k A = 2$ et si $J$ est un idéal d'équivalence, le théorème~\ref{thm:128-deux} donne $J = 0$ ou $J = \Delta$, et $J = \Delta$ contredirait l'exactitude.
\end{proof}

\begin{remarque}
La première assertion n'utilise de $J$ que l'inclusion $J \subset \Delta$ : ni la symétrie, ni la transitivité, ni la nilpotence de $J$ que la page souligne sans la justifier. Le décompte \q{$2(n-1) = n^2 - n$} du cas non radiciel et le calcul de $\dim V$ de la page~18 sont deux instances du premier cas, $\varphi_\chi(J) = 0$ ; le second cas est celui où la relation ne relie $\chi$ à aucun autre point, ni infinitésimalement.
\end{remarque}

\noindent\emph{Portée de la vérification.} Lean démontre le théorème~\ref{thm:128-colongueur} sous ces hypothèses (\texttt{Colength.\allowbreak{}finrank\_le\_two}, \texttt{Colength.\allowbreak{}eq\_bot\_of\_finrank\_eq\_two}, réunis dans \texttt{Colength.\allowbreak{}prop2}) ; l'hypothèse sur les corps résiduels y est écrite \q{tout idéal maximal est le noyau d'un morphisme $A \to k$}, et le lemme de Nakayama en tout idéal maximal y est \texttt{Colength.\allowbreak{}le\_of\_forall\_le\_sup\_smul}. La réduction du cas local au cas d'un corps fait l'objet du théorème suivant.

\noindent\emph{Du cas local au cas d'un corps.} Revenons à l'énoncé de la page~14 : $A$ local artinien d'idéal maximal $\mathfrak m$, $k = A/\mathfrak m$, et $A'$ une $A$-algèbre finie. Les idéaux d'équivalence de $A' \otimes_A A'$ se définissent comme plus haut, $\otimes_k$ devenant $\otimes_A$, et $\delta x = 1 \otimes x - x \otimes 1$. La page obtient $\mathfrak m A' = \mathfrak m$ par sa distinction radiciel / non radiciel, en s'appuyant sur la nilpotence de $J$, puis réduit modulo $\mathfrak m$ par la proposition~3 du n\textsuperscript{o}~1 et son corollaire~2 (pages 9 à~11), qui identifient l'idéal d'augmentation $\Delta$ à celui de $A'_0 = A'/\mathfrak m A'$ et transportent les idéaux d'équivalence. On suit ici la même réduction, mais $\mathfrak m A' = \mathfrak m$ se lit directement sur l'hypothèse, et l'argument point par point du théorème~\ref{thm:128-colongueur} se fait dans $A'_0$ sans passer par $A'_0 \otimes_k A'_0$.

\begin{theoreme}[Grothendieck, pages 14 à 18, proposition~2\piste{128-colength-one-equivalence-criterion}]\label{thm:128-local}
Soient $A$ un anneau noethérien, $\mathfrak m$ un idéal maximal de $A$, $k = A/\mathfrak m$, et $A'$ une $A$-algèbre finie dont tout idéal maximal est le noyau d'un morphisme de $A$-algèbres $A' \to k$ (c'est le cas si $A$ est local artinien d'idéal maximal $\mathfrak m$ et si les extensions résiduelles de $A'$ sont triviales). Soit $J \subset \Delta$ un idéal de $A' \otimes_A A'$ ; on suppose que $\delta x \in J$ entraîne $x \in A$ (exactitude de $A \to A' \rightrightarrows (A' \otimes_A A')/J$), et que $\Delta \subset (\delta x) + J$ pour tout $x \notin A$. Alors :
\begin{enumerate}
\item $\mathfrak m A'$ est contenu dans l'image de $A$ ; si $A \to A'$ est injectif, $\mathfrak m A' = \mathfrak m$ ;
\item $A'/A$ est de longueur au plus~$1$ ;
\item si de plus $J$ est un idéal d'équivalence et si $A'/A$ est de longueur~$1$, alors $J = 0$, c'est-à-dire $(A' \otimes_A A')/J = A' \otimes_A A'$.
\end{enumerate}
\end{theoreme}

\begin{proof}[Esquisse]
Point~1. Tout idéal maximal $\mathfrak n$ de $A'$ est le noyau d'un point $\chi : A' \to k$, donc contient $\mathfrak m A'$. Si $x \in \mathfrak m A'$ n'était pas dans $A$, on aurait $\delta x \in \mathfrak m \Delta \subset \mathfrak n \Delta$ (car $\delta$ est $A$-linéaire et nul sur $A$), où $A'$ agit sur le premier facteur ; l'hypothèse donnerait $\Delta \subset (\delta x) + J \subset J + \mathfrak n \Delta$ pour tout $\mathfrak n$, donc $\Delta \subset J$ par le lemme de Nakayama en chaque idéal maximal de $A'$ ($\Delta$ est de type fini, $A'$ étant noethérien), et l'exactitude mettrait $x$ dans $A$.

