\section[Cote 13 : la question du double réseau et le cas de Tate]{Cote 13 : la question du double réseau et le cas de Tate\protect\verifie[\leanblobmain]{Folder13}}\label{sec:13}

La cote 13, \emph{Groupe de Galois motivique}, est datée de 1965. Aux pages~45 à~49, Grothendieck passe en revue les foncteurs de réalisation des motifs et demande de chacun s'il est pleinement fidèle. La question centrale est celle de la page~47 : sur une extension algébrique $k$ de $\mathbf Q$, le foncteur qui envoie un motif $M$ sur sa réalisation de de Rham $T_{DR}(M)$, sa réalisation de Betti $T_B(M)$ et l'isomorphisme de comparaison $\varphi$ entre elles, sans filtration ni structure de Hodge, est-il pleinement fidèle ? C'est la forme de de Rham--Betti de ce qu'on appelle aujourd'hui la conjecture des périodes de Grothendieck (Bost et Charles 2016, §~2.2 \cite{bostcharles2016}). Elle est ouverte.

\noindent\emph{L'image à garder.} Dans $V \otimes \mathbf C$ cohabitent deux structures rationnelles : le réseau de Betti $V$, rationnel sur $\mathbf Q$, et le réseau de de Rham, rationnel sur $\overline{\mathbf Q}$. La page traduit le second dans le groupe de Galois motivique $G$ : il s'écrit $g(V_{\overline{\mathbf Q}})$ pour un élément $g \in G(\mathbf C)$, la position relative des deux réseaux. Un élément de $V$ invariant par tout $G$ est dans les deux réseaux à la fois ; la question est de savoir si ce sont les seuls. Elle s'écrit
\[
V^G \;\subset\; V \cap g(\overline V) \qquad \text{une égalité pour tout } V \,?
\]
Les rationnels communs aux deux réseaux mesurent les relations algébriques entre périodes : plus les périodes sont transcendantes, moins il y en a.

La page fait deux affirmations sans les démontrer. L'inclusion vaut toujours : la note de la lecture insiste sur son sens. Et le rang un marche : \q{s'il est de dim.\ $1$, c'est une puissance de Tate, et ça marche} (\lot{13}{3}{47}). Les deux sont démontrées ici, dans des modèles choisis par l'édition.

\begin{enonce}[Grothendieck, page 47, l'inclusion $V^G \subset V \cap g(\overline V)$]
Soient un groupe $\Gamma$ agissant sur un ensemble $M$, deux parties $B \subseteq \Lambda$ de $M$ et $g \in \Gamma$. Un élément de $B$ fixé par tout $\Gamma$ appartient à $B \cap g \cdot \Lambda$.
\end{enonce}
Ici $B$ joue le réseau de Betti $V$, $\Lambda$ l'espace $\overline V = V \otimes \overline{\mathbf Q}$ et $g \cdot \Lambda$ le réseau de de Rham. La démonstration tient en une ligne : si $x$ est fixé par tout le groupe, $g^{-1}x = x$, qui est dans $B \subseteq \Lambda$, donc $x \in g \cdot \Lambda$. Elle passe par la description de $V \cap T'(V)$ que donne la page~33 : $x$ appartient à $B \cap g \cdot \Lambda$ si et seulement si $x \in B$ et $g^{-1}x \in \Lambda$ (\texttt{mem\_inter\_smul\_iff}). Lean : \texttt{invariants\_subset\_inter\_smul}.

\begin{enonce}[Grothendieck, page 47, le cas de Tate (forme reconstituée par l'édition)]
Supposons $\pi$ transcendant. Pour tout entier $n$, les rationnels $q$ tels que $q = (2\pi i)^n \alpha$ pour un $\alpha \in \mathbf C$ algébrique sont tous les rationnels si $n = 0$, et le seul $0$ si $n \neq 0$.
\end{enonce}
\emph{Pourquoi c'est le cas de Tate.} Le motif de Tate $\mathbf Q(n)$ a pour réseau de Betti la droite $\mathbf Q \subset \mathbf C$ et pour réseau de de Rham la droite $(2\pi i)^n\, \overline{\mathbf Q}$ : sa seule période est $(2\pi i)^n$. Son groupe de Galois motivique est $\mathbf G_m$, qui agit par la puissance $n$-ième ; les invariants $V^G$ sont donc toute la droite si $n = 0$ et zéro sinon. L'énoncé dit que $V \cap g(\overline V)$, l'ensemble des rationnels qui sont aussi dans la droite de de Rham, est exactement cela : l'égalité $V^G = V \cap g(\overline V)$ vaut en rang un. Cette traduction est le modèle de l'édition ; la page n'écrit ni les deux droites ni le groupe.

