\section[Cote 11 : la sous-algèbre tautologique des puissances de X, un modèle algébrique]{Cote 11 : la sous-algèbre tautologique de $H^*(X^k)$, un modèle algébrique\protect\verifie{Folder11}}\label{sec:11}

La cote 11, \emph{Formalisme des correspondances}, cinquante-sept pages que l'inventaire date \q{à partir de 1961}, se clôt sur la sous-algèbre de $H^*(X^k)$ engendrée par les images inverses $y_i$ de la classe d'un point et par les classes des diagonales partielles (pages~50 à~56). La page~50 en donne les relations pour $k = 2$ et $k = 3$ (\lot{11}{3}{50}) ; la page~56 encadre la borne $s + s' \leqslant k + 1$ pour deux polydiagonales à $s$ et $s'$ blocs qui se coupent suivant la petite diagonale, trouve la petite diagonale dans le cas d'égalité, la nullité \q{pour raison de degrés} si $k > s + s'$, et laisse le cas $k = s + s'$ sur un $\chi$ biffé suivi d'un point d'interrogation (\lot{11}{3}{56}). La lecture rétablit $\chi$ par la formule d'intersection en excès et énonce la table de multiplication complète ; cette table est de l'édition. Aucune géométrie n'est formalisée ici : tout se déduit de quelques identités que vérifie la classe de la diagonale.

\noindent\emph{Conventions.} On se donne un anneau commutatif $k$, une $k$-algèbre commutative $A$, un élément $\Delta \in A \otimes A$, une classe $y \in A$, un scalaire $\chi$ et une forme linéaire $\int$ sur $A$, avec
\[
(a \otimes 1)\Delta = (1 \otimes a)\Delta, \quad \Delta \text{ symétrique}, \quad m(\Delta) = \chi\, y, \quad (y \otimes 1)\Delta = y \otimes y, \quad y^2 = 0,
\]
et, pour les images directes, $\int y = 1$, $\int 1 = 0$, $(\mathrm{id} \otimes \textstyle\int)\Delta = 1$. Dans une $k$-algèbre commutative $B$ munie de morphismes $\iota_1, \dots, \iota_k : A \to B$ (par exemple $A^{\otimes k}$), on pose $y_i = \iota_i(y)$ et $\delta_{ij} = (\iota_i, \iota_j)(\Delta)$ ; ainsi $\delta_{ii} = \chi\, y_i$. Pour une partie $V$ et une racine $r \in V$, la petite diagonale est $\delta_V = \prod_{v \in V \smallsetminus \{r\}} \delta_{rv}$ ; elle ne dépend pas de $r$.

\begin{enonce}[Le modèle]
Soient $k$ un corps, $A$ une $k$-algèbre commutative de dimension finie, $(b_i)$ et $(b'_i)$ deux bases duales pour $(a, b) \mapsto \int ab$, $\varepsilon : A \to k$ une augmentation de noyau nilpotent, et $y$ tel que $ay = \varepsilon(a)\,y$, $\int y = 1$, $\int 1 = 0$, $\varepsilon(y) = 0$. Alors $\Delta = \sum_i b_i \otimes b'_i$ vérifie les identités ci-dessus, avec $\chi = \dim A$.
\end{enonce}

C'est le cas pair d'une algèbre à dualité de Poincaré, où $\chi = \dim H^*(X)$ ; le cas des classes de degré impair, avec signes, n'est pas formalisé (Lean : \texttt{model}).

\begin{enonce}[Grothendieck, page 50]
Pour $k = 2$ : $y_1\delta = y_2\delta = y_1y_2$ et $\delta^2 = \chi\, y_1y_2$. Pour $k = 3$, avec $\delta = \delta_{\{1,2,3\}}$ : $\delta_{12}\delta_{23} = \delta_{12}\delta_{13} = \delta_{23}\delta_{13} = \delta$, $\delta_{ij}^2 = \chi\, y_iy_j$, $\delta_{ij}\,y_i = y_iy_j$, $\delta\, y_i = y_1y_2y_3$, $\delta^2 = 0$ et $\delta_{ij}\,\delta = \chi\, y_1y_2y_3$.
\end{enonce}

Lean : \texttt{table\_two}, \texttt{table\_three}.

\begin{theoreme}[D'après les pages 54 et 56, règle des multigraphes, énoncé de l'édition\piste{11-tautological-diagonal-product-rule}]\label{thm:11-graphes}
Soit $E$ une famille finie d'arêtes, boucles et arêtes multiples permises, sur un ensemble fini $V$ qu'elle rend connexe, et $\delta_E = \prod_{(i,j) \in E} \delta_{ij}$. Alors $|V| \leqslant |E| + 1$, et $\delta_E$ vaut $\delta_V$ si $|E| = |V| - 1$, $\chi \prod_{v \in V} y_v$ si $|E| = |V|$, et $0$ si $|E| > |V|$.
\end{theoreme}

\begin{proof}
Par récurrence sur $|E|$. Sans arête, $V$ est un point et $\delta_E = 1 = \delta_V$. Une boucle en $i$ vaut $\chi\, y_i$ ; on la retire sans rompre la connexité, et l'on conclut par $y_i\,\delta_V = \prod_{v \in V} y_v$ et $y_i^2 = 0$. Une arête $(i, j)$ avec $i \neq j$ autorise le transfert : la première identité donne $\delta_{ij}\,\iota_j(a) = \delta_{ij}\,\iota_i(a)$, donc, multiplié par $\delta_{ij}$, tout produit de classes reste le même quand on y remplace l'indice $j$ par $i$. On contracte ainsi l'arête : le reste devient un multigraphe connexe sur $V \smallsetminus \{j\}$, avec une arête et un sommet de moins, des arêtes parallèles à $(i,j)$ devenant des boucles. Il reste à voir que $\delta_{ij}$ fait repasser de $V \smallsetminus \{j\}$ à $V$ dans chacun des trois cas, ce que donnent le transfert, la symétrie de $\Delta$ et $y_i\,\delta_{ij} = y_iy_j$.
\end{proof}

Pour $k = 3$, trois relations de la page~50 se lisent sur trois multigraphes connexes à trois sommets, avec deux, trois et quatre arêtes :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=1cm, y=1cm, every node/.style={font=\small}]
\tikzset{pt/.style={circle, fill, inner sep=1.4pt}}
\begin{scope}
\node[pt, label=below:$1$] (1) at (0,0) {}; \node[pt, label=below:$2$] (2) at (1.6,0) {}; \node[pt, label=above:$3$] (3) at (0.8,1.3) {};
\draw (1)--(2) (2)--(3);
\node at (0.8,-1) {$\delta_{12}\delta_{23} = \delta$};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=4.2cm]
\node[pt, label=below:$1$] (1) at (0,0) {}; \node[pt, label=below:$2$] (2) at (1.6,0) {}; \node[pt, label=above:$3$] (3) at (0.8,1.3) {};
\draw (1)--(2) (2)--(3) (1)--(3);
\node at (0.8,-1) {$\delta_{13}\,\delta = \chi\, y_1y_2y_3$};
\end{scope}
\begin{scope}[xshift=8.4cm]
\node[pt, label=below:$1$] (1) at (0,0) {}; \node[pt, label=below:$2$] (2) at (1.6,0) {}; \node[pt, label=above:$3$] (3) at (0.8,1.3) {};
\draw (1) to[bend left=15] (2); \draw (1) to[bend right=15] (2);
\draw (2) to[bend left=15] (3); \draw (2) to[bend right=15] (3);
\node at (0.8,-1) {$\delta^2 = 0$};
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{corollaire*}[Grothendieck, page 56, et la table de l'édition]
Soient $R$ et $R'$ deux partitions des $k$ indices, à $s$ et $s'$ blocs, dont la borne supérieure est la partition grossière, et $\delta_R = \prod_{P \in R} \delta_P$. Alors $s + s' \leqslant k + 1$, et $\delta_R\,\delta_{R'}$ vaut la petite diagonale si $s + s' = k + 1$, $\chi\, y_1 \cdots y_k$ si $s + s' = k$, et $0$ si $s + s' < k$. Avec un bloc marqué d'un point, $y_j\,\delta_R\,\delta_{R'}$ vaut $y_1 \cdots y_k$ si $s + s' = k + 1$ et $0$ sinon ; avec deux, le produit est nul.
\end{corollaire*}

Les arêtes de $R$ et $R'$ joignant chaque bloc à son plus petit élément sont au nombre de $2k - s - s'$, et forment un multigraphe connexe : le théorème~\ref{thm:11-graphes} donne tout (Lean : \texttt{graph\_rule}, \texttt{product\_rule}, \texttt{product\_rule\_pointed}).

\begin{enonce}[D'après la page 54, réduction aux blocs de $R''$, énoncé de l'édition]
Soient $R$ et $R'$ deux partitions des indices, et $R''$ une partition moins fine que l'une et l'autre dont chaque bloc est connexe pour la relation \q{être dans un même bloc de $R$ ou de $R'$} (c'est la borne supérieure de $R$ et $R'$). Pour un bloc $C$ de $R''$, soient $b$ et $b'$ les nombres de blocs de $R$ et de $R'$ contenus dans $C$. Alors $b + b' \leqslant |C| + 1$, et $\delta_R\,\delta_{R'} = \prod_{C \in R''} c_C$, où $c_C$ vaut $\delta_C$ si $b + b' = |C| + 1$, $\chi \prod_{v \in C} y_v$ si $b + b' = |C|$, et $0$ si $b + b' < |C|$. Plus généralement, pour toute partie $M$ d'indices marqués, $\prod_{m \in M} y_m \cdot \delta_R\,\delta_{R'}$ est le produit sur les blocs $C$ de : $c_C$ si $C$ ne contient aucune marque ; $\prod_{v \in C} y_v$ s'il en contient une et si $b + b' = |C| + 1$ ; $0$ sinon. En particulier, deux marques dans un même bloc de $R''$ donnent $0$.
\end{enonce}

Les classes $\varepsilon_{R,J}$ de la lecture sont les $y_j\,\delta_R$ pour $j \in J$, puisque $y_j\,\delta_J = \prod_{i \in J} y_i$ ; l'énoncé, avec $M = \{j, j'\}$, donne donc la proposition de la lecture tout entière, pour des partitions quelconques. On regroupe les blocs de $R$ et de $R'$ selon le bloc de $R''$ qui les contient : les arêtes en étoile de ceux qui tombent dans $C$ sont au nombre de $2|C| - b - b'$ et rendent $C$ connexe (une chaîne de la relation ne sort pas du bloc de son origine), et le théorème~\ref{thm:11-graphes} s'applique bloc par bloc ; une marque $y_m$ se range dans le facteur de son bloc, où $y_m\,\delta_C = \prod_{v \in C} y_v$, $y_m^2 = 0$ et $y_m \prod_{v \in C} y_v = 0$ concluent (Lean : \texttt{join\_rule}, \texttt{join\_rule\_marked}, \texttt{join\_rule\_two\_marks}). La borne supérieure $R''$ est donnée par ses propriétés, non construite.

\begin{enonce}[Page 56, stabilités, en un facteur]
Dans $B \otimes A$, l'image directe $\mathrm{id} \otimes \int$ par la projection qui oublie le dernier facteur $\ast$ annule les classes qui ne le font pas intervenir, et envoie $x\,y_\ast$ et $x\,\delta_{i\ast}$ sur $x$ ; l'image inverse envoie $\delta_{ij}$ sur $\delta_{ij}$ et $y_i$ sur $y_i$.
\end{enonce}

Lean : \texttt{push\_old}, \texttt{push\_point}, \texttt{push\_diag}, \texttt{pull\_d}.

\paragraph{Remarques.} La règle tient plus généralement que la table de la lecture : pour tout multigraphe connexe, dans toute algèbre où vivent une classe de la diagonale et une classe de point. Le coefficient $\chi$ du cas $s + s' = k$, biffé sur la page, est bien celui que la lecture rétablit. La nullité de l'image directe d'une classe qui n'implique pas le facteur oublié demande $\int 1 = 0$, ce que donne en géométrie la raison de degré.

Ne sont pas démontrés ici : le cadre géométrique et la formule d'intersection en excès ; l'engendrement par $\boxtimes$ de la conclusion encadrée ; la catégorie des correspondances d'une théorie bivariante (pages~2 à~18), les sous-foncteurs stables (pages~20 à~24), les signes de Koszul des pages~26 à~30 et la Proposition de la page~39, la seconde mouture (pages~41 à~47) hors de l'équivalence de la sous-section suivante.