Point~2. Pour un point $\chi$, le morphisme $\varphi_\chi : A' \otimes_A A' \to A'_0$, $a \otimes b \mapsto \chi(a)\, \bar b$, envoie $\delta x$ sur $\bar x - \chi(x)$, et l'on refait la démonstration du théorème~\ref{thm:128-colongueur} dans la $k$-algèbre finie $A'_0$, dont les corps résiduels sont $k$. Ou bien $\varphi_\chi(J) = 0$ pour un $\chi$, et l'idéal maximal de $\chi$ dans $A'_0$ est simple, d'où $\dim_k A'_0 \leq 2$. Ou bien, pour tout $\chi$, cet idéal est contenu dans $\varphi_\chi(J)$ ; la congruence $f \equiv \delta(\varphi_\chi f)$ du cas d'un corps est remplacée par : tout $t \in \Delta$ est congru à un $\delta s$ modulo $\mathfrak n_\chi \Delta$ (on écrit $a = \lambda + (a - \lambda)$ avec $\lambda \in A$ relevant $\chi(a)$). Pour $x \in A'$, prenons $f \in J$ avec $\varphi_\chi(f) = \bar x - \chi(x)$ et $s$ avec $f \equiv \delta s$ ; comme $\varphi_\chi$ annule $\mathfrak n_\chi \Delta$, $\bar x - \bar s \in k$, donc $x - s \in A + \mathfrak m A'$ et $\delta x \equiv \delta s \equiv f$ modulo $\mathfrak n_\chi \Delta$. Ainsi $\Delta \subset J + \mathfrak n \Delta$ pour tout $\mathfrak n$, puis $\Delta \subset J$ et $A' = A$. Dans le premier cas, soit $z \notin A$ : par le point~1, $1$ et $\bar z$ sont libres dans $A'_0$, donc en forment une base, et $A' = A + Az + \mathfrak m A' = A + Az$ ; tout élément non nul de $A'/A$ l'engendre, et la longueur vaut au plus~$1$.

Point~3. Soit $\Theta : A' \otimes_A A' \to A'_0 \otimes_k A'_0$ la réduction modulo $\mathfrak m$. Son noyau est contenu dans $\mathfrak m (A' \otimes_A A')$ (exactitude à droite du produit tensoriel) ; et comme $\mathfrak m A' \subset A$, $\mu (a \otimes b) = (\mu a) \otimes b = 1 \otimes \mu a b$ pour $\mu \in \mathfrak m$, de sorte que tout élément $t$ de $\mathfrak m(A' \otimes_A A')$ vaut $1 \otimes t'$ où $t'$ est son image par la multiplication : il est nul s'il est dans $\Delta$. Ainsi $\Theta$ est injectif sur $\Delta$ ; c'est la proposition~3 du n\textsuperscript{o}~1 pour $I = \mathfrak m$. Comme $\Theta$ commute à l'échange, à la multiplication et aux $p_{ij}$, $\Theta(J)$ est un idéal d'équivalence (corollaire~2, dans le sens qui sert). La longueur~$1$ fournit $z \notin A$, et le point~2 donne $\dim_k A'_0 = 2$. Par le théorème~\ref{thm:128-deux}, $\Theta(J) = 0$, d'où $J = 0$ par injectivité, ou $\Theta(J) = \Delta_0$ ; dans ce cas $\Theta(\delta z) = \Theta(j)$ pour un $j \in J$, donc $\delta z = j \in J$, contre l'exactitude.
\end{proof}

\begin{theoreme}[Grothendieck, pages 12 et 13, proposition~1 (i)\piste{128-colength-one-equivalence-criterion}]\label{thm:128-prop1}
Soient $A$ un anneau, $\mathfrak m$ un idéal maximal, $k = A/\mathfrak m$, et $A \subset A'$ une $A$-algèbre telle que $A'/A \simeq k$ comme $A$-modules. Les idéaux d'équivalence de $A' \otimes_A A'$ sont exactement $0$ et $\Delta$.
\end{theoreme}

