\section[Cote 161-2 : monadicité, caractérisation de Gabriel--Ulmer]{Cote 161-2 : monadicité, caractérisation de Gabriel--Ulmer\protect\verifie{Folder161_2}}\label{sec:161-2}

La cote 161-2, \emph{Algèbre universelle [ou catégories] : notes manuscrites (s.d.)}, cent onze pages que l'inventaire date \q{[vers 1963-1973]}, cherche ce qu'est une espèce de structure algébrique dans une catégorie et comment les modèles déterminent la théorie. Deux feuilles de travail, pages~33 et~34, notent le critère de reconnaissance d'un foncteur \q{tripleable}, avec trois noms que la transcription lit avec doute, \q{Beck, Barr, Linton} (\lot{161-2}{2}{33}), puis le critère de descente pour un morphisme de topos, conclu par \q{$B_\pi \xrightarrow{\ \simeq\ } B$ (th)} (\lot{161-2}{2}{34}). La page~60 énonce un corollaire sur les catégories cocomplètes, \q{Ce sont ces $E$ qu'il faudrait appeler « accessibles »} (\lot{161-2}{3}{60}), que la page~61 démontre (\lot{161-2}{4}{61}). La page~77 établit, pour les théories définies par limites finies, le lemme $\mathrm{Ind}(\Sigma) \simeq S$ (\lot{161-2}{4}{77}).

\noindent\emph{Conventions.} Les notations de la section~\ref{sec:19} valent ici : pour une adjonction $f \dashv g$, $f : A \to B$, $h : A \to \varphi\text{-}\mathbf{Coalg}$ est le foncteur de comparaison vers les coalgèbres de $\varphi = fg$ ; dualement, pour $F \dashv U$, $U : A \to B$, le foncteur de comparaison va de $A$ dans les algèbres de la monade $\mathbb T = UF$. Une double flèche est \emph{réflexive} si ses deux flèches ont une section commune, \emph{coréflexive} si elles ont une rétraction commune.

\begin{enonce}[Théorème de monadicité, page 33 ; théorème de Beck]
Un foncteur $U : A \to B$ admettant un adjoint à gauche $F$ est monadique ($A \simeq \mathrm{Alg}(\mathbb T)$, $\mathbb T = UF$) si $U$ est conservatif et si $A$ a et $U$ préserve les coégalisateurs des paires réflexives.
\end{enonce}

\begin{lemme}\label{lem:161-2-grossier}
Soit $f \dashv g$ une adjonction, $f : A \to B$. Si $f$ est conservatif, si $A$ a les noyaux des doubles flèches coréflexives et si $f$ y commute, le foncteur de comparaison $h$ est une équivalence.
\end{lemme}

\begin{proof}
Pour toute coalgèbre $(X, a)$, la double flèche $(\eta_{gX}, g(a))$ est coréflexive (lemme~\ref{lem:19-paire}) ; elle a donc un noyau, auquel $f$ commute. Le lemme~\ref{lem:19-comp}\,(3) conclut. C'est le dual du théorème de monadicité « grossier » de Beck (Mac~Lane 1998, §~VI.7 \cite{maclane1998}).
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration du théorème de monadicité]
C'est l'énoncé dual. Le foncteur $U^\circ : A^\circ \to B^\circ$ est adjoint à gauche de $F^\circ$ ; la monade $UF$ sur $B$ devient la comonade $U^\circ F^\circ$ sur $B^\circ$, dont les coalgèbres sont les opposées des $\mathbb T$-algèbres, et le foncteur de comparaison devient celui du lemme~\ref{lem:161-2-grossier}. Les coégalisateurs de paires réflexives de $A$ sont les noyaux de paires coréflexives de $A^\circ$, et $U^\circ$ est conservatif. Le lemme~\ref{lem:161-2-grossier} s'applique.
\end{proof}

Le diagramme place au-dessus de $B$ le foncteur de comparaison $K$, $KX = (UX, U\varepsilon_X)$ où $\varepsilon$ est la coünité de $F \dashv U$ ; le théorème dit quand $K$ est une équivalence.
\[
\begin{tikzcd}[column sep=large]
A \arrow[r, "K"] \arrow[d, shift right=1ex, "U"'] & \mathrm{Alg}(\mathbb T) \arrow[dl, "\text{oubli}"] \\
B \arrow[u, shift right=1ex, "F"'] &
\end{tikzcd}
\qquad \mathbb T = UF, \quad \text{oubli} \circ K = U.
\]