\subsection*{Algèbres bivariantes simpliciales et algèbres de Poincaré (pages 37 et 41)}

La page~33 définit la catégorie $\mathcal{C}$ des algèbres bivariantes : une $k$-algèbre $A$ munie d'une forme $\kappa_A : A \to k$ (sa \emph{jauge}), un morphisme $A \to B$ étant un couple $(f_*, f^*)$ d'un homomorphisme d'algèbres $f^* : B \to A$ et d'une application linéaire $f_* : A \to B$ qui vérifie la formule de projection $f_*(f^*(y)\,x) = y\,f_*(x)$ et $\kappa_B f_* = \kappa_A$. Une \emph{algèbre de Poincaré} est une telle algèbre, de dimension finie sur le corps $k$, où $(x, y) \mapsto \kappa(xy)$ est non dégénérée. Une \emph{algèbre bivariante simpliciale} est un foncteur contravariant $I \mapsto A(I)$ des ensembles finis non vides, avec toutes les applications, vers $\mathcal{C}$ : pour $\alpha : I \to J$, une image inverse $\alpha^* : A(I) \to A(J)$ et une image directe $\alpha_* : A(J) \to A(I)$, fonctorielles, avec la formule de projection et la conservation des jauges. Les pages~37 et~41 affirment, sans démonstration et avec \q{à vérifier}, que l'évaluation en un point est une équivalence avec les algèbres de Poincaré. La lecture restreint l'énoncé aux objets \emph{spéciaux}, sans quoi il est faux (l'objet constant $I \mapsto P$ a la même valeur en un point que $I \mapsto P^{\otimes I}$). On le démontre sous cette forme, dans le cas commutatif : algèbres commutatives sans graduation, c'est-à-dire, pour la cohomologie, le cas où tous les degrés sont pairs et où il n'y a pas de signe de Koszul.

\begin{encadre}
\begin{theoreme}[Grothendieck, pages 37 et 41, forme de l'édition, cas commutatif\piste{11-simplicial-bivariant-poincare-equivalence}]
Soit $k$ un corps. Disons qu'une algèbre bivariante simpliciale $A$ est \emph{spéciale} si $A(\mathrm{pt})$ est une algèbre de Poincaré, si, pour tout $I$, les deux images inverses définissent un isomorphisme de Künneth $A(I) \otimes A(\mathrm{pt}) \xrightarrow{\sim} A(I \sqcup \mathrm{pt})$, et si les jauges sont multiplicatives : $\kappa_{A(I \sqcup \mathrm{pt})}(a \otimes b) = \kappa_{A(I)}(a)\,\kappa_{A(\mathrm{pt})}(b)$. Alors l'évaluation $A \mapsto A(\mathrm{pt})$ est une équivalence entre la catégorie des algèbres bivariantes simpliciales spéciales, avec les transformations naturelles, et la sous-catégorie pleine de $\mathcal{C}$ formée des algèbres de Poincaré, d'inverse $P \mapsto (I \mapsto P^{\otimes I})$. Plus précisément :
\begin{enumerate}
\item dès que $B$ est spéciale, une transformation naturelle $A \to B$ est déterminée par son image inverse en un point, et tout morphisme $A(\mathrm{pt}) \to B(\mathrm{pt})$ de $\mathcal{C}$ est la valeur en un point d'une transformation naturelle $A \to B$, sans hypothèse sur $A$ ;
\item pour toute algèbre de Poincaré $P$, $I \mapsto P^{\otimes I}$, avec pour images inverses les multiplications le long des fibres et pour images directes leurs adjointes, est spéciale et vaut $P$ en un point, à un isomorphisme d'algèbres près qui respecte les jauges.
\end{enumerate}
\end{theoreme}
\end{encadre}

\begin{proof}
\emph{L'image directe est l'adjointe de l'image inverse} (page~33). Si $D$ est de Poincaré, la forme $\kappa_D(xy)$ identifie $D$ à son dual ; pour un homomorphisme $h : D \to E$, il existe donc une unique application linéaire $h_* : E \to D$ telle que $\kappa_D(y\,h_*(x)) = \kappa_E(h(y)\,x)$, et elle vérifie la formule de projection et $\kappa_D h_* = \kappa_E$ (faire $y = 1$). Réciproquement, tout couple $(f_*, f^*)$ de $\mathcal{C}$ vérifie cette identité : $\kappa_B(y\,f_*(x)) = \kappa_B(f_*(f^*(y)\,x)) = \kappa_A(f^*(y)\,x)$. Dans la sous-catégorie pleine des algèbres de Poincaré, $f_*$ est donc déterminé par~$f^*$.

\emph{Les $A(I)$ d'un objet spécial sont de Poincaré.} Si $B$ et $C$ sont de Poincaré, $B \otimes C$ l'est pour la jauge produit : l'application $z \mapsto \kappa(z\,\cdot)$ de $B \otimes C$ dans son dual est le composé de l'isomorphisme $B \otimes C \to B^\vee \otimes C^\vee$ que donnent les deux dualités et de l'isomorphisme $B^\vee \otimes C^\vee \simeq (B \otimes C)^\vee$ de la dimension finie, comme on le voit sur les tenseurs purs. L'isomorphisme de Künneth, multiplicatif et compatible aux jauges, transporte la non-dégénérescence ; on conclut par récurrence sur le cardinal de~$I$.

\emph{Engendrement.} Par la même récurrence, deux homomorphismes de $A(I)$ dans une algèbre qui coïncident sur les images inverses $i^*$ de $A(\mathrm{pt})$ le long des points $i : \mathrm{pt} \to I$ sont égaux : sur $A(I) \otimes A(\mathrm{pt})$, on teste séparément les deux facteurs, et un point de $I$ composé avec l'inclusion $I \to I \sqcup \mathrm{pt}$ est un point de $I \sqcup \mathrm{pt}$.

\emph{Fidélité.} Si $\varphi$ et $\psi$ sont deux transformations naturelles $A \to B$ égales en un point, la naturalité donne $\varphi_I^* \circ i^* = i^* \circ \varphi_{\mathrm{pt}}^* = \psi_I^* \circ i^*$ pour chaque point $i$, d'où $\varphi_I^* = \psi_I^*$ par engendrement, puis $\varphi_{I*} = \psi_{I*}$ puisque $B(I)$ est de Poincaré.

\emph{Plénitude.} Soit $g = (g_*, g^*)$ un morphisme de $A(\mathrm{pt})$ vers $B(\mathrm{pt})$. On construit par récurrence $h_I : B(I) \to A(I)$ avec $h_I \circ i^* = i^* \circ g^*$ pour chaque point : $h_{I \sqcup \mathrm{pt}}$ est le composé de l'inverse de l'isomorphisme de Künneth de $B$, de $h_I \otimes g^*$ et de l'homomorphisme de Künneth de $A$ (qui n'a pas à être bijectif). L'engendrement donne la naturalité pour toute application $\alpha : I \to J$, puisque $\alpha \circ i$ est le point $\alpha(i)$. On prend pour $\varphi_{I*}$ l'adjointe de $h_I$ ; la naturalité des images directes se vérifie en accouplant avec un $y \in B(I)$, ce qui la ramène à celle des images inverses ; en un point, $h_{\mathrm{pt}} = g^*$ et l'adjointe est~$g_*$.

\emph{Surjectivité essentielle.} Pour $P$ de Poincaré, on pose $A(I) = P^{\otimes I}$ et, pour $\alpha : I \to J$, $\alpha^*(\otimes_i x_i) = \prod_i \iota_{\alpha(i)}(x_i)$, où $\iota_j$ place un facteur en position~$j$ : c'est la multiplication le long des fibres, avec $1$ hors de l'image. Cet homomorphisme envoie $\iota_i(a)$ sur $\iota_{\alpha(i)}(a)$, ce qui donne la fonctorialité par engendrement. La jauge est $\kappa(\otimes_i x_i) = \prod_i \kappa(x_i)$ ; l'homomorphisme de Künneth envoie $(\otimes_{i \in I} x_i) \otimes y$ sur le tenseur pur prolongé par $y$, et coïncide avec l'isomorphisme canonique $P^{\otimes I} \otimes P \simeq P^{\otimes (I \sqcup \mathrm{pt})}$ ; les jauges sont multiplicatives. Les $P^{\otimes I}$ sont alors de Poincaré, les images directes sont les adjointes, fonctorielles par unicité de l'adjointe, et $a \mapsto \iota_0(a)$ est un isomorphisme $P \simeq P^{\otimes \mathrm{pt}}$ qui respecte les jauges, donc un \q{bon} isomorphisme de $\mathcal{C}$ au sens de la page~33.
\end{proof}

Lean : \texttt{adj}, \texttt{adj\_unique}, \texttt{poincare\_tensor}, \texttt{Special.\allowbreak{}poincare\_all}, \texttt{Special.\allowbreak{}gen}, \texttt{faithful}, \texttt{full}, \texttt{powFun}, \texttt{powFun\_special}, \texttt{essSurj}, \texttt{GHom.\allowbreak{}ofEquiv}, et l'énoncé réuni \texttt{evaluation\_equivalence} (espace de noms \texttt{Folder11.\allowbreak{}Simplicial}).

\begin{corollaire}[Grothendieck, page 41, images directes d'une somme\piste{11-simplicial-bivariant-poincare-equivalence}]
Soient $D$, $D'$ des algèbres de Poincaré, $E$, $E'$ des algèbres jaugées et $h : D \to E$, $h' : D' \to E'$ des homomorphismes. Pour les jauges produits, l'adjointe de $h \otimes h'$ est $h_* \otimes h'_*$. En particulier, si $A$ est spéciale et $\alpha : I \to J$, l'image directe par $\alpha \sqcup \mathrm{id}_{\mathrm{pt}} : I \sqcup \mathrm{pt} \to J \sqcup \mathrm{pt}$, lue à travers les isomorphismes de Künneth, est $\alpha_* \otimes \mathrm{id}$ ; il en va de même de l'image inverse, $(\alpha \sqcup \mathrm{id})^* = \alpha^* \otimes \mathrm{id}$.
\end{corollaire}

\begin{proof}
Sur les tenseurs purs, $\kappa\bigl((y \otimes y')(h_*x \otimes h'_*x')\bigr) = \kappa_D(y\,h_*x)\,\kappa_{D'}(y'\,h'_*x') = \kappa_E(h(y)\,x)\,\kappa_{E'}(h'(y')\,x')$, et l'on conclut par bilinéarité et unicité de l'adjointe, $D \otimes D'$ étant de Poincaré. Dans l'objet spécial, $(\alpha \sqcup \mathrm{id})^*$ envoie $a \otimes b$ sur $\alpha^*(a) \otimes b$, parce que $(\alpha \sqcup \mathrm{id}) \circ \mathrm{incl}_I = \mathrm{incl}_J \circ \alpha$ et que le point ajouté va sur le point ajouté. Pour l'image directe, on accouple avec $w \in A(I) \otimes A(\mathrm{pt})$, ce qui est licite puisque $A(I \sqcup \mathrm{pt})$ est de Poincaré et que l'homomorphisme de Künneth est surjectif ; la formule de projection, la multiplicativité des jauges et l'identité $\kappa(\alpha^*(a)\,c) = \kappa(a\,\alpha_*(c))$ ramènent l'égalité aux tenseurs purs.
\end{proof}

Lean : \texttt{adj\_tensor}, \texttt{SFun.\allowbreak{}sumPt}, \texttt{SFun.\allowbreak{}pull\_sumPt}, \texttt{Special.\allowbreak{}gauge\_kun}, \texttt{push\_sumPt}. Le cas général $\alpha \sqcup \beta$ s'en déduit par récurrence, puisque toute somme $I' \sqcup I''$ s'obtient en ajoutant des points un à un ; cette récurrence, lourde dans le squelette, n'est pas écrite.

\begin{contrexemple}[l'objet constant, de l'édition\piste{11-simplicial-bivariant-poincare-equivalence}]
Soit $P$ une algèbre de Poincaré différente de $k$ (l'application $k \to P$ n'est pas surjective). L'objet constant $C : I \mapsto P$, où toutes les images inverses et directes sont l'identité et toutes les jauges $\kappa$, est une algèbre bivariante simpliciale de valeur $P$ en un point. Elle n'est pas spéciale, et aucune transformation naturelle de $I \mapsto P^{\otimes I}$ vers $C$ n'est surjective en un point. En particulier les deux objets ne sont pas isomorphes, bien qu'ils aient la même valeur, et l'isomorphisme $P^{\otimes \mathrm{pt}} \simeq P$ n'est la valeur d'aucune transformation naturelle : sans le mot \q{spéciale}, l'énoncé des pages~37 et~41 est faux, et la plénitude ci-dessus demande que le but soit spécial.
\end{contrexemple}

\begin{proof}
Il existe $a \in P$ avec $\kappa(1)\,a \neq \kappa(a)\cdot 1$ : si $\kappa(1) \neq 0$, tout $a$ hors de $k$ convient ; sinon, la non-dégénérescence appliquée à $1 \neq 0$ donne $a$ avec $\kappa(a) \neq 0$. L'homomorphisme de Künneth de $C$ est la multiplication $P \otimes P \to P$, qui identifie $a \otimes 1$ et $1 \otimes a$ ; or $(\mathrm{id} \otimes \kappa)$ les sépare. Si $\varphi$ est une transformation naturelle de $I \mapsto P^{\otimes I}$ vers $C$, la naturalité pour les deux points $0, 1$ de $\{0, 1\}$ donne $\iota_0 \circ \varphi^*_{\mathrm{pt}} = \varphi^*_{\{0,1\}} = \iota_1 \circ \varphi^*_{\mathrm{pt}}$ ; si $\varphi^*_{\mathrm{pt}}$ est surjective, $\iota_0(a) = \iota_1(a)$ dans $P \otimes P$, ce que contredit la forme linéaire $x_0 \otimes x_1 \mapsto \kappa(x_1)\,x_0$.
\end{proof}

Lean : \texttt{constFun}, \texttt{exists\_ne\_of\_poincare}, \texttt{constFun\_not\_special}, \texttt{constFun\_not\_full} (espace de noms \texttt{Folder11.\allowbreak{}Simplicial}).