\begin{proof}[Esquisse]
Comme $\mathfrak m$ annule $A'/A$, $\mathfrak m A' \subset A$. Soit $z$ relevant $1 \in k$ : tout $y$ s'écrit $\lambda + \nu z$ avec $\lambda, \nu \in A$, donc $1, \bar z$ engendrent $A'_0$, et ils sont libres puisque $z \notin A + \mathfrak m A'$ ; $\dim_k A'_0 = 2$. Pour un idéal d'équivalence $J$, $\Theta(J)$ est un idéal d'équivalence de $A'_0 \otimes_k A'_0$, donc $0$ ou $\Delta_0$ (théorème~\ref{thm:128-deux}). Dans le premier cas $J = 0$ par injectivité de $\Theta$ sur $\Delta$. Dans le second, tout $d \in \Delta$ a son image dans $\Delta_0 = \Theta(J)$, donc $d - j \in \Delta$ est d'image nulle pour un $j \in J$, et $d = j$ : $J = \Delta$. Réciproquement $0$ et $\Delta$ sont des idéaux d'équivalence, comme sur un corps.
\end{proof}

\begin{remarque}
Ni la nilpotence de $J$, que la page souligne sans la justifier, ni la distinction radiciel / non radiciel, ni la différentielle $d : A' \to \Delta/\Delta^2$ ne servent ; les points~1 et~2 n'utilisent de $J$ que l'inclusion $J \subset \Delta$. L'anneau de base n'a pas à être local ni artinien : il suffit qu'il soit noethérien et que tous les points de $A'$ soient rationnels au-dessus d'un même idéal maximal. La proposition~1 (i) vaut sur un anneau quelconque, sans finitude ; c'est l'énoncé de la page~12, que la page~13 ramène au cas d'un corps sans plus de détail.
\end{remarque}

\noindent\emph{Portée de la vérification.} Lean démontre le théorème~\ref{thm:128-local} sous ces hypothèses (\texttt{ColengthLocal.\allowbreak{}map\_le\_range} pour le point~1, \texttt{ColengthLocal.\allowbreak{}colength\_le\_one} pour les points 1 et~2, \texttt{ColengthLocal.\allowbreak{}eq\_bot\_of\_length\_eq\_one} pour le point~3, réunis pour $A$ local noethérien dans \texttt{ColengthLocal.\allowbreak{}prop2}), la longueur étant \texttt{Module.\allowbreak{}length} ; l'alternative du point~2 est \texttt{ColengthLocal.\allowbreak{}finrank\_le\_two\_or}, la congruence modulo $\mathfrak n \Delta$ \texttt{ColengthLocal.\allowbreak{}exists\_sub\_dl\_mem}, la réduction $\Theta$ \texttt{ColengthLocal.\allowbreak{}theta}, son injectivité sur $\Delta$ \texttt{ColengthLocal.\allowbreak{}eq\_zero\_of\_theta}, et le transport des idéaux d'équivalence \texttt{ColengthLocal.\allowbreak{}isEquivalenceIdeal\_map}. Il démontre le théorème~\ref{thm:128-prop1} (\texttt{ColengthLocal.\allowbreak{}prop1\_i}, avec \texttt{ColengthLocal.\allowbreak{}isEquivIdeal\_bot} et \texttt{ColengthLocal.\allowbreak{}isEquivIdeal\_diag}). Ne sont pas formalisés : la proposition~3 du n\textsuperscript{o}~1 et son corollaire~2 pour un idéal nilpotent $I$ quelconque du conducteur (seul le cas $I = \mathfrak m$, $\mathfrak m A' \subset A$, et le sens de $A'$ vers $A'_0$ le sont), les points (ii) et (iii) de la proposition~1, et la traduction entre idéaux et sous-schémas fermés.