\begin{definition}
Soient $E$ une catégorie localement petite et $\kappa$ un cardinal régulier. Un objet $X$ de $E$ est \emph{$\kappa$-présentable} si $\operatorname{Hom}_E(X, -)$ commute aux limites inductives $\kappa$-filtrantes, et \emph{présentable} s'il l'est pour un $\kappa$ ; c'est l'\q{accessible} de la page. Une sous-catégorie pleine $\mathcal C$ de $E$ est \emph{dense} si, pour tout $X$, la flèche canonique $\varinjlim_{\mathcal C_{/X}} Y \to X$ est un isomorphisme ; c'est la condition~a) par laquelle la page~56 définit une sous-catégorie \q{strictement génératrice}. La catégorie $E$ est \emph{localement présentable} si elle est cocomplète et s'il existe un cardinal régulier $\kappa$ et un petit ensemble d'objets $\kappa$-présentables dont tout objet est limite inductive $\kappa$-filtrante ; c'est le sens de \q{$E$ est équivalente à un $\mathrm{Ind}_\pi(\mathcal C)$, $\mathcal C$ petite}.
\end{definition}

\begin{enonce}[Corollaire, pages 60 et 61 ; théorème de Gabriel--Ulmer]
Une catégorie localement petite et cocomplète $E$ est localement présentable si et seulement si elle admet une petite sous-catégorie pleine dense formée d'objets présentables.
\end{enonce}

\begin{proof}
Supposons $E$ localement $\kappa$-présentable. La sous-catégorie pleine $P$ des objets $\kappa$-présentables est essentiellement petite et dense : c'est classique (Gabriel et Ulmer \cite{gabrielulmer1971} ; Adámek et Rosický \cite{adamekrosicky1994}). Soit $Q \subseteq P$ une petite sous-catégorie pleine contenant un représentant de chaque classe d'isomorphisme ; l'inclusion $Q \to P$ est une équivalence, et le composé d'une équivalence et d'un foncteur dense est dense, donc $Q$ est dense dans $E$. Ses objets sont $\kappa$-présentables, donc présentables.

Réciproquement, soit $P$ une petite sous-catégorie pleine dense dont chaque objet $X$ est $\kappa_X$-présentable pour un cardinal régulier $\kappa_X$. Comme $P$ est petite, la famille des $\kappa_X$ est majorée par un cardinal $c$. Soit $\kappa_0$ le successeur de $\max(c, \aleph_0)$ ; c'est un cardinal régulier, comme tout successeur d'un cardinal infini. Toute limite inductive $\kappa_0$-filtrante étant $\kappa_X$-filtrante, chaque $X \in P$ est $\kappa_0$-présentable. Une sous-catégorie dense est fortement génératrice (classique). Or une catégorie cocomplète qui admet un petit ensemble fortement générateur d'objets $\kappa_0$-présentables est localement $\kappa_0$-présentable : c'est le théorème~1.20 d'Adámek et Rosický \cite{adamekrosicky1994}. Donc $E$ est localement présentable.
\end{proof}

\begin{enonce}[Lemme, page 77]
Soient $R$ une petite catégorie à limites finies, $S = \underline{\mathrm{Hom}}_{\mathrm{lex}}(R, \mathrm{Ens})$ et $\Sigma \simeq R^\circ \subset S$ la sous-catégorie pleine des structures représentables. Le foncteur d'inclusion $\Sigma \to S$ induit une équivalence $\mathrm{Ind}(\Sigma) \simeq S$.
\end{enonce}

\begin{proof}
On identifie $S$ aux préfaisceaux $X : \Sigma^\circ \to \mathrm{Ens}$ exacts à gauche, la catégorie $\Sigma = R^\circ$ ayant les limites inductives finies, et $\mathrm{Ind}(\Sigma)$ à la sous-catégorie pleine des préfaisceaux sur $\Sigma$ qui sont limites inductives filtrantes de représentables. Il suffit de montrer que ces deux sous-catégories pleines ont les mêmes objets. Un représentable est exact à gauche, et les limites inductives filtrantes commutent aux limites projectives finies dans $\mathrm{Ens}$ ; tout ind-objet est donc exact à gauche. Réciproquement, soit $X$ exact à gauche. Tout préfaisceau est la limite inductive des représentables sur sa catégorie des éléments $\Sigma_{/X}$, et celle-ci est filtrante : elle est non vide, car $X$ envoie l'objet initial de $\Sigma$ sur un point ; deux éléments $x \in X(a)$, $y \in X(b)$ proviennent de $X(a \sqcup b) = X(a) \times X(b)$ ; deux flèches $u, v : (a, x) \rightrightarrows (b, y)$ sont égalisées par la flèche vers le coégalisateur $c$ de $u, v$, puisque $X(c)$ est le noyau de $X(u), X(v) : X(b) \rightrightarrows X(a)$, qui contient $y$. C'est le fait classique que les ind-objets d'une petite catégorie à limites inductives finies sont ses préfaisceaux exacts à gauche (Grothendieck et Verdier, SGA~4, exposé~I, §~8 \cite{sga4-1}), que la preuve vérifiée invoque.
\end{proof}