\paragraph{Remarques.} La pleine fidélité ne demande que la spécialité du but : la source est une algèbre bivariante simpliciale quelconque. La catégorie des ensembles finis non vides est remplacée par son squelette, les ensembles $\{0, \dots, n\}$, et la spécialité par la seule décomposition $I \sqcup \mathrm{pt}$, dont les autres se déduisent par récurrence. La condition $(\alpha \sqcup \beta)_* = \alpha_* \otimes \beta_*$ de la page~41 n'est pas dans la définition : les images directes étant déterminées par les images inverses, elle en découle (corollaire ci-dessous). La multiplicativité des jauges est une hypothèse de l'édition, que vérifie le modèle $H^*(X^I)$ ; sans elle, rien n'assure que $A(I)$ soit de Poincaré. Ne sont pas formalisés : le cas gradué, avec les signes de Koszul des pages~28 et~30 ; et la seconde assertion de la page~41, ci-dessous.

\begin{encadre}
\begin{conjecture*}[Grothendieck, page 41, la classe de la diagonale]
Le foncteur $A(\cdot) \mapsto (A(\mathrm{pt}), \Delta)$, avec $\Delta = \delta_*(1)$ de degré $d(A)$, est pleinement fidèle vers les algèbres jaugées munies d'un tel~$\Delta$.
\end{conjecture*}
\end{encadre}
{\small La page laisse \q{à préciser} les axiomes sur $\Delta$ ; la lecture les identifie aux identités en zigzag d'une algèbre de Frobenius. Faute d'axiomes écrits, l'énoncé n'est pas démontré ici. On se reportera aux notes de Grothendieck (\lot{11}{3}{41}).\par}
\section[Cote 16 : le pseudo-inverse de l'opérateur de Lefschetz, la normalisation de sl(2) et les algèbres de Hodge]{Cote 16 : le pseudo-inverse de l'opérateur de Lefschetz, la normalisation de $\mathfrak{sl}_2$ et les algèbres de Hodge\protect\verifie{Folder16}}\label{sec:16}

La cote 16, \emph{Formalisme algébrique des correspondances et algèbres de Poincaré-Hodge (cf conjectures standard) : notes manuscrites (s.d.), tapuscrit annoté (s.d.), lettres (1966-1967)}, compte cinquante-cinq pages datées \q{1966-1967}. Elle s'ouvre sur un cahier, « Sur certains anneaux gradués » (pages~2 à~17), qui cherche à quelles conditions l'opérateur $\Lambda$ et les projecteurs de la décomposition primitive appartiennent à un anneau gradué $\mathcal E$ muni d'un $L$ de degré~$2$. La page~9 fixe $\Lambda$ par les relations~(6.7) (\lot{16}{1}{9}), que la page~13 reprend sous le numéro~(6.15). La même page pose sur une algèbre extérieure le modèle $L_0 x = \xi_0 x$, $\Lambda_0 x = \xi_0^* \lrcorner\, x$, et écrit que \q{$\Lambda_{0}$ est l'opérateur associé défini par (6.15)} (\lot{16}{1}{13}). Le dossier ne mentionne jamais $\mathfrak{sl}_2$. La lecture compare les deux normalisations de $\Lambda$ ; cette comparaison, purement algébrique, est démontrée ici.

\noindent\emph{Conventions.} Les relations~(6.7) sont
\[
L\Lambda = 1 - \sum_{0 \leqslant i \leqslant n} \pi_{i,0}, \qquad \Lambda L = 1 - \sum_{n \leqslant i \leqslant 2n} \pi_{i,0},
\]
où $\pi_{i,0}$ est la projection de $M^i$ sur sa partie primitive (pour $i \leqslant n$) ou sur le sommet de chaîne correspondant (pour $i \geqslant n$). Pour la normalisation de Hodge, on se donne un anneau commutatif $R$, une algèbre de Lie sur $R$ contenant un triplet $(H, \Lambda, L)$ tel que $[H, \Lambda] = 2\Lambda$, $[H, L] = -2L$ et $[\Lambda, L] = H$, et une représentation $M$ ; on note $\Lambda y$, $Ly$, $Hy$ l'action. Un vecteur $x \neq 0$ est \emph{primitif de poids $\mu$} si $\Lambda x = 0$ et $Hx = \mu x$. Avec la convention $[L, \Lambda] = H$ de la lecture, une classe de degré $i$ a pour poids $i - n$ ; on a pris ici l'opposé, de sorte qu'une classe primitive de degré $i$ a pour poids $\mu = n - i$.

\begin{enonce}[Page 9, la comparaison de la lecture]
Le $\Lambda$ de~(6.7) n'est pas celui de la théorie de Hodge, qui agit sur $L^k P^i$ par des scalaires entiers non triviaux : sur une classe primitive $x$ de degré $i$, on a $\Lambda L x = (n - i)\,x$, et non $x$.
\end{enonce}

\begin{enonce}[Énoncé de l'édition, le commutateur, d'après (6.7)]
Avec un $\Lambda$ normalisé en pseudo-inverse par~(6.7), le commutateur vaut
\[
[L, \Lambda] = \sum_{n \leqslant i \leqslant 2n} \pi_{i,0} - \sum_{0 \leqslant i \leqslant n} \pi_{i,0}
\]
et ne retient que les extrémités des chaînes.
\end{enonce}

\begin{enonce}[Page 13, le modèle extérieur]
Soient $M_0$ libre de base $e_1, \dots, e_{2n}$ sur $R$, $\xi_0 = \sum_{j=1}^{n} e_{2j-1} \wedge e_{2j}$ et $\xi_0^* = \sum_{j=1}^{n} e^*_{2j-1} \wedge e^*_{2j}$. Sur l'algèbre extérieure $\Lambda M_0$, $\Lambda_0 L_0(1) = \langle \xi_0^*, \xi_0 \rangle = n$, alors que~(6.15) exige~$1$ ; l'identification des deux $\Lambda_0$ ne vaut donc que pour $n = 1$.
\end{enonce}

\begin{lemme}\label{lem:16-sl2}
Soit $x$ un vecteur primitif de poids $\mu$ et $x_k = L^k x$. Pour tout $k \geqslant 0$,
\[
H x_k = (\mu - 2k)\, x_k, \qquad \Lambda x_{k+1} = (k+1)(\mu - k)\, x_k ;
\]
en particulier $\Lambda L x = \mu x$.
\end{lemme}

\begin{proof}
La relation $[H, L] = -2L$ donne $H(Ly) = L(Hy) - 2Ly$ pour tout $y$, d'où la première formule par récurrence sur $k$, à partir de $Hx = \mu x$. La relation $[\Lambda, L] = H$ donne $\Lambda(Ly) = L(\Lambda y) + Hy$. Montrons par récurrence que $\Lambda x_k = k(\mu - k + 1)\, x_{k-1}$ pour $k \geqslant 1$, et $\Lambda x_0 = 0$. C'est vrai pour $k = 0$ par primitivité. Si c'est vrai pour $k$, alors
\[
\Lambda x_{k+1} = L(\Lambda x_k) + H x_k = \bigl(k(\mu - k + 1) + \mu - 2k\bigr)\, x_k = (k+1)(\mu - k)\, x_k .
\]
Pour $k = 0$, c'est $\Lambda L x = \mu x$.
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration de la comparaison de la page 9]
Pour une classe primitive $x$ de degré $i$, de poids $\mu = n - i$, le lemme~\ref{lem:16-sl2} donne $\Lambda L x = (n - i)\,x$ et, plus généralement, $\Lambda$ agit sur $L^{k+1} x$ par l'entier $(k+1)(n - i - k)$. Supposons de plus $R$ intègre, $M$ sans torsion, et $\Lambda L x = x$, comme~(6.7) le demande au bas d'une chaîne. Alors $(\mu - 1)\,x = \Lambda L x - x = 0$ avec $x \neq 0$, donc $\mu = 1$, c'est-à-dire $i = n - 1$.
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration de la formule du commutateur]
Dans tout anneau où $L$ et $\Lambda$ vérifient~(6.7), on soustrait les deux relations : $L\Lambda - \Lambda L = \sum_{n \leqslant i \leqslant 2n} \pi_{i,0} - \sum_{0 \leqslant i \leqslant n} \pi_{i,0}$.
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration de la formule du modèle extérieur]
Notons $\iota_\alpha$ la contraction par une forme linéaire $\alpha$, antidérivation de $\Lambda M_0$ telle que $\iota_\alpha(v) = \alpha(v)$ pour $v \in M_0$, et convenons que la contraction par $\alpha \wedge \beta$ est $\iota_\beta \circ \iota_\alpha$. Alors $L_0(1) = \xi_0$ et
\[
\Lambda_0 L_0(1) = \sum_{j, l = 1}^{n} \iota_{e^*_{2j}}\, \iota_{e^*_{2j-1}} \bigl(e_{2l-1} \wedge e_{2l}\bigr).
\]
On a $\iota_{e^*_{2j-1}}(e_{2l-1} \wedge e_{2l}) = e^*_{2j-1}(e_{2l-1})\, e_{2l} - e^*_{2j-1}(e_{2l})\, e_{2l-1} = \delta_{jl}\, e_{2l}$, puis $\iota_{e^*_{2j}}(\delta_{jl}\, e_{2l}) = \delta_{jl}$. La somme vaut donc $n$, c'est-à-dire $n \cdot 1 \in \Lambda^0 M_0 = R$. Si $R$ est de caractéristique nulle et $n \neq 1$, $n \cdot 1 \neq 1$, et $\Lambda_0 L_0(1) \neq 1$.
\end{proof}

\begin{remarque}
Le $\Lambda$ de $\mathfrak{sl}_2$ ne vérifie la relation $\Lambda L x = x$ de~(6.7) que sur les classes primitives de degré $n - 1$ ; ailleurs les deux normalisations diffèrent d'un facteur entier. Le pseudo-inverse évite ce facteur, et le dossier peut ainsi rester sur $\mathbb Z$.
\end{remarque}

\begin{remarque}
Le calcul confirme la correction que la lecture apporte à la page~13 : la contraction $\xi_0^* \lrcorner -$ n'est pas l'opérateur que caractérisent les relations~(6.15) dès que $n \geqslant 2$. L'erreur est sur la page ; elle est sans effet sur la Proposition qui suit, qui n'utilise que~(6.15).
\end{remarque}

Le n\textsuperscript{o}~4 remplace les conditions sur le module par la condition interne~$(4.4)_i$ (\lot{16}{1}{6}) ; le n\textsuperscript{o}~5, écrit sur un feuillet \q{5 bis}, en tire que les $\pi_i$ sont dans $\mathcal E$ (\lot{16}{1}{7}) ; la page~8 spécialise à $v_i = L^{n-i}$ sous le numéro~$(6.3)_i$ (\lot{16}{1}{8}).