\noindent\emph{Descente le long d'un conducteur nilpotent.} Revenons aux pages 4 à~9 (\lot{128}{1}{4}). Soient $A \to A'$ un morphisme d'anneaux commutatifs et $I$ un idéal de $A$ que $\lambda \mapsto \lambda \cdot 1$ envoie injectivement sur un idéal de $A'$ : $I$ est contenu dans le conducteur, et le carré formé de $A$, $A'$, $A_0 = A/I$, $A'_0 = A'/IA'$ est cartésien (un carré de Milnor). Une \emph{donnée de descente} sur un $A'$-module $E'$ relativement à $A \to A'$ est un isomorphisme $\varphi : A' \otimes_A E' \to E' \otimes_A A'$ satisfaisant la condition de cocycle ; on l'écrit ici par la coaction $\psi(e) = \varphi(1 \otimes e) = \sum b_i \otimes e_i$, application $A'$-linéaire $E' \to A' \otimes_A E'$ soumise à deux conditions : la counité $\sum b_i e_i = e$ et le cocycle $\sum b_i \otimes \psi(e_i) = \sum b_i \otimes 1 \otimes e_i$. Les invariants $E = \{e \mid \psi(e) = 1 \otimes e\}$ forment le $H^0$ du complexe de descente, et la donnée est \emph{effective} si $E$ est plat sur $A$ et si $A' \otimes_A E \to E'$ est bijectif : elle est alors celle de $A' \otimes_A E$. Un morphisme $\operatorname{Spec} A' \to \operatorname{Spec} A$ est de \emph{descente effective pour les modules plats} si $M \to H^0(A'/A, M)$ est bijectif pour tout $A$-module plat $M$ et si toute donnée de descente sur un $A'$-module plat est effective. Une donnée sur $E'$ en induit une sur $E'_0 = A'_0 \otimes_{A'} E'$ relativement à $A_0 \to A'_0$, sa réduction.

\begin{theoreme}[Grothendieck, pages 4 à 7, proposition~2 et corollaire~1\piste{128-nilpotent-conductor-flat-descent}]\label{thm:128-descente}
Soient $A \to A'$ et $I$ comme ci-dessus, avec $I$ nilpotent.
\begin{enumerate}
\item Si $E'$ est un $A'$-module plat muni d'une donnée de descente dont la réduction modulo $I$ est effective, la donnée est effective.
\item Si $\operatorname{Spec} A'_0 \to \operatorname{Spec} A_0$ est un morphisme de descente effective pour les modules plats, $\operatorname{Spec} A' \to \operatorname{Spec} A$ l'est aussi.
\end{enumerate}
\end{theoreme}

\begin{proof}
On note $\pi : E' \to E'_0$ la réduction, $E$ et $E_0$ les invariants de $E'$ et de $E'_0$. Le fait de base est que, $IA'$ étant égal à l'image de $I$, on a dans $A' \otimes_A N$, pour tout $A$-module $N$, $\lambda b \otimes n = 1 \otimes \lambda_b n$ avec $\lambda_b \in I$ : tout élément de $IA' \cdot (A' \otimes_A N)$ s'écrit $1 \otimes y$ avec $y \in IN$.

Étape 1 : $e$ est invariant si et seulement si $\pi(e)$ l'est. Si $\pi(e)$ est invariant, $\psi(e) - 1 \otimes e$ s'annule modulo $I$, donc vaut $1 \otimes y$ ; en appliquant la counité, $e - e = y$, d'où $y = 0$. C'est le calcul de la page~5, qui n'utilise ni $I^2 = 0$ ni la platitude. Ainsi $E \to E_0$ est surjectif, de noyau $IE'$.

Étape 2 : par l'effectivité modulo $I$, $E'_0$ est engendré par $E_0$, donc $E' = A' E + IE'$, et $E' = A'E$ par le lemme de Nakayama pour l'idéal nilpotent $IA'$ ; on en tire aussi $IE' = IE$. L'application $A' \otimes_A E \to E'$ est donc surjective.

Étape 3 : elle est injective. Un élément $t$ de son noyau a une réduction dans $A'_0 \otimes_{A_0} E_0$ qui s'envoie sur $\pi(0) = 0$, donc est nulle par l'effectivité modulo $I$ ; $t$ est alors dans $IA' \cdot (A' \otimes_A E)$, de la forme $1 \otimes y$, et son image $y$ est nulle.

Étape 4 : $E$ est plat. D'une part $E/IE \simeq E_0$ est plat sur $A_0$. D'autre part $I \otimes_A E \simeq I \otimes_{A'} (A' \otimes_A E) \simeq I \otimes_{A'} E' \to E'$ est injectif, $E'$ étant plat sur $A'$ ; c'est le seul usage de cette platitude. Le critère local de platitude pour un idéal nilpotent conclut : si $M/IM$ est plat sur $A/I$ et $I \otimes_A M \to M$ injectif, $M$ est plat. On le démontre sans hypothèse noethérienne, en remontant une filtration $J \subset J + I^{n-1} \subset \cdots \subset A$ de chaque idéal $J$ et en ramenant chaque cran, tué par $I$, à un module libre.