\emph{Démonstration.} Pour $n = 0$, tout rationnel $q$ s'écrit $q = 1 \cdot q$, et $q$ est algébrique. Pour $n \neq 0$, supposons $q = (2\pi i)^n \alpha$ avec $q \neq 0$. Alors $\alpha \neq 0$ et $(2\pi i)^n = q\,\alpha^{-1}$ est algébrique, comme produit d'algébriques. Si une puissance entière non nulle de $z$ est algébrique, $z$ l'est : pour un exposant positif, $z$ est racine de $X^n - z^n$ au-dessus d'un corps de nombres ; pour un exposant négatif, on passe à l'inverse (\texttt{isAlgebraic\_of\_zpow}). Donc $2\pi i$ est algébrique, et $\pi = 2\pi i \cdot (2i)^{-1}$ aussi, puisque $i$ est racine de $X^2 + 1$ (\texttt{isAlgebraic\_I}). C'est contraire à l'hypothèse. Lean : \texttt{tate}.

{\small\emph{Ce qui est démontré, et ce qui ne l'est pas.} La transcendance de $\pi$ (Lindemann, 1882) est une hypothèse explicite du théorème : mathlib, à la révision épinglée, a la partie analytique du théorème de Lindemann--Weierstrass et l'irrationalité de $\pi$, mais pas sa transcendance. Le reste est démontré sans hypothèse. Le cas de rang un est donc celui qui \q{marche} parce que la seule période est $(2\pi i)^n$, dont on connaît la transcendance ; dès le rang deux, pour une courbe elliptique, les périodes et quasi-périodes donnent un degré de transcendance attendu égal à~$4$ sans multiplication complexe, ce qui reste ouvert (Chudnovsky établit le cas à multiplication complexe, de degré~$2$, en 1980 : §~2~A, théorèmes~1 et~3 \cite{chudnovsky1980}). Ne sont pas formalisés : l'identification de $\mathbf Q(n)$ aux deux droites, le groupe $H$ des pages~33 et~34, que la partie \q{Théorie de Hodge} encadre plus bas, et la question générale de la page~47, qui est la conjecture des périodes. On se reportera aux notes de Grothendieck (\lot{13}{2}{33}, \lot{13}{3}{47}).\par}
\bigskip
\noindent\emph{Périodes et groupe de Galois motivique.} Les cotes~13 et~18 lisent une catégorie de motifs par ses foncteurs fibres. D'après la lecture de la cote~13, la lettre à Mumford du 1\textsuperscript{er} novembre 1965 (pages~13 à~19) construit l'espace $\mathcal J$ des structures de Hodge de groupe $G$ donné, réunion d'orbites ouvertes de $G(\mathbf R)$, qu'on appelle aujourd'hui un domaine de Mumford--Tate ; la page~16 note qu'il n'est pas en général riemannien symétrique, mais fibré au-dessus d'un tel espace en espaces homogènes projectifs complexes, donc simplement connexe. Les pages~26 à~31 posent, pour $k \subset \mathbf C$, $G = \mathrm{Aut}^\otimes(T_B)$ et le torseur $P = \mathrm{Isom}^\otimes(T_B \otimes_{\mathbf Q} k, T_{DR})$ sous $G_k$, dont l'isomorphisme de comparaison est un point complexe, la matrice des périodes : c'est le torseur des périodes, et $G$ le groupe de Galois motivique quand la catégorie est tannakienne, hypothèse que le dossier fait sans l'écrire. La cote~18 compare les réseaux de Betti entiers en plusieurs places archimédiennes. Sur le même axe, la section~\ref{sec:16} démontre les énoncés algébriques des algèbres de Hodge d'ordre~$2$, et la partie \q{Motifs} encadre la borne de poids et de niveau de la cote~12.
\noindent Pistes de l'onglet Findings pour ces cotes, hors de portée de Lean pour l'instant :
\begin{itemize}\small\setlength{\itemsep}{0pt}
\item Cote~18 : pour un motif sur $k \simeq \mathbb C$ défini sur un corps de type fini $k_0$, la comparaison des réseaux de Betti entiers en différentes places archimédiennes donne un 1-cocycle de $\mathrm{Gal}(k/k_0)$ dans $G(k)$, dont la classe ne dépend pas de la place. En détail : pour $M$ défini sur $k_0$ de type fini, $k \simeq \mathbf C$, et deux topologies archimédiennes $v$, $w$ de $k$, la comparaison des réseaux $M^{\mathbf Z}_v$, $M^{\mathbf Z}_w$ dans $\prod_{\ell \leq \infty} M(\ell)$ donne un élément de $G(\mathbb A_{\mathbf C})/G(\hat{\mathbf Z})$ dont la composante archimédienne est dans $G(k)$, et $\sigma \mapsto \varphi_{v,\infty}(\sigma)$ un $1$-cocycle de $\mathrm{Gal}(k/k_0)$ dans $G(k)$, d'où un $G$-torseur sur $k_0$ ; la lecture borne aussi par $(n-1)\dim G$ le degré de transcendance de la configuration de $n$ places. La comparaison n'est pas triviale parce que deux variétés conjuguées peuvent ne pas être homéomorphes (Serre 1964 \cite{serre1964}). La page~61 encadre une formule de conjugaison que la lecture remplace par la formule de cobord de la version barrée. La lecture de la page est à vérifier sur le fac-similé. Mathlib n'a pas les motifs, les réseaux de Betti ni la cohomologie galoisienne non abélienne. On se reportera aux notes de Grothendieck (\lot{18}{3}{46}).\piste{18-archimedean-lattice-cocycle}
\item Cote~18, pages~35 et~37 : la page tient qu'un motif sur $\mathbf R$ de Frobenius réel trivial est engendré par les twists pairs $\mathbf Q(-2n)$. L'édition relève que c'est faux tel quel : $H^2$ de $\mathbf P^1_{\mathbf C}$ vu comme $\mathbf R$-schéma contient $\mathbf Q(-1) \otimes \varepsilon$, $\varepsilon$ le motif d'Artin de signe de $\mathbf C/\mathbf R$, où $F_\infty$ agit par $+1$. Reste vrai que $F_\infty = 1$ équivaut à la réalité des périodes ; la classe corrigée est celle des motifs engendrés par les $\mathbf Q(-n) \otimes \varepsilon^n$. On se reportera aux notes de Grothendieck (\lot{18}{2}{35}).
\end{itemize}