\noindent\emph{Conventions.} On se donne un anneau $E$ (le sur-anneau $\mathcal F$ de la lecture), une famille $(\pi_a)_{a \in \mathbb Z}$ d'idempotents orthogonaux de $E$, nuls hors de $[0, 2n]$, de somme~$1$, et un sous-anneau $\mathcal E \subset E$. Un élément $x$ est \emph{homogène de degré $d$} si $\pi_b\, x\, \pi_a = 0$ dès que $b \neq a + d$. Aucun module n'intervient, et $\mathcal E$ n'est qu'un anneau : tout se passe sur~$\mathbb Z$.

\begin{enonce}[Pages 6 à 8, les projecteurs de la graduation\piste{16-graded-ring-lefschetz-criterion}]
Supposons que, pour tout $i \leqslant n$, il existe $v_i \in \mathcal E$ homogène de degré $2n - 2i$ et $w_i \in \mathcal E$ homogène de degré $-(2n-2i)$ tels que $(w_i v_i - 1)\,\pi_i = 0$ et $(v_i w_i - 1)\,\pi_{2n-i} = 0$. Alors tous les $\pi_a$ sont dans $\mathcal E$. En particulier, si $L \in \mathcal E$ est homogène de degré~$2$ et si $L^{n-i}$ admet dans $\mathcal E$ des inverses $w_i$ au sens de~$(6.3)_i$, les $\pi_a$ sont dans $\mathcal E$.
\end{enonce}

\begin{lemme}\label{lem:16-homogene}
Si $x$ est homogène de degré $d$, alors $x\,\pi_a = \pi_{a+d}\, x\, \pi_a$ pour tout $a$. Si $A$ et $B$ sont des parties finies de $\mathbb Z$, $a_0 \in A$, $a_0 + d \in B$, et si $a_0$ est le seul $a \in A$ tel que $a + d \in B$, alors
\[
\Bigl(\sum_{b \in B} \pi_b\Bigr)\, x \Bigl(\sum_{a \in A} \pi_a\Bigr) = \pi_{a_0 + d}\, x\, \pi_{a_0}.
\]
Un produit d'homogènes de degrés $d$ et $e$ est homogène de degré $d + e$, et $L^k$ est de degré $2k$ si $L$ est de degré~$2$.
\end{lemme}

\begin{proof}
On écrit $x\,\pi_a = \bigl(\sum_b \pi_b\bigr) x\, \pi_a = \sum_b \pi_b\, x\, \pi_a$, où seul le terme $b = a + d$ subsiste (s'il sort de $[0, 2n]$, $\pi_{a+d} = 0$ et les deux membres sont nuls). Le second énoncé se développe en une double somme dont seul le terme $(a_0 + d, a_0)$ subsiste. Pour le produit, $\pi_b\, xy\, \pi_a = \pi_b\, x\, \pi_{a+e}\, y\, \pi_a$, nul si $b \neq a + e + d$ ; $1$ est de degré~$0$ par orthogonalité, d'où les puissances par récurrence.
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration]
Montrons par récurrence sur $i \leqslant n + 1$ que $\pi_a \in \mathcal E$ dès que $a < i$ ou $a > 2n - i$. Pour $i = 0$, ces $\pi_a$ sont nuls. Supposons-le pour un $i \leqslant n$. Alors
\[
\varphi_i = \sum_{i \leqslant a \leqslant 2n} \pi_a = 1 - \sum_{0 \leqslant a < i} \pi_a,
\qquad
\psi_{2n-i} = \sum_{0 \leqslant a \leqslant 2n-i} \pi_a = 1 - \sum_{2n-i < a \leqslant 2n} \pi_a
\]
sont dans $\mathcal E$. Le lemme~\ref{lem:16-homogene}, appliqué à $v_i$ (le seul $a \geqslant i$ tel que $a + 2n - 2i \leqslant 2n - i$ est $a = i$) puis à $w_i$, donne
\[
v'_i = \psi_{2n-i}\, v_i\, \varphi_i = \pi_{2n-i}\, v_i\, \pi_i \in \mathcal E,
\qquad
w'_i = \varphi_i\, w_i\, \psi_{2n-i} = \pi_i\, w_i\, \pi_{2n-i} \in \mathcal E.
\]
Comme $\pi_{2n-i}\, v_i\, \pi_i = v_i\, \pi_i$ et $\pi_i\, w_i\, \pi_{2n-i} = w_i\, \pi_{2n-i}$ (même lemme),
\[
w'_i v'_i = \pi_i\, w_i\, \pi_{2n-i}^2\, v_i\, \pi_i = \pi_i\, (w_i v_i \pi_i) = \pi_i^2 = \pi_i,
\qquad
v'_i w'_i = \pi_{2n-i}\, (v_i w_i \pi_{2n-i}) = \pi_{2n-i},
\]
donc $\pi_i$ et $\pi_{2n-i}$ sont dans $\mathcal E$, ce qui est l'hypothèse au rang $i+1$. Au rang $n + 1$, tout $a$ vérifie $a < n + 1$ ou $a > n - 1$. Le cas $v_i = L^{n-i}$ suit, $L^{n-i}$ étant dans $\mathcal E$ et de degré $2n - 2i$.
\end{proof}

\begin{remarque}
L'argument de la page~7 vaut tel qu'il est écrit, sans hypothèse de réalisation : il suffit que $\mathcal E$ soit un sous-anneau et que les $\pi_i$ existent dans le sur-anneau. Cela démontre la première partie de la piste, l'appartenance des projecteurs de la graduation. Celle de $\Lambda$ et des projecteurs primitifs $\pi_{i,\alpha}$ n'est pas démontrée ici. Les formules des pages~10 à~12 les écrivent comme produits d'éléments de $\mathcal E$, et leur appartenance est immédiate ; il resterait à vérifier qu'elles satisfont~(6.7) et donnent les projecteurs de la décomposition primitive, ce qui demande la décomposition elle-même.
\end{remarque}

La lecture garde $\Phi_0 = \mathbb Z[L_0, \Lambda_0] \subset \operatorname{End}(\Lambda M_0)$, avec $M_0$ un $\mathbb Z$-module libre et $\Lambda_0$ \emph{au sens de~(6.15)}, pour réparer l'identification de la page~13. Sur $\mathbb Z$, ce $\Lambda_0$ n'existe pas.

\begin{encadre}
\begin{contrexemple}[Page 13, sur $\mathbb Z$\piste{16-universal-lefschetz-ring}]
Soient $M_0 = \mathbb Z^{2n}$, $n \geqslant 2$, $\xi_0 = \sum_{k=1}^{n} e_{2k-1} \wedge e_{2k}$ et $\mathrm{vol} = e_1 \wedge \dots \wedge e_{2n}$. Il n'existe aucun $y \in \Lambda M_0$ tel que $\xi_0^n \wedge y = \mathrm{vol}$. En particulier, pour toute application $w$ de $\Lambda M_0$ dans lui-même, $L_0^n\bigl(w(\mathrm{vol})\bigr) \neq \mathrm{vol}$ : la condition~$(6.3)_0$ est fausse dans le modèle extérieur sur $\mathbb Z$.
\end{contrexemple}
\end{encadre}

\begin{proof}
Posons $a_k = e_{2k-1} \wedge e_{2k}$. Deux produits de deux vecteurs commutent dans $\Lambda M_0$ (chaque vecteur traverse l'autre paire avec deux changements de signe), et $a_k \wedge a_k = 0$. Par récurrence sur le nombre de termes, $\xi_0 \wedge \xi_0 = c + c$ pour un $c \in \Lambda M_0$ : si $S$ est une somme partielle avec $S \wedge S = c + c$, alors $(a + S)^2 = a^2 + aS + Sa + S^2 = (aS + c) + (aS + c)$. Donc $\xi_0^n \wedge y = \xi_0^{n-2} \wedge (c + c) \wedge y = z + z$ avec $z = \xi_0^{n-2} c\, y$. Soit $\phi$ la forme linéaire sur $\Lambda M_0$ qui prend la composante de degré $2n$ et la lit sur la base $\mathrm{vol}$ de $\Lambda^{2n} M_0$ ; $\phi(\mathrm{vol}) = 1$. Si $\xi_0^n \wedge y = \mathrm{vol}$, alors $1 = \phi(z + z) = 2\,\phi(z)$ dans $\mathbb Z$, ce qui est impossible. Enfin $L_0^n(x) = \xi_0^n \wedge x$, et l'on prend $y = w(\mathrm{vol})$.
\end{proof}

\begin{remarque}
En fait $\xi_0^n = n!\,\mathrm{vol}$, et $L_0^n \colon \Lambda^0 M_0 \to \Lambda^{2n} M_0$ est la multiplication par $n!$ ; seule la parité est démontrée ici, et elle suffit. D'après la Remarque de la page~12, un $\Lambda_0$ vérifiant~(6.15) donne $(L_0^n \Lambda_0^n - 1)\,\pi_{2n} = 0$, c'est-à-dire $L_0^n(\Lambda_0^n\, \mathrm{vol}) = \mathrm{vol}$, ce que l'énoncé exclut. Pour $n \geqslant 2$, l'anneau $\Phi_0 = \mathbb Z[L_0, \Lambda_0]$ de la lecture ne peut donc pas être pris dans $\operatorname{End}_{\mathbb Z}(\Lambda M_0)$, et la décomposition primitive y fait défaut. Pour $n = 2$, $e_1 \wedge e_2 \wedge \xi_0 = \mathrm{vol}$ et $\xi_0 \wedge \xi_0 = 2\,\mathrm{vol}$, de sorte que la composante de $e_1 \wedge e_2$ sur $\mathbb Q\,\xi_0$ le long de $P^2$ vaut $\tfrac12\,\xi_0$ (calcul fait à la main). L'obstacle disparaît sur~$\mathbb Q$. La correction que la lecture apporte à la page~13 vaut pour l'identification des deux $\Lambda_0$, mais le choix de $\mathbb Z$ comme anneau de base du modèle ne convient pas.
\end{remarque}

\begin{lemme}[Pages 14 et 15, l'étape algébrique de l'unicité]\label{lem:16-pseudo}
Dans un anneau, si $\Lambda L \Lambda = \Lambda$, $\Lambda' L \Lambda' = \Lambda'$, $\Lambda L = \Lambda' L$ et $L\Lambda = L \Lambda'$, alors $\Lambda = \Lambda'$.
\end{lemme}

\begin{proof}
$\Lambda = (\Lambda L)\Lambda = \Lambda'(L\Lambda) = \Lambda'(L\Lambda') = \Lambda'$.
\end{proof}

\noindent Le lemme~\ref{lem:16-pseudo} dit qu'un pseudo-inverse est déterminé par les deux idempotents $\Lambda L$ et $L\Lambda$ ; ni l'existence de l'homomorphisme $\Phi_0 \to \mathcal E$ ni son unicité ne sont démontrées ici.

Les pages~24 à~28, sous le titre \q{Algèbres de Hodge d'ordre 2} (\lot{16}{2}{24}), dégagent l'ossature d'un anneau de cohomologie de surface à partir de trois données ; la page~26 la reformule en faisant de la polarisation un paramètre (\lot{16}{2}{26}).

\noindent\emph{Conventions.} Soient $k$ un anneau commutatif, $V$ et $W$ des $k$-modules, $\check V = \operatorname{Hom}_k(V, k)$, $\varphi$ une forme bilinéaire alternée sur $V$, $\psi \colon V \times V \to W$ bilinéaire alternée (c'est-à-dire $\psi \colon \Lambda^2 V \to W$) et $Q$ une forme bilinéaire symétrique sur $W$. Soit $A = k \oplus V \oplus (k\xi \oplus W) \oplus \check V \oplus k\xi^2$, de composantes $H^0, \dots, H^4$, muni du produit de la page~24 : $1$ est unité ; $xy = \varphi(x,y)\,\xi + \psi(x,y)$ pour $x, y \in V$ ; $x(c\xi + w) = (c\xi + w)x$ est la forme $t \mapsto c\,\varphi(t,x) + Q(\psi(t,x), w)$, soit $x\xi = \tilde\varphi(x)$ et $xw = \rho(w,x)$ dans les notations de la page ; $xy' = -y'x = y'(x)\,\xi^2$ pour $y' \in \check V$ ; $\xi\cdot\xi = \xi^2$, $\xi w = w\xi = 0$ et $ww' = Q(w,w')\,\xi^2$ ; les produits de degré total supérieur à~$4$ sont nuls, et l'on étend par bilinéarité. Un élément est \emph{pair} s'il est dans $H^0 \oplus H^2 \oplus H^4$, \emph{impair} s'il est dans $H^1 \oplus H^3$. On pose
\[
\chi(x,y,z,t) = \varphi(x,y)\,\varphi(z,t) + Q\bigl(\psi(x,y), \psi(z,t)\bigr),
\]
de sorte que $(xy)(zt) = \chi(x,y,z,t)\,\xi^2$ ; $\chi(x,y,z,t) = \chi(z,t,x,y)$ par symétrie de $Q$, et $\chi$ change de signe quand on échange $x$ et $y$, ou $z$ et $t$.

\begin{encadre}
\begin{theoreme}[Grothendieck, pages 24 à 28, algèbres de Hodge d'ordre~2\piste{16-hodge-algebras-order-2}]\label{thm:16-hodge}
\begin{enumerate}
\item Quels que soient $\varphi$, $\psi$, $Q$, le produit est bilinéaire, admet $1$ pour unité et est anticommutatif au sens gradué : les éléments pairs sont centraux, deux éléments impairs anticommutent, et le carré d'un élément impair est nul. Le produit $H^1 \times H^2 \to H^3$ est le seul pour lequel $t(xh) = (tx)h$ quels que soient $t, x \in V$ et $h \in H^2$.
\item Le produit est associatif si et seulement si, pour tous $x, y, z, t \in V$,
\[
\varphi(x,y)\varphi(t,z) + Q\bigl(\psi(x,y), \psi(t,z)\bigr) = \varphi(t,x)\varphi(y,z) + Q\bigl(\psi(t,x), \psi(y,z)\bigr).
\]
\item Si $k$ est un corps et $V$ de dimension finie, $\xi^2 \colon H^0 \to H^4$ est toujours un isomorphisme, et $\xi \colon H^1 \to H^3$ en est un si et seulement si $\varphi$ est non dégénérée : la condition de Lefschetz équivaut à la non-dégénérescence de~$\varphi$.
\item Si $k$ est un corps, les accouplements $H^0 \times H^4 \to H^4$ et $H^1 \times H^3 \to H^4$ sont toujours non dégénérés, et $H^2 \times H^2 \to H^4$ l'est si et seulement si $Q$ l'est : la condition de Poincaré équivaut à la non-dégénérescence de~$Q$.
\end{enumerate}
\end{theoreme}
\end{encadre}

\begin{proof}
(1) Chaque composante du produit est bilinéaire, et l'unité se lit sur la définition. Si $a$ est pair, les seuls termes de $ab$ où l'ordre compte sont $Q(w, w')$, symétrique, et les produits $xh$ et $hx$, égaux par définition. Si $a = x + y'$ et $b = z + u'$ sont impairs, $ab = \varphi(x,z)\,\xi + \psi(x,z) + \bigl(u'(x) - y'(z)\bigr)\xi^2$, qui change de signe quand on échange $a$ et $b$, $\varphi$ et $\psi$ étant alternées, et qui s'annule pour $a = b$. Enfin $t(xh) = (xh)(t)\,\xi^2$, et pour $h = c\xi + w$,
\[
(tx)h = \bigl(\varphi(t,x)\,\xi + \psi(t,x)\bigr)(c\xi + w) = \bigl(c\,\varphi(t,x) + Q(\psi(t,x), w)\bigr)\xi^2 ;
\]
l'égalité pour tout $t$ détermine la forme $xh$, qui est celle de la définition.