Pour le point 2, l'effectivité se déduit du point 1 appliqué à la réduction de la donnée. Pour $M$ plat sur $A$, on applique l'hypothèse à $M_0 = A_0 \otimes_A M$ : si $1 \otimes m = 0$ dans $A' \otimes_A M$, alors $m \in IM$, provient de $I \otimes_A M$, qui s'injecte dans $A' \otimes_A M$ par platitude, d'où $m = 0$ ; et un invariant $x$ de $A' \otimes_A M$ a une réduction de la forme $1 \otimes m_0$, d'où $x - 1 \otimes m = 1 \otimes y$ par l'étape~1 et $x = 1 \otimes (m + y)$.
\end{proof}

\begin{remarque}
La page procède autrement : elle traite le cas $I^2 = 0$ par la suite exacte de cohomologie de $0 \to I\,C^\bullet_D \to C^\bullet_D(A'/A, E') \to C^\bullet_D(A'_0/A_0, E'_0) \to 0$, puis raisonne par récurrence sur l'ordre de nilpotence. L'étape~1 montre que cette récurrence n'est pas nécessaire. Comme le note la lecture, les hypothèses $A \simeq H^0(A'/A)$ et $H^1(A'/A) = 0$ de l'énoncé ne servent pas au point~1. Le dernier pas de la page~6, l'isomorphisme $E \otimes_A A' \to E'$, presque illisible, est ici l'étape~3, qui ne demande pas la platitude de $E'$.
\end{remarque}

\begin{theoreme}[Grothendieck, page 7, exemple du corollaire~1\piste{128-nilpotent-conductor-flat-descent}]\label{thm:128-fid-plat}
\begin{enumerate}
\item Si $A \to A'$ est plat, $A' \otimes_A E \to E'$ est bijectif pour toute donnée de descente sur un $A'$-module $E'$, $E$ désignant ses invariants.
\item Si $A \to A'$ est fidèlement plat, $\operatorname{Spec} A' \to \operatorname{Spec} A$ est un morphisme de descente effective pour les modules plats.
\item Soient $A \to A'$ et $I$ comme au théorème~\ref{thm:128-descente}, $I$ nilpotent. Si $A'_0$ est fidèlement plat sur $A_0$, $\operatorname{Spec} A' \to \operatorname{Spec} A$ est un morphisme de descente effective pour les modules plats.
\end{enumerate}
\end{theoreme}

\begin{proof}
Point 1. Soit $f = \psi - (1 \otimes \cdot) : E' \to A' \otimes_A E'$, $A$-linéaire, de noyau $E$. Le cocycle dit que $\psi(e)$ est annulé par $A' \otimes f$ ; $A'$ étant plat, le noyau de $A' \otimes f$ est l'image de $A' \otimes_A E$, qui s'injecte dans $A' \otimes_A E'$. On écrit donc $\psi(e) = j(t)$, avec $j : A' \otimes_A E \hookrightarrow A' \otimes_A E'$, et la counité donne $\theta(t) = e$ pour $\theta : A' \otimes_A E \to E'$ : $\theta$ est surjectif. Pour $x$ invariant, $\psi(\theta(b \otimes x)) = b \psi(x) = b \otimes x = j(b \otimes x)$, donc $j = \psi \circ \theta$, et $\theta$ est injectif puisque $j$ l'est.

Point 2. Pour $M$ un $A$-module, $M \to A' \otimes_A M$ est injectif par fidèle platitude. Si $E'$ est plat sur $A'$, $A' \otimes_A E \simeq E'$ est plat sur $A'$, donc $E$ est plat sur $A$ (la platitude descend le long d'un morphisme fidèlement plat) : la donnée est effective. Enfin, pour la donnée canonique sur $A' \otimes_A M$, d'invariants $N$, l'application $\iota : M \to N$, $m \mapsto 1 \otimes m$, vérifie $\theta \circ (A' \otimes \iota) = \mathrm{id}$ ; $\theta$ étant bijectif par le point~1, $A' \otimes \iota$ est surjectif, donc $\iota$ aussi par fidèle platitude : $M \simeq H^0(A'/A, M)$.

Point 3. C'est le point~2 du théorème~\ref{thm:128-descente}, dont l'hypothèse est donnée par le point~2 appliqué à $A_0 \to A'_0$.
\end{proof}

La démonstration est la descente fidèlement plate classique, écrite directement sur les coactions : elle n'utilise pas la comonadicité de l'extension des scalaires.