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Grothendieck, pages 33 et 34, invariants d'un double réseau\piste{13-double-lattice-invariants}]\nonverifie
Soient une catégorie tensorielle munie d'un foncteur fibre $T$ sur $k$, d'un foncteur fibre $T'$ sur une extension $K$ et d'un $\otimes$-isomorphisme $\varphi$ entre eux sur une extension commune $L$. Les éléments de $V$ qui sont dans la $K$-structure $T'(V)$ sont exactement les invariants $V^H$ du sous-groupe $k$-algébrique $H$ de $G = \mathrm{Aut}^\otimes(T)$ engendré par l'image dans $G$ de l'image fermée $R \subset G_K$ de $\operatorname{Spec}(L \otimes_K L) \to P \times_k P \to G_K$, $(s, u) \mapsto s^{-1}u$, sans point base sur le torseur $P = \mathrm{Isom}^\otimes(T_K, T')$.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
Le sous-groupe $H$ se lit sur la suite de flèches
\[
\begin{tikzcd}
\operatorname{Spec}(L \otimes_K L) \arrow[r] & P \times_k P \arrow[r, "{(s, u) \mapsto s^{-1}u}"] & G_K \arrow[r] & G ,
\end{tikzcd}
\]
où $R$ est l'image fermée du composé des deux premières et $H$ le sous-groupe de $G$ engendré par l'image de~$R$.