(2) Par bilinéarité, il suffit de vérifier l'associativité sur des éléments homogènes. Les triples où figure un élément de $H^0$ sont associatifs par l'unité, et ceux de degré total supérieur à~$4$ donnent~$0$ des deux côtés. Restent le triple $H^1 \times H^1 \times H^1$, à valeurs dans $H^3$, et les trois triples formés de deux éléments de $V$ et d'un de $H^2$, à valeurs dans $H^4$. Ces derniers sont associatifs quelles que soient les données : pour $t, x \in V$ et $h \in H^2$, $t(xh) = (tx)h$ par~(1) ; $(xh)t = -t(xh) = -(tx)h = (xt)h$, puisque $tx = -xt$ ; $x(ht) = x(th) = (xt)h$ ; et $(hx)t = (xh)t$, $h(xt) = (xt)h$ par symétrie de $Q$. Pour $x, y, z \in V$, $(xy)z$ et $x(yz)$ sont des formes sur $V$, que l'on évalue en $t$ par~(1) : $\langle t, (xy)z \rangle = \langle t, z(xy) \rangle = \chi(t,z,x,y)$ et $\langle t, x(yz) \rangle = \chi(t,x,y,z)$. L'associativité équivaut donc à $\chi(t,z,x,y) = \chi(t,x,y,z)$ pour tous $x, y, z, t$ ; comme $\chi(t,z,x,y) = \chi(x,y,t,z)$, c'est l'identité de l'énoncé.

(3) On a $\xi^2 \cdot c = c\,\xi^2$, et $\xi x = x\xi = \tilde\varphi(x)$ est la forme $t \mapsto \varphi(t,x)$. L'application linéaire $\tilde\varphi \colon V \to \check V$ est injective si et seulement si $\varphi$ sépare à droite, ce qui, $\varphi$ étant antisymétrique, revient à la non-dégénérescence. Comme $\dim \check V = \dim V$, injective équivaut à bijective.

(4) On a $c \cdot d\xi^2 = cd\,\xi^2$ et $x \cdot y' = y'(x)\,\xi^2$ ; sur un corps, un vecteur annulé par toutes les formes linéaires est nul, sans hypothèse de dimension, et une forme nulle sur tout $V$ est nulle. Enfin $(c\xi + w)(c'\xi + w') = \bigl(cc' + Q(w,w')\bigr)\xi^2$. Si $Q$ est non dégénérée et si $cc' + Q(w,w') = 0$ pour tous $c'$ et $w'$, le choix $c' = 1$, $w' = 0$ donne $c = 0$, puis $Q(w, w') = 0$ pour tout $w'$ donne $w = 0$. Inversement, si l'accouplement est non dégénéré, un $w$ tel que $Q(w, \cdot) = 0$ est orthogonal à tout $H^2$, donc nul. Les deux formes étant symétriques, séparer d'un côté suffit.
\end{proof}

\begin{enonce}[Page 26, la forme $\chi$ et la reformulation]
\begin{enumerate}
\item Pour tous $x, y, z, t \in V$, $((xy)z)t = \chi(x,y,z,t)\,\xi^2$, que le produit soit associatif ou non.
\item L'identité d'associativité équivaut à $\chi(x,y,y,t) = 0$ pour tous $x, y, t$, et entraîne que $\chi$ s'annule dès que deux de ses arguments sont égaux : la forme $\chi$ est alternée.
\item Soient $k$ un corps, $V$ de dimension finie, $\tilde W$ un $k$-espace muni d'une forme bilinéaire symétrique $\tilde Q$, $\alpha \colon \Lambda^2 V \to \tilde W$ linéaire et $\xi \in \tilde W$ tel que $\tilde Q(\xi,\xi) = 1$. Posons $W = \xi^{\perp}$, $\varphi(x,y) = \tilde Q(\alpha(x \wedge y), \xi)$, $\psi = \alpha - \varphi\,\xi$ et $Q = \tilde Q|_W$. Alors $\psi$ est à valeurs dans $W$, $\alpha = \varphi\,\xi + \psi$ et $\tilde Q(\alpha(x \wedge y), \alpha(z \wedge t)) = \chi(x,y,z,t)$. L'algèbre de Hodge de $(\varphi, \psi, Q)$ est associative si et seulement si $\tilde Q(\alpha(x \wedge y), \alpha(y \wedge t)) = 0$ pour tous $x, y, t$ ; elle vérifie la condition de Lefschetz si et seulement si $\varphi$ est non dégénérée, et la condition de Poincaré si et seulement si $\tilde Q$ est non dégénérée.
\end{enumerate}
\end{enonce}

\begin{proof}
(1) Par~(1) du théorème~\ref{thm:16-hodge}, $(xy)z = z(xy)$ est la forme $s \mapsto \chi(s,z,x,y)$, donc $((xy)z)t = -t((xy)z) = -\chi(t,z,x,y)\,\xi^2 = \chi(z,t,x,y)\,\xi^2 = \chi(x,y,z,t)\,\xi^2$.

(2) Écrivons l'identité $\chi(x,y,t,z) = \chi(t,x,y,z)$. Pour $z = y$, elle donne $\chi(x,y,t,y) = \chi(t,x,y,y) = 0$, d'où $\chi(x,y,y,t) = -\chi(x,y,t,y) = 0$. Pour $t = x$, elle donne $\chi(x,y,x,z) = \chi(x,x,y,z) = 0$, d'où aussi $\chi(x,y,z,x) = 0$ ; avec $(t,z)$ remplacé par $(z,y)$, elle donne $\chi(x,y,z,y) = \chi(z,x,y,y) = 0$. Les cas $\chi(x,x,z,t)$ et $\chi(x,y,z,z)$ sont nuls par alternance de $\varphi$ et $\psi$. Réciproquement, si $\chi(x,y,y,t) = 0$ pour tous $x, y, t$, le développement de $\chi(x, y+z, y+z, t) = 0$ donne $\chi(x,y,z,t) = -\chi(x,z,y,t)$, et alors
\[
\chi(x,y,t,z) = -\chi(x,t,y,z) = \chi(t,x,y,z).
\]

(3) $\tilde Q\bigl(\xi, \alpha - \tilde Q(\xi,\alpha)\,\xi\bigr) = \tilde Q(\xi,\alpha)\bigl(1 - \tilde Q(\xi,\xi)\bigr) = 0$, donc $\psi$ est à valeurs dans $W$, et $\alpha = \varphi\,\xi + \psi$ par définition. Comme $\psi(x,y)$ et $\psi(z,t)$ sont orthogonaux à $\xi$ et $\tilde Q(\xi,\xi) = 1$, le développement de $\tilde Q(\varphi(x,y)\,\xi + \psi(x,y), \varphi(z,t)\,\xi + \psi(z,t))$ donne $\chi(x,y,z,t)$. L'associativité suit alors de~(2) du théorème et de~(2) ci-dessus, la condition de Lefschetz de~(3). Pour la condition de Poincaré, il reste par~(4) à voir que $\tilde Q$ est non dégénérée si et seulement si $Q$ l'est. Tout $v \in \tilde W$ s'écrit $v = \tilde Q(\xi,v)\,\xi + v'$ avec $v' = v - \tilde Q(\xi,v)\,\xi \in W$. Si $w \in W$ est orthogonal à $W$, alors $\tilde Q(w, v) = \tilde Q(\xi,v)\,\tilde Q(w,\xi) + \tilde Q(w, v') = 0$ pour tout $v$, et $w = 0$ si $\tilde Q$ est non dégénérée. Si $v \in \tilde W$ est orthogonal à $\tilde W$, alors $\tilde Q(\xi, v) = 0$, donc $v \in W$ est orthogonal à $W$, et $v = 0$ si $Q$ est non dégénérée.
\end{proof}

\begin{remarque}
Les énoncés tiennent tels que la page les écrit, et la formalisation dit d'où vient chacun. L'associativité ne contraint que le triple $H^1 \times H^1 \times H^1$ : les autres sont associatifs parce que la dualité impose le produit $H^1 \times H^2 \to H^3$. C'est le sens précis de la phrase de la page selon laquelle $V$, $W$, $\varphi$, $\psi$, $Q$ permettent de \q{reconstituer $H^*$ à isom.\ canonique près}. La construction et l'associativité valent sur tout anneau commutatif. Seule la condition de Lefschetz demande que $V$ soit de dimension finie, pour passer de l'injectivité de $\tilde\varphi$ à sa bijectivité ; la condition de Poincaré n'en demande aucune. L'identité d'associativité est exactement l'alternance de la forme $\chi$ que la page~26 dit alternée ; la note marginale de la page~24, en partie illisible, rattache déjà l'identité à la forme $xyzt$. Dans la reformulation, c'est $\tilde Q(\xi,\xi) = 1$ qui scinde $\tilde W$ en somme orthogonale $k\xi \oplus \xi^{\perp}$ et rend équivalentes les non-dégénérescences de $\tilde Q$ et de~$Q$.
\end{remarque}

\begin{remarque}
Le modèle de ces algèbres est la cohomologie rationnelle d'une surface kählérienne compacte $X$, ou d'une surface projective lisse en cohomologie $\ell$-adique, avec $\xi$ la classe d'une polarisation normalisée par $\int_X \xi^2 = 1$ : $V = H^1$, $W$ est la partie primitive $\xi^\perp$ de $H^2$, $\varphi(x, y) = \int_X \xi x y$ et $Q(w, w') = \int_X w w'$. La condition de Lefschetz du théorème~\ref{thm:16-hodge} est alors le théorème de Lefschetz difficile en degré~$1$, et la condition de Poincaré la dualité de Poincaré en degré~$2$ ; sur $\mathbf R$, les relations bilinéaires de Hodge--Riemann fixent en outre la signature de $Q$ selon les types de Hodge, donnée que l'algèbre abstraite ne retient pas. Ce dictionnaire est de l'édition. La preuve vérifiée établit le théorème~\ref{thm:16-hodge} et l'énoncé de la page~26 pour des données $(\varphi, \psi, Q)$ quelconques, sur tout anneau commutatif pour la construction et l'associativité, sur un corps pour les deux non-dégénérescences ; elle ne parle ni de surfaces ni de cohomologie. Les périodes et les structures de Hodge de la même époque sont dans la partie \q{Théorie de Hodge} (cotes~13 et~18), la borne de poids et de niveau de la cote~12 dans la partie \q{Motifs}.
\end{remarque}

La lettre datée de sa main \q{6.1.1966}, sans doute par lapsus pour janvier 1967 puisqu'elle suit celle du \q{4.1.67} (\lot{16}{3}{43}), montre que $C(X)$ suit de $D(X)$ et de l'existence d'isomorphismes algébriques $H^{2n-i}(X) \to H^i(X)$ quelconques (\lot{16}{3}{47}).