\noindent\emph{Portée de la vérification.} Lean définit les données de descente par la coaction (\texttt{Descent.\allowbreak{}DescentDatum}), leurs invariants, l'effectivité (\texttt{DescentDatum.\allowbreak{}IsEffective}), la réduction (\texttt{DescentDatum.\allowbreak{}reduce}) et les morphismes de descente effective pour les modules plats (\texttt{IsEffectiveDescentFlat}), et démontre le point~1 (\texttt{DescentDatum.\allowbreak{}isEffective\_of\_reduce}), le point~2 (\texttt{isEffectiveDescentFlat\_of\_quotient}) et le critère local de platitude (\texttt{flat\_of\_isNilpotent}), pour des anneaux commutatifs quelconques. L'hypothèse sur $I$ y est \texttt{IsConductorIdeal}. Il démontre aussi le théorème~\ref{thm:128-fid-plat} : le point~1 (\texttt{DescentDatum.\allowbreak{}bijective\_of\_flat}), le point~2 (\texttt{isEffectiveDescentFlat\_of\_faithfullyFlat}, avec \texttt{surjective\_of\_section} et la descente de la platitude \texttt{Module.\allowbreak{}Flat.\allowbreak{}of\_flat\_tensorProduct} de mathlib) et le point~3 (\texttt{isEffectiveDescentFlat\_of\_quotient\_faithfullyFlat}). Ne sont pas formalisés les corollaires 2 et~3 (énoncé ci-dessous).

Ne sont pas démontrés ici, de la même cote :

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Grothendieck, pages 8 et 9, corollaires 2 et 3\piste{128-nilpotent-conductor-flat-descent}]\nonverifie
Soient $X$ un préschéma, $\mathcal I$ un idéal quasi-cohérent nilpotent de $\mathcal O_X$ et $X' = \operatorname{Spec} \mathcal A' \to X$ affine, $\mathcal I$ s'envoyant isomorphiquement sur un idéal de $\mathcal A'$ et $X'_0$ étant fidèlement plat sur $X_0 = V(\mathcal I)$. Alors $X' \to X$ est un morphisme de descente effective pour les modules quasi-cohérents plats, et le reste après tout changement de base plat $Y \to X$.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small Le cas affine, avec l'hypothèse plus faible que $\operatorname{Spec} A'_0 \to \operatorname{Spec} A_0$ soit de descente effective pour les modules plats, est le théorème~\ref{thm:128-descente}, et le cas affine tel qu'énoncé, avec $A'_0$ fidèlement plat sur $A_0$, est le point~3 du théorème~\ref{thm:128-fid-plat}. Restent non vérifiés le recollement sur un préschéma et la stabilité par changement de base plat.\par}

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Grothendieck, pages 19 à 29, descente infinitésimale\piste{128-infinitesimal-descent-theorem}]\nonverifie
Soient $A$ un anneau semi-local noethérien de radical $\mathfrak m$, $A'$ une $A$-algèbre finie, $A_n = A/\mathfrak m^{n+1}$ et $A'_n = A' \otimes_A A_n$. Les trois conditions suivantes, imposées pour tout $n$, sont équivalentes : $H^1(A'_n/A_n) = 0$ ; $H^1(A'_n/A_n, \mathrm{GL}_r)$ est trivial ; la descente des modules quasi-cohérents plats le long de $\operatorname{Spec} A'_n \to \operatorname{Spec} H^0(A'_n/A_n)$ est effective. Elles entraînent la descente effective des modules plats de type fini le long de $\operatorname{Spec} A' \to \operatorname{Spec} H^0(A'/A)$.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small Le théorème lui-même reste non vérifié : mathlib n'a ni la cohomologie d'Amitsur $H^1(A'/A)$ ni le $H^1$ non abélien $H^1(A'/A, \mathrm{GL}_r)$, et sa démonstration (pages 26 à~29) repose sur le lemme~1 et ses corollaires 2 et~3, que la lecture trouve non démontrés : le cobord multiplicatif d'une unité $u$ est $u^{-1}\partial(u)$, non $\partial(u)$, et le carré de la page~20 ne commute pas. On vérifie ci-dessous les morceaux de la démonstration qui tiennent tels quels (\lot{128}{1}{19}).\par}

\noindent\emph{Rendre une matrice inversible.} Le lemme~2 fournit l'hypothèse du corollaire~2 dans la récurrence de la partie~a) : toute matrice sur $\widetilde B_0 = H^0(A'_0/A_0)$ devient inversible quand on lui ajoute une matrice venue de $B$. La page le démontre sous deux hypothèses, (i) corps résiduels infinis et (ii) extensions résiduelles radicielles ; la lecture observe que (i) est superflue sous (ii).