{\small Les feuillets en esquissent une démonstration incomplète (pages 33 et 34). La lecture écrit $T_K \times T_K$ où la page a $T_k \times T_k$. Pour $k = \mathbf Q$, $T = T_B$, $T' = T_{DR}$ et $K = L = \overline{\mathbf Q}$, $P$ est le torseur des périodes, et le cas correspondant est publié : le torseur des périodes $\Omega_M$ de Bost et Charles (2016, définition~2.3 \cite{bostcharles2016}) est le torseur engendré par l'adhérence de Zariski du point des périodes dans $\mathrm{Iso}(M_{dR}, M_B \otimes \overline{\mathbf Q})$, contenu dans le torseur tannakien découpé par les classes de Grothendieck (lemme~2.5) ; Kreutz, Shen et Vial (prépublication \cite{kreutzshenvial}, proposition~3.1) montrent que, sur $\overline{\mathbf Q}$, $\Omega_M$ est le torseur de de Rham--Betti de $M$, dont le groupe a pour invariants les classes de de Rham--Betti, et que l'égalité tombe pour un corps de définition $K \neq \overline{\mathbf Q}$ (remarque~3.2). La forme de la page, pour une tour $k \subset K \subset L$ quelconque et une catégorie tensorielle quelconque, avec les invariants pris dans $V$ lui-même, n'a pas été trouvée dans les sources lues.

Le corollaire de la page~34, que la lecture écrit \q{pleinement fidèle si et seulement si $V^H = V^G$ pour tout $V$} où la page a \q{fid.\ plat}, dit que $H$ est un sous-groupe épimorphique de $G$ au sens de Bien et Borel (1992) \cite{bienborel1992}, et non que $H = G$ : un sous-groupe parabolique vérifie déjà $V^H = V^G$ pour toute représentation. Cette remarque est de l'édition.

La question des pages~47 et~48, si $M \mapsto (T_{DR}(M), T_B(M), \varphi)$, sans filtration ni structure de Hodge, est pleinement fidèle sur une extension algébrique de $\mathbf Q$, réduite par la page à $\overline{\mathbf Q}$, est la pleine fidélité de la réalisation de de Rham--Betti (Kreutz, Shen et Vial, conjecture~4.1 \cite{kreutzshenvial}). Elle est démontrée pour les variétés abéliennes : c'est le théorème~5.4 de Kreutz, Shen et Vial, qu'ils attribuent à André, Bost et Wüstholz. Bost et Charles énoncent la conjecture des périodes de Grothendieck sous une autre forme : l'isomorphisme de comparaison est Zariski-dense dans le torseur des périodes motiviques. On ne sait pas si les deux formes sont équivalentes. En admettant les conjectures standard, la leur entraîne la pleine fidélité (Bost et Charles 2016, conjecture~2.12 et proposition~2.13 \cite{bostcharles2016}). La forme $V^G = V \cap g(\overline V)$ de la page~48, qui identifie le groupe au $H$ des pages~33 et~34, est de la lecture. Mathlib n'a pas les catégories tannakiennes ni les torseurs de foncteurs fibres. On se reportera aux notes de Grothendieck (\lot{13}{2}{33}, \lot{13}{3}{47}).\par}

\noindent\emph{Le cas elliptique, énoncé en Lean.} La page~12 de la cote~18 demande, pour une courbe elliptique sur $\overline{\mathbf Q}$, si le corps engendré par le point de comparaison est de degré de transcendance~$4$ ou seulement~$2$ (\lot{18}{1}{12}). Le fichier \href{\leanblobmain/Folder18.lean}{\texttt{lean/Grothendieck/Folder18.lean}} énonce, sans la démontrer, la réponse attendue, qui est le cas elliptique de la conjecture des périodes (Bost et Charles 2016, conjecture~2.12 \cite{bostcharles2016}). Pour un réseau d'invariants $g_2$, $g_3$ algébriques et sans multiplication complexe, les périodes $\omega_1$, $\omega_2$ et les quasi-périodes $\eta_i = 2\zeta(\omega_i/2)$ seraient algébriquement indépendantes sur $\mathbf Q$ (\texttt{EllipticPeriodConjecture}). La fonction $\zeta$ y est définie par sa série, comme mathlib définit $\wp$, sans que soient démontrées sa convergence ni la relation $\zeta' = -\wp$. Avec multiplication complexe, le degré vaut~$2$ (Chudnovsky 1980, §~2~A, théorèmes~1 et~3 \cite{chudnovsky1980}) ; sans, la question reste ouverte. L'énoncé est une proposition et non un axiome, de sorte qu'aucune preuve n'en dépend.