\noindent\emph{Conventions.} Soient $K$ un corps ($\mathbb Q_\ell$), $F \subset K$ un sous-corps ($\mathbb Q$), $V = H^i(X)$ et $W = H^{2n-i}(X)$ des $K$-espaces, $V$ de dimension finie. \q{Algébrique} est lu comme l'appartenance à des ensembles donnés d'applications : un sous-anneau $\mathcal A_V$ de $\operatorname{End}_K(V)$, stable par multiplication par les éléments de $F$, et des parties $\mathcal A_{WV}$ de $\operatorname{Hom}(W, V)$ et $\mathcal A_{VW}$ de $\operatorname{Hom}(V, W)$, telles que $g \circ h \in \mathcal A_{WV}$ pour $g \in \mathcal A_V$, $h \in \mathcal A_{WV}$, et $h \circ k \in \mathcal A_V$ pour $h \in \mathcal A_{WV}$, $k \in \mathcal A_{VW}$. L'hypothèse $D(X)$ est lue comme : les coefficients du polynôme caractéristique de tout $g \in \mathcal A_V$ sont dans $F$.

\begin{encadre}
\begin{theoreme}[Grothendieck, pages 47 et 48, \emph{proposition}, b) $\Rightarrow$ $C$\pisteresolue{16-algebraic-iso-suffices}]
Si $u \in \mathcal A_{WV}$ est un isomorphisme quelconque et si $v \in \mathcal A_{VW}$ (l'application induite par $L^{n-i}$) est un isomorphisme, alors il existe $v' \in \mathcal A_{WV}$ avec $v' \circ v = \mathrm{id}_V$ et $v \circ v' = \mathrm{id}_W$ : l'inverse de $L^{n-i}$ est algébrique.
\end{theoreme}
\end{encadre}

\begin{lemme}[Cayley--Hamilton]\label{lem:16-ch}
Si $w \in \mathcal A_V$ est inversible, son inverse est dans $\mathcal A_V$.
\end{lemme}

\begin{proof}
Le polynôme caractéristique $P$ de $w$ est à coefficients dans $F$ par l'hypothèse $D(X)$, et il annule $w$ par Cayley--Hamilton. Son terme constant $c_0$ est, au signe près, le déterminant de $w$ ; il n'est pas nul. Écrivons $P = XQ + c_0$. Alors $Q(w)\,w = w\,Q(w) = -c_0$, et $w^{-1} = -c_0^{-1}Q(w)$. Cet élément est dans $\mathcal A_V$, qui est un sous-anneau stable par multiplication par $F$, puisque $Q$ est à coefficients dans $F$.
\end{proof}

\begin{proof}[Démonstration]
$w = u \circ v$ est dans $\mathcal A_V$, et inversible comme composé de deux bijections. Le lemme~\ref{lem:16-ch} donne $g \in \mathcal A_V$ avec $g \circ w = \mathrm{id}_V$ ; on pose $v' = g \circ u \in \mathcal A_{WV}$. Alors $v' \circ v = g \circ w = \mathrm{id}_V$, et pour $y = v(x)$, $v(v'(y)) = v\bigl((v' \circ v)(x)\bigr) = y$ : $v'$ est aussi inverse à droite, $v$ étant surjective.
\end{proof}

\begin{remarque}
L'argument de la lettre vaut tel quel, avec la relation de Cayley--Hamilton écrite en $w = uv$, comme la lecture la rétablit ; le tapuscrit l'écrit en $u$ avec les coefficients de $w$. L'hypothèse que $u$ soit un isomorphisme sert seulement à rendre $w$ inversible. Que $v$, induit par $L^{n-i}$, en soit un aussi est l'axiome de Lefschetz de la cohomologie, que la lettre suppose.
\end{remarque}

Ne sont pas démontrés ici : le théorème de Lefschetz difficile par $\mathfrak{sl}_2$ et la représentation de $\mathfrak{sl}_2$ engendrée par $(L_0, \Lambda_0)$ ; dans le théorème du n\textsuperscript{o}~6, l'existence de la décomposition primitive et la réciproque (2)~$\Rightarrow$~(1) (pages~9 à~12), la réciproque (3)~$\Rightarrow$~(1) étant réfutée pour l'inverse de $L$ ; l'existence et l'unicité de l'homomorphisme $\Phi_0 \to \mathcal E$ et le corollaire de la page~16\piste{16-universal-lefschetz-ring} ; le contre-exemple de la page~21 ; dans les algèbres de Hodge, l'exemple $\chi = \varphi^2$ de la page~28 et la question, restée sans réponse, de la finitude d'une orbite sous $u$ ; les pages~2 à~5, 29 à~46 et~48 à~54, dont les sections hyperplanes, le corollaire de la page~48, les variantes de la page~49 et le lemme.

\noindent\emph{Conventions.} On lit la décomposition primitive dans l'anneau $E$ lui-même, sans module : $p_{j,\beta}$ est le projecteur sur $L^\beta P^j \subset M^{j+2\beta}$, pour $0 \leqslant j \leqslant n$ et $0 \leqslant \beta \leqslant n - j$, de sorte que le $\pi_{i,\alpha}$ de la lecture est $p_{i-2\alpha,\alpha}$ si $i \leqslant n$, et que $\pi_{2n-i,\alpha}$ est $p_{i-2\alpha,\,n-i+\alpha}$. On demande : les $p_{j,\beta}$ sont des idempotents orthogonaux de somme~$1$ ; $\pi_a p_{j,\beta} = p_{j,\beta}\pi_a$ vaut $p_{j,\beta}$ si $a = j + 2\beta$ et $0$ sinon ; $L p_{j,\beta} = p_{j,\beta+1} L$ pour $\beta < n - j$ et $L p_{j,n-j} = 0$ ; enfin $p_{j,\beta} \in L^\beta p_{j,0} E$, ce qui dit que l'image est $L^\beta P^j$ et non un supplémentaire quelconque. C'est la décomposition que le dossier \q{admet} (structure \texttt{DecompositionPrimitive}).

\begin{encadre}
\begin{theoreme}[Grothendieck, pages 4 à 17, critère de Lefschetz dans un anneau gradué\piste{16-graded-ring-lefschetz-criterion}]
Soient $E$ un anneau gradué par des idempotents orthogonaux $\pi_a$ de somme~$1$ ($0 \leqslant a \leqslant 2n$), $\mathcal E \subset E$ un sous-anneau, $L \in \mathcal E$ de degré~$2$, et, pour $i \leqslant n$, $w_i \in \mathcal E$ de degré $-(2n-2i)$ avec $(w_i L^{n-i} - 1)\pi_i = 0$ et $(L^{n-i} w_i - 1)\pi_{2n-i} = 0$, c'est-à-dire $(6.3)_i$. Alors, sans module sous-jacent et sur~$\mathbf Z$ :
\begin{enumerate}
\item les projecteurs $\pi_a$ de la graduation sont dans $\mathcal E$ ;
\item tous les projecteurs $p_{j,\beta}$ de la décomposition primitive sont dans $\mathcal E$ ;
\item $\Lambda = \sum_{j}\sum_{\beta < n-j} L^{\beta} w_j L^{n-j-\beta-1} p_{j,\beta+1}$ est dans $\mathcal E$, de degré $-2$, et vérifie~(6.7) : $L\Lambda = 1 - \sum_j p_{j,0}$ et $\Lambda L = 1 - \sum_j p_{j,n-j}$.
\end{enumerate}
\end{theoreme}
\end{encadre}

\begin{demopage}[pages 4 à 12]
Le n\textsuperscript{o}~4 remplace les conditions portant sur un module par la condition interne $(4.4)_i$ (pp.~4 à~6) ; le n\textsuperscript{o}~5, sur le feuillet \q{5 bis} (p.~7), en tire $\pi_i \in \mathcal E$ par $v'_i = \pi_{2n-i}v_i\pi_i$ et $w'_i = \pi_i w_i \pi_{2n-i}$, dont les produits sont $\pi_i$ et $\pi_{2n-i}$. Le n\textsuperscript{o}~6 prend $v_i = L^{n-i}$ et obtient les $\pi_{i,\alpha}$ et $\pi_{2n-i,\alpha}$ par une double récurrence descendante, formules (6.9) et (6.10) (p.~11), puis $\Lambda$ par (6.11) à (6.13) (pp.~11 et~12) ; la décomposition primitive y est admise. La liste d'énoncés de la page~9 est biffée et renumérotée, et l'implication marquée \q{Démonstration à fournir} (p.~12) est hors des clauses encadrées.
\end{demopage}

\begin{proof}
(1) est le n\textsuperscript{o}~5 (\texttt{projecteurs\_mem}, \texttt{projecteurs\_mem\_lefschetz}). Tout le reste repose sur un calcul de bloc : pour $\beta \leqslant n - j$,
\[
L^{\beta}\, w_j\, L^{n-j-\beta}\, p_{j,\beta} = p_{j,\beta}.
\]
En effet $p_{j,\beta} = L^\beta p_{j,0}\, y$, donc $L^{n-j-\beta} p_{j,\beta} = L^{n-j}\pi_j\, p_{j,0}\, y$, puis $w_j L^{n-j} \pi_j = \pi_j$ ramène à $p_{j,0}\,y$, et $L^\beta$ redonne $p_{j,\beta}$ (\texttt{inverse\_bloc}). Par ailleurs $L^k p_{j,\beta}$ vaut $p_{j,\beta+k} L^k$ tant que $\beta + k \leqslant n - j$ et $0$ au-delà (\texttt{pow\_mul\_of\_le}, \texttt{pow\_mul\_eq\_zero}) ; en particulier $L^{n-j+1} p_{j,0} = 0$, les $p_{j,0}$ projettent sur des classes primitives.

(2) Récurrence sur le degré primitif $j$, qui est la récurrence descendante du dossier sur~$\alpha$. Si $a = j + 2\beta \leqslant n$, posons $S_j = \sum_{j' < j}\sum_{\beta'} p_{j',\beta'}$, dans $\mathcal E$ par récurrence. Dans $\pi_a(1 - S_j)$ ne restent que les blocs de degré~$a$ et de degré primitif $j' \geqslant j$ ; pour $j' > j$, l'exposant $n - j - \beta$ dépasse la longueur restante de la chaîne et $L^{n-j-\beta}$ les tue. Le calcul de bloc donne alors la formule~(6.9)
\[
p_{j,\beta} = L^{\beta}\, w_j\, L^{n-j-\beta}\, \pi_a\, (1 - S_j) \in \mathcal E \qquad (\texttt{formule\_bas}).
\]
Si $a \geqslant n$, soit $i = 2n - a = j + 2\beta''$ avec $\beta'' = n - j - \beta$ ; alors $L^{a-n}p_{j,\beta''} = p_{j,\beta}L^{a-n}$ et $L^{a-n} w_i \pi_a = \pi_a$, d'où la formule~(6.10)
\[
p_{j,\beta} = L^{a-n}\, p_{j,\beta''}\, w_i\, \pi_a \in \mathcal E \qquad (\texttt{formule\_haut}),
\]
avec $p_{j,\beta''}$ déjà obtenu, puisque $i \leqslant n$ (\texttt{projecteurs\_primitifs\_mem}).

(3) Chaque terme de $\Lambda$ est un produit d'éléments de $\mathcal E$, de degré $2\beta - 2(n-j) + 2(n-j-\beta-1) = -2$ (\texttt{homogene\_pseudoInverse}). Par le calcul de bloc, $L \cdot L^{\beta} w_j L^{n-j-\beta-1} p_{j,\beta+1} = p_{j,\beta+1}$ : $L\Lambda$ est la somme des blocs qui ne sont pas en bas de chaîne, soit $1 - \sum_j p_{j,0}$ (\texttt{mul\_pseudoInverse}). De même $p_{j,\beta+1} L = L p_{j,\beta}$ donne $L^{\beta} w_j L^{n-j-\beta-1} p_{j,\beta+1} L = p_{j,\beta}$ pour $\beta < n - j$ : $\Lambda L$ est la somme des blocs qui ne sont pas en haut de chaîne, soit $1 - \sum_j p_{j,n-j}$ (\texttt{pseudoInverse\_mul}). Le tout est rassemblé dans \texttt{critere\_lefschetz}.
\end{proof}

\begin{remarque}
L'énoncé tient sur~$\mathbf Z$ et pour un sous-anneau quelconque, sans module, et sans que les relations $(L^{n-i}w_i - 1)\pi_{2n-i} = 0$ servent au-delà du n\textsuperscript{o}~5 et de la formule~(6.10). La récurrence double du dossier se réduit à une récurrence simple, une fois les $\pi_a$ connus. Pour $\Lambda$ sur un bloc du bas, la formule affichée par la lecture, $\Lambda\pi_{i,\alpha} = w_{i-2\alpha}L^{n-i+\alpha}\pi_{i,\alpha}$, est de degré $-2\alpha$ et non $-2$ : il y manque un facteur $L^{\alpha-1}$ à gauche, et la forme juste est $\Lambda\pi_{i,\alpha} = L^{\alpha-1} w_{i-2\alpha} L^{n-i+\alpha}\pi_{i,\alpha}$, qui coïncide avec celle de la lecture pour $\alpha = 1$ ; la formule pour les blocs du haut est juste telle quelle. Ne sont pas démontrés : l'existence de la décomposition primitive à partir de~$(6.3)$, que le dossier admet ; la réciproque (2)~$\Rightarrow$~(1) du théorème de la page~9 ; la caractérisation de la \emph{Remarque} en $L$ et $\Lambda$ seuls ($\pi_{i,\alpha} = L^{\alpha}\Lambda^{n-i+2\alpha}L^{n-i+\alpha}(\cdots)$). La réciproque (3)~$\Rightarrow$~(1) est traitée ci-dessous.
\end{remarque}

La page~9 annonce aussi la réciproque (3)~$\Rightarrow$~(1) : si tous les projecteurs $\pi_{i,\alpha}$ de la décomposition primitive sont dans $\mathcal E$, les conditions de Lefschetz $(6.1)_i$ et $(6.2)_i$ valent, l'inverse de $L^{n-i}$ étant dans $\mathcal E$, et les $\pi_i$ sont dans $\mathcal E$. La page~12 marque une implication \q{Démonstration à fournir}. De celle-ci, seule la moitié qui porte sur les projecteurs tient.