\begin{theoreme}[Grothendieck, page 23, lemme~2, sans l'hypothèse (i)\piste{128-infinitesimal-descent-theorem}]\label{thm:128-lemme2}
Soient $B$ un anneau et $C$ une $B$-algèbre entière n'ayant qu'un nombre fini d'idéaux maximaux. On suppose que deux idéaux maximaux distincts de $C$ induisent des idéaux distincts de $B$ et que chaque extension résiduelle $k(\mathfrak n)/k(\mathfrak m)$ est radicielle. Alors pour tout $n \geq 1$ et toute $u \in \mathbb M_n(C)$, il existe $v \in \mathbb M_n(B)$ telle que $u + \varphi(v)$ soit inversible. En particulier ($n = 1$, N.B. du lemme~1, page~19) $C = C^* + \varphi(B)$.
\end{theoreme}

\begin{proof}
Une matrice carrée sur $C$ est inversible si et seulement si son déterminant n'est dans aucun idéal maximal $\mathfrak n$ ; il suffit donc de trouver $v$ telle que $\det(u + v)$ soit non nul dans chaque corps $k(\mathfrak n) = C/\mathfrak n$. Les idéaux $\mathfrak m = \mathfrak n \cap B$ sont maximaux ($C$ est entière sur $B$) et deux à deux distincts, donc deux à deux étrangers : par le lemme chinois, appliqué coefficient par coefficient, on peut prescrire $v$ modulo chacun d'eux. On se ramène ainsi à un seul $\mathfrak n$, et à trouver $w \in \mathbb M_n(B)$ avec $\det(\bar u + \bar w) \neq 0$ dans $k(\mathfrak n)$.

Si $k(\mathfrak m)$ est infini, on prend $w = t$ scalaire : $\det(t + \bar u)$ est la valeur en $t$ du polynôme caractéristique de $-\bar u$, unitaire, donc non nul, qui n'a qu'un nombre fini de racines dans $k(\mathfrak n)$, alors que $k(\mathfrak m) \to k(\mathfrak n)$ est injectif. Si $k(\mathfrak m)$ est fini, il est parfait ; l'extension $k(\mathfrak n)/k(\mathfrak m)$, radicielle et algébrique, est alors séparable, donc triviale : $B \to k(\mathfrak n)$ est surjectif, et on relève $1 - \bar u$ en $w$, de sorte que $\bar u + \bar w = 1$.
\end{proof}

\begin{remarque}
Sur un corps résiduel infini, l'hypothèse radicielle ne sert pas, ni la finitude de $C$ : le Lean énonce aussi le lemme sous la forme \q{à chaque $\mathfrak n$, $k(\mathfrak m)$ est infini ou $B \to k(\mathfrak n)$ est surjectif}. Pour le N.B. du lemme~1, avec $C = \widetilde B_0$ et $B = \overline B$, il reste à savoir que $\operatorname{Spec} \widetilde B_0 \to \operatorname{Spec} \overline B$ est radiciel, ce que la page affirme sans le démontrer.
\end{remarque}

\noindent\emph{Descendre relativement à $A'/A$ ou à $A'/H^0$.} Les pages 26 et~27 identifient, entre crochets, la donnée de descente relativement à $A'_n/A_n$ à celle relativement à $A'_n/B^{(n)}$. C'est exact : pour $b \in H^0(A'/A)$, $b \otimes 1 = 1 \otimes b$ dans $A' \otimes_A A'$, et en multipliant par $s \otimes 1$ puis en faisant agir $A' \otimes_A A'$ sur $A' \otimes_A E$, on obtient $bs \otimes e = s \otimes be$ ; l'application canonique $A' \otimes_A E \to A' \otimes_B E$ a donc un inverse, pour tout $A'$-module $E$ et tout $B$ entre $A$ et $H^0(A'/A)$. Les complexes d'Amitsur et les données de descente relatives à $A'/A$ et à $A'/B$ coïncident, et $H^0(A'/B) = H^0(A'/A)$.