\begin{remarque}
Le corollaire est le théorème de caractérisation des catégories localement présentables de Gabriel et Ulmer, publié en 1971 \cite{gabrielulmer1971}, dans l'intervalle où l'inventaire date la cote. Il est démontré ici pour la notion moderne ; le $\mathrm{Ind}_\pi(\mathcal C)$ de SGA~4 que la page emploie n'est pas formalisé. Le lemme de la page~77 est le cas des limites finies de la dualité de Gabriel--Ulmer.
\end{remarque}

\begin{remarque}
Les deux feuilles de travail des pages~33 et~34 se lisent ensemble : le lemme~\ref{lem:161-2-grossier}, appliqué à l'image inverse $u^*$ d'un morphisme de topos surjectif, conservative et exacte à gauche, présente le topos de base comme catégorie de coalgèbres de $u^*u_*$ (voir la dernière remarque de la section~\ref{sec:19}) ; c'est une lecture possible du critère de descente de la page~34, que la transcription ne permet pas de reconstituer. Les énoncés encadrés ci-dessous portent sur la logique des topos classifiants : une théorie géométrique a un topos classifiant, ses sous-topos correspondent à ses quotients, et la cohérence du topos traduit la finitude des axiomes. Les sous-catégories réflexives de la section~\ref{sec:161-1} en sont le cadre : un sous-topos est une sous-catégorie réflexive à réflecteur exact à gauche.
\end{remarque}

Ne sont pas démontrés ici : l'adjonction entre théories de Lawvere et monades (page~33) ; le théorème de la page~54 et le corollaire de la page~55 ; le lemme de la page~59, sur $\mathrm{Ind}_\pi$ et les filtrations cardinales ; le corollaire de la page~77 ; la liste de la page~56 ; la $\Delta$-enveloppe (pages~3 à~31) ; les topos classifiants (pages~17 à~24 et~36 à~52) ; les pages~62 à~76 et~78 à~111, dont le corps universel (pages~92 à~95).

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Grothendieck, pages 39, 41 et 42, deux topos classifiants non cohérents\piste{161-2-irreducible-and-zero-dimensional-not-coherent}]\nonverifie
Les sous-topos classifiants des anneaux à spectre irréductible (nilradical premier) et des anneaux à spectre de dimension zéro ne sont pas cohérents : les topologies qui les présentent sur les schémas affines de type fini sur $\mathbf Z$ ne sont pas quasi-compactes, bien que chacun soit un sous-topos du topos classifiant cohérent des anneaux. La page demande s'ils ont assez de points.
\end{theoreme*}
\end{encadre}

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[D'après les pages 47 à 49, anneaux de caractéristique définie\piste{161-2-definite-characteristic-join-of-subtopoi}]\nonverifie
Les anneaux localement de caractéristique $p$ pour un nombre premier $p$ ou de caractéristique~$0$ sont classifiés par un sous-topos du topos classifiant des anneaux qui n'est pas cohérent et n'est pas défini par une condition ouverte : c'est la réunion du sous-topos ouvert $X_{\mathrm{car} > 0} = \bigcup_p X_{\mathbf Z/p}$ et du sous-topos non ouvert $X_{\mathbf Q} = \bigcap_n X_{\mathbf Z[1/n]}$. La réunion de deux sous-topos $V$, $W$ d'un topos s'obtient par recollement le long d'un ouvert dès qu'il existe des ouverts $Z'$ de $V$ et $Z''$ de $W$ tels que $Z'' \wedge V$ soit ouvert dans $V$, $Z' \wedge W$ ouvert dans $W$, $V = \sup(Z', Z'' \wedge V)$ et $W = \sup(Z'', Z' \wedge W)$.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small Les feuillets en esquissent une démonstration incomplète (pages 47 et 48). Le critère de recollement y est un brouillon, mis en forme par l'édition.\par}

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[D'après les pages 92 à 95, le corps universel, forme complétée par l'édition\piste{161-2-field-classifier-absolutely-flat-site}]\nonverifie
Le topos classifiant des corps est le topos des faisceaux sur l'opposée de la catégorie des anneaux commutatifs absolument plats de présentation finie, pour la topologie engendrée par les recouvrements $\operatorname{Spec} A_f \sqcup \operatorname{Spec} A/f \to \operatorname{Spec} A$, le faisceau structural étant le corps générique.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small Les feuillets en esquissent une démonstration incomplète (pages 41, 42 et 92 à 95). L'identification des pseudo-corps aux anneaux absolument plats est de l'édition.\par}