\begin{enonce}[Page 9, (3) $\Rightarrow$ (1), les projecteurs\piste{16-graded-ring-lefschetz-criterion}]
Avec les conventions précédentes, si tous les $p_{j,\beta}$ sont dans le sous-anneau $\mathcal E$, tous les $\pi_a$ y sont aussi.
\end{enonce}

\begin{proof}
On a $\pi_a = \pi_a \sum_{j,\beta} p_{j,\beta} = \sum_{j + 2\beta = a} p_{j,\beta}$, puisque $\pi_a p_{j,\beta}$ vaut $p_{j,\beta}$ si $a = j + 2\beta$ et $0$ sinon (\texttt{DecompositionPrimitive.\allowbreak{}proj\_eq\_sum}, \texttt{projecteurs\_mem\_of\_primitifs}).
\end{proof}

\begin{contrexemple}[page 9, (3) n'entraîne ni (1) ni (2)\piste{16-graded-ring-lefschetz-criterion}]
Soient $R$ un anneau commutatif non nul ($\mathbf Z$ par exemple), $E = M_2(R)$ et $n = 1$, avec $M^0 = R e_1$, $M^1 = 0$, $M^2 = R e_2$, soit $\pi_0 = e_{11}$, $\pi_2 = e_{22}$, $\pi_1 = 0$, et $L = e_{21}$, de degré~$2$. La décomposition primitive est $P^0 = R e_1$, $L P^0 = R e_2$, $P^1 = 0$, soit $p_{0,0} = e_{11}$, $p_{0,1} = e_{22}$, $p_{1,0} = 0$. Dans $E$, $L \colon M^0 \to M^2$ a pour inverse $w_0 = e_{12}$, de degré $-2$, et $(6.3)$ vaut. Soit $\mathcal E$ le sous-anneau des matrices triangulaires inférieures. Il contient $L$, tous les $\pi_a$ et tous les $p_{j,\beta}$ : (3) est satisfaite. Mais aucun $w \in \mathcal E$ ne vérifie $w L \pi_0 = \pi_0$, et aucun $\Lambda \in \mathcal E$ ne vérifie $L\Lambda = 1 - p_{0,0} - p_{1,0}$.
\end{contrexemple}

\begin{proof}
Le coefficient $(1,1)$ de $w L \pi_0 = w\, e_{21}\, e_{11}$ est $w_{12}$, qui est nul dans $\mathcal E$, alors qu'il vaut $1$ dans $\pi_0$. De même, le coefficient $(2,2)$ de $L\Lambda = e_{21}\Lambda$ est $\Lambda_{12} = 0$, alors qu'il vaut $1$ dans $1 - e_{11} = e_{22}$. Les vérifications de \texttt{Graduation} et de \texttt{DecompositionPrimitive} se font coefficient par coefficient (\texttt{graduation\_c}, \texttt{decomposition\_c}, \texttt{reciproque\_trois\_un\_fausse}).
\end{proof}

\begin{remarque}
Les projecteurs ne voient pas l'inverse de $L$. L'hypothèse (3) ne dit rien des éléments de degré négatif de $\mathcal E$, alors que (1) et (2) en exigent. L'échec ne tient ni à $\mathbf Z$ ni aux dénominateurs : le contre-exemple vaut sur un corps. La réciproque (3)~$\Rightarrow$~(1) n'est donc vraie que pour sa partie \q{les $\pi_i$ sont dans $\mathcal E$}. Pour obtenir (1), il faut ajouter à (3) l'appartenance à $\mathcal E$ d'un inverse de $L^{n-j}$ sur chaque $P^j$, c'est-à-dire, à peu de chose près, $(6.3)$ elle-même.
\end{remarque}

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Grothendieck, page 49, variantes en dimension critique\piste{16-weak-variants-imply-strong}]\nonverifie
Les deux variantes $A'^0$ et $A''^0$ de la condition $A^0$ en dimension critique, qui portent sur les classes devenant algébriques sur une section hyperplane, entraînent ensemble $A^0$. Ainsi $C(X)$ équivaut à $C(Y) + A'^0(X \times X) + A''^0(X \times X)$ et, par descente le long d'une chaîne de sections hyperplanes $Y$, $Z$, et ainsi de suite, à ces deux seules conditions sur $X \times X$, $Y \times Y$, $Z \times Z$.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small Les feuillets en esquissent une démonstration incomplète (page 49). Elle factorise l'opérateur de la dimension critique à travers la section hyperplane, selon la parité de la dimension, sans achever l'argument.\par}

\begin{enonce}[Énoncé de l'édition, page 49, le dédoublement de la condition critique]
Soient des $k$-modules et des sous-modules de classes algébriques. En dimension paire, si $\varphi^*$ est surjectif, $L_Y$ un isomorphisme, toute classe algébrique de $H^{2m+2}(X)$ l'image par $\varphi_*$ d'une classe algébrique ($A''^0$), $L_Y^{-1}$ conserve les classes algébriques ($A^0(Y)$) et $x$ est algébrique dès que $\varphi^*x$ l'est ($A'^0$), alors toute classe algébrique de $H^{2m+2}(X)$ est $L^2 = \varphi_* L_Y \varphi^*$ d'une classe algébrique. En dimension impaire, la même conclusion pour $L$ inversible demande que la projection $\varphi^* L^{-1} \varphi_*$ conserve les classes algébriques, ce qui découle déjà de $A^0(X)$.
\end{enonce}
{\small L'idée est simple : on remonte une classe algébrique de $H^{2m+2}(X)$ en une classe de $Y$ par $A''^0$, on l'abaisse de deux degrés par $L_Y^{-1}$ (c'est là que sert $A^0(Y)$), on la relève sur $X$ par $\varphi^*$ et l'on conclut par $A'^0$. En dimension impaire, il n'y a pas de $L_Y$ à inverser, et la seule façon de revenir est l'inverse de $L$ lui-même : la réduction tourne en rond. Le point ouvert du problème~5 de l'article sur les problèmes est de savoir si $A^0(Y_T)$, pour une section hyperplane de $X \times X$, est fourni par la récurrence. Lean : \texttt{split\_even}, \texttt{split\_odd}, \texttt{split\_odd\_circular}.\par}
\section[Cote 98 : une théorie axiomatique des normes, le modèle des G-ensembles ; classes de faisceaux]{Cote 98 : une théorie axiomatique des normes, le modèle des $G$-ensembles ; classes de faisceaux\protect\verifie{Folder98}}\label{sec:98}

La cote 98, \emph{Schémas de Hilbert. Normes : notes manuscrites (s.d.)}, que l'inventaire date \q{[à partir de 1966-1967]}, pose aux pages~10 et~11 une axiomatique des normes dans une catégorie à sommes finies : une classe $\mathcal N$ de morphismes stable par identités, composition, changement de base, sommes et quotients $(X^n_Y)/H$, $H \subset \mathfrak S_n$ ((i) à (v)) ; un degré multiplicatif, invariant par changement de base, additif, avec $\deg\bigl((X^n_Y)/H \to Y\bigr) = \mathrm{card}(E^n/H)$ si $\deg u = r$ et $E = \{1, \ldots, r\}$ ((i bis) à (v bis)) ; des sections canoniques $\mathrm{Can}_{X/Y} : Y \to \mathrm{Sym}^r_Y(X)$ avec $\mathrm{Can}_{X/X} = \mathrm{id}$, le diagramme de transitivité de la page~11, le changement de base et l'additivité ((i ter) à (iv ter)) (\lot{98}{1}{10}, \lot{98}{1}{11}). Dans l'exemple~I, les $G$-ensembles, $u$ est de degré $r$ si toutes ses fibres ont $r$ éléments, et $\mathrm{Can}_{X/Y}(y)$ est la classe de la \q{suite de ses éléments rangés dans un ordre quelconque} ; la page dit (i) à (v) et (i bis) à (v bis) \q{trivialement vérifiées}, ajoute qu'\q{on vérifie aussitôt} (i ter) à (iv ter), et aucun exemple n'est vérifié pour (ii ter).

\begin{theoreme}[D'après les pages 10 à 12, exemple I\piste{98-axiomatic-norms-can-section}]
Les applications dont toutes les fibres sont finies de même cardinal $r$, munies de ce cardinal comme degré, satisfont (i) à (v) et (i bis) à (v bis) ; la fibre de $(X^n_Y)/H \to Y$ en $y$ est en bijection avec $E^n/H$. Avec $\mathrm{Sym}^r_Y(X)$ formé des couples $(y, m)$, $m$ multi-ensemble de $r$ points de $u^{-1}(y)$, et $\mathrm{Can}_{X/Y}(y)$ le multi-ensemble des points de la fibre, (i ter) à (iv ter) sont satisfaits, et $\mathrm{Can}$ est compatible à l'action de $G$ quand $u$ est équivariant.
\end{theoreme}

\noindent L'énoncé tient : voir \texttt{hasDeg\_comp}, \texttt{hasDeg\_quotPow}, \texttt{can\_comp}, \texttt{can\_pullback}, \texttt{can\_sum} et \texttt{can\_smul} dans \href{\leanblob/Folder98.lean}{\texttt{Folder98.\allowbreak{}lean}}. Pour (ii ter), la fibre de $vu$ au-dessus de $z$ est la réunion disjointe des fibres de $u$ au-dessus des $s$ points de la fibre de $v$. Le groupe ne joue aucun rôle au-delà de l'équivariance de $\mathrm{Can}$. Ne sont pas démontrés : l'exemple~II (morphismes finis localement libres et norme de la page~2) et la transitivité des normes des pages~6 à~8 ; l'exemple~III est traité ci-dessous.

La page~13 précise l'exemple~III. Un groupe discret $\Gamma$ opère sur un espace $X$ ; pour $E$ un $\Gamma$-ensemble, $\Phi(E) = X \times^\Gamma E$ est le quotient de $X \times E$ par l'action diagonale. La page \emph{suppose} que $\Phi$ transforme les morphismes de degré $r$ en morphismes de degré $r$, affirme qu'il transforme les morphismes canoniques en morphismes canoniques, et s'interrompt. On lit \q{non ramifié} comme dans la lecture : tout point de $X$ a un voisinage $U$ tel que $gU \cap U = \varnothing$ pour $g \neq 1$.

\begin{theoreme}[D'après la page 13, exemple III\piste{98-axiomatic-norms-can-section}]
Soit $\Gamma$ opérant sur $X$ par homéomorphismes, tout point ayant un voisinage disjoint de ses translatés, et $f : E \to F$ une application $\Gamma$-équivariante entre $\Gamma$-ensembles discrets. Alors \textup{(a)} $\Phi(f) : \Phi(E) \to \Phi(F)$ est un revêtement, et si toutes les fibres de $f$ ont $r$ éléments, toutes celles de $\Phi(f)$ aussi (il suffit pour cela que l'action sur $X$ soit libre) ; \textup{(b)} $\Phi(E \sqcup F) \simeq \Phi(E) \sqcup \Phi(F)$ ; \textup{(c)} $\mathrm{Sym}^r_F(E)$ est un $\Gamma$-ensemble, $\mathrm{Can}_{E/F}$ est équivariant, l'application $[x, (e', m)] \mapsto ([x, e'], [x, m])$ est une bijection $\Phi(\mathrm{Sym}^r_F(E)) \to \mathrm{Sym}^r_{\Phi(F)}(\Phi(E))$, et elle envoie $\Phi(\mathrm{Can}_{E/F})$ sur $\mathrm{Can}_{\Phi(E)/\Phi(F)}$.
\end{theoreme}

\begin{proof}
(a) Les points de $\Phi(E)$ au-dessus de $[x, e']$ sont les $[x, i]$ avec $f(i) = e'$, et $i \mapsto [x, i]$ est injective si l'action est libre : $[x, i] = [x, j]$ donne $g$ avec $gx = x$ et $gj = i$, donc $g = 1$. Pour le revêtement, on prend $U$ ouvert autour de $x$, disjoint de ses translatés. L'application $y \mapsto [y, e']$ est ouverte, puisque le quotient par un groupe l'est, et son image $V$ de $U$ est un voisinage ouvert de $[x, e']$. L'image réciproque de $V$ est la réunion disjointe des $U_i = \{[y, i] : y \in U\}$, $f(i) = e'$, et $\Phi(f)$ envoie chaque $U_i$ bijectivement sur $V$. La fibre vide, $f^{-1}(e') = \varnothing$, donne une image réciproque vide. (b) On envoie $[x, e]$ dans le facteur où tombe $e$. (c) L'application est bien définie car $[gx, ge] = [x, e]$ ; elle est injective par la liberté, surjective parce que tout point au-dessus de $[x, e']$ s'écrit $[x, i]$, et $\Phi(\mathrm{Can})([x, e'])$ a pour image le multi-ensemble des $[x, i]$, $f(i) = e'$, qui est la fibre de $\Phi(f)$.
\end{proof}

\noindent Voir \texttt{hasDeg\_phi}, \texttt{isCoveringMap\_phi}, \texttt{Phi.sumEquiv}, \texttt{can\_smul'}, \texttt{Phi.symComp\_bijective} et \texttt{phi\_can} dans \href{\leanblob/Folder98.lean}{\texttt{Folder98.\allowbreak{}lean}}. L'hypothèse que la page pose, la conservation des degrés, est démontrée ; elle n'exige que la liberté de l'action, et le revêtement vaut pour toute application équivariante, de degré constant ou non. N'est pas démontré : que $X/H' \to X/H$ soit un revêtement de groupe $H/H'$, c'est-à-dire l'identification $X/H \simeq \Phi(\Gamma/H)$ par laquelle ce revêtement devient $\Phi(\Gamma/H' \to \Gamma/H)$, ni que l'image de $\Phi$ satisfasse les axiomes dans la catégorie des espaces.