\noindent\emph{Portée de la vérification.} Lean démontre le lemme~2 sans l'hypothèse (i) (\texttt{Infinitesimal.\allowbreak{}lemme2}, sous la forme générale \texttt{Infinitesimal.\allowbreak{}exists\_isUnit\_add\_map}), le cas $n = 1$ (\texttt{Infinitesimal.\allowbreak{}exists\_isUnit\_add}), l'identification des produits tensoriels (\texttt{Infinitesimal.\allowbreak{}tensorEquiv}, \texttt{Infinitesimal.\allowbreak{}bijective\_mapOfCompatibleSMul}, \texttt{Infinitesimal.\allowbreak{}mem\_H0\_iff}, avec $H^0(A'/A)$ défini comme égaliseur, \texttt{Infinitesimal.\allowbreak{}H0}), et l'identité $p_2(u)\,p_1(u)^{-1} = 1 + p_1(u)^{-1}\,(p_2(u) - p_1(u))$ qui fait du cobord multiplicatif une dérivée logarithmique (\texttt{Infinitesimal.\allowbreak{}coboundary\_mul\_eq}). Ne sont pas formalisés : les $H^1$ d'Amitsur, additif et non abélien, le lemme~1 et ses corollaires, la récurrence sur $n$ de la partie~a), le passage à la limite de la partie~b) (Mittag-Leffler, Artin--Rees) et la partie~c) ; le théorème encadré ci-dessus reste donc non vérifié.
\bigskip
\noindent Autres pistes de l'onglet Findings pour ce thème, dans des cotes qui n'ont pas de section ici :\par

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Grothendieck, pages 17 à 23, factorisation radicielle-étale\piste{126-radicial-etale-factorisation}]\nonverifie
Soit $f : X \to Y$ fini et universellement ouvert, $Y$ localement noethérien, dont toutes les fibres ont le même nombre de points géométriques. Alors $f$ se factorise en un morphisme radiciel fini surjectif $X \to X^{\text{ét}}$ suivi d'un revêtement étale fini $X^{\text{ét}} \to Y$, universel parmi les $Y$-morphismes de $X$ vers les $Y$-schémas étales.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small Les feuillets en esquissent une démonstration incomplète : la section ouverte et fermée de la page~19 est marquée \q{[vérif]}, la prose des lemmes des pages 18, 20, 21 et~22 est illisible, et la page~23 s'arrête sur \q{À formuler}.\par}

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[D'après les pages 4 à 7, forme complétée par l'édition, quotient d'une déformation nilpotente\piste{126-nilpotent-deformation-quotient}]\nonverifie
Soit $R \rightrightarrows X$ une relation d'équivalence plate dont la réduction $R_0 \rightrightarrows X_0$ modulo un idéal nilpotent est effective, de quotient fpqc quasi-séparé $X_0 \to Y_0$. Alors $R$ est effective, son quotient $Y$ est un épaississement nilpotent de $Y_0$ et $X \to Y$ est plat.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small La page porte la conclusion et la méthode, le relèvement par l'annulation de $\check H^0(X_0/Y_0, \mathcal H^1)$ ; les hypothèses, en grande partie illisibles, sont reconstituées par l'édition, de même que la réduction au cas $\mathcal J^2 = 0$ et la platitude.\par}

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Grothendieck, pages 26 à 29, descente générique\piste{126-generic-descent}]\nonverifie
Soient $S$ noethérien, $T \to S$ plat de type fini et $F$ une catégorie fibrée sur les $S$-schémas de type fini pour laquelle les morphismes plats surjectifs sont de $F$-descente (pleine fidélité seulement). Un isomorphisme $\varphi : p_1^*X \simeq p_2^*X$ défini sur un ouvert dense de $T \times_S T$ et vérifiant la condition de cocycle sur un ouvert dense de $T \times_S T \times_S T$ se prolonge, après restriction de $T$ à un ouvert dense, en une donnée de descente qui coïncide avec $\varphi$ là où les deux sont définies.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
\begin{demopage}[pages 26 à 29]
On réduit $\mathcal U$ et $V$ à des ouverts, et $T$ à un ouvert dense au-dessus duquel les fibres de $\mathcal U$ et de $V$ sont denses (p.~26). Sur $W = p_{12}^{-1}(\mathcal U) \cap p_{23}^{-1}(\mathcal U)$, la page définit $\psi : \pi^*X_1 \simeq \pi^*X_2$, $\pi = p_{13}$, en composant $\varphi$ par un point médian (p.~27). Sa compatibilité avec $\pi$ se lit sur une partie $W'$ de $T^5$ par le cocycle ; elle demande que $W' \to W \times_{T \times_S T} W$ soit surjectif, et la page l'admet \q{sauf erreur} (p.~28). $W \to T \times_S T$ étant plat et surjectif, $\psi$ descend en $\varphi'$, dont le cocycle se vérifie sur une partie $W'''$ de $T^6$ (pp.~28--29), et $\varphi' = \varphi$ sur $\mathcal U$ car $V \to \mathcal U$ est surjectif (p.~29). La lecture réordonne les restrictions.
\end{demopage}