\domainevide{Les cotes de ce thème supposent les groupes de Barsotti--Tate et la théorie de Dieudonné, absents de mathlib.}{129}

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Grothendieck, page 95, annulation de $\mathrm{Ext}^2$\piste{129-ext2-vanishing-p-odd}]\nonverifie
Si $2$ est inversible, le faisceau $\mathrm{Ext}^2_{\mathbf Z}(G, M)$ est nul pour tout schéma en groupes commutatif fini localement libre $G$ et tout module quasi-cohérent $M$, ce qui simplifie la théorie des déformations des groupes de Barsotti--Tate pour $p \neq 2$.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small Breen démontre en 1975 que $\mathcal Ext^i(G, H) = 0$ pour $1 < i < 2p - 2$, $G$ fini et plat, $H$ commutatif lisse quasi-projectif, quand les caractéristiques résiduelles sont au moins $p$ et que la multiplication par tout premier $q < p$ est un automorphisme de $G$ ; il note aussi que $\mathcal Ext^{2p-2}(\alpha_p, H) \neq 0$ en caractéristique $p$ pour $H = \mathbf G_a, \mathbf G_m$ \cite{breen1975}. Avec $p = 3$, cela donne l'énoncé de la page pour des coefficients lisses, en particulier les fibrés vectoriels, dès que $2$ est inversible ; avec $p = 2$, $\mathcal Ext^2(\alpha_2, \mathbf G_a) \neq 0$, ce qui va dans le sens de la lecture \q{si 2 inv.}, incertaine. Restent un module quasi-cohérent quelconque et le passage des faisceaux de Breen, faisceautisés pour la topologie étale, aux groupes du site fppf. Mathlib n'a pas les Ext de schémas en groupes finis localement libres. On se reportera aux notes de Grothendieck (\lot{129}{5}{95}).\par}