\subsection*{Classes de faisceaux sur les extensions du corps de base (pages 28 à 30)}

Plus loin, la cote se demande quand deux faisceaux, définis sur $X$ après deux extensions différentes du corps de base $k$, doivent être tenus pour le même. La définition~1 de la page~28 dit $F_1$ sur $X \otimes_k K_1$ et $F_2$ sur $X \otimes_k K_2$ \emph{$k$-équivalents} s'il existe une extension $K'$ de $k$ et des $k$-plongements $u_i : K_i \to K'$ tels que $F_1 \otimes_{K_1} K'$ et $F_2 \otimes_{K_2} K'$ soient isomorphes. C'est une relation d'équivalence, dit la page, \q{en vertu de la transitivité de l'extension des scalaires} et parce que deux extensions de $k$ peuvent toujours être \q{dominées} par une troisième (\lot{98}{2}{28}). La proposition~1, pour $X$ de type fini, ramène tout aux extensions de type fini : un faisceau est équivalent à un faisceau défini sur une sous-extension de type fini, et deux faisceaux cohérents équivalents ainsi définis le deviennent déjà sur une extension de type fini. Les classes forment un ensemble $\mathfrak F(X/k)$, qui est, pour $k$ fixé, un \q{foncteur contravariant en $X$} (\lot{98}{2}{29}). Le corollaire~5 prend enfin une extension $\widetilde K$ algébriquement close de degré de transcendance infini : $\mathfrak F(X/k)$ est l'ensemble des classes de faisceaux cohérents sur $X \otimes_k \widetilde K$ modulo l'action de $\mathrm{Aut}(\widetilde K/k)$ (\lot{98}{2}{30}).

\noindent\emph{Conventions.} On ne manipule ni schémas ni faisceaux. Les extensions de $k$ et leurs $k$-plongements forment une catégorie $C$ ; à chaque $K$ est attaché l'ensemble $\Phi(K)$ des classes d'isomorphisme de faisceaux sur $X \otimes_k K$, et à chaque plongement $u : K \to K'$ l'extension des scalaires $\Phi(K) \to \Phi(K')$, compatible à la composition. Dans ce cadre, la définition~1 se lit telle quelle.

\begin{theoreme}[D'après les pages 28 à 30]
\textup{(a)} Si deux plongements $A \to B$, $A \to B'$ se prolongent toujours en des plongements $B \to D$, $B' \to D$ qui coïncident sur $A$, la $k$-équivalence est une relation d'équivalence. \textup{(b)} Une image inverse $\Phi \to \Psi$ compatible à l'extension des scalaires respecte la $k$-équivalence. \textup{(c)} Supposons les deux moitiés de la proposition~1, que toute extension de type fini se plonge dans $\widetilde K$ et que deux plongements d'une même extension de type fini dans $\widetilde K$ diffèrent d'un automorphisme de $\widetilde K$. Alors toute classe a un représentant sur $\widetilde K$, et deux faisceaux $F$, $G$ sur $X \otimes_k \widetilde K$ sont $k$-équivalents si et seulement si $F \simeq \sigma(G)$ pour un $\sigma \in \mathrm{Aut}(\widetilde K/k)$.
\end{theoreme}

\begin{proof}
(a) Supposons $(K_1, F_1) \sim (K_2, F_2)$ réalisé dans $K'$ et $(K_2, F_2) \sim (K_3, F_3)$ réalisé dans $K''$. Les deux plongements de $K_2$ dans $K'$ et $K''$ se prolongent en $K' \to D$, $K'' \to D$ qui coïncident sur $K_2$. Dans $D$, l'image de $F_1$ est celle de $F_2$ par le premier chemin, celle-ci est l'image de $F_2$ par le second, et c'est l'image de $F_3$. (b) On applique l'image inverse à l'isomorphisme sur $K'$. (c) Pour un faisceau $F$ sur $K$, défini sur $K_0 \subset K$ de type fini, on plonge $K_0$ dans $\widetilde K$ et l'on amalgame $K$ et $\widetilde K$ au-dessus de $K_0$. Si $F$ et $G$ sur $\widetilde K$ sont équivalents, on les descend sur $K_1$ et $K_2$ de type fini, on les rend isomorphes sur $K''$ de type fini, et l'on plonge $K''$ dans $\widetilde K$. Les deux plongements de $K_1$ dans $\widetilde K$, le donné et celui qui passe par $K''$, diffèrent d'un automorphisme $\sigma_1$ ; de même pour $K_2$ avec $\sigma_2$. On obtient $F \simeq \sigma_1 \sigma_2^{-1}(G)$. La réciproque prend $K' = \widetilde K$, avec l'identité et $\sigma$.
\end{proof}

\begin{remarque}
La raison donnée par la page ne suffit pas telle quelle. Que deux extensions de $k$ soient dominées par une troisième ne donne pas la transitivité : il faut dominer les deux extensions $K'$ et $K''$ de $K_2$ par une extension de $K_2$, de façon que les deux plongements de $K_2$ coïncident, faute de quoi les deux images de $F_2$ dans $D$ n'ont pas de raison d'être isomorphes. Pour des corps, un quotient de $K' \otimes_{K_2} K''$ par un idéal maximal convient, comme le note la lecture. Au corollaire~5, la surjectivité n'utilise que la première moitié de la proposition~1 et le plongement dans $\widetilde K$ ; l'injectivité utilise les deux moitiés et l'homogénéité de $\widetilde K$, qui n'est vraie que pour les extensions de type fini et explique le détour par la proposition~1.
\end{remarque}

La figure~\ref{fig:98-amalgame} reprend la démonstration de (a). Le losange central doit commuter : $D$ est une extension de $K_2$, et non seulement de $k$.

\begin{figure}[htbp]
\centering
\begin{tikzcd}[column sep=small, row sep=normal]
& & D & & \\
& K' \arrow[ur, dashed] & & K'' \arrow[ul, dashed] & \\
K_1 \arrow[ur] & & K_2 \arrow[ul] \arrow[ur] & & K_3 \arrow[ul] \\
& & k \arrow[ull, no head] \arrow[u, no head] \arrow[urr, no head] & &
\end{tikzcd}
\caption{Transitivité de la $k$-équivalence. $F_1 \sim F_2$ est réalisée dans $K'$, $F_2 \sim F_3$ dans $K''$ ; les plongements en tirets de $K'$ et $K''$ dans $D$ coïncident sur $K_2$, de sorte que les deux images de $F_2$ dans $D$ sont la même. Deux plongements quelconques de $K'$ et $K''$ dans une extension commune de $k$ ne le garantissent pas.}
\label{fig:98-amalgame}
\end{figure}


\begin{sloppypar}\noindent Voir \texttt{kEquiv\_equivalence}, \texttt{kEquiv\_map}, \texttt{corollaire5\_surj} et \texttt{corollaire5\_iff} dans \href{\leanblob/Folder98.lean}{\texttt{Folder98.\allowbreak{}lean}}. Ne sont pas démontrés : la proposition~1, renvoyée par la page à un \q{Chap.~V, §~1} qu'on n'identifie pas, ni les deux propriétés de $\widetilde K$, classiques (prolongement à des bases de transcendance de même cardinal infini, puis aux clôtures algébriques) et prises ici pour hypothèses.\end{sloppypar}
\bigskip
\noindent Autres pistes de l'onglet Findings pour ce thème, dans des cotes qui n'ont pas de section ici :\par

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[D'après les pages 9 à 16, forme corrigée par l'édition, théorème de Griffiths par voie $\ell$-adique\piste{36-griffiths-conditional-l-adic}]\nonverifie
En toute caractéristique, soient $X$ projective lisse de dimension $2n$ et un pinceau de Lefschetz, de section hyperplane générique $Y$. Supposons a) un scindage de type Lefschetz de l'inclusion de $Y$ par une correspondance algébrique, et b) qu'aucune pièce de $\mathrm{Coker}(H^{2n-1}(X) \to H^{2n-1}(Y))$ ne soit de coniveau $n-1$. Alors un cycle de $X$ dont la restriction à $Y$ est algébriquement équivalente à zéro est homologiquement nul à torsion près, et $\mathrm{Grif}(Y) \otimes \mathbf Q$ a un sous-quotient qui s'envoie sur les classes algébriques primitives de~$X$.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small Les feuillets en esquissent une démonstration incomplète (pages 9 à 15) : le n°\,4 renvoie à des \q{calculs explicites essentiellement triviaux}, et l'argument est de la lecture. La page dit \q{sous-espace} là où l'argument ne donne qu'un sous-quotient. L'hypothèse a) est un cas des conjectures standard, et b) n'est démontrée qu'en caractéristique nulle. Mathlib n'a pas la cohomologie $\ell$-adique ni l'application d'Abel--Jacobi. On se reportera aux notes de Grothendieck (\lot{36}{1}{9}).\par}

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Grothendieck, pages 60 à 70, défaut des cycles invariants en $H^1$\piste{36-h1-invariant-cycle-defect}]\nonverifie
Soient $X$ projectif et régulier sur un trait strictement hensélien $S$, avec $\mathcal O_S \simeq f_*\mathcal O_X$, et $n$ premier à $p$. On a une suite exacte $0 \to {}_n\Gamma \to H^1(X, \mu_n) \to H^1(X_{\bar\eta}, \mu_n)^I \to \mathrm{Ker}(w_n) \to 0$, où $\Gamma$ est le groupe des diviseurs portés par la fibre spéciale modulo $X_0$ et $w : \Gamma \to \mathrm{NS}(X_0)$. À la limite, $H^1(X, \mathbf Z_\ell(1)) \to H^1(X_{\bar\eta}, \mathbf Z_\ell(1))^I$ est injectif de conoyau $R \otimes \mathbf Z_\ell$, où $R = \mathrm{Ker}\,w$ est cyclique d'ordre divisant le pgcd des multiplicités $d_i$ des composantes de $X_0$, et c'est un isomorphisme quand $X_\eta$ a un $0$-cycle de degré~$1$.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small Le tapuscrit des pages 60 à 63 l'énonce ; le manuscrit des pages 64 à 70 le démontre, la torsion de $\mathrm{Ker}\,w$ étant renvoyée à Raynaud et tenue \q{au moins modulo résolution des singularités}. Celle-ci est démontrée en caractéristique nulle (Hironaka) et en dimension au plus trois sur un corps parfait de caractéristique positive (Cossart--Piltant), et reste ouverte en caractéristique positive à partir de la dimension quatre ; ces trois énoncés figurent, sans démonstration, dans le dépôt Formal Conjectures \cite{formalconjectures}. Mathlib n'a pas la cohomologie étale ni le groupe de Néron--Severi. On se reportera aux notes de Grothendieck (\lot{36}{3}{60}).\par}

\begin{encadre}
\begin{theoreme*}[Grothendieck, pages 73 à 76, orthogonalité sur une base adique régulière\piste{36-orthogonality-regular-adic-base}]\nonverifie
Soient $X = \operatorname{Spec} A$ une base noethérienne régulière complète pour la topologie $J$-adique, $Y = V(J)$ et $U = X - Y$. Soient $G$, $G'$ des schémas en groupes commutatifs plats sur $X$ dont les restrictions $A_U$, $A'_U$ à $U$ sont des schémas abéliens, $\xi$ une correspondance divisorielle sur $A_U \times A'_U$, $H \subset G_Y$ un sous-groupe plat à torsion $\ell^\nu$ finie et $T' \subset G'_Y$ un tore. Alors $\varphi_\xi(T_\ell(\tilde H)|_U, T_\ell(\tilde T')|_U) = 0$ en tout point de $U$ : l'orthogonalité de la partie torique et de la partie de torsion finie pour l'accouplement de Weil ne demande pas un anneau de valuation discrète.
\end{theoreme*}
\end{encadre}
{\small La réduction à un anneau de valuation discrète à corps résiduel fini et l'argument des poids de Frobenius (pages 74 à 76) sont lus en grande partie à travers des mots incertains ou illisibles, et l'équivariance galoisienne du lemme sur les corps finis est ajoutée par l'édition. SGA~7, IX, donne l'orthogonal exact sur un trait. Mathlib n'a pas les schémas abéliens ni l'accouplement de Weil. On se reportera aux notes de Grothendieck (\lot{36}{4}{73}).\par}